1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Persamaan linear dua variable adalah persamaan yang mengandung dua

variable/peubah dengan pangkat masing-masing variable sama dengan satu.

Bentuk umum dari SPLDV:

ax + by = c

px + qy =r

a, b, c, p, q, r R

a, p = koefisien dari x

b, q = koefisien dari y

c, r = konstanta

x, y = variabel

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Persamaan linear tiga variable adalah persamaan yang mengandung tiga

variable/peubah dengan pangkat masing-masing variable sama dengan satu.

Bentuk umum :

ax + by + cz = p

dx + ey + fz = q

gx + hy + iz = r

a, b, c, d, e, f, g, h, I, p, q, r R

a, d, g = koefisien dari x

b, e, h = koefisien dari y

c, f, i = koefisien dari z

p, q, r = konstanta

x, y, z = variabel

3. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Tiga Variabel

a. Metode cramer

Metode cramer atau metode determinan. Determinan adalah suatu bilangan yang

berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi). Determinan dapat pula digunakan

dalam mencari penyelesaian sistem persamaan linear.

Untuk menyelesaikan dengan cara determinan dari bentuk persamaan :

ax + by = c

px + qy = r

diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, Dx, Dy.

Dengan : D = |a bp q

| = aq – bp

Dx = |c br q

| = cq – br

Dy = |a cp r

| = ar – cp

Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan :

x =

Dx

D dan y =

D y

D

dengan D ≠ 0

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

{ 2x+ y=33 x+5 y=1 dengan cara determinan !

Jawab:

D = |2 13 5

| = 2.5 – 1.3 = 10 – 3 = 7

Dx = |1 35 1

| = 1.1 – 3.5 = 1 – 15 = -14

Dy = |2 33 1

| = 2.1 – 3.3 = 2 – 9 = -7

x =

Dx

D =

−147 = - 2

y =

D y

D =

−77 = -1

Jadi HP = {(-2, -1)}

b. Menggunakan perkalian matriks

x+ y− z= 1     (1)8x+ 3y− 6z= 1     (2)

−4x− y+ 3z= 1     (3)

Sistem persamaan linier yang terdiri atas persamaan-persamaan (1), (2), dan (3) di atas dapat

juga ditulis dengan bentuk notasi matriks AB = C seperti berikut

 

1 1 -1

8 3 -6

-4 -1 3

   

x

y

z

  =  

1

1

1

 

Solusinya adalah matriks B. Agar kita dapat mengisolasi B sendirian di salah satu sisi

dari persamaan di atas, kita kalikan kedua sisi dari persamaan di atas dengan invers dari

matriks A.

A−1AB = A−1C

B = A−1C

Sekarang, untuk mencari B kita perlu mencari A−1.

A−1 =  

-3 2 3

0 1 2

-4 3 5

 

B =  

-3 2 3

0 1 2

-4 3 5

   

1

1

1

 

B=

 

   

Jadi penyelesaiannya adalah x = 2, y = 3, z = 4.

c. Eliminasi Gauss / Eliminasi Gauss-Jordan

x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

Sistem persamaan liniear yang terdiriatas persamaan-persamaan (1), (2), dan (3) dapat

juga dinyatakan dalam bentuk matriks teraugmentasi, seperti berikut

2

3

4

1 1 2 9

2 4 -3 1

3 6 -5 0

Dengan melakukan serangkaian operasibaris (Eliminasi Gauss), kita dapat

menyederhanakan matriks di atas untuk menjadi matriks Eselon-baris. Langkah-langkahnya

sebagai berikut.

( 1 1 2 92 4 −3 13 6 −5 0) -2b1 + b2 dan -3 b1 + b3

= (1 1 2 90 2 −7 −170 3 −11 −27) 12b2

= (1 1 2 9

0 1−72

−172

0 3 −11 −27) -3b2 + b3

= (1 1 2 9

0 1−7

2−17

2

0 0−12

−32

) -2b3

= (1 1 2 9

0 1−7

2−17

20 0 1 3

)Keseluruhan matriks ini sudah menjadi eselon baris. Sampai pada langkah ini yang

menghasilkan eselon baris disebut juga eliminasi Gauss. Untuk langkah selanjutnya adalah

langkah untuk memperoleh bentuk eselon baris tereduksi.

(1 1 2 9

0 172

−172

0 0 1 3) 72b3 + b2

= (1 1 2 90 1 0 20 0 1 3) -1b2 + b1

= (1 0 2 70 1 0 20 0 1 3) -2b3 + b1

= (1 0 0 10 1 0 20 0 1 3)

Keseluruhan matriks ini sudah menjadi eselon bairis tereduksi dan dsapai pada tahap ini

disebut juga eliminasi Gauss-Jordan. Sehingga dari langkah-langkah tersebut kita dapatkan

x = 1, y = 2, z = 3 dan ini merupakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.

d. Determinan - Sarrus

Sistem persamaan : {ax + by + cz = p ¿ {dx + ey + fz = q ¿ ¿¿¿

diubah menjadi bentuk susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, Dx, Dy,

dan Dz.

D =

|a b cd e fg h i

|Dx=

|p b cq e fr h i

|Dy =

|a p cd q fg r i

|Dz=

|a b pd e qg h r

|

x =

Dx

D y =

D y

D z =

Dz

D

- - -

D =

|a b cd e fg h i

|a bd eg h = aei + bfg + cdh – gec – hfa - idb

+ + +

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

{ 2 x− y+ z=5x−2 y+3 z=9x+3 y+z=0 dengan cara determinan !

Jawab:

- - -

D =

|2 −1 11 −2 31 3 1

|2 −11 −21 3 = -4+(-3)+3 - (-2) –18 - (-1) = -4 – 3+3+2 – 18+1= -19

+ + +

- - -

Dx =

|5 −1 19 −2 30 3 1

|5 −19 −20 3 = (-10) + 0 + 27 – 0 – 45 - (-9) = -10 + 0 + 27 – 0 – 45 + 9 = -19

+ + +

- - -

Dy =

|2 5 11 9 31 0 1

|2 51 91 0 = 18 + 15 + 0 – 9 – 0 - 5 = 19

+ + +

- - -

Dz =

|2 −1 51 −2 91 3 0

|2 −11 −21 3 = 0+(-9)+15– (-10) –54 - 0 = 0-9 + 15 +10 – 54 - 0= -38

+ + +

x =

Dx

D =

−19−19 = 1 y =

D y

D =

19−19 = -1 z =

Dz

D =

−38−19 = 2

Jadi HP ={(1, -1, 2)}