Pertemuan 2 limit dan kontinuitas
-
Upload
stis-sekolah-tinggi-ilmu-statistik -
Category
Education
-
view
91 -
download
13
Transcript of Pertemuan 2 limit dan kontinuitas
LIMIT DAN KONTINUITASTIM PENGAJAR KALKULUS 2
LIMIT
Perhatikan fungsi yang ditentukan oleh rumus :
f(x) tidak terdefinisi pada x = 0, karena di titik ini f(x)
bernilai 0/0 (tidak punya arti), tetapi kita masih
dapat menanyakan apa yang terjadi pada f(x)
bilamana x mendekati 0 atau apakah f(x) mendekati
beberapa bilangan tertentu bilamana x mendekati 0
?
Jawaban Limit (x2 – x)/2x untuk x mendekati 0
adalah –1/2.
x
xxxf
2)(
2
KONSEP LIMIT
Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil
sedemikian hingga:
• Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (x≠a), f(x)
dekat ke L
• Bila x mendekati a tetapi x≠a, maka f(x) mendekati L
• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L
dengan membuat x cukup dekat a tetapi tidak sama
dengan a
Maka dapat dikatakan bahwa limit f(x) bila x mendekati a
adalah L,
LxfLimax
)(
LIMIT FUNGSI 2 VARIABEL
Misalkan f suatu fungsi dua variabel ,dan andaikan
f didefinisikan pada setiap titik dalam daerah
lingkaran dengan pusat (xo,yo) kecuali pada titik
(xo,yo).
Menyatakan bahwa jika diberikan sebarang
terdapat bilangan >0 sedemikian hingga f(x,y)
memenuhi dimana jarak antara (x,y)
dan (xo,yo) memenuhi
Lyxfoo yxyx
),(lim),(),(
,0
Lyxf ),(
2
o
2
o )y-(y)x-(x0
LIMIT FUNGSI 3 VARIABEL
Misalkan f suatu fungsi tiga variabel ,dan andaikan f
didefinisikan pada setiap titik dalam daerah
lingkaran dengan pusat (xo,yo,zo) kecuali pada titik
(xo,yo,zo).
Menyatakan bahwa jika diberikan sebarang
terdapat bilangan >0 sedemikian hingga f(x,y,z)
memenuhi dimana jarak antara
(x,y,z) dan (xo,yo,zo) memenuhi
Lzyxfooo zyxzyx
),,(lim),,(),,(
,0
Lzyxf ),,(
2o
2o
2o )z-(z)y-(y)x-(x0
SIFAT-SIFAT LIMIT
Theorema
Jika dan , maka:
a. , jika c suatu konstanta
b.
c.
d.
e. , jika L2 0
1),(),(
),(lim Lyxfoo yxyx
2),(),(
),(lim Lyxgoo yxyx
1),(),(
),(lim cLyxcfoo yxyx
21),(),(
)],(),([lim LLyxgyxfoo yxyx
21),(),(
)],(),([lim LLyxgyxfoo yxyx
21),(),(
)],(),([lim LLyxgyxfoo yxyx
2
1
),(),( ),(
),(lim
L
L
yxg
yxf
oo yxyx
SIFAT-SIFAT LIMIT
Theorema
Jika dan , maka:
a. , jika c suatu konstanta
b.
c.
d.
e. , jika L2 0
1),,(),,(
),,(lim Lzyxfooo zyxzyx
2),,(),,(
),,(lim Lzyxgooo zyxzyx
21),,(),,(
)],,(),,([lim LLzyxgzyxfooo zyxzyx
21),,(),,(
)],,(),,([lim LLzyxgzyxfooo zyxzyx
21),,(),,(
)],,(),,([lim LLzyxgzyxfooo zyxzyx
2
1
),,(),,( ),,(
),,(lim
L
L
zyxg
zyxf
ooo zyxzyx
1),,(),,(
),,(lim cLzyxcfooo zyxzyx
KONTINUITAS
Suatu fungsi dua variabel f disebut kontinu di titik
(xo,yo) jika
1. f(xo,yo) terdefinisi
2. ada
3.
),(lim),(),(
yxfoo yxyx
),(),(lim 00),(),(
yxfyxfoo yxyx
KONTINUITAS
Suatu fungsi tiga variabel f disebut kontinu di titik
(xo,yo,zo) jika
1. f(xo,yo,zo) terdefinisi
2. ada
3.
),,(lim),,(),,(
zyxfooo zyxzyx
),,(),,(lim 000),,(),,(
zyxfzyxfooo zyxzyx
Theorema
Jika g dan h suatu fungsi satu variabel yang
kontinu, maka f(x,y)=g(x)h(y) adalah suatu
fungsi kontinu dari x dan y
Jika g suatu fungsi kontinu satu variabel
dan h fungsi kontinu dari dua variabel, maka
fungsi komposisi f(x,y) = g(h(x,y)) adalah
fungsi kontinu dari x dan y
CONTOH
Fungsi kontinu, karena f(x,y)
merupakan perkalian dua fungsi kontinu
dan .
Fungsi adalah fungsi kontinu
bersyarat, fungsi tersebut kontinu disetiap titik
kecuali pada hyperbola xy=1.
Tunjukan bahwa fungsi
kontinu pada titik (-1,2)
523),( yxyxf 23)( xxg
5)( yyh
xy
yxyxf
1),(
23
22),(
yx
xyyxf
, jika fungsi f(x,y) mendekati L
pada saat (x,y) (xo, yo) untuk semua kurva
kontinu yang melalui titik (xo, yo).
Jika dua kurva kontinu melalui titik (xo, yo) dimana
mempunyai limit f(x,y) berbeda, atau jika sebarang
kurva menyebabkan f(x,y) tidak mempunyai limit,
maka tidak ada.
Hal yang sama berlaku untuk fungsi tiga variabel.
Lyxfoo yxyx
),(lim),(),(
),(lim),(),(
yxfoo yxyx