C.Maksum

Penduga rasio total dari dua variabel

Misal selain variabel Y, variabel X juga merupakan variabel yang diteliti, xhij nilai variabel X pada upstd ke-j pada upstp ke-i strata ke-h.

Penduga yang tidak bias bagi total yang diperoleh dari upstp ke-i strata ke-h adalah

Penduga total bagi variabel X dari seluruh n upstp adalah

Penduga varian bagi total Xh dan Yh seperti yang tercantum pada anak bab

sebelumnya. Penduga yang bias tetapi konsisten bagi rasio dari dua nilai total pada stratum ke-h adalah merupakan rasio dari

dan, yaitu :

im

jij

hi

hihhi xm

MNX

1

ˆ

im

jij

n

i hi

hiL

h h

h xm

M

n

NX

111

ˆ

hhh XYR

hhh XYR ˆˆˆ hY hX

C.Maksum

)ˆ,ˆcov(ˆ2)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ1

)ˆ()ˆ( 2

12

1hhhhhh

L

h h

L

hh YXRXvRYv

XRvRv

hhi

n

ihhi

hhhh YYXX

nnYX

h

ˆˆˆˆ)1(

1)ˆ,ˆcov(

1

)ˆ,ˆcov(ˆ2)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ1

)ˆ( 2

2 hhhhhh

h

h YXRXvRYvX

Rv

dan penduga varian bagi adalah

dengan

adalah merupakan penduga tidak bias bagi kovarian dan

Dengan demikian, maka penduga varian yang bias tetapi konsisten bagi R adalah

merupakan penjumlahan dari varian pada masing-masing strata, yaitu :

hY hX

hR

C.Maksum

Contoh klaster dua tahap dengan menggunakan sampel desa pada uraian sebelumnya. Kolom (1) s.d. (3) pada tabel tsb untuk penghitungan klaster satu tahap. Dalam desain dua tahap, pada desa terpilih dipilih sejumlah usaha dan dari usaha terpilih ditanyakan banyaknya ternak ayam yang dipelihara. Hasil pencacahan terlihat pada kolom (4) tabel tsb. Penghitungan , dan untuk sampling dua tahap didasarkan pada data di kolom (4) s.d. (7). Dan selanjutnya data ini digunakan untuk menghitung:

Catatan: Klaster satu tahap berdasarkan kolom (3), klaster dua tahap berdasarkan kolom (4) tabel tsb. 

m iy i y i .

y s

y s

y s

n b

n b

n b

2

2

2

* *

C.Maksum

Tabel 3.5. : Jumlah Usaha dan Ternak Ayam Dipelihara padaDesa Terpilih dan Usaha Terpilih

 

( )M i ( ).Yi ( )y ij

m i y i . y i .  Jumlah

usahaJumlah ayam

Ternak ayam dipelihara pada usaha terpilih

     

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

 

A   B   C   D

 

102    

105    

200    

88 

Y1.

Y2 .

Y3.

Y4 .

 

12546 =123  24150 =230  88200 =441  14080 =160 

 266, 890, 311, 46, 174, 31, 17, 186, 224, 31, 102, 46, 31, 109, 275, 128, 125, 267, 153, 152, 84, 21, 52, 10, 0, 48, 94, 129, 87, 89, 109, 0, 310, 3 129, 57, 64, 11, 163, 77, 278, 50, 26, 127, 252, 194, 350, 0, 572, 149, 275, 114, 387, 53, 34, 150, 224, 185, 157, 224, 466, 203, 354, 816, 242, 140, 66, 590, 747, 147 247, 622, 225, 278, 181, 132, 659, 403, 281, 236, 595, 265, 431, 190, 348, 232, 88, 1165, 831, 120, 987, 938, 197, 614, 187, 896, 330, 485, 60, 60, 1051, 651, 552, 968, 987 347, 362, 34, 11, 133, 36, 34, 61, 249, 170, 112, 42, 161, 75, 68, 0, 247, 186, 473, 0, 143, 198, 65, 0, 308, 122, 345, 0, 223, 302, 219, 120, 199, 35, 0, 0

 

 

m1 =

34  m2 =

36  m3 =

35   m4 =

36   

 

y1. = 4594   y2. =8093

   

y3.

=16492   y4. =5080

y 1.

y 2 .

y 3.

y 4 .

 

=135    =225     =471   

=141

 

495Jumlah 138976

Desa

C.Maksum

Estimasi cara pertama

(dihitung dari kolom (4) tabel 1, masing-masing klaster terpilih) Dengan rumus di atas diperoleh:

yn

yn ii

n

1 1 3 5 2 2 5 4 7 1 1 4 1

4

9 7 2

42 4 3

1.

v yN n

N

s

n nN

M m

M

s

mnb i i

i

w i

ii

n

( )

2 2

1

1

sm

y yw ii

ij ij

mi2 2

1

1

1

( )

sn

y yb i ni

n2 2

1

1

1

( ).

sw 12 2 2 2

21

3 4 12 6 6 8 9 0 3

4 5 9 4

3 42 4 4 8 1

( . . . .

sw 22 2 2 2

21

3 6 11 2 9 5 7 1 4 7

8 0 9 3

3 63 9 9 1 2

( . . . .

sw 32 2 2 2

21

3 5 12 4 7 6 2 2 9 8 7

1 6 4 9 2

3 51 0 5 3 4 6

( . . . .

sw 42 2 2 2

21

3 6 13 4 7 3 6 2 0

5 0 8 0

3 61 5 9 5 3

( . . . .

C.Maksum

v y n( )( )

,

1 2 4

1 2

2 4 7 9 2

4

1

4 1 2

1 0 2 3 4

1 0 2

2 4 4 8 1

3 4

1 0 5 3 6

1 0 5

3 9 9 1 2

3 6

2 0 0 3 5

2 0 0

1 0 5 3 4 6

3 5

8 8 3 6

8 8

1 5 9 5 3

3 64 2 1 4 3 7

( ), ,

,y x xn 4 2 1 4 3 7

2 4 31 0 0 %

6 4 9 2

2 4 31 0 0 % 2 6 7 1 %

sb2 2 2

21

4 11 3 5 1 4 1

9 7 2

42 4 7 9 2

( . . . .

RSE

C.Maksum

Penduga cara ke dua

y

M y

M

x x x xn

i ii

n

ii

n

. ( ) ( ) ( ) (8 8 )1

1

1 0 2 1 3 5 1 0 5 2 2 5 2 0 0 4 7 1 1 4 1

4 9 52 9 1

v yN n

N

s

n nN

M

M

M m

M

s

mnb i i i

i

wi

ii

n

( )

2 2

2

2

1

1

sM

M

y y

nbi i n

i

n2

2

2

2

1 1

( ).

MM

n

ii

n

1 1 2 4

C.Maksum

Ruas kanan pertama  

Ruas kanan kedua:

dalam contoh ini sama dengan yaitu 124  

sb

22 2 2 20 6 7 1 3 5 2 9 1 0 7 2 2 2 5 2 9 1 2 6 0 4 7 1 2 9 1 0 5 0 1 4 1 2 9 1

4 1

, ( ) , ( ) , ( ) , ( )

3 8 4 0 1 8 7,

N n

N

s

nb

2 1 2 4

1 2

3 8 4 0 1 8 7

4

3 8 4 0 1 8 7

66 4 0 0 3 1

, ,,

11 5 4 8 7

2

2

2

1nN

M

M

M m

M

s

mi i i

i

wi

ii

n

,

M M

v y n( ) , , , 6 4 0 0 3 1 1 5 4 8 7 6 5 5 5 1 8

( ), ,

, y x xn

6 5 5 5 1 8

2 9 11 0 0 %

8 0 9 6

2 9 11 0 0 % 2 7 8 2 %RSE

C.Maksum

Penduga cara ke tiga

bila diketahui populasi = 124,

 Ruas kanan pertama:

 

yM y

nM

x x x x

xn

i ii

n

*. ( ) ( ) ( ) (8 8 )

1 1 0 2 1 3 5 1 0 5 2 2 5 2 0 0 4 7 1 1 4 1

4 1 2 4

2 9 0

M v yN n

N

s

n nN

M

M

M m

M

s

mnb i i i

i

wi

ii

n

( )*

2 2

2

2

1

1

sn

M

My y

n

M

My ny

x x x x x

N n

N

s

n

bi

i ni

ni

ii

n

b

*.

*

*

( , , , , )

,

, ,,

2

2

1

2

22 2

1

2 2 2 2 2

2

1

1

1

1

1

4 10 6 7 1 3 5 0 7 2 2 2 5 2 6 0 4 7 1 0 5 0 1 4 1 4 2 9 0

5 4 3 5 1 6 0

1 2 4

1 2

5 4 3 5 1 6 0

4

5 4 3 5 1 6 0

69 0 5 8 6 0

C.Maksum

Ruas kanan kedua:

 

RSE  Penghitungan di atas merupakan penghitungan nilai rerata per elemen. Apabila dikehendaki penduga total, maka secara umum dihitung dengan rumus: 

disesuaikan dengan ketiga cara penghitungan di atas. 

1 1

4 8

1 0 2

1 2 44 7 3

1 0 5

1 2 47 2 9

2 0 0

1 2 42 4 8 3

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2nN

M

M

M m

M

s

mx x xi i i

i

wi

ii

n

8 8

1 2 42 6 2 1 5 4 8 7

2

2 x

,

v y n( ) , , ,* 9 0 5 8 6 0 1 5 4 8 7 9 2 1 3 4 7

( ), ,

,*y x xn 9 2 1 3 4 7

2 9 01 0 0 %

9 5 9 9

2 9 01 0 0 % 3 3 1 0 %

Y N M y n

v Y N M v y n( ) ( ) 2 2

M

C.Maksum

Materi 4 Rancangan penarikan sampel tertimbang sendiri ( self-weighting design )

1) Manfaat Penimbang yang seragam

Penarikan sampel dan menentukan peduga, terutama utk penarikan sampling bertahap membutuhkan prosedur yg rumit terutama pada penentuan penduga dalam tabulasinya. Pada bagian ini akan didiskusikan penduga yang sering digunakan serta prosedur yg lebh sederhana, sehingga mengurangi beban saat melakukan tabulasi. Tujuan survei mendptkan penduga karakteristik populasi dg data dari sampel. Utk mendptkan penduga karakteristik populasi, penduga dari sampel perlu ditimbang dg suatu nilai tertentu.

Penduga total populasi biasanya dituliskan = jumlah ultimate sampling unit (usu) = nilai karakteristik yg berpadanan dg usu ke – i = penimbang yg berpadanan dg usu ke – i

Penimbang tergantung pada prosedur penarikan sampel dan penduga yg ditentukan dan biasanya dipilih yg tidak bias (unbiased). Penimbang pada dikenal sebagai faktor pengali (multiplier, inflation factor), karena dipakai utk mem blow – up nilai yg diperoleh dari sampel utk mendptkan penduga populasi.

n

iii ywY

( 1 )

niyiw

Y

iw

( 1 )

C.Maksum

Sebagai contoh dalam SRSWR/WOR, sistimatik sirkuler, penimbang yg digunakan pada semua unit sampel dinyatakan sebagai

yang merupakan kebalikan fraksi sampling dan dalam sistimatik linear dinyatakan sebagai k (interval pemilihan sampel). Dalam pps sampling, penimbang antar unit biasanya bervariasi, oleh karena itu utk suatu unit sampling penimbang dinyatakan sebagai

= jumlah ultimate sampling unit (usu) = peluang terpilihnya unit ke – i

Dalam rancangan sampling dua tahap, dengan jumlah sampel pstp (penarikan sampel tahap pertama) sebanyak yg dipilh secara pps, dan unit merupakan jumlah unit pada pstd (penarikan sampel tahap dua) yang dipilih dari secara SRSWOR atau sistimatik linear, penimbang dapat dituliskan

Karena penimbang tdk tergantung pada pengamatan sampel secara individual, pertamadihitung penimbang setiap unit penarikan sampel pd tahap pertama dan kemudiandigunakan utk mengalikan setiap nilai berbagai karakteristik yg diteliti utk mendptkan nilai peduganya.

ii pnw 11

nip

( 3 )

n im

iM

iiii mMpnw 11 ( 4 )

nNwi ( 2 )

C.Maksum

Dalam survei yg besar dg banyak parameter yg diduga, penghitungan penimbang dalam tahapan estimasi menjadi rumit dikaitkan dg waktu dan biaya utk kepraktisan dan efisiensi sampai tahap tabulasi dibutuhkan rancangan sampling yg mempunyai satu penimbang yg berlaku utk setiap unit (rancangan penarikan sampel tertimbang sendiri --self-weighting design atau equi-weighting design)

Dalam rancangan penarikan sampel tertimbang sendiri (self-weighting design), persamaan dapat disederhanakan menjadi :

penimbang yg berlaku utk setiap unit sampling

Rancangan sampel dg penimbang yg seragam utk setiap unit sampling self-weighting design at field stage. Misalnya rancangan sampling bertahap dpt dibuat self weighting design dg cara menentukan banyaknya ultimate sampling unit yg harus dipilih. Dalam kasus tertentu suatu teknik sampling dpt mereduksi banyaknya penimbang pada tahapan tabulasi self-weighting design at tabulation stage. Pada survei yg besar sering digunakan rancangan sampling yg memenuhi syarat ke dua kriteria di atas.

( 1 )

n

iiywY

w

( 5 )

C.Maksum

2) Stratified Sampling a) Stratified random sampling. Pada rancangan stratified sampling SRSWR, SRSWOR, sistimatik sirkuler dan bukan self – weighting, penduga total ditulis

= ukuran unit pd stratum ke – h = ukuran sampel pd stratum ke – h = nilai karakteristik pd unit sampel ke – i yg dipilih dari stratum ke – h.

Faktor pengali bervariasi antar stratum, kecuali bila sampel dialokasikan secara proporsional thp . Dg demikian, rancangan sampel akan menjadi self – weighting apabila sampel dialokasikan kedalam setiap stratum proporsional thp sdmkian rupa shg atau

substitusi ke penduga total dituliskan

dg varian

Y

L

h

n

ihi

h

hh

yn

NY ( 6 )

hNhn

hiy Y

n

N

n

N

h

h

hh nNhN

hN

nWnN

Nn h

hh ( 7 )

( 6 )( 7 ) Y

L

h

n

ihi

h

yn

NY ( 8 )

L

hhhsW

n

fNYv 22 1

( 9 )

hn

ihhi

hh yy

ns 22

1

1

C.Maksum

b) Stratified PPS sampling Pada rancangan stratified PPS sampling dg pemilihan pada strata secara PPSDP dg size , penduga yg tidak bias dari total karakteristik dituliskan

= nilai variabel pd unit sampel ke – i stratum ke – h = nilai variabel pd unit sampel ke – i stratum ke – h = size pemilihan sampel pd stratum ke – h, total size = ukuran sampel pd stratum ke – h, ukuran sampel secara keseluruhan (overall sample size) Rasio ( selanjutnya dinyatakan ) dapat diamati di lapangan atau diperoleh dari para pencacah secara mudah. Rancangan akan menjadi self-weighting apabila sampel dialokasikan ke dalam setiap stratum secara proporsional thp size sdmkn rupa shg

penduga total karakteristik dpt dituliskan

dg varian

,

x Y

L h

h

n

i hi

hi

h

h

x

y

n

XY

Yhiy

hixhX

X

hn

hihi xyhir

X

Xnn h

h

Y L h

h

n

ihirn

XY

hn

i

hhi

L

h hh

YYnn

Yv

2

*

1

1hihhi rXY

*

hi

n

ihh rXY

h

Xn

( 10 )

( 11 )

( 12 )

( 13 )

C.Maksum

c) Stratified two-stage sampling pstp dipilih secara ppswr dg size pstd sistimatik linear, penduga yg tidak bias dari adalah

penimbang penduga nilai total

Agar menjadi self-weighting design dan ditentukan sdmkn rupa shg penimbang konstan sebesar . Utk nilai yg belum diketahui, rancangan menjadi self-weighting utk

Banyaknya sampel pstd dan pstp ke - i

= nilai pengamatan ke – j, pstp ke – i, yg dipilih dr stratum ke – h

= nilai variabel pd pstp ke – i stratum ke – h

= interval sampling pd pstp ke – i stratum ke – h

= size pemilihan pd pstp ke – I, stratum ke – h

= total ukuran pd stratum ke – h

= size pemilihan pd stratum ke – h

L h hi

h

n

i

n

jhij

hi

hi

h

h yx

I

n

XY

Y

hijy

hix

hiI

hin

hX

hn

hi

hi

h

hhij x

I

n

Xw

hiI himk k

h

hihhi X

xnkI

hi

hi

h

h

hi

hihi x

M

n

X

kI

Mm

1

( 14 )

( 15 )

( 17 )

( 16 )

x

X

C.Maksum

Dari terlihat bhw bila semakin besar ukuran sampel pstd mengecil bila semakin kecil ukuran sampel pstd membesar, melebihi yg dibutuhkan; harus ditentukan utk mendptkan ukuran sampel pstd yg dibutuhkan. Bila sampel yg dibutuhkan secara rerata adalah , maka nilai harapan ukuran sampel dapat dituliskan

merupakan kebalikan dari overall sampling fraction

( 17 ) kk

him

himk

mn

L

h

N

ihi

L

h

n

ihi mnM

kmE

hh 1

L

h

N

ihi

h

Mmn

k1

k

C.Maksum

d) Contoh aplikasi(1) Suatu populasi terdiri atas 160 perusahaan industri yg terbagi menjadi 6 strata. Ukuran sampl yg akan ditarik 20 perusahaan. Rancangan I self-weighting, penarikan dg cara sistimetik linear dg interval 8 pada setiap stratum. Rancangan ini akan menimbul kan beban kerja yg bervariasi antar strata. Utk mengatur agar beban kerja antar strata tidak terlalu berbeda, dibuat rancangan II, yaitu dengan cara mengalikan / membagi interval dg suatu bilangan bulat sdmkn rupa shg beban kerja antar strata berkisar antara 3 – 4 perusahaan. Rancangan II tidak seluruhnya self-weighting, krn penimbang pada beberapa strata berubah seiring dg perubahan interval, shg rancangan II disebut sbg partially self-weighting. Interval pemilihan sampel dan expected sample size disajikan pada tabel berikut.

Strata (h)

JumlahPersh

Rancangan I

Rancangan II

1

2

3

4

5

6

52

14

25

28

12

29

160

8

8

8

8

8

8

16

4

8

8

4

8

6,500

1,750

3,125

3,500

1,500

3,625

3,250

3,500

3 125

3 500

3,000

3,625

Tabel 4.1. : Ukuran Strata, Interval Sampling dan Nilai Harapan Sampel

hN

6

hhN

hI hI hnE hnE

C.Maksum

Pada rancangan I, interval setiap stratum = 160 / 20 = 8Interval dikalikan 2 harapan ukuran sampel menjadi setengahnyaInterval dibagi 2 harapan ukuran sampel menjadi 2 kali lipat.Rancangan I sampel dialokasikan sebanding ukuran strata shg lebih efisien dibanding rancangan II dlm hal sampling variannya.Rancangan II diterapkan bila ada manfaat dr penyeimbangan beban kerja.

(2) Populasi terdiri atas 16 desa yg terbagi menjadi 4 strata. Rancangan sampling stratifikasi dua tahap self-weighting (stratified two stage design self weighting).unit pstp desaunit pstd rumah tanggapstp setiap stratum dipilh satu desa secara pps dg size jumlah pendudukpstd setiap desa terpilih dipilih sejumlah rumahtangga secara sistimatik linear.jumlah rumahtangga 7198jumlah sampel yg direncanakan 80faktor pengali yg konstan mrpkn kebalikn overall sampling fraction = 7198 / 80 90jumlah desa yg diambil dr setiap stratum = 1 ( = 1 ).Rancangan I : diperoleh dr rmus , diperoleh dr rmus

Contoh : stratum – 1, desa – 1, = 90 (1) (1618) / 6887 = 21,14 = 360 / 21,14 = 17, 0.Utk Rancangan II, penghitngan intrval dan jmlh rmhtangga terplih rmus yg sama.Rancangan I self weighting, shg faktor pengali sama yaitu 90Rancangan II keseimbangan beban kerja antar strata.

hI

k hn

( 16 )hI him ( 17 )

11I

11m

C.Maksum

Tabel 4.2.: Self Weighting Two Stage Stratified Design

Strata NoDesa

Jumlah Penduduk

Jumlah Rumah tangga

Rancangan I

Rancangan II

)(i)(h )( hix )( hiM k khiI hiI himhim(2)(1) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)1234

1234

1234

1234

1

2

3

4

16181402 6993168

360255140704

21,1418,31 9,1441,47

17,013,915,317,0

90909090

21,1418,31 9,1441,47

17,013,915,317,0

90909090

90909090

90909090

90909090

4006791721222355

7281588 472 428

21,9943,4411,6512,02

33,136,640,533,1

43,9886,8823,3025,84

16,618,320,216,6

180180180180

45454545

90909090

490 533 2842172

684265627262872

98 118 52 434

155 493 545 638

12,6713,79 7,3456,20

6,8826,7527,4528,92

7,78,67,17,7

22,518,119,922,1

6,34 6,90 3,6728,10

6,88 26,75 27,45 28,92

15,415,214,215,4

22,518,119,922,1

Sub Jumlah 1 6887 1459

Sub Jumlah 2 16400 3216

Sub Jumlah 3 3479 702

Sub Jumlah 4 8938 1821

Jumlah 1 – 4 35704 7198

C.Maksum

3) Penarikan sampel tiga tahap

Contoh : Sampel tiga tahap pstp psu kecamatan blok sensussekolah pstd ssu blok sensus ru-ta tani kelas pstg tsu rumah tangga petak sawah murid

nN

ii mM

ijij lL

C.Maksum

Misalkan banyaknya unit yang dapat dijadikan dasar untuk penarikan sampel tahap pertama ( pstp atau first stages sampling unit – fsu) adalah N, banyaknya unit yang dapat dijadikan dasar penarikan sampel tahap ke dua ( pstd atau secondary sampling unit – ssu) pada setiap unit penarikan sampel tahap pertama yang ke-i adalah .

Serta banyaknya unit yang dapat dijadikan dasar penarikan sampel tahap ke tiga ( pstg atau third sampling unit – tsu) pada setiap unit penarikan sampel tahap pertama yang ke-i, dan tahap ke dua -j adalah .

Apabila penarikan sampel menggunakan PPSDP pada setiap tahapnya, penduga yg tidak bias dari total karakteristik populasi dapat dituliskan :

dengan varian :

dan penduga varian yg tidak bias :

Biaya :      

iM

ijL

n

i

m

j

l

k ijk

ijk

iji p

y

ppnmlY

111ˆ

N

i

L

kij

ij

ijM

j iji

N

i

M

ji

ij

ij

i

N

ii

i

iiiii

Yp

Y

ppnmlY

p

Y

pnmY

p

Y

nYV 2

22

22

2 111111ˆ

n

ii n

Yy

nnYv

2

2.

ˆ

1

1ˆ

l

k ijk

ijkm

j ijii p

y

ppy

11.

lmncmncncCC 3210