Pertemuan 4 (Limit-fungsi 1)
description
Transcript of Pertemuan 4 (Limit-fungsi 1)
PengantarPengantar Konsep limit merupakan suatu Konsep limit merupakan suatu
konsep dasar utk dpt memahami konsep dasar utk dpt memahami lebih lanjut konsep kalkulus yaitu lebih lanjut konsep kalkulus yaitu hitung diferensial dan integralhitung diferensial dan integral
Oleh krn itu utk dpt memahami dgn Oleh krn itu utk dpt memahami dgn baik kalkulus diferensial dan baik kalkulus diferensial dan integral, maka terlebih dahulu integral, maka terlebih dahulu harus dipahami dgn baik mengenai harus dipahami dgn baik mengenai konsep limitkonsep limit
Dalam materi ini akan dibahas Dalam materi ini akan dibahas konsep limit yaitu: pengertian limit, konsep limit yaitu: pengertian limit, sifat limit, bentuk2 persoalan limitsifat limit, bentuk2 persoalan limit
Pengertian limitPengertian limit Sebenarnya agak sulit Sebenarnya agak sulit
membayangkan apa yang dimaksud membayangkan apa yang dimaksud dgn limit, namun secara populer dgn limit, namun secara populer limit dapat diartikan sebagai suatu limit dapat diartikan sebagai suatu nilai batas yang dapat didekati nilai batas yang dapat didekati sedekat mungkin, tapi tak pernah sedekat mungkin, tapi tak pernah dapat dicapai dan dianggap dapat dicapai dan dianggap tercapaitercapai
Pengertian limit dpt kita bayangkan Pengertian limit dpt kita bayangkan dlm contoh berikut:dlm contoh berikut:
MisalnyaMisalnya Timbanglah 1 kg gula pasir, Timbanglah 1 kg gula pasir,
kemudian timbangan dlm kemudian timbangan dlm kedudukan seimbang, ambilah 5 kedudukan seimbang, ambilah 5 butir gula pasir.butir gula pasir.
Selanjutnya amatilah jarum/mata Selanjutnya amatilah jarum/mata timbangannya. Apakah bergeser timbangannya. Apakah bergeser (berubah) kedudukannya? Jelas (berubah) kedudukannya? Jelas tidak kan?tidak kan?
Kita tahu bahwa 5 butir gula pasir Kita tahu bahwa 5 butir gula pasir memiliki berat, seharusnya berat (1 memiliki berat, seharusnya berat (1 kg – 5 butir) gula pasir ≠ berat 1 kg kg – 5 butir) gula pasir ≠ berat 1 kg gula pasir?gula pasir?
Lanjutan…Lanjutan… Dalam contoh tadi dengan pertimbanagn Dalam contoh tadi dengan pertimbanagn
tertentu kita menganggap bahwa (1 kg tertentu kita menganggap bahwa (1 kg minus 5 butir) gula pasir sama dgn 1 kg minus 5 butir) gula pasir sama dgn 1 kg gula pasir. gula pasir.
Dalam bahasa limitnya bagaimana? Dalam bahasa limitnya bagaimana? Bila kita disuruh menghitung 1 kg gula Bila kita disuruh menghitung 1 kg gula
pasir terdiri dari berapa butir gula pasir?pasir terdiri dari berapa butir gula pasir? Tentu saja kita tdk sanggup, maka dari Tentu saja kita tdk sanggup, maka dari
itu kita menyatakan bahwa banyak butir itu kita menyatakan bahwa banyak butir gula yang terdapat dalam 1 kg gula gula yang terdapat dalam 1 kg gula pasir adalah tak berhingga.pasir adalah tak berhingga.
LIMIT FUNGSI:LIMIT FUNGSI:
Mendekati hampir, sedikit lagi, atau Mendekati hampir, sedikit lagi, atau
harga batasharga batas
Limit fungsi:Limit fungsi:
Suatu limit f(x) dikatakan mendekati Suatu limit f(x) dikatakan mendekati AA
{f(x) A} sebagai suatu limit.{f(x) A} sebagai suatu limit.
Bila x mendekati a {x a}Bila x mendekati a {x a}
Dinotasikan Dinotasikan
Lim F(x) = A Lim F(x) = A
X aX a
Langkat-langkah mengerjakan limitLangkat-langkah mengerjakan limit
fungsi (supaya bentuk tak tentu dapatfungsi (supaya bentuk tak tentu dapat
dihindari) adalah ….dihindari) adalah ….
1.1. Subtitusi langsung.Subtitusi langsung.
2.2. Faktorisasi.Faktorisasi.
3.3. Mengalikan dengan bilangan sekawan.Mengalikan dengan bilangan sekawan.
4.4. Membagi dengan variabel pangkat Membagi dengan variabel pangkat tertinggi. tertinggi.
Berapa teorema limit:Berapa teorema limit:Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = BBila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B x a x ax a x a
Maka Maka 1. Lim [k1. Lim [k..f(x)] = k Lim f(x)f(x)] = k Lim f(x)
x a x ax a x a = k. A= k. A
2. Lim [f(x)2. Lim [f(x)++g(x)] = Lim f(x) g(x)] = Lim f(x) ++ Lim Lim g(x)g(x)
x a x a x ax a x a x a = A = A ++ B B
3. Lim 3. Lim x ax a
= Lim f(x) x Lim g(x)= Lim f(x) x Lim g(x) x a x ax a x a = A x B= A x B
4. 4.
[f(x) x g(x)]
B
A
xg
xf
xg
xf
Lim
LimLim
ax
ax
ax
)(
)(
)(
)(
Soal latihan:Soal latihan:1.1. Nilai dari Lim 3x adalah…. Nilai dari Lim 3x adalah…. x x 22
a. 1a. 1
b. 2b. 2
c. 3c. 3
d. 4d. 4
e. 6e. 6
Pembahasan 1: Pembahasan 1:
Lim 3x = 3(2)Lim 3x = 3(2)x 2x 2
= 6= 6
Pembahasan 2:Pembahasan 2:
Lim 3x = 3 Lim XLim 3x = 3 Lim Xx 2 x 2x 2 x 2 = 3(2) = 6= 3(2) = 6
Jawab:Jawab:1.1. Nilai dari Lim 3x adalah…. Nilai dari Lim 3x adalah…. x 2x 2
a. 1a. 1
b. 2b. 2
c. 3c. 3
d. 4d. 4
e. 6e. 6
2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah…. 2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah…. x x 22
a. -2a. -2b. 2b. 2c. 4c. 4d. 6d. 6e. 8e. 8
2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah…. 2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah…. x x 22
a. -2a. -2b. 2b. 2c. 4c. 4d. 6d. 6e. 8e. 8
3. Nilai dari Lim [6x-2] adalah….3. Nilai dari Lim [6x-2] adalah…. x x 33
a. -6a. -6
b. 8b. 8
c. 12c. 12
d. 14d. 14
e. 16e. 16
Pembahasan 1:Pembahasan 1:
Lim [6x-2] = Lim 6x-2 = 6(3)-2 = Lim [6x-2] = Lim 6x-2 = 6(3)-2 = 1414
X 3X 3 x 3 x 3
3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah…. x x 33
a. -6a. -6
b. 8b. 8
c. 12c. 12
d. 14d. 14
e. 16e. 16
Limit fungsi bentukLimit fungsi bentuk
Jika f(x) = (x-a).h(x)Jika f(x) = (x-a).h(x)
g(x) = (x-a).k(x)g(x) = (x-a).k(x)
Maka:Maka:
)().(
)().(
)(
)(
xkax
xhax
xg
xfLimLim
axax
0
0
)(
)(
)(
)(
ak
ah
xk
xhLim
ax
Limit Fungsi BentukLimit Fungsi Bentuk
Jika diketahui limit tak hingga (Jika diketahui limit tak hingga (~~))Sebagai berikut:Sebagai berikut:
Maka:Maka:1. R= 0 jika n<m1. R= 0 jika n<m2. R= 2. R= aa jika n=m jika n=m pp3. R= 3. R= ~~ jika n>m jika n>m
~~
Rrqxpx
cbxaxmm
nn
xLim
...
...
~1
1
Limit Fungsi Bentuk (Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)~ - ~)
a.a.
1. R= ~ jika a>p1. R= ~ jika a>p
2. R= 0 jika a=p2. R= 0 jika a=p
3. R= -~ jika a<p 3. R= -~ jika a<p
RqpxbaxLimx
~
b.b.
1. R= 1. R= ~~ jika a>p jika a>p
2. jika a=p 2. jika a=p
3. R= 3. R= --~~ jika a<p jika a<p
RrqxpxcbxaxLimx
22
~
a
qbR
2
Soal latihan:Soal latihan:
4. Nilai dari 4. Nilai dari
adalah….adalah….
a. 3a. 3 d.d.
b. 2b. 2
c. 1c. 1 e. -2 e. -2
xxx
xxxLimx 22
4323
24
0
2
1
Pembahasan:Pembahasan:
Jika 0 didistribusikan menghasilkanJika 0 didistribusikan menghasilkan
(bukan solusi) sehingga soal(bukan solusi) sehingga soal
diselesaikan dengan cara faktorisasi diselesaikan dengan cara faktorisasi
0
0
0.200.2
0.40.30
22
43
23
24
23
24
0
xxx
xxxLimx
0
0
Maka:Maka:
22
4
200
400
22
43
22
43
22
43
2
3
0
2
3
0
23
24
0
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
Lim
Lim
Lim
x
x
x
Soal latihan:Soal latihan:
4. Nilai dari 4. Nilai dari
adalah….adalah….
a. 3a. 3 d.d.
b. 2b. 2
c. 1c. 1 e. -2 e. -2
xxx
xxxLimx 22
4323
24
0
2
1
6. Nilai dari6. Nilai dari
adalah …. adalah ….
a. -6a. -6 d. 16d. 16
b. 2b. 2 e. 32e. 32
c. 10c. 10
182
6342
2
~
xx
xxLimx
Pembahasan 1:Pembahasan 1:
182
6342
2
~
xx
xxLimx
2
2
222
2
222
2
182
634
182
634
xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
Pembahasan 2:Pembahasan 2:
Perhatikan bahwa pangkat diatas Perhatikan bahwa pangkat diatas samasama
dengan pangkat bawah sehingga p = dengan pangkat bawah sehingga p = qq
(p dibagi q)(p dibagi q)
182
6342
2
~
xx
xxLimx
22
4
q
pL
6. Nilai dari6. Nilai dari
adalah …. adalah ….
a. -6a. -6 d. 16d. 16
b. 2b. 2 e. 32e. 32
c. 10c. 10
182
6342
2
~
xx
xxLimx
7. Nilai dari7. Nilai dari
adalah….adalah….
a. -3a. -3 d. 0d. 0
b. -2b. -2 e. 1e. 1
c. -1c. -1
}124624{~
22
xxxxLimx
7. Nilai dari7. Nilai dari
adalah….adalah….
a. -3a. -3 d. 0d. 0
b. -2b. -2 e. 1e. 1
c. -1c. -1
}124624{~
22
xxxxLimx
8. Nilai dari 8. Nilai dari
adalah….adalah….
a. -4a. -4 d. 4d. 4
b. 0b. 0 e. 8e. 8
c. 2c. 2
2
2
)14(
)28(
~
x
xLimx
8. Nilai dari 8. Nilai dari
adalah….adalah….
a. -4a. -4 d. 4d. 4
b. 0b. 0 e. 8e. 8
c. 2c. 2
2
2
)14(
)28(
~
x
xLimx
xx
xxLim
ox 22
2
9. Nilai dari 9. Nilai dari
adalah….adalah….a. -~a. -~ d. 0d. 0b. -2b. -2
c. c. e. e. 2
1
2
1
xx
xxLim
ox 22
2
9. Nilai dari 9. Nilai dari
adalah….adalah….a. -~a. -~ d. 0d. 0b. -2b. -2
c. c. e. e. 2
1
2
1
2523
124634
22
~
xxx
xxxLimx
2
1
2
1
10. Nilai dari10. Nilai dari
adalah….adalah….
a. d. 2a. d. 2
b. 0b. 0 e. 3 e. 3
c. c.
Pembahasan:Pembahasan:
PerhatikanPerhatikan
Pangkat tertinggi diatas 3Pangkat tertinggi diatas 3
Pangkat tertinggi dibawah 4Pangkat tertinggi dibawah 4
Jadi n < mJadi n < m
Nilai R = 0Nilai R = 0
2523
124634
22
~
xxx
xxxLimx
2523
124634
22
~
xxx
xxxLimx
2
1
2
1
10. Nilai dari10. Nilai dari
adalah….adalah….
a. d. 2a. d. 2
b. 0b. 0 e. 3 e. 3
c. c.
11. Nilai dari11. Nilai dari
adalah….adalah….
4133
12522
2
4
xx
xxLimx
13
11.
13
8.
13
5.
c
b
a
13
14.
13
12.
e
d
Pembahasan:Pembahasan:
4133
12522
2
4
xx
xxLimx
)4)(13(
)4)(32(
4
xx
xxLimx
1)4(3
3)4(2
13
32
4
x
xLimx
13
11
13
11
11. Nilai dari11. Nilai dari
adalah….adalah….
4133
12522
2
4
xx
xxLimx
13
11.
13
8.
13
5.
c
b
a
13
14.
13
12.
e
d
74
10422
2
~
x
xxLimx
2
1
2
1
12. Nilai dari12. Nilai dari
adalah….adalah….
a. a. d. -1d. -1
b. 0b. 0 e. -6e. -6
c. c.
Pembahasan:Pembahasan:
Pangkat diatas = Pangkat Pangkat diatas = Pangkat dibawahdibawah
MakaMaka
74
10422
2
~
x
xxLimx
2
1
4
2
74
10422
2
~
x
xxLimx
2
1
2
1
12. Nilai dari12. Nilai dari
adalah….adalah….
a. a. d. -1d. -1
b. 0b. 0 e. -6e. -6
c. c.