Microsoft Word - Bahan Kuliah Probabilitas Dan Statistika

download Microsoft Word - Bahan Kuliah Probabilitas Dan Statistika

of 73

Transcript of Microsoft Word - Bahan Kuliah Probabilitas Dan Statistika

6 BAB II STUDI DESKRIPTIF DATA STATISTIK 1. STATISTIKA DATA TUNGGAL 2. STATISTIKA DATA BERKELOMPOK I.RUMUS-RUMUS 1. STATISTIKA UNTUK DATA TUNGGAL 1.Rata-rata = Mean = Aritmatik Mean 2.Geometrik Mean atau: 3.Harmonic Mean 4.Modus = nilai yang paling sering muncul 5.Median = nilai tengah setelah data diurutkan n ganjil n genap 6.Variansi atau 7.Deviasi Standar (Simpangan Baku) X= nxini=1 GM =nnx x x x ...3.2.1 Log GM = log nx x xnlog ... log log2 1+ + + HM= xn x xn12111... + + + Md = x21 + n Md = 212 2+ +n nX X S2 = 1) (2nx xi S2 =12) (2 nxinxi S = 2Satau S = 1) (2nx xi 7 8.Simpanan /Deviasi rata-rata: 9.Range (Jangkauan) = data max data min 10. Kuartilmembagi data menjadi 4 bagian yang sama K1, K2, K3 Desilmembagi data menjadi 10 bagian yang sama D1, D2, , D9 Persentilmembagidatamenjadi100bagianyangsamaP1, P2, , P99 11. Simpangan Kuartil: 2.STATISTIKA DATA BERKELOMPOK DISTRIBUSI FREKUENSI Data dapat disusun menurut beberapa cara, yaitu : 1.Menurutbesarnya(kuantitas)DistribusiFrekuensi Kuantitatif 2.Menurut Kategori (Kualitas)Distribusi Frekuensi Kualitatif 3.Menurut Waktu terjadinyaRuntun waktu (Time series) 4.Menurut Tempat terjadinyaDistribusi Spasial Jika data yang dipunyai banyak,maka akan lebih mudah jika data itu diringkaskan menjadi distribusi frekuensi. Definisi : DistirbusiFrekuensiadalahsusunandatamenurutbesarnya (kuantitas) atau kategorinya (kualitas). Suatudistribusifrekuensikuantitatifdisusundengancara membagi-bagidatadalambeberapakelas,yangdisebutinterval kelas. Syarat-syarat Interval Kelas: 1.Tidak boleh Overlap 2.Tidak boleh terdapat celah/gap 3.Mempunyai lebar yang sama Menyusun Distribusi Frekuensi Kuantitatif: 1.Cari harga max & min Sr = nx xi | | Sk = 21 3 K K 8 2.Tentukan jumlah kelas interval (k) 3.Tentukan lebar kelas interval dibulatkan ke atas 4.Hitung jumlah data dalam tiap-tiap kelas interval disebut Frekuensi Kelas 5.Frekuensi Relatif = data jml kelas frek.. Contoh : Darihasilujian50mahasiswa,diketahuinilaiminimum=10dan maksimum84.Jikaakandibuatmenjadi5kelasinterval,makalebar interval : c = 510 84 = 14,8 15 Sehingga kelas-kelas intervalnya adalah : KelasNilai 19,5 24,5 224,5 39,5 339,5 54,5 454,5 69,5 569,5 84,5 Setelahdibuatkelas-kelasinterval,makadisusunDistribusi Frekuensi. Ex : KelasNilai B.BB.A Frek. (fi) xiFrek.relatif()Frek.Kum 19,5 24,531710030 224,5 39,553216,7327 339,5 54,5104733,3822 454,5 69,546213,31812 569,5 84,587726,7228 n = 3030 0 Keterangan: Titik Tengahxi = 2btsAtas btsBwh + Frek. Kum < Batas bawah kelas Frek. Kum > Batas bawah kelas c = k Min Max 9 HISTOGRAM y 10x = nilai 9y = frekuensi 8 7 6 5 4 3 2 1 09,524,539,554,569,584,5x POLIGON titik tengah y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9,51732476277x 10 OGIVE Frekuensi Kumulatif < y 30 20 10 09,524,539,554,569,584,5x DISTRIBUSI FREKUENSI KUALITATIF Contoh: Data jumlah kendaraan yang ada di DIY Jenis KendaraanJumlah = Frekuensi Mobil15500 Motor21250 Sepeda5000 Bis Kota120 Becak500 Lain-lain1000 Contoh lain: Diketahui nilai ujian mahasiswa: 3845546475 8536547243 5874986656 6568665863 11 Distribusi Frekuensi : NilaiBnyk Mhs = Frekuensi 21 34 46 59 610 73 86 91 n = 40 HARGA-HARGA TENGAH DATA BERKELOMPOK 1)RATA-RATA (MEAN) xi = titik tengah kelas ke-i fi=frekuensin = jumlah data 2)MEDIAN = nilai tengah Lmd = Batas bawah kelas median F =Frekuensi Kumulatif < fmd=Frekuensi kelas median c =lebar interval 3)KUARTIL L = Lower Bound (Batas bawah) x= nnixi fi =1. Md = Lmd + mdfFn 2.c K1 = L1 k + 14kfFn . cK3 = L 3 k+ 343kfFn . 12 4)MODUS = nilai yang paling sering muncul (mempunyai frekuensi kelas terbesar) a = f modus f sebelum b = f modus f sesudah HARGA-HARGA DEVIASI (SIMPANGAN) 1)VARIANSI (RAGAM) atau 2)DEVIASI STANDAR / SIMPANGAN BAKU 3)SIMPANGAN RATA-RATA 4)SIMPANGAN KUARTIL 5)SIMPANGAN RELATIF M0 = L0M + b a a+. c S2 = 12) ( nx xi fi

S2 = 22).(2. nn xi fixi fi S = 2SSr = nx xi fi | | S k = 21 3 K K V = xS. 100 13 Contoh: Tabel Distribusi Frekuensi nilai ujian mahasiswa KelasNilaiFrekuensi 19,5 24,53 224,5 39,55 339,5 54,510 454,5 69,54 569,5 84,58 n = 30 Hitung : a)Mean b)Median, K1 & K2, D7 c)Modus d)Simpangan Baku e)Simpangan rata-rata Jawab: KelasNilaifixifi.xifi.xi2|xi x |fi|xi -x |F 19,5 24,53175186734,5103,50 224,5 39,5532160512019,597,53 339,5 54,51047470220904,5458 454,5 69,54622481537610,54218 569,5 84,58776164743225,520422 n = 30154590885492 fi.xifi.xi2fi|xi -x | Lebar interval = B.A B.B = 24,5 9,5 = 15 a)Rata-rata (Mean) x= n xi fi . = 301545 = 51,5 b)Median = Nilai Tengah = Data ke 2n = 15 di kelas ke-3 dengan Lmd = 39,5 Md = Lmd + mdfFn 2. c = 39,5 + 108 15 . 15 = 39,5 + 10,5 = 50,0 14 K1 = Data ke-n/4 = 30/4 = 7,5 = 8 kelas ke-2 dengan L1 k= 24,5 K1 = 24,5 + 53 5 , 7 . 15 = 24,5 + 13,5 = 38,0 K3Data ke-23 kelas ke-5 dengan L 3 k= 69,5 K3 = 69,5 + 822 5 , 22 . 15 = 69,5 + 0,94 = 70,44 D7Data ke-21 & 22 kelas ke-4 D7 = L7D + 7107DfFn . C = 54,5 + 418 21. 15= 54,5 + 11,25 = 65,75 c)Modus = nilai yang paling sering muncul di kelas ke-3 denganLmo = 39,5 a = 10 5 = 5b = 10 4 = 6 M0 = Lmo+ b a a+. c = 39,5 + 6 55+. 15 = 39,5 + 6,82= 46,32 d)Variansi S2 = 12) . (2. nnxi fixi fi = 29302) 1545 (90885 = 390,26 Simpangan BakuS = 2S=26 , 390= 19,75 e)Simpangan Rata-rata Sr = nx xi fi | | = 30429 = 16,4= 16,4 15 BAB III UNSUR UNSUR PROBABILITAS A. RUANG SAMPEL & PERISTIWA Definisi : Eksperimen : prosedur yang dijalankan pada kondisi tertentu yang dapatdiulang-ulangdansetelahprosedurituselesaidapatdiamati berbagai hasil. RuangSampel:himpunanyangelemen-elemennyamerupakan hasil yang mungkin dari suatu eksperimen. Titik Sampel : elemen dari ruang sampel. Ruang sampel ada 2, yaitu : 1.Ruang sampel Diskritmempunyai banyak elemen yang terhingga 2.RuangsampelKontinumembuatbilangan-bilangandalamsuatu interval. Peristiwa : himpunan bagian dari ruang sampel Contoh : Ruang Sampel Diskrit 1. Eksperimen: Pelemparan sebuah dadu Hasil: Mata dadu yang tampak di atas Ruang Sampel: S = {1,2,3,4,5,6} Peristiwa: A = Titik ganjil yang muncul = {1,3,5} : B = Titik genap yang muncul = {2,4,6} 2. Eksperimen: Pelemparan 2x mata uang logam Hasil:M(Muka)atauB(Belakang)padapelemparanI& II Ruang sampel : S = {MM, MB, BM, BB} Peristiwa: A = kedua hasil sama = {MM, BB} B = paling sedikit 1M = {MM, MB, BM} Ruang Sampel Kontinu 3. Eksperimen:Pemilihan1mahasiswasecararandom,dicatat IPK- nya. Hasil: Bilangan real antara 0 dan 4 Ruang sampel: S = {xR : 0 x 4} Peristiwa: A = IPK di atas 3 = {3 < x 4} B = IPK di bawah 2 = {0 x < 2} 16 Beberapa Peristiwa : a) Union (Gabungan): AB adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam A atau di dalam B b) Interaksi (Irisan): AB adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam A dan di dalam B c) Komplemen: Ac adalah himpunan semua elemen di luar A. Contoh : 1) Jika sebuah dadu dilemparkan, misalkan : A = {1,3,5}, B = {1}, C = {2,4,6}, maka : a) Ac = {2,4,6} = C b) AB = {1,3,5} = A c) AB = {1} = B d) AC = {1,2,3,4,5,6} = S e) AC = f) BC = {1,2,4,6} g) Bc = {2,3,4,5,6} h) Bc A = {3,5} 2)JikaxmenunjukkanIPKseorangmahasiswa,danmisalkanA= {3 1 jt B3 Jumlah 13 30 A120271259 31 50 A222352380 > 50 A312141541 jumlah547650180 n(B1)n(B2) n(B3)n(S) Hitung probabilitas bahwa seorang karyawan yang dipilih secara random dari perusahaan itu : a)(Usia < 31) atau (Gaji > 1 juta) adalah : P(A1 B3) = P(A1) + P(B3) P(A1 B3) = 59/180 + 50/180 12/180 = 97/180 b)(Usia > 50 tahun) dan (Bergaji antara 500 ribu 1 juta) : P(A3 B2) = 14/180 19 ANALISIS DALAM KOMBINATORIK DALAM PROBABILITAS 1. KOMBINASI Tidak memperhatikan urutan 2. PERMUTASI Memperhatikan urutan Contoh : ATURAN PERKALIAN 1)NomorplatmobildinegaraXterdiriatas3angkadiikutidengan2 huruf kapital. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat yang dapat dibuat? Jawab : Banyak cara : 9.10.10.26.26 = 608400 cara Berapapeluangsebuahmobilmempunyainomorplatdengan3angkayang sama? Jawab : Banyak mobil yang mempunyai nomor plat dengan 3 angka yang sama = 9.26.26 Jadi peluangnya = 26 . 26 . 10 . 10 . 926 . 26 . 9 = 1001 2)Password(sandilewat)sistemkomputerpanjangnya6karakter.Tiap karakterbolehberupahurufatauangka.Hurufbesardanhurufkecil tidak dibedakan. Berapa banyak password yang dapat dibuat? a)Jika karakter boleh sama b)Jika karakter tidak boleh ada yang sama Jawab : Banyak huruf(A - Z) = 26 Banyak angka (0 - 9) = 10 Jadi banyak karakter = 36 a)Jikakarakterbolehsama,makabanyakpasswordyangdibuat= 36.36.36.36.36.36 = 366 b)Jika karakter tidak boleh ada yang samaPermutasi Banyak password = 36.35.34.33.32.31 atau 36P6 = )! 6 36 (! 36 = ! 30! 36 3)Dari8bit(=1byte)yangdibangkitkansecaraacak,berapapeluang bahwa byte tersebut tidak dimulai dengan 11 ? nCk = |||

\|kn = )! ( !!k n kn nPk = )! (!k n n 20 Jawab :A = kejadian byte dimulai dengan 11 Ac = kejadian byte tidak dimulai dengan 11 n(A) = 26 = 64 n(S) = 28 = 256 P(A) = ) () (S n A n = 25664 = Maka, P(Ac) = 1 P(A) = 1 = = 256192 4)Dari 8 bit yang dibangkitkan secara acak, berapa peluang bahwa bit-bit tersebut memuat paling sedikit satu buah bit nol ? Jawab : A = kejadian bahwa byte memuat paling sedikit 1 bit 0. Ac= kejadian bahwa byte memuat semuanya bit 1 n(Ac) = 1 n(S) = 28 = 256 P(Ac) = 1/256 P(A) = 1 P(Ac) = 1 - 2561 = 256255 B = byte yang memuat 3 bit 1 n(B) = |||

\|38 = 56 P(B) =25656 5)Sebuahklubberanggota8priadan10wanita.Berapabanyakcara memilihpanitrayangterdiridari6orangdenganjumlahwanitalebih banyak dari pria ? Jawab : Total = 18 orang8P , 10 W Dipilih 6 orang, dengan jumlah W > Jumlah P GW, 0Pbanyak cara = |||

\|610 |||

\|08= 4 . 3 . 2 . 110 . 9 . 8 . 7 = 210 SW, 1Pbanyak cara = |||

\|510 |||

\|18 =8 .5 . 4 . 3 . 2 . 110 . 9 . 8 . 7 . 6 = 2016 21 4W, 2Pbanyak cara = |||

\|410 |||

\|28 =28 .6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 110 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 = 5880 Banyak cara total = 210 + 2016 + 5880 = 8106 6)Dari12orangpelamarkerja,5dariTK,4dariIF,3dariTI.Jika2 orang yang akan diterima, hitung probabilitas bahwa yang diterima : a)1 IF, 1 TI b)Dua-duanya IF c)Tidak ada IF Jawab : n(S) = |||

\|212 = 212 . 11 = 66 a) 1 IF, 1 TI = |||

\|05 |||

\|14|||

\|13 = 12P = 6612 b) 2 IFn = |||

\|05 |||

\|24|||

\|03 =24 . 3 = 6P = 666 c) 0 IF: 2 TK, 0 TIn = |||

\|25 |||

\|03 = 10 1 TK, 1 TIn = |||

\|15 |||

\|13 = 15 P = 6628 0 TK, 2 TIn = |||

\|05 |||

\|23 = 3 22 PROBABILITAS BERSYARAT Notasi : P(B|A)=PeluangterjadinyakejadianB,jikadiketahuikejadianAtelah terjadi. Rumus : (Jika A & B adalah peristiwa yang Dependen) P (B | A) = ) () (A PB A P = ) () (A nB A n P (A | B) = ) () (B PB A P = ) () (B nB A n Darirumus tersebut, didapat : P(AB) = P(A).P(B | A) atau P(AB) = P(B).P(A | B)Jika A, B dan C adalah 3 peristiwa yang Dependen, maka : P(ABC) = P(A).P(B | A).P(C | AB) Jika A, B dan C saling bebas (Independen), maka : a)P(AB) = P(A).P(B) b)P(ABC) = P(A).P(B).P(C) Contoh : 1)Sebuahkotakberisi5bolaputih,8Merah.Tigaboladiambilberturut-turut, hitung probabilitas : a)bola I Putih, II Merah, III Merah b)bola I, II, II semuanya Merah Jawab : Dengan pengembalian (Independen) a)P(PMM)= P(P).P(M).P(M) = 5/13 . 8/13 . 8/13 b)P(MMM) = P(M).P(M).P(M) = 8/13. 8/13 . 8/13 Tanpa pengembalian (Dependen) a)P(PMM)= P(P).P(M | P).P(M |P M) = 5/13 . 8/12 . 7/11 b)P(MMM) = P(M).P(M | M).P(M | MM) = 8/13 . 7/12 . 6/11 23 2)Jikadiketahuidatadari200orangyangusianya>50tahunadalah sebagai berikut : TENSI JK HIPERTENSINORMALJUMLAH Laki-laki602080 Perempuan7545120 13565200 Jika dipilih 1 orang secara random, hitung : a)Probabilitas orang tersebut Laki-laki/ Perempuan b)Probabilitas orang tersebut mengidap Hipertensi/ Normal c)JikayangterpilihternyataPerempuan,berapaprobabilitasdia Hipertensi d)Jika yang terpilih ternyata Normal, berapa probabilitas dia Laki-laki Jawab : a) P(L) = 80/200P(P) = 200120 b) P(H) = 135/200P(N) =20065 c)P(H | P) = ) () (P PP H P = 12075 d)P(L | N) = ) () (N PN L P = 6520 24 TEOREMA BAYES B = (BA) + (B Ac) sehingga : P(B) = P(BA) + P(B Ac) = P(A).P(B | A) + P(Ac). P(B | Ac) P(A|B) =) () (B PB A P = ) () | ( ). (B PA B P A P atau P(A|B) = ) | ( ). ( ) | ( ). () | ( ). (c cA B P A P A B P A PA B P A P+ Contoh : 1)Suatu daerah D diketahui penduduk yang usianya diatas 20 tahun terdiri dari60Perempuanyang15nyatidaklulusSLTAdan40Laki-laki yang 10 nya tidak lulus SLTA. Jika dipilih seorang warga diatas 20 tahun, a)Berapa peluang dia tidak lulus SLTA b)JikaternyatayangterpilihtidaklulusSLTA,berapapeluangdia Laki-laki? Jawab : Diket : P(W) = 60 = 0,6P(T|W) = 15 = 0,15 P(P) = 40 = 0,4P(T|W) = 10 = 0,10 W = wanita P = Pria T = tidak lulus a)P(T)= P(W).P(T|W) + P(P).P(T|P) = (0,6).(0,15) + (0,4).(0,1) = 0,09 + 0,04 = 0,13 AB 25 b)P(P|T) =) () | ( ). (T PP T P P P = 13 , 0) 1 , 0 ).( 4 , 0 ( =13 , 004 , 0 = 134 2)Suatupabrikmempunyai4mesin,yaituM1,M2,M3dabM4.Dari total produksi : M1 memproduksi 20 M2 memproduksi 15 M3 memproduksi 40 M4 memproduksi 25 Diketahui bahwa : 4 produksi M1 adalah cacat (C) 5 produksi M2 adalah cacat (C) 6 produksi M3 adalah cacat (C) 7 produksi M4 adalah cacat (C) Secara random, dipilih sebuah produk & ternyata cacat. a)Berapa peluang produk cacat tersebut diproduksi M2 ? b)Berapa peluang produk cacat tersebut diproduksi M3 ? 26 BAB IV DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM CACAH VARIABEL RANDOM : adalah cara membuat harga angka untuk setiap elemen ruang sampel.Variabel ada 2, yaitu : 1.Variabel Random Diskrit/ Cacah 2.Variabel Random Kontinu Contoh : 1)Eksperimen : pelemparan 1 mata uang 3x S {MMM, MMB, BBB, MBM, BMB, BMM, BBM} Misalkan : x = banyak M dalam tiap elemen, maka x = 0, 1, 2, 3 x = 0 = {BBB} x = 1 = {MBB, BMB, BBM} x = 2 = {MMB, MBM, BMM} x = 3 = {MMM} Tabel distribusi probabilitas x : = 1 2)Sebuah dadu dilemparkan 2x Misalkan : x = jumlah titik dadu dalam kedua lemparan itu, makax = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Tabel distribusi probabilitas x : Harga x 23456789101112 Prob x = f(x) 361 362 363 364 365 366 365 364 363 362 361 a) P(x > 8) = P(x=9) + P(x=10) + P(x=11) + P(x=12) = 364 + 363 + 362 + 361 = 3610 b) P(4 0 berlaku : Contoh : 1) Misalkan x adalah suatu variabel random diskret dengan mean 12 dan variansinya 16 maka : var(x) = 16x= 4 a) P( |x-12| 8) = P( |x-12| c.4)c = 2 21c = 41 x x P(-8 x-12 8) = P(4 x 20) = P [(x 4) atau (x 20) ] b) P(|x-12| 12) = P(|x-12| c.4)c = 3 231 = 91 P(-12 x-12 12) = P(0 x 24) = P [(x 0) atau (x 24) ] BERNOULLI TRIALS : Percobaan yang hanya mempunyai 2 hasil yang mungkin (sukses - gagal) Contoh : 1) Anak 2) Ujian 3) Sakit P( |x - x| c. x) 21c Laki-laki Perempuan Lulus Tidak lulus Tidak sembuh Sembuh 37 Bernoulli Trials mempunyai 3 sifat : 1)Tiap trial menghasilkan 1 dari 2 hasil yang mungkin S dan T 2)P(S) = p tetap dari trial ke trialP(T) = 1 p 3)Trial-trial Independen 1 dengan yang lain Contoh : 1)Peluangseorangpetembakjikamenembakmengenaisasarannya0,7. Jika dia menembak 4 kali, berapa peluang tembakannya kena sasaran minimal 1 kali ? Jawab : P(K) = 0,7P(T) = 0,3 A = kena sasaran minimal 1 kali Ac = tidak kena sasaran sama sekali = {TTTT} P(Ac) = P(T). P(T). P(T). P(T) = (0,3)4 P(A) = 1 - P(Ac) = 1 - (0,3)4 B = kena sasaran 2 kali = {KKTT, KTKT, KTTK, TTKK, TKTK, TKKT} ada 6 P(B) = 6.(P(K).P(K).P(T).P(T) = 6.(0,7).(0,7).(0,3).(0,3) 2)DISTRIBUSI BINOMIALTabel I Adalah Bernouli Trial yang diulang-ulang sebanyak n kali Ada 2 hasil yang mungkin sukses (S) tidak sukses (T) Jika variabel random : x = banyak sukses dalam n trial P(S) = p dan P(T) = 1 p = q Distribusi probabilitas x : Tabel I : P(x c) = b(c; n; p) P(X=x) = x n xp pxn|||

\|) 1 .(Mean x : = n.p Var x : 2 = n.p.q Deviasi standar : =q p n . .38 Contoh : 1)Probabilitasbahwaseseorang pasien penderitapenyakitjantungakan sembuhadalah0,4.Jika10orangdiketahuiterserangpenyakit jantung, berapa probabilitas : a)3 orang yang sembuh b)Paling banyak 3 orang yang sembuh c)Paling sedikit 3 orang yang sembuh Jawab : a)P(x=3) = |||

\|310.(0,4)3.(0,6)7 atau dengan Tabel I (Binomial) : P(x=3) = P(x 3) P(x 2) = 0,382 0,167 = 0,215 b)Paling banyak 3 berarti : 0, 1, 2, 3. = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) = |||

\|010.(0,4)0. (0,6)10 + |||

\|110.(0,4)1. (0,6)9 + |||

\|210.(0,4)2. (0,6)810 + |||

\|310.(0,4)3. (0,6)7 = atau dengan Tabel I P(x 3) = b(3; 10; 0,4) = 0,382 c)Paling sedikit 3 berarti : 3, 4, 5, , 10 = A Ac = 0, 1, 2 P(Ac) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) = |||

\|010.(0,4)0. (0,6)10+|||

\|110.(0,4)1.(0,6)9+|||

\|210.(0,4)2. (0,6)8 = P(A) = 1 P(Ac) atau dengan Tabel I P(x3) = 1 P(x2) = 1 0,167 = 0,833 Rata-rata = mean x : = n.p = 10.(0,4) = 4 39 Variansi x : 2 = n.p.q = n.p.(1-q) = 10.(0,4).(0,6) = 2,4 Deviasi standar x : = 2= 4 , 2= 1,55 2)Diketahuibahwaseseorangyangmemasukiuniversitasakan menyelesaikankuliah(tamat)adalah0,8,makadari5orang mahasiswa, hitung probabilitas : a)Tidak ada yang tamat x = banyak mahasiswa yang tamat P = 0,81 P = 0,2 P(x=0) =000 , 0 ) 2 , 0 ( ) 2 , 0 .( ) 8 , 0 .(055 5 0 =|||

\| b)Paling sedikit 1 yang tamat : P(x1) = 1 P(x=0) = 1 (0,2)2 1 c)2 yang tamat P(x=2) =051 , 0 ) 2 , 0 ( ) 2 , 0 .( ) 8 , 0 .(253 5 2 =|||

\|

3) DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Pengambilan sampel tanpa pengembalian Fungsi probabilitas :

b = N a f(x) = P(X=x) = |||

\||||

\||||

\|nNx na Nxa Mean (x) = = n.Na Var (x) = 2 = n.Na . Nb.1 Nn N 40 Contoh : 1)Dalamsebuahkotakada10bolaMerah,40bolaHijau.Diambil3 bola secara random tanpa pengembalian. Misalkan : x = banyak bola Merah yang terambil P(x=0) = |||

\||||

\||||

\|350340010 = 0,504 P(x=1) = |||

\||||

\||||

\|350240110 = 0,398 P(x=2) = |||

\||||

\||||

\|350140210 = 0,092 P(x=3) = |||

\||||

\||||

\|350040310 = 0,006 P(0 x 3) = 1,0 Mean x : = x.f(x) = 0.(0,504) + 1.(0,398) + 2.(0,092) + 3.(0,006)= 0,6 atau = n.Na = 3. 5010 = 53 = 0,6 Var(x) : 2 = E(x2) (E(x))2 = [02.(0,504)+12.(0,398)+22.(0,092)+32.(0,006)] (0,6)2 = 0,46 atau Var(x) = n.Na . Nb.1 Nn N = 3.5010 . 5040.1 503 50 = 2512 . 4947 = 1225564 = 0,46 41 4) DISTRIBUSI POISSONTabel III Distribusi Binomialuntuk n < 30 Untuknilai-nilainyangbesar,tapiPsangatkecilmendekati0,dan= n.pDistribusi Poisson. Fungsi probabilitas Distribusi Poisson : e = 2,718 Mean = Variansi = Tabel II : Contoh : 1)Suatauprosesproduksidiketahuimempunyaikemungkinan2% menghasilkanprodukyangcacat.Jika100produkdiperiksa,maka hitung probabilitas : a) 2 produk yang cacat b) lebih dari 2 produk yang cacat. Jawab : Binomial, tapi n = 100 cukup besar dan P = 0,02 cukup dekat dengan 0, maka gunakan distribusi poisson. (Tabel II). Mean = = n.p = 2 a)P(x=2) = P(x2) - P(x1) = 0,677 0,406 = 0,271 b)P(x>2) = 1 - P(x2) = 1 0,677 = 0,323 f(x) = !.xex P(I, ) = P(x i) = = ixxxe0!. 42 BAB VI DISTRIBUSI NORMAL & SAMPEL RANDOM A. DISTRIBUSI NORMAL Definisi : Suatuvariabelrandomkontinuxdikatakanberdistribusinormal denganmeandanvariansi2.Jikaxmempunyaifungsidistribusi probabilitas : Notasi : Grafik kurva normal : P(x) = 0,5 P(x) = 0,5 Luas kurva normal : =1 ) ( dx x fLuaskurvanormalantarax=a&x=b=probabilitasxterletakantaraa dan b

0,50,5 a b x f(x) = 221.e2) (221 x N(,2) P(axb) = badx x f ) (43 Z = xN(0,1) = Distribusi Normal Standar Z > 0 jika x > Z < 0 jika x < Simetri : P( x x1) = P( x 1 x) = P(0 Z b ) Tabel III : Distribusi Normal b.00.01.02.03.04.05.06.07.08.09 0.0 0.1 0.2 0.3.1255 A = P(0Zb) 1.0.3485 1.1 1.2 1.3 1.6 2.0 2.1 2.2 .4878 Exp : P(0Z0,32) = 0,1255 3.0P(-1Z2,25) = 0,3485 + 0,4878 = 0,8363 0,50,5 x1x 0b Z P(0 Z b) = P(-b Z 0 44 Contoh : 1.Diketahuidataberdistribusinormaldenganmean=55dandeviasi standar = 15 a) P(55x75) = P(0Z1555 75 ) = P(0Z1520) = P(0Z1,33) = 0,4082(Tabel III) Atau : Z1 = 1 x = 1555 75 = 1,33 Tabel IIIA = 0,4082 b) P(60x80) = P(1555 60 x 1555 80 ) = P(0,33Z1,67) = P(0Z1,67) P(0Z0,33) = 0,4525 0,1293 = 0,3232 Atau C = A B Z1 = 1 x = 1555 60 = 0,33B = 0,1293 Z2 = 2 x = 1555 80 = 1,67A = 0,4525 C = A B = 0,3232

=55x=75x A 0 Z1 Z B =55 60 80 x C 0 Z1Z2 Z A 45 c) P(40x60) = A + BAtau : Z1 = 1555 40 = -1,00 = P(1555 40 Z1555 60 ) A = 0,3412 = P(-1,00Z0,33)Z2 = 1555 60 = 0,33 = P(-1,00Z0) + P(0Z0,33) B = 0,1293 = 0,3412 + 0,1293 = 0,4705

d)P(x 40) = 0,5 A = 0,5 0,3412 = 0,1588 e)P(x 85)

P(x85) = P(0Z=1555 85 ) A = P(0Z2,00) P(x 85) = 0,5 A = 0,5 0,4772 = 0,0288 x1=40 x2=60 x Z10Z2Z AB 85x 0,5 A 46 f)P(x 85) = 0,5 + A = 0,5 + 0,4772 = 0,9772 2)Diketahuirata-ratahasilujianadalah74dengansimpanganbaku7. Jika nilai-nilai peserta ujian bersidtribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ? Jawab :

A = P(x xA) = 0,5 0,12= P((z zA) = 0,38Z = 1,175 xA = zA. + = (1,175).7 + 74 = 82,225 Jika 5% peserta terendah mendapat nilai E, berapa batas atas nilai E ?

P(xE x 0) = 0,45 P(ZE Z 0) = ZE = -1,645 (x 30 : Teorema Limit Pusat Sampel Random : 1.Dengan Pengembalian : danatau Z = nx N(0,1) X = 2X = n2 X= n 48 2.Tanpa Pengembalian : dan Jika N sangat besar relative terhadap n, (N tidak disebutkan), maka : atau Dalam Distribusi Sampling : Contoh : 1)Suatusampelrandomdengan60mahasiswadiambildarisuatu populasidenganNorangmahasiswayangmempunyaiIQrata-rata(mean=120)danvariansi=280.(sampeldiambiltanpa pengembalian) c)Jika N = 400, hitung : (i) P(110 X 125 ) (ii) P( X 130) d)Jika N sangat besar, hitung : P(110 X 125) Jawab : Diketahui : = 1202 = 280 a)Jika N = 400 : X = = 120 2X = n2.1 Nn N = 1 40060 400.60280 = 3,977 X=977 , 3= 1,995 2 P(110 X 125 ) = P(XXXXXXX 125 110) = P(2120 1252120 110 Z ) = P(-5,00 Z 2,50) = 0,5 + 0,4938 = 0,9938 X = 2X = n2.1 Nn N 2X = n2 X= n Z = XXX N(0,1) 49

P( X 130) P(120 X 130) = P(0 Z 2120 130 ) = P(0 Z 5,00) A = 0,5 P( X 130) = 0,5 0,5 = 0 b)Jika N sangat besar (relative terhadap n = 60) X = = 120 2X = n2 = 60280 = 4,667 X=667 , 4= 2,16 P(110 X 125) = P(16 , 2120 12516 , 2120 110 Z ) = P(-4,63 Z 2,31 ) = 0,5 + 0,4896 = 0,9896 x1=110 =120 x2=125x Z1 0Z2 Z AB =120x1=130 0 Z1 A50 2)Suatusampeldengan40elemendiambildarisuatupopulasi denganmean=4,14danvariansi=84,64.Hitungprobabilitas bahwa mean sampel terletak antara 40 dan 45. Jawab : Diketahui : = 41,4,2 = 86,64,n = 40 N tidak disebutkan (anggap bahwa N besar sekali) Distribusi sampling harga mean : X ==41,4 2X=n2=4064 , 84=2,116 X= 116 , 2 =1,45 P(40 X 45)=P(45 , 14 , 41 40 Z45 , 14 , 41 45 ) = P(-0,97 Z 2,48) = 0,3340 + 0,4934 = 0,8274 x1=110 =120 x2=125x Z1 0Z2 Z AB x1=40 =41,4 x2=45 xAB 51 C. PENDEKATAN NORMAL UNTUK BINOMIAL Distribusi Binomial : n < 30 Exp : Pendekatan normal untuk binomial dengan n = 15, p = 0,4 012 3456 789 10111213 1415 Menurut Teorema Limit Pusat : Jikaxsuatuvariablerandombinomialdenganmeannp = danvariansi Jikancukupbesar(n>30)danptidakterlaludekat dengan 0 atau 1, maka : Contoh : 1)Suatupabrik/perusahaanpembuatCDmenghasilkan10%CDyang cacat/rusak.Jika100CDdipilihsecararandom,berapaprobabilitas terdapat : a)8 CD yang rusak b)Paling sedikit 12 CD yang rusak c)Paling banyak 5 CD yang rusak Jawab : x = banyak CD yang rusak x Bin(100; 0,1)n = 100,p = 0,1 = n.p = 100.(0,1) = 10 2= n.p.(1-p) = 100.(0,1).(0,9) = 9 f(x) = x n Xp Pxn|||

\|) 1 .() 1 ( .2p p n = Z = ) 1 ( . p p nnp x N(0,1) P[axb] = P(((

+ ) 1 ( .. ) 5 , 0 () 1 ( .. ) 5 , 0 (p p np n bZp p np n a 52 =9= 3 a)P(x=8) = Luas kurva normal antara x1 = 7,5 dan x2 = 8,5

Z1 = 1x =310 5 , 7 = -0,83 A = 0,2967 Z2 = 2x =310 5 , 8 = -0,50 B = 0,1915 P(x=8) = A B = 0,2967 0,1915 = 0,1052 b)P(x12) = Luas kurva normal dari x = n,5 ke kanan Z =310 5 , 11 =35 , 1 = 0,50 A = 0,1915 P(x12) = 0,5 0,1915 = 0,3085 7,588,5 =10 A B =10 11,5 12 A53 c)P(x=5) = Luas kurva normal dari x = 5,5 ke kiri Z = 310 5 , 5 = -1,50 A = 0,4332 P(x5) = 0,5 0,4332 = 0,0668 2)Dalamujianpilihanganda,tersedia200pertanyaandengan4 alternatifjawabandanhanya1jawabanyangbenar.Jikaseseorang memilihjawabansecararandom,berapapeluangdialulusujian (syarat lulus : benar paling sedikit 60) Jawab : x = banyak jawaban yang benar P = 0,25 = 1 p = 0,75 x Bin(200; 0,25) = n.p(1-p) = 200(0,25).(0,75) = 37,5 = 6,13 P(x60) = Luas kurva normal dari x = 59,5 ke kanan

Z1 = 1x =13 , 650 5 , 59 = 1,55 A = 0,4394 P(x60) = 0,5 0,4394 = 0,0606 = 6,06 % 55,5=10A=50 59,5 60 A54 BAB VII INFERENSI STATISTIK Inferensi StatistikEstimasi(penduga)Titik Interval Uji Hipotesis A) ESTIMASI (PENDUGA) 1. Estimasi Titik - Statistik adalah kuantitas yang dihitung dari observasi sampel- Parameter adalah setiap karakteristik distribusi populasi -Estimasititikadalahsuatustatistikyangdigunakansebagaiharga estimasi suatu parameter. Misalkanx1,x2,,xnsuatusampelrandomdaripopulasidengan mean dan variansi 2. - Estimasi titik untuk parameter adalah mean sampel: - Estimasi titik untuk parameter 2 adalah variansi sampel: -DalameksperimenBinomialdengantrial,x=banyaksukses dalamntrialdanP=probabilitassukses,makasetimasititik untuk P adalah : 2. Estimasi Interval Misalkanx1,x2,,xnadalahsampelrandomdarisuatupopulasi dengan adalah parameter yang tidak diketahui harganya. Jika : maka : - Interval [B,A] disebut interval konfidensi (selang kepercayaan) (1 - ) untuk parameter - (1 - ) disebut tingkat konfidensi

1- /2 /2 nxix= 1) (22= nx xiS nxP =P(B A) = 1- 55 B) UJI HIPOTESIS - Hipotesis adalah pernyataan tentang karakteristik suatu populasi - Uji Hipotesis : H0 Vs H1 H0 = hipotesis nol = pernyataan awal H1 = hipotesis alternatif = pernyataan yang akan dibuktikan - Kesimpulan : H0 diterima atau H0 ditolak - Ada 2 tipe kesalahan : Kesalahan tipe I : Menolak H0 padahal H0 benar Kesalahan tipe II : Menerima H0 padahal H0 salah INFERENSISTATISTIKUNTUKPOPULASI SEMBARANG (SAMPEL BESAR/ n 30) A. ESTIMASI 1.Estimasi Interval Mean suatu populasi Misalkan {x1, x2, , xn} suatu sampel random dan suatu populasi dengan yang tidak diketahui dan variansi 2. Jikaxadalah mean sampelitu,makax=danx= n,makamenurutteorema Limit pusat : Z = nx N(0,1) P||||

\| 2 / 2 / ZnxZ= 1 - P(nZ xnZ x . .2 / 2 /+ ) = 1 - 1- /2 /2 A B -Z2 / Z2 / 0 56 Maka Interval konfidensi (1 - ) untuk adalah : ataudengan B = nZ x.2 / , A = nZ x.2 /+ Jikavariansipopulasi( 2)tidakdiketahui,makaInterval konfidensi (1 - ) untuk adalah : dengan S = Deviasi standar sampel Tingkat Konfidensi : (1 - ) = 90= 0,10/2 = 0,05 P(0 Z Z2 / ) = 0,45Z2 / = Z05 , 0 = 1,64 (1 - ) = 95 = 0,05/2 = 0,025 P(0 Z Z2 / ) = 0,475Z2 / = Z025 , 0 = 1,96 (1 - ) = 99 = 0,01/2 = 0,005 P(0 Z Z2 / ) = 0,495Z2 / = Z005 , 0 = 2,57 Contoh : 1)Untukmengestimasirata-ratalamastudimahasiswasuatu univeresitas, diambil sampel random 200 mahasiswa yang baru wisuda, diketahui rata-rata lama studinya 5,6 tahun dan deviasi standar2,3tahun.Tentukanintervalkonfidensi95untuk (semua mahasiswa) ! Jawab : Diketahui : x = 5,6S = 2,3n = 200 1 - = 95 = 0,05Z2 / = 1,96 Interval konfidensi 95% untuk : nSZ xnSZ x . .2 / 2 / + 5,6 1,96.2003 , 2 5,6 + 1,96. 2003 , 2 5,6 0,32 5,6 + 0,32 5,28 5,92 ((

+ nZ xnZ x . , .2 / 2 / B A nSZ xnSZ x . .2 / 2 / + 57 2)Suatusampelrandomdengan150keluargadidaerahA menunjukkanrata-ratapengeluaranperbulannyaadalahRp. 950.000,- dan deviasi standar Rp. 250.000,-. Interval konfidensi 99 untuk (semua keluarga) adalah : Diket : x = 950.000 S = 250.000 n = 150 1 - = 99 = 0,01Z2 / = 2,57 Interval konfidensi 99 untuk : nSZ xnSZ x . .2 / 2 / + 950.000 2,57 . 150000 . 250 950.000 +2,57 . 150000 . 250

950.000 52.460 950.000 + 52.460 897.540 1.002.460 Menentukan Ukuran SampelJika kesalahan estimasi: -x D, interval konfidensi 1- untuk : nZ xnZ x . .2 / 2 /+ -ZnZ xn . .2 / 2 / ((

= = DZnnZ D x ..2 /2 / maka ukuran sampel yang harus diambil : Contoh : 1)Pimpinanperusahaanalatelektronikinginmengestimasitahan hidupalatelektronikhasilproduksinya,diainginhasil estimasinya tidak boleh salah lebih dari 30 jam, dengan tingkat konfidensi 95%. Berapa ukuran sampel yang harus dia gunakan ? Anggap bahwa deviasi standar populasinya 250 jam. Jawab :Diket : -x 30D = 30 = 2501- = 95%Z2 / = 1,96 n = 230250 ). 96 , 1 (((

= 266,78 n = 22 /.((

DZ 58 Jadiagarkesalahanestimasi(-x )30jam,makaukuran sampel yang digunakan adalah : n 267 2.Estimasi Interval Untuk Proporsi Suatu Populasi Jikaxadalahvariablerandombinomial(n,p)makainterval konfidensi (1-) untuk p adalah : Ukuran sampel : n = 22 /((

DZ Contoh : 1)Jika61dari90petani(yangmerupakansampelrandomdari petanidisuatudaerah)adalahburuhtani,makahitunglah interval konfidensi 90% untuk buruh tani di antara semua petani di daerah itu ! Jawab : Diket : n = 90,x = 61 1- = 90% = 0,10Z2 / = 1,64 Interval konfidensi 90% untuk p adalah : 90)90611 (906164 , 1906190)90611 (906164 , 19061+ p0,65 p 0,71 2)KitainginmengestimasiproporsikeluargadiDIYyangmasih hidupdibawahgariskemiskinan.Kesalahanestimasitidak bolehlebihbesardari0,03dengantingkatkonfidensi95%, berapa ukuran sampel yang diperlukan ? Jawab : n = 22 /((

DZ1- = 95% = 0,96Z2 / = 0,03 D = 0,03 = 203 , 096 , 1((

1067 n nxnxZnxPn nxnxZnx) 1 (.) 1 (.2 / 2 /+ 59 B.UJI HIPOTESIS 1.Uji Hipotesis Untuk Mean Populasi Langkah-langkah dalam Uji Hipotesis : a) Hipotesis, ada 3 kasus : (1) H0: = 0vs H1: 0 (2) H0: 0vs H1: > 0 (3) H0: 0vs H1: < 0 b) Tingkat signifikasi : c) Statistik Penguji : Z = nx 0 atau Z = nSx0 jika tidak diketahui d) Daerah Penolakan/ Daerah Kritik (1) H0 ditolak jika Z > Z2 / atau Z < -Z2 / (2) H0 ditolak jika Z > Z (3) H0 ditolak jika Z > -Z e) Hitungan Z f) Kesimpulan. Contoh : 1)Ujian satistika telah diadakan beberapa tahun dengan nilai rata-rata60dandeviasistandar8.Sekelompokmahasiswayang terdiri dari 50 mahasiswa diberi pelajaran dengan metode baru, diperolehhasilujiandengannilairata-rata70.Apakahcukup alasan untuk mengatakan bahwa metode baru dapat menaikkan rata-rata hasil ujian dengan tingkat sign = 1% ? Jawab : Diket : 0 = 60 = 8 x= 70 n = 50 = 1% a)Hipotesis : (2) H0: 60Vs H1: > 60 b)Tingkat sign = 1% = 0,01 c)Statistik Penguji : Z = nx 0 d)Daerah Penolakan : (2) H0 ditolak jika Z > Z= Z01 , 0 = 2,33 60 e)Hitungan Z Z = nx 0 = 50860 70 = 8,84 f)Kesimpulan : KarenaZ=8,84>Z=2,33makaH0ditolak(H1 diterima)artinyametodebarudapatmeningkatkanrata-rata nilai ujian. Kesalahan yang mungkin diperbuat : Tipe I (H0 ditolak padahal mungkin H0 benar). 2)Rata-ratayangdiperlukan siswa baru untukmendaftardisuatu universitaspadawaktuyanglaluadalah20menit.Suatucara pendaftaranbarudenganmenggunakancomputersedang dicobakan.Bilasampelacakdengan40mahasiswa membutuhkanrata-ratawaktumendaftarkandiri17menit dengansimpanganbaku9,4.Menggunakancarabaruini,apa yang dapat anda simpulkan ? ( = 2%) Jawab : Diket : 0 = 20,n = 40, x = 17,S = 9,4 = 2% = 0,02 a)Hipotesis : (3) H0: 20vs H1: < 20 b)Tingkat sign = 2% c)Statistik Penguji : Z = nSx0 d)Daerah Penolakan : (3) H0 ditolak jika Z < -Z= - Z02 , 0= -2,05 e)Hitungan Z : Z = 404 , 920 17 = -2,02 f)Kesimpulan : KarenaZ=-2,02>-Z=-2,05makaH0tidakditolak(H0 diterima)artinyacarapendaftaranbarutidaklebihcepat dibandingkan dengan cara yang lama. Kesalahan yang mungkin diperbuat : Tipe II 61 3)Suatuperusahaanpembuatperlengkapanolahragamembuat talipancingsintetikyangmenurutpembuatnyarata-ratadapat menahanbeban8kgdengansimpanganbaku0,5kg.Diambil sampel random 50 tali, diuji dan ternyata raa-rata daya tahannya 7,8 kg. Apakah anda mempercayai pernyataan pembuatnya ? ( = 0,01) Jawab :x = 7,8 0 = 8 = 0,5n = 50 a)Hipotesis : H0: = 8 kg Vs 8 kg b)Tingkat sign = 0,01 c)Statistik Penguji Z = nx 0 d)Daerah Penolakan : H0 ditolak jika Z > Z2 / = 2,57 atau Z < -Z2 / = -2,57 e)Hitungan Z : Z = 505 , 00 , 8 8 , 7 = -2,828 f)Kesimpulan : KarenaZ=-2,828 P0 (3) H0: P P0VsH1: P < P0 b) Tingkat sign c)Statistik Penguji : Z = n P PPnx) 1 (0 00 62 d) Daerah Penolakan : (1) H0 ditolak jika Z > Z2 / atau Z < -Z2 / (2) H0 ditolak jika Z > Z (3) H0 ditolak jika Z < -Z e) Hitung Z f) Kesimpulan. Contoh : 1)Dinyatakanbahwa5%darikaryawandiperusahaanAakan mengundurkandirisetelah1tahunkerja.Diambilsampel ramdom100karyawan,diperolehfaktabahwa3orangyang mengundurkandiri.Kesimpulanapayangdapatandaambil? ( = 5%) Jawab : Diket : P0= 5% ,n = 100,x = 3, P =1003= 0,03, =5% a)Hipotesis : (3) H0: P 5%VsH1: P < 5% b)Tingkat sign : = 5% c)Statistika Penguji : Z = n P PPnx) 1 (0 00 d)Daerah Kritik : (3) H0 ditolak jika Z < -Z= -1,64 e)Hitung Z : Z =100) 05 , 0 1 ( 05 , 005 , 01003= 022 , 002 , 0 = - 0,92 f)Kesimpulan : KarenaZ=-0,92>-Z=-1,64makaH0tidakditolak(H0 diterima)artinyaproporsikaryawanyangmengundurkan diri tidak kurang dari 5%. 63 BAB VIII INFERENSI STATISTIK UNTUK POPULASI NORMAL (SAMPEL KECIL & BESAR) A. ESTIMASI 1.Estimasi Interval untuk Mean Misalkanx1,x2,,xnadalahsampelrandomdaripopulasi yangberdistribusinormaldenganmean=danvar=2, keduanya tidak diketahui, maka : -Intervalkonfidensi(1-)untukdengann 0 (3) H0: 0vs H1: < 0 b)Tingkat sign c)Statistik penguji : jika tidak diketahui atau jika diketahui d)Daerah Penolakan : (1) H0 ditolak jika : t > t) 2 / ; 1 ( n atau t < -t) 2 / ; 1 ( n atau : Z > Z2 / atau Z < - Z2 / (2) H0 ditolak jika : t > t) ; 1 ( n atau Z > Z (3) H0 ditolak jika : t < -t) ; 1 ( n atau Z < - Z e)Hitungan Z atau t f)Kesimpulan. Contoh : 1)Suatusampelacak,8rokokmerkAmempunyairata-rata kadarter18,6mgdansimpanganbaku2,4mg.Apakahini sesuaidenganpernyataanpabriknyabahwarata-ratakadar tertidakmelebihi17,5mg?(gunakan=0,01&anggap bahwa kadar ter berdistribusi normal) Jawab : Diketahui : n = 8,x= 18,6S = 2,40 = 17,5 a)Hipotesis : (2) H0: 17,5vsH1: > 17,5 b)Tingkat sign = 0,01 c)Statistik penguji t = n Sx0 Z = nx0 66 tidak diketahuit = n Sx0 d)Daerah kritik : H0 ditolak jika t > t) ; 1 ( n = t) 01 , 0 ; 7 ( = 2,998 e)Hitungan t : t = 8 4 , 25 , 17 6 , 18 = 1,296 f)Kesimpulan : Karena t = 1,296 < t) ; 1 ( n = 1,998 maka H0 tidak ditolak (H0diterima)artinyabahwarata-ratakadartertidak melebihi 17,5 mg. 2)Suatu sampel random dengan 15 kaleng oli yang bertuliskan 1liter, didapat beratrata-ratanyaadalah0,97liter dengan deviasistandar0,12.Denganmenggunakan=0,05, kesimpulanapayangdapatditarik?(anggapbahwa disrtibusi isi kaleng normal) Diket : n = 15x= 0,97S = 0,120 = 1,0 a)Hipotesis : H0: 1,0vs H1: < 1,0 b) = 0,05 c)Statistik penguji : t = n Sx0 , tidak diketahui d)Daerah kritik : H0 ditolak jika t < -t) ; 1 ( n= -t) 05 , 0 ; 14 (= -1,761 e)Hitungan t : t = 15 12 , 00 , 1 97 , 0 = 031 , 003 , 0 = -0,97 f)Kesimpulan : Karenat=-0,97>-t) ; 1 ( n=-t) 05 , 0 ; 14 (=-1,761makaH0 tidakditolak(H0diterima)artinyarata-rataisikaleng tidak kurang dari 1 liter. 67 2.UJI HIPOTESIS UNTUK VARIANSI POPULASI NORMAL Langkah-langkah : a)Hipotesis : (1) H0: 2 = 02vs H1: 2 02 (2) H0: 2 02vs H1: 2 > 02 (3) H0: 2 02vs H1: 2 < 02 b)Tingkat signifikasi c)Statistik Penguji d)Daerah Penolakan : (1) H0 ditolak jika X2> X2) 2 / ; 1 ( n atau X2> X2) 2 / 1 ; 1 ( n (2) H0 ditolak jika X2> X2) ; 1 ( n (3) H0 ditolak jika X2> X2) 1 ; 1 ( n e)Hitung X2 f)Kesimpulan. Contoh : 1)Diketahuideviasistandartahanhidupbateraiadalah25jam. Setelahdigunakanprosesproduksibaru,darisampelrandom dengan20bateraididapatdeviasistandarnya30jam.Apakah cukupalasanuntukmempercayaibahwaprosesproduksibaru memperbesarvariabilitastahanhiduphasilproduksi?(Gunakan =0,05dananggapbahwatahanhidupbateraiberdistribusi normal) Jawab : 02 = 252, S2= 302,n = 20 a)Hipotesis H0: 2 252Vs H1: 2> 252 b)Tingkat sign = 0,05 c)Statistik Penguji : X2= 22) 1 (S n d)Daerah Penolakan : H0 ditolak : X2> X2) 05 , 0 ; 19 ( = 30,14 X2 = 202) 1 (S n 68 e)Hitungan : X2= 22) 25 () 30 ( 19 = 27,36 f)Kesimpulan : Karena X2= 27,36 < 30,14 maka H0 tidak ditolak (H0 diterima) artinyabahwaprosesproduksibarutidakmenaikkan variabilitas tahan hidup baterai. 69 LAMPIRAN-LAMPIRAN SOAL-SOAL DISTRIBUSI FREKUENSI TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI TINGGI BADAN : N = 50 TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI NILAI : KelasNilaiFrekuensi 119,5 - 29,57 229,5 - 39,59 339,5 - 49,516 449,5 - 59,521 559,5 - 69,514 669,5 - 79,59 779,5 - 89,54 889,5 - 99,53 999,5 - 109,51 Hitunglah : 1.Mean 2.Median 3.Kuartil ke-1 4.Kuratil ke-3 5.Desil ke-8 6.Persentil ke-70 7.Modus 8.Variansi 9.Simpangan Baku 10. Simpangan rata-rata 11. Simpangan Kuartil KelasTinggiFrekuensi 1148 - 1526 2153 - 15711 3158 - 16214 4163 - 1679 5168 - 1725 6173 - 1773 7178 - 1822 70 PROBABILITAS A. KAIDAH PENAMBAHAN (RULE OF ADDITION) 1. Dalam suatu permainan kita memilih sebuah kartu dari sebanyak 25kartubridgeyangada.Berapakahprobabilitasnyaakan terpilih satu kartu berwarna HITAM atau kartu KING (raja). 2.Sebuahdadudilempar1kali,berapakahprobabilitasnyaakan diperoleh keluar ANGKA GENAP atau keluar ANGKA YANG DAPAT DIBAGI 3. 3.Seorangmahasiswamemilikiprobalilitasllusdalamstatistik= 0,6,dalammatematika=0,4,danluluskeduamatakuliah tersebut 0,24. Hitunglah:probabilitasnyabahwamahasiswatersebutakan lulus dalam statistik atau matematika atau keduanya. 4.Sebuahkelasmemilikisebanyak120siswa,dimana60 diantaranya belajar bahasa Perancis dan Spanyol. Bila dari kelas tersebut dipilih secara Random, maka berapakah probabilitasnya : a. Dia belajar bahasa Peranciis atau Spanyol b.DiasamasekalitidakbelajarbahasaPerancisataupun Spanyol. B. KAIDAH PENAMBAHAN UNTUK MUTUALLY EXCLUSIVE 5.Duabuahdadudilemparsatukali,berapakahprobabilitasnya akan keluar a. Jumlah mata dadu 4 atau lebih kecil dari 4 b. Jumlah mata dadu 5 c. Jumlah mata dadu 7 atau lebih besar dari 7. 6.Seorangpelamarmenerimapanggilanuntukujianlisandi3 perusahaanXdanYatauZ.Sesuaidengantaksirannyamaka pelamartersebutmemilikiprobabilitasditerimapada perusahaan X = 2/5, perusahaan Y = 3/10, dan perusahaan Z = 1/10. Dari data di atas berapakah probabilitasnya : a.Pelamar tersebut tidak akan diterima disalah satu perusahaan 71 tersebut. b.Pelamar tersebut tidak diterima di perusahaan X atau Y c.Pelamar tersebut diterima disalah satu perusahaan tersebut. C. PELUANG BERSYARAT D.KAIDAHPERKALIANUNTUKPERISTIWAYANG DEPENDENT 7.Duabuahkartudiambilsatupersatusecararandomdari sejumlah52kartubridge(kartuyangtelahdiambiltidak dikembalikanlagi).Hitunglahprobabilitasnyadari2kali penambilantersebut,bilapengambilanpertamakeluarkartu1 AS dan pengambilan kedua juga 1 kartu As. 8.Dalamsebuahkelasterdapat20orangsiswa,dimana5 diantaranyapakaibajuPUTIH,10siswamemakaibaju MERAH,dan5lainnyamemakaibajuBIRU.Jikadipilih secararandom3orangsiswasatupersatu,makahitunglah probabilitasnya : a.Pertama terpilih memakai baju MERAH Kedua terpilih memakai baju PUTIH Ketiga terpilih memakai baju BIRU b.Tiga siswa yang terpilih memakai baju MERAH semua c.Bilatelahterilih3siswasecararandom,makahitunglah probabilitasnya terdapat 2 siswa memakai baju MERAH dan 1 siswa memakai baju PUTIH. 9.Seorangmahasiswamemilikiprobabilitaslulusdalamujian statistik=0,6.Namunbiladiatelahlulusujianstatistik,maka probabilitaslulusdalamujianmatematika=0,8.Berapakah probabilitasnyadiaakanlulusdalamujianstatistikdan matematika. E. KAIDAH PERKALIAN UNTK PERISTIWA INDEPENDEN Peristiwa A dan B dikatakan bersifat independen bila terjadinya peristiwa yang satu (A) tidak akan mempengaruhi peristiwa-peristiwa lainnya (B). Jadi dapat berarti pula bahwa terjadi atau tidaknya 72 peristiwa A, maka probabilitasnya peristiwa B akan sama saja, sehingga P(A|B) = P(B). Jadi P(AB) = P(A).P(B) SOAL 10 : Seorangsiswamengambil3matakulaihtingkatsarjanayaitu matakuliah A, B dan C. Probabilitas siswa tersebut lulus matakuliah A = 0,5, matakuliah B = 0,6 dan C = 0,75. Hitunglah : a.Siswa tersebut lulus dalam matakuliah diatas b.Siswa tersebut lulus dalam matakuliah A dan B c.Siswa tersebut lulus sedikitnya 2 matakuliah. F. THEOREMA BAYES SOAL 11 : Perusahaan mainan anak-anak di Jepang memproduksi sejenis mainan dariplastikdenganmenggunakan3mesinyaitumesinA,BdanC. Dari seluruh produksi mainan yang dihasilkan mesin A memproduksi 200unit,B=200unitdanC=100unit.Diketahuipulabahwa produksimainanyangrusakdarimesinA=5,B=10danC= 2.Jikadaritotalproduksimainanyang berjumlah500unitmainan dipilih 1 buah produk secara random, maka hitunglah : a.Probabilitas bahwa produk yang terpilih tersebut Rusak P(X) b.Probabilitas produk yang terpilih tersebut Baik P(X) c.Bila produk yang terpilih tersebut ternyata Rusak, maka berapakah probabilitasnya diproses oleh mesin B. d.BilaprodukyangdipilihtersebutternyataBaik,makaberapakah probabilitasnya diproses oleh mesin A atau C. G. TEORI PERMUTASI KOMBINASI (PROBABILITAS LANJUT) SOAL 12 : Bilakitamemiliki3elemenA,B,C.Berapajumlahpermutasiyang dapat dibentuk? SOAL 13 : Hitunglahjumlahpermutasiyangdapatdibentukdari2hurufyang diambil dari sebanyak 4 huruf A, B, C, D. 73 SOAL 14 : Berapakah kemungkinan jumlah kombinasi yang dapat dibuat bila ada 4orangA,B,C,Dinginmembuatsuatupanitiayangterdiridari3 orang saja. SOAL 15 : Seorangsiswadimintauntukmenjawab8dari10pertanyaanyang diberikan.Hitunglahkombinasisoalyangmungkindapatdibuatnya dalam ujian tersebut. SOAL 16 : 5buahkartudipilihsecararandomdarisejumlahkartubridge(52 buah). Hitunglah probabilitasnya akan diperoleh : a.4 kartu AS dan 1 kartu lainnya b.4 kartu AS dan 1 kartu King (Raja) c.3 kartu berangka 10 dan 2 kartu Jacks d.Paling sedikit diperoleh 1 kartu AS. MENGHITUNG MEAN, VARIANCE DAN STANDAR DEVIASI PADA KASUS-KASUS DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL RANDOM SOAL 17 : Sebuahmatauangdilemparsebanyak3kali.Berikutdistribusi probabilitas keluarnya muka (M) xi0123 F(xi)1/83/83/81/8 Hitunglah : a.Mean E(x) b.Variansi (2 ) c.Standar deviasi 2 SOAL 18 : Datadibawahiniinimenunjukanjmlahbukuangdipinjampada perpustakaan UPN Veteran setiap harinya. 74 Xi(000)2630352420 Prob0,300,200,150,100,25 Hitunglah : a.Rara-rata jumlah buku yang dipinjam tiap harinya b.Variansi SOAL 19 : Seorangpetaniinginmemutuskanapakahdiaakanmenanampadi atautidakkarenaadanyakemarauyangcukuppanjang.Biladia memutuskanakanmenanampadimakaakanmenghasilkanberas sebanyak 2,5 ton dengan harga jual per kg Rp. 400,- tetapi bila hujan tidakturunmakapetanitersebutmengalamikerugiansebesarRp. 500.000,-karenapanennyagagal.Bilaprobabilitasnyaakanturun hujan=0,40.Jikapetanimemutuskanmenanampadiapakah menguntungkan atau tidak? SOAL 20 : Seorangcalonpengusahamempunyaiharapanuntukmemperoleh keuntungansetiapbulannyaRp.250.000,-.Probabilitaspengusaha tersebutmemperolehkeuntungan=0,6sertabesarnyakeuntungan yang diperoleh Rp. 500.000,- Berapakahkerugianyangmungkindideritanyaseandainyadiatetap mengharapkan keuntungan setiap bulannya Rp. 250.000,- DISTRIBUSI BINOMIAL : r n r nrq P C SOAL 21 : Andaikan 2 buah dadu dilempar 3 kali. Hitunglah probabilitasnya akan diperoleh : a.Jumlah mata dadu 10 keluar 2 kali b.Jumlah mata dadu 5 keluar 1 kali c.Jumlah mata dadu 12 keluar paling sedikit 1 kali 75 SOAL 22 : Diperoleh informasi bahwa probabilitasmahasiswamemperolehnilai A=0,30. B=0,40, nilai C=0,60 untuk matakuliah Statistik. Apabila dipilih secara random 5 mahasiswa, hitunglah probabilitasnya a.3 diantaranya memperoleh nilai C b.2 diantaranya memperoleh nilai A dan B c.Semua memperoleh nilai B DISTRIBUSI NORMAL : : nilai rata-rata populasi xi : nilai variabel random : standard deviasi populasi SOAL 23 : SeorangsiswamemperolehnilaiujianmatakuliahA=60,sedangkan nilai rata-rata kelas=65 dan standard deviasi=10. PadamatakuliahBiamemperolehnilaiujian=62,sedangkannilai rata-rata kelas=66 dan standard deviasi=5 Pertanyaan:Padamatakuliahmanakahsiswatersebutberadapada posisi yang lebih baik ? SOAL 24 : Sebuahpabrikbolalampusetiapbulannyarata-ratamemproduksi sebanyak 25.000 unit bola lampu dengan standard deviasi=4000 unit. Bilaproduksilampuselamasatuperiodetertentudianggap berdistribusi normal, maka hitunglah probabilitas akan diperoleh : a.Tingkat produksi perbulan antara 26.000 27.5000 b.Tingkat produksi kurang dari 27.000 unitc.Tingkat produksi lebih dari 30.000 unit SOAL 25 : Ujiannegarastatistikpadaakhirtahun1990diikutisebanyak2.000 pesertadenganrata-ratanilaiujian=58darivariansi=100.Bila distribusinilaiujiandianggapberdistribusinormal,makahitunglah probabilitas : a.Peserta yang memperoleh nilai (Xi 70) b.Bilanilaiujianuntuklulus=53,5makaberapapersenyangtidak lulus Z = xi 76 c.Bilaterdapat5pesertayangmemperolehnilaiA,makaberapa nilai minimal (terendah) untuk memperoleh nilai A PENDEKATANDISTRIBUSINORMALMENJADI DISTRIBUSI BINOMIAL SOAL 26 : Bila diketahui bahwa64%anggotaMPR yangdipilihmemiliki umur 50tahun.JikadarianggotaMPRtersebutdipilih100oranganggota secara random maka berapakah probabilitasnya : a.Bahwa proporsi dari anggota MPR tersebut 60% nya berumur 50 tahun b.BahwaproporsidarianggotaMPRtersebutberkisarantara70%- 75% nya berumur 50 tahun SOAL 27 : PengawasproduksibanBridgestonemenemukanbahwarata-rata produksibanyangcacatmencapai2%daritotalproduksiyangada. Biladariseluruhproduksitersebutdiambilsebanyak400bansecara random (acak), maka berapakah probabilitasnya : a.Ban yang cacat 3% (Xi 3%) b.Ban yang cacat antara 1,5% - 2,5 % DISTRIBUSI SAMPLING MEAN : SOAL 28 : PabrikalatelektronikSONYmemproduksisejenisadaptoryang memilikirata-rataumurpemakaian=800jam()denganstandar deviasi = 400 jam (S). Hitunglahprobabilitasnyabiladipilih16sampelsecararandomakan memiliki umur rata-rata : a.Kurang dari 775 jam b.Antara 780 jam 820 jam c.Lebih dari 810 jam SOAL 29 : Bilarata-rataIQdariseluruhmahasiswabarudiUPN=110dengan standar deviasi = 10 (IQ dianggap berdistribusi normal) a.Hitunglah probabilitas mahasiswa tersebut memiliki IQ 112 b.Hitunglah probabilitas dari 36 mahasiswa, rata-rata memiliki IQ 112 77 c.Hitunglah probabilitas dari 100 mahasiswa, rata-rata memiliki IQ 112 ESTIMASI MEAN POPULASI SOAL 30 : Taksirlahrata-rataIQmahasiswadiUPNbiladarsebanyak100 sampel mahasiswa dipilih secara random memperlihatkan rata-rata IQ = 112 dan variance = 100 a.Gunakan derajat kepercayaan 95% b.Gunakan derajat kepercayaan 99% SOAL 31 : Darihasilsampelsurveyterhadap900petanididaerahKLATEN, memperlihatkan bahwa rata-rata pertahun pengeluaran keluarga untuk pakaian Rp. 500.000,- dengan deviasi standar (S) = Rp. 10.000,- a.Hitunglah interval estimasi bila derajat kepercayaan = 95% b.Denganderajatkepercayaanbarapakahsupayadiperolehhasil estimasinya adalah 49.500 50.500 TEST HIPOTESA MEAN POPULASI (LARGE SAMPLE 30) SOAL 32 : PabrikBanDunlopmenyatakanbahwarata-ratapemakaianban RADIALG-800tahansampai50bulandenganstandardeviasi=5 bulan.Untukmengujihipotesa(pernyataan)tersebutmakalembaga konsumenmengambilsebanyak100banG-800dansetelahdiuji ternyata rata-rata pemakaian = 40 bulan. Pertanyaan : Ujilahdengan=5%,apakahpernyataanpabriktersebutbenar bahwa rata-rata pemakaian () = 50 bulan ? Apakah saudara mendukung pernyataan pabrik tersebut ? SOAL 33 : Soal diatas selesaikan dengan menggunakan 1 sisi pengujian ! 78 TESTHIPOTESAMEANPOPULASI(SMALESAMPLE