4. Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss

Eselon BarisBentuk eselon baris:

1. Jika sebuah baris tidak semuanya nol, maka entri pertama yang tidak nol harus 1 (disebut 1-utama / leading-1)

2. Baris-baris yang semua entrinya 0, dikelompokkan di bagian bawah matriks

3. Posisi 1-utama dari baris yang lebih bawah harus lebih ke kanan daripada 1-utama baris yang lebih atas

Bentuk eselon baris tereduksi:

1, 2, 3, ditambah

4. Semua entri (yang lain) dari kolom yang berisi 1-utama harus di-0-kan

Sistem Persamaan Linier

bukan matriks eselon baris

matriks eselon baris

510

000

211

000

510

211

Contoh


matriks eselon baris,

bukan eselon baris tereduksi

matriks eselon baris tereduksi ?

0000

1000

4110

3211

0000

1000

0110

0201

Contoh

ContohMore on Row-Echelon and Reduced Row-Echelon form• Semua tipe matriks berikut dalam bentuk eselon baris (row-echelon

form) Sebarang bilangan real dapat disubtitusikan untuk “ * ” :

*100000000

*0**100000

*0**010000

*0**001000

*0**000*10

,

0000

0000

**10

**01

,

0000

*100

*010

*001

,

1000

0100

0010

0001

*100000000

****100000

*****10000

******1000

********10

,

0000

0000

**10

***1

,

0000

*100

**10

***1

,

1000

*100

**10

***1

• Semua tipe matriks berikut dalam bentuk eselon baris yang direduksi (reduced row-echelon form) Sebarang bilangan real dapat disubtitusikan untuk “ * ” :

ContohPenyelesaian untuk 4 Sistem Linier (a)

4100

2010

5001

(a)

4

2-

5

3

2

1

x

x

xPenyelesaian (a)

Sistem persamaan yang bersangkutan adalah

Misalkan bahwa augmented matrix untuk sebuah sistem persamaan linier telah direduksi oleh operasi baris menjadi bentuk eselon baris yang direduksi, maka Pecahkanlah sistem tersebut.

Example Penyelesaian untuk 4 Sistem Linier (b1)

23100

62010

14001

(b)

Penyelesaian (b)

1. Sistem persamaan yang bersangkutan adalah

2 3

6 2

1- 4

43

42

41

xx

xx

xx

Variabel Utama

Variabel Bebas

ContohPenyelesaian untuk 4 Sistem Linier (b2)

43

42

41

3-2

2- 6

4 - 1-

xx

xx

xx

tx

tx

tx

tx

,32

,26

,41

4

3

2

1

2. Kita lihat bahwa variabel bebas dapat di isi dengan sebarang nilai, misal t, maka di dapat nilai variabel utama.

3. Sistem persamaan ini memiliki tak terhingga banyaknya penyelesaian, dan penyelesaian ini diberikan oleh rumus-rumus

Contoh Penyelesaian untuk 4 Sistem Linier (c1)

000000

251000

130100

240061

(c)

2 5

1 3

2- 4 6

54

53

521

xx

xx

xxx

Penyelesaian (c)

1. Baris ke 4 terdiri dari seluruhnya nol. Maka kita dapat menghapus persamaan ini.

Contoh Penyelesaian untuk 4 Sistem Linier (c2)

Penyelesaian (c)

2. Penyelesaian untuk variabel utama dengan variabel-variabel bebas

3. variabel bebas dapat di isi dengan sebarang nilai, maka sistem persamaan ini memiliki tak terhingga banyaknya penyelesaian yang diberikan oleh rumus-rumus

54

53

521

5-2

3- 1

4-6- 2-

xx

xx

xxx

tx

tx

tx

sx

tsx

5

4

3

2

1

,5-2

3- 1

, 4-6- 2-

Contoh Penyelesaian untuk 4 Sistem Linier (d)

1000

0210

0001

(d)

Penyelesaian (d):

Persamaan terakhir dalam sistem persamaan yang bersangkutan adalah:

Karena persamaan ini tidak pernah dapat dipenuhi, maka tidak ada penyelesaian untuk sistem ini.

1000 321 xxx

a. Cara Biasa Seperti SMA

b. Eliminasi Gauss

c. Eliminasi Gauss - Jordan

a. Cara Biasa (untuk mengingat kembali): I. x + y = 3 3x + 3y = 9

3x – 5y = 1 3x – 5y = 1

8y = 8 y = 1

3x – 5 = 1 3x = 6 x = 2

II. y = 3 – x

3x – 5(3 – x) = 1 atau 3x – 15 + 5x = 1 8x = 16 x = 2

y = 3 – x y = 1

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

ditulis dalam

bentuk matriksaugmented

b. Eliminasi Gauss

lalu diusahakan berbentuk Eselon Baris

1 1 2 9

0 ? ? ?

0 0 ? ?

dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE)

(Elementary Row Operation - ERO)

0563

1342

9211

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier


Eliminasi Gauss (ringkasan):


Matriks Augmented

Eselon Baris

Subtitusi Balik

OBE


c. Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama)

1 1 2 9

2 4 -3 1

3 6 -5 0

dan diusahakan berbentuk 1 0 0 ? Eselon baris yang tereduksi 0 1 0 ?

0 0 1 ?

dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE)

(Elementary Row Operation - ERO)

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

Eliminasi Gauss-Jordan (ringkasan):


Matriks Augmented

Eselon baris direduksi

Solusi(langsung)

OBE

1. Sistem Persamaan Linier dikatakan homogen jika konstanta2 di ruas kanan semuanya 0

2. Sistem Homogen selalu konsisten

3. Solusi Sistem Persamaan Linier Homogen:

1. Solusi Trivial ( semua xi = 0; i = 1 .. n ): pasti ada

2. Solusi Non-trivial (solusi trivial, plus solusi di mana ada xi ≠ 0)

terdapat variabel bebas

Contoh:

0

02

032

0322

543

5321

54321

5321

xxx

xxxx

xxxxx

xxxx

011100

010211

013211

010122

Sistem Persamaan Linier Homogen

Teorema:

Sistem Persamaan Linier Homogen dengan variabel lebih banyak daripada persamaan, mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian dan memiliki penyelesaian tak trivial.

Ditinjau dari matriksnya:

Sistem Persamaan Linier Homogen dengan kolom lebih banyak daripada baris mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian.

Computer Solution of Linear System

• Most computer algorithms for solving large linear systems are based on Gaussian elimination or Gauss-Jordan elimination.

• Issues– Reducing roundoff errors– Minimizing the use of computer memory space– Solving the system with maximum speed

SOAL (1/2)

1. Manakah matriks yang dalam bentuk eselon baris yang direduksi? (20 point)

2. Manakah matriks yang berbentuk eselon baris? (20 point)

4210

1301(f).

4010

3100

5001

(e).

00000

10000

01100

03021

(d).

000

010

011

(c).

000

001

010

(b).

100

000

001

(a).

000

000

000

(f).

300

210

432

(e).

00000

10000

02201

02031

(d).

000

010

011

(c). 2310

557-1(b).

100

000

321

(a).

SOAL (2/2)3. Selesaikan sistem berikut menggunakan eliminasi Gauss!(30 point)

4. Selesaikan sistem berikut menggunakan eliminasi Gauss-Jordan!(30 point)

52

114

12

zx

zyx

zyx

023

4 2

1

zy-x

yx

zyx

Referensi Leon, Steven J., ”Aljabar Linier dan

Aplikasinya”, Edisi kelima, Jakarta: Erlangga, 2001

Anton, Howard, ”Elementary Linier Algebra”, 8th ed, United States of America: John Wiley and Sons, Inc, 2000

Anton, Howard; Rorres, Chris, “Elementary Linear Algebra.ppt”

4. Eliminasi Gauss

Documents

Transcript of 4. Eliminasi Gauss