1

Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier

Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier

Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear.

OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

Diperoleh solusi x = 1 ; y = 2

Catatan :

Pada proses penyelesaian di atas, langkah‐langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut :

1. Mengalikan suatu persamaan (baris) dengan suatu bilangan tak nol

2. Menukar baris

3. Menjumlahkan atau mengurangkan suatu persamaan dengan persamaan yang lain.

Langkah‐langkah ini dinamakan operasi baris elementer (OBE)

2

Setelah matriks augmentasi menjadi matriks dalam bentuk eselon baris, maka kita dapat

memperoleh solusi sistem persamaan linear tersebut dengan melakukan substitusi dimulai

dari baris terakhir. Pada sistem persamaan linear di atas :

6z = 18 ⇒ z = 3

z = 3 ⇒ y = 2

y = 2 ⇒ x = 1

Akhirnya diperoleh solusi x =1; y =2 dan z = 3.

3

Definisi: Elemen taknol pertama dari setiap baris pada matriks dinamakan elemen pivot.

Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris jika memenuhi sifat-sifat sebagai

berikut:

1. Semua bilangan pada kolom di bawah elemen pivot adalah nol.

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan

bersama-sama di bagian bawah dari matriks.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di atas dengan metode eliminasi Gauss,

langkah –langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut :

1. Menentukan matriks augmentasi.

2. Melakukan OBE untuk memperoleh bentuk eselon baris.

3. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan substitusi.

(Musthofa, 2011)

MENENTUKAN PENYELESAIAN SISTEM PENYELESAIAN PERSAMAAN

LINEAR TIGA VARIABEL DENGAN DETERMINAN

Menentukan Determinan Matriks Persegi Ordo 3

A =[

]

Khusus untuk menentukan determinan matriks ordo 3 x 3, Sarrus menemukan suatu

cara yaitu dengan meletakkan lagi elemen-elemen kolom pertama dan kedua di

belakang kolom ketiga sebagai berikut:

Pengantar

4

Latihan (Tugas Individu buat 1 soal matriks ordo 3 dan gunakan metode

determinan atau aturan cramer dan eliminasi gaus)

Carilah menggunakan metode eliminasi gauss dan bandingkan jawaban anda.

2x + y + z = 7

3x + 2y + z = -3

y + z = 5

Jawab :

{ jika menggunakan metode cramer, sbb:}

[

] [ ] = [

]

[

] det A = (2.2.1)+(1.1.0)+(1.3.1)-(1.2.0)-(2.1.1)-(1.3.1)

= 4 + 0 + 3 – 0 – 2 – 3 = 2

5

[

] det Ax = (7.2.1)+(1.1.5)+(1.(-3).1)-(1.2.5)-(7.1.1)-(1.(-3).1)

= 14 + 5 +(-3) – 10 – 7 – (-3)

= 14 + 5 – 3 –17 +3 = 2

x =

=

= 1

[

] det Ay = (2.(-3).1)+(7.1.0)+(1.3.5)-(1.(-3).0)-(2.1.5)-(7.3.1)

= -6 + 0 + 15 – 0 – 10 – 21

= -6 + 5 – 21 = -22

y =

=

= -11

[

] det Az = (2.2.5)+(1.(-3).0)+(7.3.1)-(7.2.0)-(2.(-3).1)-(1.3.5)

= 20 + 0 + 21 – 0 – (-6) – 15

= 20 + 27 – 15 = 20+12 = 32

z =

=

= 16

MENYELESAIKAN PERSAMAAN DENGAN METODE GAUS

Prosedur persamaan dengan menggunakan eliminasi gauss didasarkan

pada upaya mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk eselon baris

yang direduksi.

Proses mengeliminasikan variabel satu, persamaan-persamaan lainnya

adalah:

1. Kalikan semua persamaan dengan konstanta yang tidak sama dengan nol,

supaya konstanta (koefisien) variabel yang akan dieliminasikan dari

persamaan yang lain, nilainya adalah 1.

2. Pertukarkan dua persamaan.

3. Tambahkan kelipatan suatu persamaan, kepada persamaan lain,

eliminasikan variabel tertentu.

Proses mereduksi baris kedalam matriks yang diperbesar yang

bersesuaian dengan pengerjaan pada sistem persamaan tersebut. Operasi

baris elementer yaitu:

Untuk memastikan jawaban anda sistem uji coba; Misal Uji pers. (1) Pers. (3) : y + z = 5 2x + y + z = apa menghasilkan 7 -11 + 16 = .....? 2(1) + (-11) + 16 = 2 -11 + 16 = 7 OK =

6

1. Kalikan suatu baris dengan konstanta tertentu, yang tidak sama

dengan nol.

2. Pertukarkan kedua baris

3. Tambahkan kelipatan suatu baris kepada baris yang lain.

Contoh:

Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode eliminasi gauss:

x + 2y + 4z = 16 ... (i)

3x + y z = 4 ... (ii)

2x + 3 y + z = 10 ... (iii)

Jawaban:

x + 2y + 4z = 16 ... (i)

3x + y z = 4 ... (ii) + (-3 x baris ke-i)

2x + 3 y + z = 10 ... (iii) + (-2 x baris ke-i)

Untuk mengeliminasikan x dari persamaan

1. Kalikan pers. (i), (ii), dan (iii), kemudian tambahkan ke pers. (ii);

kalikan pers. (i) & (ii), kemudian tambahkan dengan pers. (iii)

Persamaannya menjadi:

x + 2y + 4z = 16

-5y – 13z = -44

-y – 7z = -22 (x (-1))

2. Kalikan baris ke-3 dengan (-1), kemudian pertukarkan dengan baris ke-2

x + 2y + 4z = 16

y + 7z = 22 (x (-2) + baris 1)

x (5) + ke baris 3

-5y – 13z = -44

3. Kalikan baris ke-2 dengan (-2), kemudian tambahkan ke baris pertama

dan kalikan baris ke-2 dengan 5, kemudian tambahkan ke baris ke-3

x – 10z = -28

y + 7z = 22 (x (

) )

22z = 66

4. Kalikan baris ke 3 dengan

, kalikan (-7) kemudian tambahkan pada

baris ke-2; dikali 10 + pada baris I

x – 10z = -28

y + 7z = 22

z = 3 x (-27) + pada baris ke-2; x (10) + pada baris I

x = 2

y = 1

z = 3

Tugas Individu (mandiri) cukup 1 nomor soal matriks ordo 3 menggunakan

aturan cramer dan metode gauss yang tiap mahasiswa berbeda soal &

jawabannya, dikumpul (Senin, 11 April 2016). Oleh bu ANDI MARIANI. R

RRRAMLAN