04Limit Dan Kontinuitas
44
Limit dan Kontinuitas • Definisi • Perhitungan Limit • Kontinuitas • Limit Tak Berhingga 1
description
dghffeeqq113tghjkllhgnlp90hbv
Transcript of 04Limit Dan Kontinuitas
Limit dan Kontinuitas
• Definisi
• Perhitungan Limit
• Kontinuitas
• Limit Tak Berhingga
1
Pendahuluan
• Konsep limit merupakan ide dasar yang
membedakan kalkulus dengan aljabar dan
geometri.
• Dasar dalam menentukan
kecepatan/perubahan suatu obyek atau
tangen/gradien suatu kurva.
– Menggambarkan variasi fungsi
2
Limit
lim ( ) x a
f x L→
=
a
L
( )y f x=
Limit dari f(x) untuk x mendekati a adalah L dan ditulis
menyatakan jika nilai-nilai f(x) mendekati L ketika x mendekati a.
3
Limit, Grafik, dan Kalkulator
21
11. a) Use table of values to guess the value of lim
1x
x
x→
− −
2
1b) Use your calculator to draw the graph ( )
1
xf x
x
−=
−and confirm your guess in a)
2. Find the following limits
sinConfirm this by ploting the graph of ( )
xf x
x=
Graph 1
Gunakan tabel untuk mencari nilai
Gunakan kalkulator untuk menggambar grafik
dan konfirmasikan jawaban soal a.
Carilah limit dari
dengan mempergunakan nilai-nilai berikut
Konfirmasikan dengan memplot grafik
4
Limit, Grafik, dan Kalkulator
5
Berapa jawaban limitnya apakah 0,05 atau 0 ?
3. Cari2
3 if 2lim ( ) where ( )
1 if 2x
x xf x f x
x→−
− ≠ −=
= −
-2
62 2
lim ( ) = lim 3x x
f x x→− →−
−
Note: f (-2) = 1
tidak termasuk
23 lim
3( 2) 6
xx
→−= −
= − − =
denganuntuk x ≠ - 2
untuk x = - 2
6
Definisi Limit dengan - ε δ
given a positive number , there exists a positive such thatε δ
if 0 | | , then | ( ) | . x a f x Lδ ε< − < − <
( )y f x=a
LL ε−
L ε+
a δ− a δ+
Kita katakan jika dan hanya jika : lim ( ) x a
f x L→
=
Diberikan bilangan positif ε , maka akan ada suatu bilangan δ sehingga:
Jika maka
7
Hal ini berarti bahwa jika kita memberikan suatu
interval kecil (L-ε, L+ ε) berpusat di L,
maka kita dapat mencari suatu interval kecil
(a-δ, a+δ)
sehingga untuk semua nilai x≠ a yang berada pada
(a-δ, a+δ),
f(x) selalu berada pada (L-ε, L+ ε). 8
Limit kanan dari f (x), saat x mendekati a, sama
dengan L
ditulis:
Jika kita dapat membuat nilai f (x) sangat
dekat ke L dengan nilai x mendekati a dari sisi
kanan.
lim ( )x a
f x L+→
=
a
L
( )y f x=
One-Sided Limits
9
Limit kiri f (x), ketika x mendekati a, sama
denganM
ditulis: lim ( )x a
f x M−→
=
a
M
( )y f x=
10
Jika kita dapat membuat nilai f (x) sangat
dekat ke L dengan nilai x mendekati a dari sisi
kiri.
2 if 3( )
2 if 3
x xf x
x x
≤=
>1. Jika
3lim ( )x
f x+→
3 3lim ( ) lim 2 6x x
f x x+ +→ →
= =
2
3 3lim ( ) lim 9x x
f x x− −→ →
= =
Cari
Cari3
lim ( )x
f x−→
Contoh : One-Sided Limit
11
1, if 02. Let ( )
1, if 0.
x xf x
x x
+ >=
− ≤
Cari limit dari:
0a) lim ( )
xf x
+→
0b) lim ( )
xf x
−→
1c) lim ( )
xf x
−→
1d) lim ( )
xf x
+→
Contoh lain
12
2. Jika
1, if 02. Let ( )
1, if 0.
x xf x
x x
+ >=
− ≤ Cari limit dari:
0lim( 1)x
x+→
= + 0 1 1= + =0
a) lim ( )x
f x+→
0b) lim ( )
xf x
−→ 0lim( 1)x
x−→
= − 0 1 1= − = −
1c) lim ( )
xf x
−→ 1lim( 1)x
x−→
= + 1 1 2= + =
1d) lim ( )
xf x
+→ 1lim( 1)x
x+→
= + 1 1 2= + =
Jawaban :
13
lim ( ) if and only if lim ( ) and lim ( ) .x a x a x a
f x L f x L f x L+ −→ → →
= = =
Untuk fungsi
1 1 1lim ( ) 2 because lim ( ) 2 and lim ( ) 2.x x xf x f x f x
+ −→ → →= = =
Tetapi
0 0 0lim ( ) does not exist because lim ( ) 1 and lim ( ) 1.x x xf x f x f x
+ −→ → →= = −
1, if 0( )
1, if 0.
x xf x
x x
+ >=
− ≤
Theorema ini digunakan untuk menunjukkan
bahwa suatu limit tidak ada.
Theorema :
14
karena
tidak ada karena dan
dan
jika dan hanya jika dan
Theorema Limit
If is any number, lim ( ) and lim ( ) , thenx a x a
c f x L g x M→ →
= =
( )a) lim ( ) ( )x a
f x g x L M→
+ = + ( ) b) lim ( ) ( ) x a
f x g x L M→
− = −
( )c) lim ( ) ( )x a
f x g x L M→
⋅ = ⋅ ( )( )d) lim , ( 0)
( )x a
f x L Mg x M→
= ≠
( )e) lim ( )x a
c f x c L→
⋅ = ⋅ ( )f) lim ( ) n n
x af x L
→=
g) lim x ac c
→= h) lim
x ax a
→=
i) lim n n
x ax a
→= j) lim ( ) , ( 0)
x af x L L
→= >
15
Jika c suatu bilangan, dan maka
Contoh Pemakaian Aturan Limit
1. ( )2
3lim 1x
x→
+ 2
3 3lim lim1x xx
→ →= +
( )23 3
2
lim lim1
3 1 10
x xx
→ →= +
= + =
2.1
2 1lim
3 5x
x
x→
−+
( )
( )1
1
lim 2 1
lim 3 5
x
x
x
x
→
→
−=
+1 1
1 1
2lim lim1
3lim lim5
x x
x x
x
x
→ →
→ →
−=
+
2 1 1
3 5 8
−= =
+
16
Contoh lain
3 31. Suppose lim ( ) 4 and lim ( ) 2. Find
x xf x g x
→ →= = −
( ) 3
a) lim ( ) ( ) x
f x g x→
+ 3 3 lim ( ) lim ( )x x
f x g x→ →
= +
4 ( 2) 2= + − =
( ) 3
b) lim ( ) ( ) x
f x g x→
− 3 3 lim ( ) lim ( )x x
f x g x→ →
= −
4 ( 2) 6= − − =
3
2 ( ) ( )c) lim
( ) ( )x
f x g x
f x g x→
−
3 3
3 3
lim 2 ( ) lim ( )
lim ( ) lim ( )
x x
x x
f x g x
f x g x
→ →
→ →
−=
⋅2 4 ( 2) 5
4 ( 2) 4
⋅ − − −= =
⋅ − 17
Jika dan Cari :=4
Bentuk tak berhingga terjadi ketika substitusi pada limit
menghasilkan 0/0. Pada kasus seperti ini dapat
difaktorkan atau dirasionalisasi.
Contoh25
5lim
25x
x
x→−
+
−Notice form
0
0
( )( )5
5lim
5 5x
x
x x→−
+=
− +Difaktor dan
dihilangkan faktor
yang sama
( )5
1 1lim
5 10x x→−= =
− −
Bentuk Tak Berhingga
18
9
3a) lim
9x
x
x→
− − 9
( 3)
( 3)
( 3) = lim
( 9)x
x
x
x
x→
−
− ++
9
9 lim
( 9)( 3)x
x
x x→
−=
− + 9
1 1 lim
63x x→
= = +
2
2 3 2
4b) lim
2x
x
x x→−
− + 2 2
(2 )(2 )= lim
(2 )x
x x
x x→−
− + +
2 2
2 = lim
x
x
x→ −
−
2
2 ( 2) 41
( 2) 4
− −= = =
−
Contoh Lain
19
20
Bagaimana Limit dari funsi berikut untuk x mendekati nol ?
Konsep Kontinuitas
• Definisi kontinu di suatu titik
Misalkan fungsi f terdefinisi disekitar a.
Dikatakan f kontinu di a bila limx→a f(x) ada
dan nilai limitnya sama dengan nilai fungsi
di a. Dengan kata lain, f kontinu di a jika
)()(lim afxfax
=→
• Maka suatu fungsi kontinu di titik a jika memenuhi tiga kondisi:
1. Fungsi harus terdefinisi di a (f(a) ada)
2. Limit dari f(x) jika x mendekati a harus ada
3. Kondisi 1 dan 2 harus sama:
Jika salah satu tidak dipenuhi maka f diskontinu di a.
)()(lim afxfax
=→
Diskontinu
• Dicirikan dengan adanya loncatan/ “gap” pada
grafik fungsi.
• Terdapat 3 jenis diskontinuitas:
1. tak hingga di a jika limitnya (kiri dan kanan) tak
hingga (tidak ada);
2. loncat berhingga di a jika limit kiri dan kanannya
berhingga namun tak sama;
3. dapat dihapuskan / dihilangkan di a jika nilai
fungsi dan limitnya ada, tetapi tidak sama,
)()(lim afxfax
≠→
f(x) Diskontinu yg dapat dihapuskan di a
Jika ada fungsi F sedemikian sehingga
• F(x) = f(x) untuk semua x≠ a didalam
domain dari f
• Fungsi baru F kontinu di a
• Contoh
=
≠=0 jika 0
0 jika sin
)(
x
xx
x
xh
Sifat fungsi-fungsi kontinu
• Jika f dan g kontinu di a, maka
kf (k konstanta), f±g, f·g juga kontinu di a.
• Khusus fungsi rasional
Jika g(x) = 0 di titik c (diskontinu di c), maka
• jika f(x) ≠0, maka f mempunyai diskontinu tak hingga di x=a; ATAU
• f diskontinu dapat dihapuskan di x = a.
0)(asalkan dikontinu juga )(
)(≠xga
xg
xf
Pada nilai x berapa nilai fungsi diskontinu ?
1. ( ) 2f x x= +2
92 . ( )
3
xg x
x
−=
+Kontinu dimana-mana
Kontinu dimana-mana
kecuali di 3x = −
( 3) is undefinedg −
lim( 2) 2 x a
x a→
+ = +
and so lim ( ) ( )x af x f a
→=
-4 -2 2 4
-2
2
4
6
-6 -4 -2 2 4
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
Contoh
26
dan tak terdefinisi
2, if 13. ( )
1, if 1
x xh x
x
+ >=
≤
1lim ( )xh x
−→and
sehingga h tidak kontinu di
x=1.
1=1
lim ( )xh x
+→3=
h kontinu di nilai yang lain
1, if 04. ( )
1, if 0
xF x
x
− ≤=
>
0lim ( )x
F x+→
1= and0
lim ( )x
F x−→
1= −
Sehingga F tidak kontinu
di 0.x =
F kontinu di nilai yang lain
-2 2 4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-10 -5 5 10
-3
-2
-1
1
2
3
27
Theorema Nilai Antara
Jika f adalah fungsi kontinu pada interval tertutup [a,
b] dan L adalah suatu nilai antara f (a) dan f (b), maka
setidaknya ada satu nilai c di [a, b] sehingga f(c) = L.
( )y f x=
a b
f (a)
f (b)
L
c
f (c) =
28
•Aplikasi: untuk verifikasi ada tidaknya solusi dari suatu persamaan berbentuk f(x) = 0
Limit Tak Berhingga
Untuk semua n > 0,1 1
lim lim 0n nx xx x→∞ →−∞= =
menyatakan terdefinisi.1nx
Contoh.2
2
3 5 1lim
2 4x
x x
x→∞
+ +
−
2
2
5 13lim
2 4x
x x
x→∞
+ +=
−
3 0 0 3
0 4 4
+ += = −
−
Dibagi
dng2x
( ) ( )( )
2
2
5 1lim 3 lim lim
2lim lim 4
x x x
x x
x x
x
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞
+ +=
−
29
Contoh Lain
3 2
3 2
2 3 21. lim
100 1x
x x
x x x→∞
− + − − +
3 2
3 3 3
3 2
3 3 3 3
2 3 2
lim100 1x
x x
x x x
x x x
x x x x
→∞
− +
= − − +
3
2 3
3 22
lim1 100 1
1x
x x
x x x
→∞
− + =
− − +
22
1= =
30
0=
2
3 2
4 5 212. lim
7 5 10 1x
x x
x x x→∞
− + + − +
2
3 3 3
3 2
3 3 3 3
4 5 21
lim7 5 10 1x
x x
x x x
x x x
x x x x
→∞
− +
= + − +
2 3
2 3
4 5 21
lim5 10 1
7x
x x x
x x x
→∞
− + =
+ − +
0
7=
2 2 43. lim
12 31x
x x
x→∞
+ − +
2 2 4
lim12 31x
x x
x x xx
x x
→∞
+ −
= +
42
lim31
12x
xx
x
→∞
+ − =
+
2
1 2
∞ +=
= ∞31
( )24. lim 1x
x x→∞
+ −
( )22
2
1 1 lim
1 1x
x x x x
x x→∞
+ − + + = + +
2 2
2
1lim
1x
x x
x x→∞
+ −=
+ +
2
1 lim
1x x x→∞
=
+ + 1 1
0= = =∞ +∞ ∞ 32
Limit Tak BerhinggaUntuk semua n > 0,
( )1
limn
x a x a+→
= ∞−
( )1
lim if is evenn
x an
x a−→
= ∞−
( )1
lim if is oddn
x an
x a−→
= −∞−
-8 -6 -4 -2 2
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
-2 2 4 6
-20
-10
10
20
30
40
More Graphs
-8 -6 -4 -2 2
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
33
Contoh
Cari limit dari :
2
20
3 2 11. lim
2x
x x
x+→
+ +
2
0
2 13= lim
2x
x x+→
+ +
3
2
+∞ +∞= = ∞
3
2 12. lim
2 6x
x
x+→−
+ + 3
2 1= lim
2( 3)x
x
x+→−
+ +
= −∞
-8 -6 -4 -2 2
-20
20
40
34
Limit dan Fungsi Trigonometri
Dari grafik fungsi trigonometri
( ) sin and ( ) cosf x x g x x= =
Dapat disimpulkan bahwa fungsi trigonometri kontinu
dimana-mana.
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
limsin sin and lim cos cosx c x c
x c x c→ →
= =35
dan
dan
Limit dan Fungsi Trigonometri
Dari grafik fungsi trigonometri
( ) sin and ( ) cosf x x g x x= =
Dapat disimpulkan bahwa fungsi trigonometri kontinu
dimana-mana.
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
limsin sin and lim cos cosx c x c
x c x c→ →
= =36
dan
dan
Limit Trigonometri
37
Tangen dan Secan Tangen dan secan kontinu dimana-mana pada domainnya,
dengan menset :
3 5 7, , , , 2 2 2 2
x π π π π≠ ± ± ± ± L
-6 -4 -2 2 4 6
-30
-20
-10
10
20
30
-6 -4 -2 2 4 6
-15
-10
-5
5
10
15
tany x=
secy x=
38
Contoh :
( )2
a) lim secx
xπ +
→
= −∞( )2
b) lim secx
xπ −
→
= ∞
( )32
c) lim tanx
xπ +−→
=( )3
2
d) lim tanx
xπ −
−→
=
e) lim cotx
xπ −→
= −∞
∞
( )32
g) lim cotx
xπ−→
=( )3
2
cos 0lim 0
sin 1x
x
xπ−→= =
4
f) lim tanx
xπ→
=
−∞
1
39
Limit dan Fungsi Eksponensial
-6 -4 -2 2 4 6
-2
2
4
6
8
10
, 1xy a a= >
-6 -4 -2 2 4 6
-2
2
4
6
8
10 , 0 1xy a a= < <
Grafik di atas menyatakan bahwa fungsi
eksponensial kontinu dimana-mana.
lim x c
x ca a
→=
40
Asymptot
lim ( ) or lim ( ) .x x
f x L f x L→∞ →−∞
= =
vertical asymptote The line is called a
of the curve ( ) if eihter
x c
y f x
=
=
lim ( ) or lim ( ) .x c x c
f x f x− +→ →
= ±∞ = ±∞41
Garis y = L dikatakan asymptot horisontal
dari kurva y = f(x) jika :
atau
Garis y = L dikatakan asymptot vertikal dari
kurva y = f(x) jika :
atau
Contoh
Carilah asymptot dari grafik fungsi berikut.
2
2
11. ( )
1
xf x
x
+=
−
1 (i) lim ( )
xf x
−→= −∞
Therefore the line 1
is a vertical asymptote.
x =
1.(iii) lim ( )x
f x→∞
=
1(ii) lim ( )
xf x
−→−= . +∞
Therefore the line 1
is a vertical asymptote.
x = −
Therefore the line 1
is a horizonatl asymptote.
y =
-4 -2 2 4
-10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
42
Sehingga garis x=1 adalah
asymptot vertikal.
Sehingga garis y=1 adalah
asymptot horisontal.
Sehingga garis x= -1
adalah asymptot vertikal.
2
12. ( )
1
xf x
x
−=
−
21 1
1(i) lim ( ) lim
1x x
xf x
x→ →
− = −
1 1
1 1 1= lim lim .
( 1)( 1) 1 2x x
x
x x x→ →
− = = − + +
Therefore the line 1
is a vertical asympNO t eT ot .
x =
1(ii) lim ( ) .
xf x
+→−= +∞
Therefore the line 1
is a vertical asymptote.
x = −
(iii) lim ( ) 0.x
f x→∞
=
Therefore the line 0
is a horizonatl asymptote.
y =
-4 -2 2 4
-10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
43
PR – edisi 12
Hal 63 No.7-10
Hal 64 No 20, 22
Hal 74 No 15, 27, 47
Hal 84 No 55, 56
Hal 118 No 44, 46
Hal 119 No 4,5
44
