MATEMATIKA - · PDF fileMATEMATIKA EKONOMI LIMIT , KONTINUITAS DAN TURUNAN Tito Adi Dewanto...
Transcript of MATEMATIKA - · PDF fileMATEMATIKA EKONOMI LIMIT , KONTINUITAS DAN TURUNAN Tito Adi Dewanto...
MATEMATIKA EKONOMI
LIMIT , KONTINUITAS DAN TURUNAN
Tito Adi Dewanto S.TP tito math’s blog [email protected]
Limit
Bila nilai f(x) mendekati L untuk nilai x mendekati a dari arah kanan maka dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a dari kanan sama dengan L dan dinotasikan:
Lxfax
)(lim
Limit
Bila nilai f(x) mendekati l untuk nilai x mendekati a dari arah kiri maka dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a dari kanan sama dengan l dan dinotasikan:
lxfax
)(lim
Limit
Bila L = l maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a sama dengan L dan dinotasikan:
Bila L ≠ l maka dikatakan bahwa limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada.
lLxfax
)(lim
tables unt mencari
Contoh 1 – Mencari LIMIT dengan TABEL
Jawab:
Kita buat 2 tabel, seperti dibawah, pertama nilai x
mendekati 3 dari kiri, dan kedua dengan x mendekati 3 dari
kanan.
Limit Penting!
x
2
2.9
2.99
2.999
3
3.001
3.01
3.1
4
f (x)
8
9.8
9.98
9.998
?
10.002 10.02 10.2
12
x 3lim 2x 4 10
Def: Ditulis
jika x → c, maka f (x) → L
3
10
x clim f (x) L
7
Contoh 2
2
x 2
x x 6 0lim Which is undefined!
x 2 0
2
x 2 x 2 x 2
x x 6 (x 3)(x 2)lim lim lim (x 3) 5
x 2 x 2
2x x 6
NOTE : f ( x ) graphs as a straight line.x 2
Buat Grafiknya ?.
Tapi nilai limitnya ada!!!!
Apa yang terjadi saat x = 2?
Atau grafik berbentuk Garis Lurus
8
Contoh 3 f (x) = (x2 – 9)/(x + 3) pada x = -3
2
x 3
x 9lim f ( 3)
x 3
c.
2
x 3
x 9lim
x 3
b. - 6
The limit exist!
f (-3) = 0/0 a. Adalah bentuk tak tentu!
Therefore the function is not continuous at x = -3.
-3
-6
You can use table on your calculator to verify this.
Sifat Limit
Sifat Limit
Contoh 4 (Mencari LIMIT dengan subtitusi langsung)
x 4
1. xlim
Substitusi x=4. 4 2
2
x 6
x2.
x 3lim
26 36
46 3 9
Substitusi x= 6
Contoh 5 (untuk x mendekati a)
9
3a) lim
9x
x
x
9
( 3)
( 3)
( 3) = lim
( 9)x
x
x
x
x
9
9 lim
( 9)( 3)x
x
x x
9
1 1 lim
63x x
2
2 3 2
4b) lim
2x
x
x x
2 2
(2 )(2 )= lim
(2 )x
x x
x x
2 2
2 = lim
x
x
x
2
2 ( 2) 41
( 2) 4
Contoh 6
Limit di Tak Hingga
Secara umum, limit fungsi dari
untuk x mendekati tak hingga atau minus tak hingga sama dengan nol, dituliskan :
Contoh 7
3 2
3 2
2 3 21. lim
100 1x
x x
x x x
3 2
3 3 3
3 2
3 3 3 3
2 3 2
lim100 1x
x x
x x x
x x x
x x x x
3
2 3
3 22
lim1 100 1
1x
x x
x x x
22
1
Untk x mendekati
0
2
3 2
4 5 212. lim
7 5 10 1x
x x
x x x
2
3 3 3
3 2
3 3 3 3
4 5 21
lim7 5 10 1x
x x
x x x
x x x
x x x x
2 3
2 3
4 5 21
lim5 10 1
7x
x x x
x x x
0
7
2 2 43. lim
12 31x
x x
x
2 2 4
lim12 31x
x x
x x xx
x x
42
lim31
12x
xx
x
2
12
Cobalah ?
Soal: Hitunglah
Kontinuitas
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a bila:
f(a) terdefinisi
, yaitu
)(lim xfax
)()( limlim xfxfaxax
)()(lim afxfax
20
Contoh 9 f (x) = (x2 – 9)/(x + 3) pada x = -3
2
x 3
x 9lim f ( 3)
x 3
c.
2
x 3
x 9lim
x 3
b. - 6
The limit exist!
f (-3) = 0/0 a. Adalah bentuk tak tentu!
Therefore the function is not continuous at x = -3.
-3
-6
You can use table on your calculator to verify this.
Soal dan Pembahasan
Pembahasan
Soal
Diketahui:
Carilah (jika ada):
1. 2. 3.
1,2
1,1)(
2
xx
xxxf
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
Soal
Diketahui:
Hitung dan !
Selidiki apakah ada!
Jika ada, berapa nilainya?
1,
1,1)(
2
2
xxx
xxxf
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
Soal
Cari titik diskontinu fungsi berikut:
3
3)(
2
x
xxxf
8
4)(
3
2
x
xxf
Ada 3 jenis diskontinu yaitu :
(i) Diskontinue titik lowong (ii) Diskontinue tak terhingga (iii) Diskontinue terhingga
a
(i)
º f(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a
DISKONTINUE TITIK LOWONG
DISKONTINUE TERHINGGA
a
(ii)
1L
2LKarena limit kiri(L1) tidak sama dengan limit kanan(L2) maka f(x) tidak mempunyai limit di x=a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
DISKONTINUE TERHINGGA
Diskontinue Tak Terhingga
1lim
nx a x a
1lim if is even
nx a
nx a
1lim if is odd
nx a
nx a
-8 -6 -4 -2 2
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
-2 2 4 6
-20
-10
10
20
30
40
-8 -6 -4 -2 2
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
F(x) =
F(x) =
F(x) =
(iv)
a
f(a)
f(a) ada
)(lim xfax
ada
)()(lim afxfax
f(x) kontinu di x=a
contoh
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya
2
4)(
2
x
xxf
2,3
2,2
4)(
2
x
xx
xxfa. b.
2,1
2,1)(
2 xx
xxxfc.
Jawab :
a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu di x=2 b. f(2) = 3
42lim)2(
)2)(2(lim
2
4lim
22
2
2
x
x
xx
x
x
xxx
)2()(lim2
fxfx
Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidak kontinu di x=2
c. 312)2( 2 f
31lim)(lim22
xxf
xx
31lim)(lim 2
22
xxf
xx
3)(lim2
xfx
)2()(lim2
fxfx
Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2
Definisi Turunan Fungsi
,h
f(a)h)f(aLimit (a)' f
0 h
CONTOH 1.
1 xpada
2x,-3f(x) fungsirunan Carilah tu
JAWAB
-2(1)' fadalah
1 xpada2x,-3f(x) fungsi turunan Jadi
22Limith
2hLimit(1)' f
h
2(1)}-{3-h)}2(1-{3Limit(1)' f
h
f(1)-h)f(1Limit(1)' f
(1)' fadalah 1 x pada 2x,-3f(x)
0 h 0 h
0 h
0 h
h
xhx 22
0h
3)(3limy'
Tentukan turunan dari : Y = 3x2 Jawab :
h
xhhxx 222
0h
3363lim
x6
36lim36
lim 0h
2
0h
hxh
hhx
Contoh 2
Turunan
SOAL LATIHAN
mungkin yang a nilaicarilah 19,(a)' f Jika b.
Radengan (a)' fCarilah a.
}/{D asaldaerah
dengan,723
1f(x) Diketahui 2.
2 xpada,xf(x) b.
4 xpada 2x,-5f(x) a.
disebutkan yang x nilai-nilaiuntuk
berikut fungsi-fungsi darirunan Carilah tu 1.
f
23
23
Rxx
xxx
x