(5) sistim persamaan linier - Fajar Rizky Hogantara · •ELIMINASI GAUSS-JORDAN. 1. Aturan Cramer...

SISTIM

PERSAMAAN LINIER

Agustina Pradjaningsih, M.Si.

Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

[email protected]

DEFINISI : Persamaan Linier

Persamaan Linier dalam n

peubah dinyatakan

dalam bentuk

dimana

nxxx ,, 21

bxaxaxa nn 2211

Rbaaa n ,,, 21

Pemecahan persamaan linier diatas

adalah urutan dari n bil.

sehingga persamaan tersebut dipenuhi

bila

nsss ,,, 21

nn sxsxsx ,,, 2211

Himpunan semua pemecahan

persamaan tersebut dinamakan

himpunan penyelesaiannya. (HP)

Definisi : Sistim Persamaan Linear

Sistim Persamaan Linier adalah sebuah

himpunan berhingga dari m persamaan

linier (i) dengan n peubah (j) :

n

j

ijij

mnmnmm

nn

nn

bxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

1

2211

22222121

11212111

atau

konstanta ,,, peubah, ,, 2121 inn baaaxxx dengan

Sistim Persamaan Linier dari m

persamaan linier dengan n peubah,

dapat dinyatakan dalam bentuk matriks

BAX

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

B;X;A

dengan

Matriks lengkap atau augmented

matriks dari Sistim Persamaan Linier

BAX

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

2

1

21

22221

11211

AB

adalah

Terlihat jika transformasi elementer

dilakukan pada (AB) maka sistem persamaan

linier yang timbul akan ekuivalen dengan

sistem persamaan linier yang diberikan.

Dalam sistem AX=B, jika matriks AB dibawa

ke bentuk kanonik/matriks eselon baris

tereduksi CK maka sistem persamaan

CX=KAX=B. Ini berarti penyelesaian

persamaan CX=K juga merupakan penyelesaian

persamaan AX=B dan sebaliknya

Selesaikan sistim persamaan linier

berikut

CONTOH

4242

3 34

1 2 3

2 2

zyx

zyx

zyx

zyx

Matriks lengkap dari sistim tersebut

4

3

1

2

242

134

213

121

AB

Akan dibawa ke bentuk kanonik

E21(-3), E31(-4), E41(-2)

)1(),1(),(13236

1

3EEE

4

3

1

2

242

134

213

121

0

5

5

2

000

5110

550

121

0

6

1

0

000

600

110

101

)2(),11(),(12325

1

2 EEE

Dapat dilihat

1

0

1

z

y

x

0

1

0

1

000

100

010

001

Vektor penyelesaiannya

1

0

1

X

Matriks kanonik/matriks

eselon baris tereduksi

Sebuah sistim persamaan linier ada 3

kemungkinan pemecahannya : (1) Tepat

satu pemecahan; (2) Takterhingga

pemecahan; (3) Tidak punya pemecahan

Sebuah sistim persamaan linier yang

mempunyai pemecahan (=konsisten)

sedang sistim persamaan linier yang tidak

mempunyai pemecahan dikatakan

(=takkonsisten).

SIFAT-SIFAT

Sistem AX=B terdiri atas mpersamaan linier dalam n bilangantak diketahui mempunyaipenyelesaian konsisten jika danhanya jika r(A)=r(AB)

Sistem AX=B inkonsisten jika danhanya jika r(A)r(AB)

Jika sistem AX=B konsisten dengan

r(A)<n maka (n-r) bilangan tak diketahui

dapat dipilih sedemikian hingga matriks

koefisien r bilangan tak diketahui yang

tersisa mempunyai rank r.

Jika (n-r) bilangan tak diketahui sudah

dipilih (sebarang) maka r bilangan tak

diketahui yang lain tertentu dengan

tunggal.


berikut (3 persamaan linier dalam 4

bilangan tak diketahui)

CONTOH

105252

42 3

6432

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

E21(-1) dan E31(-2)

E23(-2), E13(8)

10

4

6

5-2-52

2-131

4-3-21

AB


2

2

6

3410

2410

4-3-21

0

2

10

1000

2410

8-11-01

E32(-1), E12(-2)



0

2

10

1000

0410

011-01

r(A)=r(AB)=3 → sistem persamaan

linier diatas mempunyai penyelesaian

[(4-3=1) bilangan tak diketahui

menjadi parameter]

3131

3232

4

11101011

4224

0

xxxx

xxxx

x

Terlihat

Misal x3 = maka

1110dan 4212

xx

Jadi vektor penyelesaian adalah

R,

0

42

1110

X

Sistem Persamaan Linear HOMOGEN

n

j

jij

nmnmm

nn

nn

xa

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

1

2211

2222121

1212111

0atau

0

0

0

Penulisan dalam bentuk matriks

0

0

0

2

1

21

22221

11211

nmnmm

n

n

x

x

x

aaa

aaa

aaa

Matriks lengkap Sistem tersebut adalah

0

0

0

AO

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

r(A)=r(AO), ini menunjukkan SPL Homogen

pasti mempunyai penyelesaian nol/trivial

000X

Jika r(A)=n → trivial

Jika r(A)<n → trivial dan non trivial


homogen berikut (2 persamaan dalam 3

bilangan tak diketahui)

CONTOH

02

032

321

321

xxx

xxx

(1) Penyelesaian trivial

000X321 xxx

Matriks lengkap

0

0

211

321

0

0

130

321

0

0

10

01

31

37

E21(-1)

E2(1/3), E12(2)

r(A)=r(AO)=2<3

Karena r(A)=r(AO)=2<3, maka sistemtersebut juga mempunyai penyelesaiannon trivial.

Dari bentuk kanonik terlihat

331

2331

2

337

1337

1

0

0

xxxx

xxxx

Misal x3 = maka

37

131

2dan xx


R,X 31

37

Sistem Persamaan Linear NON HOMOGEN

n

j

ijij

mnmnmm

nn

nn

bxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

1

2211

22222121

11212111

atau

Penulisan dalam bentuk matriks

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

Matriks lengkap Sistem tersebut adalah

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

2

1

21

22221

11211

AB

Sistem persamaan linier non homogen

mempunyai penyelesaian/konsisten jika

r(A)=r(AB).

Jika sistem persamaan linier non

homogen konsisten maka penyelesaian

bisa tunggal bisa tak berhingga

banyak.

Khusus untuk m=n, penyelesaian

1. Tunggal jika det(A)0

2. Banyak jika det(A)=0


non homogen berikut

CONTOH

10473

132

82

321

321

321

xxx

xxx

xxx

E21(1) dan E31(-3)


E2(-1),E32(10), E12(-1)

10

1

8

473

321

211

AB

14

9

8

2100

510

211

104

9

17

5200

510

701)7(),5(),(

1323521

3 EEE



2

1

3

100

010

001

213X321 xxx

Jadi penyelesaiannya adalah

SPL non homogen diatas mempunyai tepat

satu penyelesaian tunggal.

r(A)=r(AB)=3 →konsisten.


non homogen berikut

CONTOH

333

142

12

wx

wzyx

wzyx

E21(1) dan E31(-3)


E32(-3), E12(1)

3

1

1

3003

1421

1211

AB

0

0

1

0630

0210

1211

0

0

1

0000

0210

1001Matriks kanonik

r(A)=r(AB)=2 →konsisten.

wxwxzyzy 11dan 202

SPL menjadi 2 persamaan 4 variabel, jadi 2

variabel menjadi parameter


R,,2

1

X

Misal w = dan z = maka 1 & 2 xy

Banyak

tak hingga

penyelesaian


non homogen berikut

CONTOH

123

12

232

yx

yx

yx

Matriks kanonik

r(A)=2(AB)=3

inkonsisten.


1

1

2

23

12

32

AB

4

3

1

0

40

1

213

23

87

43

81

00

10

01

3((\),2(),(31212

1

1 EEE

)(),(),( 23

12213

3241

2EEE

Penyelesaian SPL

1• ATURAN CRAMER

2• MENGHITUNG A-1 ; X=A-1B.

3

• ELIMINASI GAUSS DENGAN SUBTITUSI BALIK

4• ELIMINASI GAUSS-JORDAN

1. Aturan Cramer

Jika AX = B sistem persamaan linier yang

terdiri dari n persamaan linier dalam n

peubah dan │A│≠0, maka

Aj matriks yang diperoleh dengan

menggantikan entri dalam kolom ke-j dari

A dengan entri dalam matriks kolom B.

)det(

)det(,,

)det(

)det(,

)det(

)det( 22

11

A

Ax

A

Ax

A

Ax n

n

CONTOH

0563

1 342

92

zyx

zyx

zyx

Diberikan sistim persamaan linier sbb

110182424920

63

42

11

5-63

3-42

211

A

151620120180

60

41

19

5-60

3-41

219

A x

3

2

1

;3A

A ;2

A

A ;1

A

A

z

y

x

zyxzyx

30610810830

63

42

11

063

142

911

A z

290060815

03

12

91

5-03

3-12

291

A y

Jika A matriks nxn yang

invertible, maka untuk setiap

matriks B yang berukuran nx1,

sistem persamaan linier AX=B

mempunyai tepat satu pemecahan,

yakni X=A-1B

2. Menghitung A-1; X=A-1B.

CONTOH

0563

1 342

92

zyx

zyx

zyx


0

1

9

B;

z

y

x

X;

5-63

3-42

211

A

Dihitung A-1

1031130

0110

001211

21

27

100563

010342

001211

)3(dan )2( 3121 EE

)(21

2E

1031130

012720

001221

1000

0110

0201

23

21

21

27

21

211

)1(dan )3( 1232 EE

)2(3 E

)(dan )(2

11132

723 EE

230100

0110

0201

21

27

21

211

230100

7111010

11172001

2-30

7-111-

1117-2

A 1

3

2

1

0

1

9

2-30

7-111-

1117-2

BAX 1

3

2

1

z

y

x

3. Eliminasi Gauss dgn Subtitusi Balik

Metode ini didasarkan pada

pereduksian augmented

matrix menjadi matriks

berbentuk eselon baris.

augmented matrix dari sistim tersebut

0563

1342

9211

CONTOH

0563

1 342

92

zyx

zyx

zyx


271130

10

9211

217

27

0563

1342

9211

E21(-2) dan E31(-3)

)(21

2E

271130

17720

9211

3100

10

9211

217

27

E32(-3)

)2(3 E

Matriks eselon baris

23

21

217

27

00

10

9211

3

92

217

27

z

zy

zyx

Sistim persamaan linier menjadi

diperoleh

1

2

3

x

y

z

3. Eliminasi Gauss Jordan

Metode ini didasarkan pada

pereduksian augmented

matrix menjadi matriks

berbentuk eselon baris ter-

reduksi

0563

1 342

92

zyx

zyx

zyx


augmented matrix dari sistim tersebut

0563

1342

9211

CONTOH

271130

10

9211

217

27

0563

1342

9211

E21(-2) dan E31(-3)

)(21

2E

271130

17720

9211

3100

10

9211

217

27

E32(-3)

)2(3 E

23

21

217

27

00

10

9211

3100

2010

9211

)(27

23E

3100

2010

1001

)1(12 E

)2(13 E

Matriks eselon baris

tereduksi

3

2

1

z

y

x

3100

2010

7201

(5) sistim persamaan linier - Fajar Rizky Hogantara · •ELIMINASI GAUSS-JORDAN. 1. Aturan Cramer...

Documents

Transcript of (5) sistim persamaan linier - Fajar Rizky Hogantara · •ELIMINASI GAUSS-JORDAN. 1. Aturan Cramer...