PENDUGAAN MODEL FUNGSI SURVIVOR

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Agus Galihpurbajati

NIM : 023114016

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

ii

iii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta,……………2007

Penulis

Agus Galihpurbajati

iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

Poma-poma wekas mami

Anak putu aja lena

Aja ketungkul uripe

Lan aja duwe kareman

Marang pepaes donya

Siyang dalu dipun emut

Urip cadhangan antaka

( Surat Wulang Reh, Paku Buwono IV )

KUPERSEMBAHKAN KARYA YANG SEDERHANA INI

KEPADA TUHAN YESUS DAN BUNDA MARIA

YANG SELALU MELINDUNGIKU

BAPAK DAN IBUKU YANG SELALU MELIMPAHKAN

SELURUH KASIH SAYANGNYA KEPADAKU

SERTA Ndo’ YANG SELALU DI SAMPINGKU

v

ABSTRAK

Setiap item memiliki waktu hidup, yaitu masa dari awal item tersebut diciptakan hingga item tersebut mengalami kerusakan atau kegagalan. Dalam waktu hidupnya, suatu item memiliki waktu dimana item tersebut akan bertahan hidup sebelum akhirnya akan mengalami kegagalan. Data yang diambil dari waktu bertahan hidup suatu item sebelum item tersebut mengalami kegagalan disebut data survival atau data survivor. Model matematis waktu survival dapat diduga dari data waktu bertahan hidup n item yang diamati. Untuk menduga model survivor lebih lanjut, diperlukan distribusi probabilistik yang sesuai. Untuk setiap n item, bertahan ke waktu t dapat dianggap sebagai percobaan Bernoulli, jadi jumlah item yang bertahan ke waktu t, (n(t)), mempunyai distribusi Binomial dengan parameter n dan probabilitas suksesnya S(t), di mana sukses menunjukkan bahwa item dapat bertahan hingga ke waktu t. Tulisan ini membahas Metode Non parametrik untuk menduga model fungsi survivor. Pendekatan distribusi normal untuk binomial digunakan untuk menentukan selang kepercayaan parameter fungsi survivor.

vi

ABSTRACT

Each item has a lifetime, i.e. a time from the item was created until the item failed. In the lifetime, an item has a time to survive before finally the item will fail. Survival data is taken from the survival times of an item before the item fails. The Survival time mathematical model can be estimated from the survival time data of the n studied-item. An appropriate probabilistic distribution is needed to estimate the survivor model in further. For each of the n item that survives to time t can be considered as a Bernoulli trial. Thus the number of items that survives to time t, n(t), has a Binomial distribution with parameter n and probability of success S(t), where the success shows that the item can survive to time t. This writing discusses about Nonparametrical method to estimate the survivor function model. The normal approximation to the binomial distribution is used to determine the parameter confidence interval of the survivor function.

vii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Allah Bapa yang penuh kasih, karena dengan terang-

Nya skripsi yang berjudul Pendugaan Model Fungsi Survivor ini dapat diselesaikan

dengan baik. Skripsi ini disusun dalam rangka memenuhi salah satu syarat

memperoleh gelar sarjana sains.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini dapat diselesaikan karena bantuan dari

berbagai pihak, oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. sebagai dekan Fakultas MIPA

Universitas Sanata Dharma dan juga sebagai dosen pembimbing akademik

sekaligus pembimbing skripsi yang dengan sabar membimbing dan

memberikan masukan-masukan yang sangat berarti selama penulis

menempuh studi dan dalam proses penyusunan skripsi ini.

2. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc. sebagai Ketua Program Studi Matematika,

Fakultas MIPA, Universitas Sanata Dharma.

3. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si dan ibu Lusia Krismiyati

Budiasih, S.Si, M.Si selaku dosen penguji.

4. Bapak dan Ibu dosen FMIPA khususnya Program Studi Matematika yang

telah banyak memberikan banyak ilmu kepada penulis.

5. Ibu Warni, Mas Tukijo dan Ibu Linda atas semua bantuannya.

6. Perpustakaan USD dan staff atas fasilitas dan pelayanannya.

7. Kedua orangtuaku, Bapak P. Purwiyono dan Ibu Ch. Sukiyem, yang selalu

memberi dukungan kepada penulis, “ Aku sangat menyayangi kalian “

viii

8. Mas Poyo, Le’ Wakini, Mita dan calon adiknya, terima kasih semuanya

mbah Pacitan, Le’ Mistam, Le’ Parni, Le’ Gum, Pita, Wawan, Nurul, mbah

Muntilan (Alm.), mba Venti, Pakdhe, Budhe, Bulik dan Om, terima kasih

atas doa-doanya. Tak lupa juga Pakde Bagyo, Bude Kat, Mas Nug, Mba

Tiwik, Mbak Nia.

9. Katarina Kartika, seorang yang selalu ada untukku, selalu mengasihi,

menyayangi dan mendukungku (MsbmA).

10. Pak Sardjono dan Ibu atas doa restunya, juga Mbak Kus dan Mas UQ.

11. Sahabat-sahabatku: Bani, Aan, Ijoep, Taim, Markus, Tato, Priska yang

selalu penuh keceriaan, terima kasih untuk semuanya.

12. Teman-teman angkatan 2002, kapan kita makrab lagi (10-10-10 ? )

13. Anak-anak kos PJ’S : Andi untuk komputer dan segala pengalaman hidup.

Koencoeng untuk motornya ☺. Doni untuk kebaikanya serta Ari untuk

cerita-ceritanya. Poeji, Eli, Angga, Danang, mBah Jo, Putu, terima kasih

atas kebersamaan yang telah kita lewati. Mas Disiplin untuk tukar

pikirannya. Tak lupa Pak Djan dan Bu Djan atas kos-kosannya yang telah

memberi banyak keceriaan kepada penulis.

14. Kodok Ijo Comunity : Gondrong, Tsu Min, Didit, Topan, Felix untuk

semuanya.

15. Mas Mbong untuk falsafah hidup dan cerita-cerita serunya.

16. Pak Aris untuk pelajaran dekorasinya.

ix

17. PSM CF dan anak-anaknya yang selalu kocak: Bayu, Beni, Elen dan

semuanya, terima kasih untuk warna yang indah selam kita bersama.

‘Banyak yang telah aku dapat di sini’

18. Teman-teman KKN XXXI kelompok 10: Yosep, Cahyo, Siska, Agnes, Via,

Sinta, Watik, Seli dan Neni.

19. Teman sekampungku :mBak Sari, D’Lina-D’Leni, D’Nopi, Songglon, Rino,

Tekek, Joni, Dedi.

20. Semua pihak yang namanya belum tercantum di tulisan ini.

Skripsi ini bukanlah sebuah karya yang sempurna, masih ada kekurangan-

kekurangan dalam skripsi ini yang perlu diperbaiki. Oleh karena itu penulis

mengharapkan saran dan kritikan yang membangun. Akhir kata, semoga skripsi ini

dapat bermanfaat bagi para pembaca.

Yogyakarta, Juni 2007

Penulis

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL.............................................................................................i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING.................................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN............................................................................ iii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA...............................................................iv

HALAMAN PERSEMBAHAN......................................................................... v

ABSTRAK......................................................................................................... vi

ABSTRACT....................................................................................................... vii

KATA PENGANTAR...................................................................................... viii

DAFTAR ISI....................................................................................................... xi

BAB I. PENDAHULUAN................................................................................... 1

1.1 Latar belakang Masalah............................................................................ 1

1.2 Perumusan Masalah................................................................................. 3

1.3 Pembatasan Masalah................................................................................ 3

1.4 Tujuan Penulisan..................................................................................... 3

1.5 Metode Penulisan..................................................................................... 3

1.6 Manfaat Penulisan................................................................................... 4

1.7 Sistematika Penulisan............................................................................. 4

BAB II. PENGANTAR TEORI PROBABILITAS

DAN RELIABILITAS.......................................................................... 6

2.1 Variabel Random.................................................................................... 6

xi

2.2 Distribusi Probabilitas Kontinu Bersama................................................ 6

2.3 Penjumlahan Variabel Random............................................................... 9

2.4 Reliabilitas............................................................................................. 12

2.4.1 Pengertian Reliabilitas................................................................. 12

2.4.2 Kaitan Reliabilitas dengan Kualitas............................................. 14

2.4.3 reliabilitas Bergantung Waktu....................................................... 15

2.4.4 Reliabilitas Sistem........................................................................ 23

2.5 Distribusi Bernoulli............................................................................... 32

2.6 Distribusi Binomial................................................................................ 33

2.7 Teorema Limit Pusat............................................................................. 36

2.8 Pendekatan Normal untuk Distribui Binomial...................................... 40

2.9 Penduga Parameter................................................................................ 42

2.9.1 Penduga Titik................................................................................ 43

2.9.2 Penduga Interval ( selang kepercayaan )...................................... 43

2.9.2.1 Metode Pivot........................................................................ 44

2.10 Teori Likelihood.................................................................................. 46

BAB III. PENDUGA FUNGSI SURVIVOR.................................................... 52

3.1 Fungsi Survivor..................................................................................... 52

3.2 Penyensoran Data…………………………………………………...... 54

3.2.1 Penyensoran Tipe II…………………………………………….. 56

3.2.2 Penynsoran Tipe I......................................................................... 57

3.2.3 Penyensoran Random.................................................................... 57

xii

3.3 Penduga Fungsi Survivor....................................................................... 62

3.4 Tabel Hidup............................................................................................ 76

3.4.1 Tabel Hidup generasional.............................................................. 79

3.4.2 Tabel Hidup Searah...................................................................... 79

3.5 Uji Kolmogorov-Smirnov.................................................................... 81

3.5.1 Langkah-langkah Uji Kolmogorov-Smirnov............................... 82

3.5.2 Statistik Uji Kolmogorov-Smirnov

untuk Distribusi Waktu Hidup.................................................... 84

3.6 Sensor Kanan Himpunan Data.............................................................. 91

BAB IV. APLIKASI PENDUGA FUNGSI SURVIVOR................................ 93

BAB V. PENUTUP......................................................................................... 101

5.1 Kesimpulan.......................................................................................... 101

5.2 Saran.................................................................................................... 102

DAFTAR PUSTAKA...................................................................................... 103

xiii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Fungsi survivor memegang peranan penting dalam distribusi waktu hidup.

Fungsi ini berguna untuk menganalisa data-data survival, yaitu data yang diambil

dari waktu bertahan hidup suatu item sebelum item tersebut mengalami kegagalan

atau kematian. Sebagai contoh adalah suatu produk yang dikeluarkan oleh sebuah

perusahaan. Data-data survival akan diambil dari beberapa item produk tersebut

yang digunakan sebagai sampel yang kemudian dengan fungsi survivor dapat

dianalisa hingga diketahui daya tahan produk tersebut. Dengan demikian,

perusahaan akan mengetahui apakah produk yang mereka keluarkan memiliki

waktu hidup yang panjang atau tidak dan kemudian dapat dijadikan pertimbangan

untuk produksi selanjutnya.

Dari data-data yang didapat, akan menghasilkan suatu model yang

merepresentasikan data-data survial tersebut. Namun untuk menyelesaikan model

yang diperoleh tersebut tidaklah mudah, karena model tersebut berhubungan

dengan waktu, sehingga masih sulit untuk mendapat kepastian kapan suatu item

yang diamati tersebut akan mengalami kegagalan karena nilai-nilai data dapat

berubah seiring berjalannya waktu dan kalaupun bisa, tentu akan memerlukan

waktu yang lama untuk mengamatinya karena belum tentu semua item memiliki

waktu hidup yang sama. Oleh karena itu, pendugaan model sangat diperlukan

untuk mempermudah pengolahan data-data tersebut. Namun persoalan belum

1

2

selesai sampai di situ, karena data-data survival sering sedikit melenceng atau

bahkan jauh dari distribusi normal (B.S. Everitt,1994). Dalam statistika

parametrik, persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan menerapkan Teorema

Limit Pusat yang sering digunakan sebagai pendekatan empiris untuk menjamin

ketepatan asumsi normalitas. Namun hal itu hanya dapat digunakan pada sampel

yang besar, sedangkan seringkali terdapat situasi di mana sampel terlalu kecil

sehingga sulit untuk menentukan normalitasnya. Untuk mengatasi masalah

tersebut, cabang statistika memiliki prosedur alternatif yang tidak memerlukan

ukuran sampel untuk menentukan normalitasnya. Prosedur ini disebut sebagai

statistika nonparametrik. Prosedur ini juga dapat mengatasi masalah penyensoran

yang sering terdapat pula dalam data-data survival.

Oleh karena itu, dalam skripsi ini hanya akan membahas penduga fungsi

survivor dengan metode nonparametrik yang kemudian akan digunakan untuk

memperoleh selang kepercayaan bagi penduga fungsi survivor tersebut. Penduga

model fungsi survivor akan diasumsikan bahwa penduga nonparametrik fungsi

survivor S(t) adalah sama dengan jumlah sampel yang rusak selama selang waktu

t dibagi dengan jumlah sampel yang digunakan. Secara matematis penduga model

tersebut dapat dituliskan sebagai berikut

ntntS )()(ˆ = ,

dimana adalah penduga dari fungsi survivor S(t). )(ˆ tS

3

1.2 Perumusan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai

berikut :

1. Bagaimana menentukan penduga dan selang kepercayaan penduga

fungsi survivor ?

2. Bagaimana aplikasi penduga fungsi survivor pada ketahanan hidup

suatu item ?

1.3 Pembatasan Masalah

Dalam skripsi ini dibatasi oleh beberapa hal sebagai berikut :

1. Skripsi ini hanya membahas metode nonparametrik.

2. Teorema Ketunggalan tidak dibuktikan

3. Tipe penyensoran yang digunakan adalah penyensoran Tipe II

1.4 Tujuan Penulisan

Skripsi ini bertujuan untuk memenuhi salah satu persyaratan untuk mem-

peroleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika. Selain itu skripsi ini ber-

tujuan untuk memperdalam pengetahuan tentang fungsi survivor, penduga fungsi

survivor serta selang kepercayaan penduga fungsi survivor dan aplikasi-

aplikasinya.

1.5 Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi

pustaka, yaitu dengan mempelajari dan memahami buku-buku dan literatur-

4

literatur yang terkait dan sudah dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal

baru.

1.6 Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah :

1. Dapat lebih memahami mengenai penduga fungsi survivor dengan

metode nonparametrik agar dapat dikembangkan lebih lanjut demi

perkembangan ilmu matematika khususnya dalam bidang statistik

2. Mengetahui lebih jauh aplikasi-aplikasi penduga fungsi survivor ke-

hidupan sehari-hari.

1.7 Sistematika Penulisan

Bab I. Pendahuluan. Pada bagian ini akan dibahas tentang latar belakang

masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode

penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.

Bab II. Landasan Teori. Pada bagian ini akan dibahas tentang variabel

random, distribusi probabilitas kontinu bersama, penjumlahan variabel random,

reliabilitas, distribusi bernoulli, distribusi binomial, teorema limit pusat,

pendekatan normal untuk distribusi binomial, enduga parameter dan teori

likelihood.

Bab III. Penduga Fungsi Survivor. Dalam bagian ini akan dibahas tentang

penyensoran data dan penetuan selang kepercayaan, namun sebelumnya akan

dibahas terlebih dahulu mengenai fungsi survivor itu sendiri. Akan dibahas pula

5

penggunaan tabel hidup (life table) sebagai metode lain untuk menentukan selang

kepercayaan untuk penduga fungsi survivor dalam statistik nonparametrik serta uji

Kolmogorov-Smirnov untuk menentukan normalitas data.

Bab IV. Aplikasi Penduga Fungsi Survivor. Dalam bagian ini akan dibahas

penyelesaian masalah tentang penentuan penduga fungsi survivor dan selang

kepercayaannya untuk data penderita leukemia.

Bab V. Penutup. Bab ini berisi kesimpulan dan saran.

BAB II

PENGANTAR TEORI PROBABILITAS DAN RELIABILITAS

2.1 Variabel Radom

Variabel random, misalnya X, adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang

sampel S, yang memetakan setiap elemen Sa∈ ke bilangan real yang dinotasikan

sebagai berikut :

.Rx,Sa,x)a(X ∈∈=

Huruf kapital seperti X, Y, Z akan digunakan sebagai lambang variabel random

sedangkan huruf-huruf kecil yang bersesuaian x, y, z melambangkan nilai

variabel random yang mungkin. Konsep variabel random dapat dipahami sebagai

sebuah pemetaan dari himpunan S ke himpunan bilangan real.

Variabel random yang nilainya berhingga atau tak berhingga terbilang disebut

variabel random diskret, sedangkan jika tidak demikian disebut variabel random

kontinu.

2.2 Distribusi Probabilitas Kontinu Bersama

Definisi 2.2.1 Fungsi Densitas Bersama

Variabel random X dan Y dikatakan kontinu bersama-sama jika terdapat fungsi

f(x,y) yang terdefinisi untuk semua nilai x dan y, yang merupakan bilangan real

dalam setiap himpunan C ⊂ 2R , sehingga peluang

(2.1) ∫∫∈

=∈C)Y,X(

dydx)y,x(f)C)Y,X((P

Fungsi f(x,y) disebut fungsi densitas bersama dari X dan Y.

6

7

Jika A dan B adalah dua buah himpunan bilangan real dan

{ By,Ax:)y,x(C ∈ }∈= , dari persamaan (2.1) dapat dilihat

(2.2) ∫ ∫=∈∈B A

dydx)y,x(f)BY,AX(P

Karena fungsi distribusi kumulatif bersama

,dydx)y,x(f

)]b,(Y],a,(X(P)b,a(Fb a

∫ ∫∞− ∞−=

−∞∈−∞∈= (2.3)

maka fungsi densitas bersama dapat diperoleh melalui diferensiasi, yaitu

(2.4) )b,a(Fba

)b,a(f2

∂∂∂

=

Jika turunan parsialnya ada.

Interpretasi lain dari fungsi densitas bersama berdasarkan persamaan (2.2), adalah

dbda)b,a(f

dydx)y,x(f)dbbYb,daaXa(Pdaa

a

dbb

b

≈

=+<<+<< ∫∫++

(2.5)

Di mana da dan db kecil dan f(x,y) kontinu di a,b.

Definisi 2.2.2

Jika X dan Y adalah kontinu bersama-sama, maka secara individu adalah juga

kontinu, sehingga fungsi distribusi probabilitasnya adalah

∫∫ ∫

=

=

∞−∞∈∈=∈∞

∞−

A X

A

dx)x(f

dxdy)y,x(f

)),(Y,AX(P)AX(P

(2.6)

di mana ∫∞

∞−= dy)y,x(f)x(f X (2.7)

8

dan disebut fungsi densitas marginal untuk X. Dengan cara yang sama pula,

fungsi densitas marginal untuk Y adalah

(2.8)∫∞

∞−= dxyxfyfY ),()(

Contoh 2.1

Fungsi densitas untuk X dan Y diberikan dengan

⎩⎨⎧ ∞<<∞<<

=−−

selainnya,0y0;x0,ee2

)y,x(fy2x

)1( 210

−− −= ee

2

12

2)1,1(

1 21

1

0

2

1

0 1

2

−−

−−

∞ −−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∞−=

=<>

∫

∫

∫ ∫

dyee

dyee

dydxeeYX

y

xy

yxP

31

321

220 0

32 −= ∫ ∫ −− dyedye yy

)1(2

2

2)(

0

2

0 0

2

:),(

2

=

−=

−=

=

=<

∫∫ ∫

∫∫

∞ ∞

∞ −−

∞ −−

<

−−

dyee

dydxee

dydxeeYX

yy

y yx

YXYx

yx

<>

X(

Hitung a) P )1Y,1X(

b) YP < )

c) P < )aX(

Penyelesaian

a.)

Pb.)

9

a

a x

a xy

e

dxe

dxdyeeaxP

−

−

∞ −−

−=

=

=<

∫∫ ∫

1

2)(

0

0 0

2c.)

2.3 Penjumlahan Variabel Random

Penentuan distribusi untuk X+Y dari distribusi X dan Y, dimana X dan Y

saling bebas adalah hal yang penting. Anggap X dan Y adalah saling bebas, dan

merupakan variabel random kontinu yang mempunyai fungsi densitas dan .

Fungsi distribusi kumulatif dari X+Y dapat didefinisikan dengan

Xf Yf

dy)y(f)yz(F

dy)y(fdx)x(f

dydx)y(f)x(f

dydx)y(f)x(f

)zYX(P)z(F

YX

yz

YX

yz

YX

zYXYX

YX

∫∫ ∫∫ ∫

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

−

∞−

∞

∞−

−

∞−

≤+

+

−=

=

=

=

≤+=

(2.9)

atau

dx)xz(f)x(F

dx)x(fdy)y(f

dxdy)x(f)y(f

dydx)y(f)x(f

)zYX(P)z(F

YX

xz

XY

xz

XY

zYXYX

YX

−=

=

=

=

≤+=

∫∫ ∫∫ ∫

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

−

∞−

∞

∞−

−

∞−

≤+

+

(2.10)

10

Fungsi distribusi kumulatif disebut konvolusi dari distribusi dan YXF + XF YF

Dengan menurunkan persamaan (2.9) akan didapat fungsi densitas dari X+Y

dan diberikan dengan

YXf +

∫

∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−+

−=

−=

−=

dy)y(f)yz(f

dy)y(f)yz(Fdzd

dy)y(f)yz(Fdzd)z(f

YX

YX

YXYX

(2.11)

Contoh 2.2

Jika X dan Y adalah variabel random saling bebas, keduanya berdistribusi

seragam pada (0,1), tentukan fungsi densitas dari X+Y.

Penyelesaian

Dari persamaan (2.11)

⎩⎨⎧ <<

==selainnya,0

1z0,1)z(f)z(f YX

didapat

∫ −=+

1

0 XYX dy)yz(f)z(f

Untuk , hasilnya adalah 1z0 ≤≤

zdy)z(f1

0YX == ∫+

Untuk , didapat 2z1 <<

z2)z(f YX −=+

Oleh karena itu

11

selainnya,2z1,1z0,

0z2

z)z(f YX <<

≤≤

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=+

Contoh 2.3

Andaikan X dan Y adalah dua variabel random exponensial saling bebas, yaitu

0t,e)t(f)t(f tYX >== −

Tentukan dima Z=X+Y. )z(f Z

Penyelesaian

z

z

0

z

z

0

)xz(x

YXZ

ze

e

dxee

dx)xz(f)x(f)z(f

−

−

−−−

∞

∞−

=

=

=

−=

∫∫∫

Contoh 2.4

Jika X dan Y mempunyai fungsi densitas bersama

)yx(2)y,x(f XY +=

Tentukan dimana Z=X+Y )z(f Z

Penyelesaian

3

z

0

2

z

0

Z

z34

dxz4

dxz2.z2

dx))xz(x(2)).xz(x(2)z(f

=

=

=

−+−+=

∫∫∫∞

∞−

12

2.4 Reliabilitas

2.4.1 Pengertian Reliabilitas

Reliabilitas adalah terjemahan dari kata reliability yang berasal dari kata rely

dan ability. Menurut Kamus Inggris Indonesia ( J.M. Echols dan Hassan S,

1975), kata ‘rely’ mempunyai arti mempercayakan, mengandalkan, sedangkan

kata ‘ability’ berarti kecakapan, kemampuan. Jadi, menurut asal katanya, relia-

bilitas adalah kemampuan untuk dapat diandalkan atau dipercayakan atau dapat

juga disebut keterpercayaan, keterhandalan, keajegan, kestabilan dan sebagainya.

Reliabilitas juga dapat didefinisikan seperti probabilitas, dalam artian perhi-

tungan-perhitungan dalam reliabilitas menggunakan aksioma-aksioma yang

terdapat dalam teori probabilitas. Dalam hal khusus, ini berarti bahwa semua relia-

bilitas harus berada dalam selang 0 sampai 1.

Definisi 2.4.1. Reliabilitas

Reliabilitas didefinisikan sebagai probabilitas suatu barang dapat berfungsi

dengan baik untuk suatu waktu dan kondisi tertentu.

Dari definisi di atas waktu menempati bagian penting dalam reliabilitas dan

secara tidak langsung berkaitan dengan beberapa konsekuensi. Pertama, pembuat

model harus menentukan satuan waktu, misalnya detik, jam, tahun dan

sebagainya, untuk menganalisa. Kedua, model-model waktu hidup banyak

menggunakan variabel random T ( daripada X yang lebih banyak digunakan

13

dalam statistika klasik ) untuk menggambarkan waktu kerusakan dari suatu

barang. Ketiga, waktu tidak harus diartikan secara harafiah, misalnya untuk

menentukan daya tahan suatu ban dapat juga menggunakan satuan mil sebagai

representasi waktu. Keempat, harus menentukan durasi waktu yang terkait dengan

reliabilitas. Maksudnya, harus ditentukan bila suatu barang dikatakan memiliki

reliabilitas 0.8, maka kalimat itu belum memiliki arti. Reliabilitas sebuah barang

menunjuk pada sebuah nilai dalam suatu waktu, misalnya 1000 jam. Terakhir,

ukuran untuk menentukan waktu hidup harus ditentukan karena umur suatu

barang tidak pasti. Untuk mendapat ukuran yang tepat, perlu diperhatikan cara

pengukurannya, misalnya akan dilihat waktu hidup sebuah bola lampu. Waktu

hidup suatu bola lampu bisa sama dengan lama bola lampu itu dapat menyala.

Cara yang harus dilakukan dalam pengukuran adalah bola lampu itu harus

dinyalakan secara kontinu atau terus menerus, sehingga dapat diketahui jumlah

jam sebagai representasi waktu hidup bola lampu tersebut. Bila bola lampu

tersebut dihidup matikan, maka penggambaran waktu hidupnya tidaklah tepat

karena selain awal penghitungan jumlah jam sebagai representasi waktu hidupnya

akan berubah-ubah, kejutan saat penyalaan dan pematian dapat mengurangi waktu

hidup suatu bola lampu.

Aspek terakhir dari definisi reliabilitas adalah kondisi lingkungan harus

dispesifikasikan. Kondisi seperti temperatur, kelembaban ataupun kecepatan

perubahan, semua berpengaruh terhadap waktu hidup suatu barang. Misalnya

mobil yang memiliki reliabilitas 20000 mil, akan memiliki perbedaan jika mobil

tersebut digunakan di daerah pegunungan dengan digunakan di kota.

14

2.4.2 Kaitan Reliabilitas dengan Kualitas

Reliabilitas sering disamakan dengan kualitas. Perbedaan utama antara

keduanya yaitu reliabilitas berkaitan dengan waktu sedangkan kualitas tidak,

karena bersifat statis. Misalnya terdapat dua buah transistor yang memiliki

kualitas yang sama. Salah satu transistor digunakan pada sebuah televisi

sedangkan yang lain ditempatkan pada alat peluncur roket. Kedua transistor

tersebut memang memiliki kualitas yang identik, namun salah satu diantaranya

memiliki reliabilitas yang lebih besar karena ditempatkan pada lingkungan yang

memiliki tekanan lebih rendah.

Reliabilitas yang tinggi dapat berarti pula kualitas tinggi, namun tidak

sebaliknya. Sebagai contoh, terdapat dua buah ban yang memiliki kualitas yang

sama-sama tinggi. Salah satu ban diproduksi tahun 1957 dan yang lain diproduksi

tahun 1995. Meskipun keduanya diproduksi melalui tahap pengontrolan kualitas

yang ketat, namun reliabilitasnya berbeda karena terdapat perubahan teknologi

yang terjadi antara tahun 1957 sampai 1995. 60000 mil reliabilitas ban yang

diproduksi pada tahun 1995 akan lebih besar dibanding reliabilitas ban yang

diproduksi pada tahun 1957. Kemajuan teknologi selama 38 tahun mungkin

membawa perubahan pada model ( misalnya motif grit/kembangan ban ),

komponen ( misalnya karet), atau proses ( misal kemajuan dalam pembuatan ).

Beberapa perubahan tersebut ( misalnya motif grit ban ), dapat memperbaiki

reliabilitas, namun yang lain ( misalnya motif sisi ban ) tidak.

15

2.4.3 Reliabilitas Bergantung Waktu

Misalkan T adalah variabel random yang menggambarkan daya tahan hidup

dari suatu barang atau sistem. F(t) adalah fungsi distribusi kumulatif yang

didefinisikan sebagai probabilitas suatu barang hidup paling lama t dan ditulis

sebagai berikut :

(2.12))tT(P)t(F ≤=

R(t) adalah fungsi reliabilitas yang merupakan probabilitas suatu barang dapat

berfungsi dengan baik lebih dari waktu t yang telah ditentukan. Jadi R(t) dapat

didefinisikan sebagai

)t(F1)tT(P1

)tT(P)t(R

−=≤−=

>=

(2.13)

Waktu rata-rata sistem tidak befungsi ( failure ), yaitu nilai harapan untuk waktu

sistem tidak berfungsi ( untuk selanjutnya, sistem tidak berfungsi akan disebut

kegagalan ). Andaikan fungsi densitas waktu kegagalan didefinisikan dengan f(t)

yaitu

dt)t(dF

)t('F)t(f

=

= (2.14)

dimana dan 0)t(f ≥ ∫∞

=0

1dt)t(f

atau dt

)t(dR)t(f −=

sehingga rata-rata waktu kegagalan adalah

16

∫∞

=0

dt)t(tf)T(E (2.15)

dimana batas bawah adalah nol karena waktu kegagalan tidak mungkin kurang

dari nol. Dengan mensubstitusikan beberapa persamaan diatas didapat

∫

∫

∫

∫

∞

∞

∞

∞

=

−=

=

=

0

0

0

0

dt)t(R

dtdt

)t(dRt

dtdt

)t(dFt

dt)t(tf)T(E

(2.16)

persamaan akhir didapat dengan menggunakan integral parsial dengan

dtdt

)t(dRdv,tu ==

Contoh 2.5

Fungsi densitas kegagalan sebuah alat diberikan sebagai berikut :

(2.17)0t,e)t(f t ≥= ⋅λλ

tentukan :

a. F(t)

b. Reliabilitas

c. Rata-rata waktu kesalahan

Penyelesaian :

17

a.

b. c. Probabilitas bahwa sebuah sistem dapat berfungsi dalam waktu t akan gagal pada

waktu T yang merupakan fungsi densitas kumulatif bersyarat.

)tT(P)tT,xT(P)tT|x(F

>>≤

=>

jika tx < , probabilitasnya adalah nol. Dengan menggunakan definisi F(t) didapat

)t(F)x(F)tT,xT(P −=>≤

dengan mensubtitusikan persamaan (2.22) dan (2.13) ke persamaan(2.21), maka

didapat

tx,)t(R

)t(F)x(F

tx,)t(F1

)t(F)x(F)tT|x(F

>−

=

>−−

=>

]0t,e1

de

dt)t(f)t(

t

t

0

0

t

0

e≥−=

−=

=

=

−

∞−

−

∫

∫

λ

ζλ

ζλ

ζλ

F

(2.18)

R

t

t

e)e1(1

)t(F1)t(

λ

λ

−

−

=

−−=

−= (2.19)

λ

λ

1

dte

dt)t(R)T(E

0

t

0

=

=

=

∫

∫∞

−

∞

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.23)

18

Didapat fungsi distribusi probabilitas bersyarat dengan menurunkan persamaan

terhadap x

(2.24)tx,)t(R)x(f

)t(F1)x(f)tT|x(f >=

−=>

Andaikan

Pdx)tT|x(f => [ kegagalan sistem dalam interval waktu (x,x+dx) jika diketa-

hui telah beroperasi selama waktu t] (2.25)

yaitu, fungsi distribusi probabilitas bersyarat waktu kegagalan meningkat dalam

variabel bebas adalah probabilitas bahwa suatu barang atau sistem dapat bertahan

sampai waktu t tetapi akan gagal dalam penambahan waktu (x,x+dx).

Contoh 2.6

Tentukan fungsi distribusi probabilitas bersyarat kegagalan sebuah alat dari soal

pada contoh 2.5

Penyelesaian :

Dari persamaan (2.24)

tx,eee

)t(F1)x(f)tT|x(f

)tx(

t

x

>=

=

−=>

−−

−

−

λ

λ

λ

λ

λ

Untuk fungsi eksponensial, terlihat bahwa fungsi distribusi probabilitas bersyarat

kegagalan jika diketahui waktu kegagalan lebih besar dari suatu waktu t adalah

sama dengan fungsi distribusi probabilitas tak bersyarat kegagalan dengan meru-

bah x = t.

(2.26)

19

Konsep lain yang digunakan dalam teori reliabilitas yang terkait dengan

variasi waktu adalah tingkat kegagalan ( failure rate ). Andaikan n(t) adalah bany-

aknya peralatan yang beroperasi pada waktu t, dan andaikan sejumlah kegagalan

pada interval ( t, t + dt ) adalan dn. Rasio semua kegagalan terhadap total waktu t

adalah

)t(ndnFf = (2.27)

Akan tetapi, ini adalah kuantitas yang sama yang dengan persamaan (2.14) dengan

x = t, maka persamaan ( 2.27 ) dan ( 2.25 ) disamakan sehingga diperoleh

)t(ndndt)tT|t(f => (2.28a)

atau dengan membagi dengan dt, akan didapat

)t(R)t(f

dtdn

)t(n1)tT|t(f)t(h ==>= (2.28b)

dimana persamaan (2.28b) itu adalah tingkat kegagalan. Contoh 2.7

Dari substitusi persamaan (2.17) dan (2.19) ke (2.28b) terlihat bahwa tingkat

kegagalan untuk sebuah alat yang memiliki fungsi distribusi probabilitas

kegagalan berupa fungsi eksponensial adalah λ alat per detik. Andaikan bola

lampu pada suatu masa produksi tertentu mempunyai tingkat kegagalan λ = 0.001

per tahun, berapakah reliabilitasnya?

20

Penyelesaian :

Substitusi persamaan (2.17) dan (2.19) ke (2.28b) menghasilkan :

λ

λλ

λ

=

=

=

−

−

t

t

ee)t(R)t(f)t(h

Karena λ = 0.001, dari persamaan (2.19) didapat :

(2.29)0t,ee)t(R t001.0t >== −−λ

Tingkat kegagalan yang berupa konstanta secara umum merupakan suatu

pengecualian daripada suatu aturan yang berlaku. Sebuah peralatan sebenarnya

memiliki tingkat kegagalan yang tinggi pada awal waktu hidupnya karena keti-

daksempurnaan dalam proses pembuatannya yang lolos dari pemeriksaan. Dalam

kasus manusia, tingkat kegagalan analog dengan istilah tingkat kematian bayi.

Selanjutnya, secara normal tingkat kegagalan bersifat stabil pada suatu nilai ren-

dah yang dapat diterima. Selanjutnya, setelah sebuah alat telah mencapai umur

yang telah ditentukan, tingkat kegagalan mulai beranjak karena keausan. Dikait-

kan dengan waktu penggunaan, terdapat tiga bagian dalam tingkat kegagalan yaitu

awal penggunaan, masa stabil, dan masa aus yang digambarkan dalam grafik 2.1.

21

9 8 7 6 5 awal pemakaian 4 3 2 stabil masa aus 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

grafik 2.1 kurva tingkat kegagalan alat

Dengan menurunkan persamaan (2.13) dan menggunakan persamaan (2.14)

)t(fdt

)t(dFdt

)t(dR−=−= (2.30)

kemudian disubtitusikan ke dalam persamaan (2.28b) didapat

)t(Rlndtd

)t(Rdt

)t(dR

)t(h −=−= (2.31)

dengan pengintegralan didapat

(2.32)⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∫

t

0

d)(hexp)t(R λλ

dengan catatan, jika tingkat kegagalan adalah konstan, reliabilitas dari persamaan

(2.32) adalah

22

(2.33)kte)t(R −=

Contoh 2.8

Anggap fungsi distribusi probabilitas seragam kegagalan sebuah alat diberikan

dengan

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧ ≤≤

=

selainnya,0

Tt0,T1

)t(f (2.34)

tentukan reliabilitas dan tingkat kegagalannya!

Penyelesaian :

Fungsi densitas kumulatif kegagalan didapat dengan mengintegralkan persamaan

(2.34), adalah

∫

∫

≤≤=

=

t

0

t

0

Tt0,dT1

d)(f)t(F

τ

ττ

(2.35)

Maka reliabilitasnya adalah

(2.36)Tt0,T11)t(R ≤≤−=

dari persamaan (2.28b) tingkat kegagalannya adalah

Tt0,

T11

T1

)t(R)t(f)t(h ≤≤

−== (2.37)

2.4.4 Reliabilitas Sistem

23

Menurut AICPA Assurance service Alert, sistem adalah

1. Sebarang hubungan yang teratur antara sumber-sumber dan prosedur-

prosedur yang menyatu dan saling mempengaruhi atau saling tergantung

untuk memenuhi sebuah himpunan fungsi-fungsi yang spesifik.

2. Suatu kombinasi dari dua peralatan atau lebih yang saling berkaitan yang

diatur dalam sebuah paket fungsional untuk membentuk sebuah fungsi

operasional atau untuk memenuhi suatu kebutuhan.

3. Suatu kumpulan dari personil, peralatan dan metode yang diatur untuk

membentuk suatu himpunan fungsi-fungsi yang spesifik. (SysTrust

services-2001)

Sedangkan menurut (atis.org,) suatu sistem terdiri dari lima komponen

dasar, yaitu

1. Infrstruktur, yaitu komponen sistem yang berupa komponen-komponen

fisik dan hardware (perangkat kasar) seperti kerangka dan fasilitas-

fasilitas.

2. Software (perangkat lunak), yaitu program-program untuk mendukung

sistem.

3. Manusia, yaitu personil yang terlibat di segala aspek pada sistem ataupun

pengguna sistem, misalnya pembuat program, operator, pengguna sistem.

4. Prosedur,yaitu langkah-langkah serta aturan-aturan untuk menjalankan

sistem.

5. data, yaitu suatu informasi yang diperoleh dan digunakan dalam

menjalankan suatu sistem.

24

Sebagai contoh adalah sebuah sistem peluncuran sebuah satelit. Dalam sistem ini

terdapat perlengkapan serta operasi-operasi pendukung untuk keberhasilannya,

yaitu seperti pesawat dan roket sebagai komponen fisiknya, program-program

untuk menjalankan operasi, awak yang mengemudikan pesawat, langkah-langkah

dan prosedur-prosedur peluncuran satelit serta data-data yang akan digunakan

ataupun dicari.

Sebuah sistem dapat menjadi sangat sederhana, sebagai contoh sebuah

sistem aplikasi pembayaran yang hanya melibatkan seseorang dengan sebuah unit

personal komputer. Namun sebuah sistem juga dapat menjadi sangat rumit yaitu

dengan melibatkan jumlah pengguna yang besar di dalamnya dan terdapat

berbagai aplikasi dengan menggunakan begitu banyak komputer, misalnya sebuah

sistem perbankan yang besar.

Definisi 2.4.2 Reliabilitas Sistem

Reliabilitas sistem didefinisikan sebagai probabilitas suatu sistem dapat berfungsi

dengan baik untuk suatu waktu dan kondisi tertentu.

Dari definisi diatas, reliabilitas sistem adalah ketahanan suatu sistem untuk

suatu waktu dan suatu konsisi tertentu. Dengan kata lain, reliabilitas sistem adalah

probabilitas suatu sistem dimana sistem tersebut tidak akan rusak sebelum t

waktu.

Suatu sistem yang melibatkan sejumlah besar komopnen-komponen pendukung,

komponen-komponen tersebut dapat disusun dengan berbagai cara. Ada banyak

25

sistem yang disusun secara seri, beberapa disusun secara pararel dan ada yang

disusun dengan mengkombinasikan kedua cara tersebut. Dua contoh berikut akan

memberi ilustrasi tentang suatu sistem.

Contoh 2.9

Peluncuran sebuah satelit kecil memerlukan serangkaian operasi pendukung

yang dikaitkan dengan probabilitas keberhasilan. Setiap operasi diasumsikan tidak

saling tergantung satu dengan yang lain.

1. Penghidupan roket pendorong, 0.99

2. Baut penghubung satelit dengan roket utama, 0.98

3. Putaran gas jet satelit untuk stabilitas, 0.965

4. Pematian roket pendorong pada kecepatan akhir yang diinginkan, 0.97

Setiap tindakan tersebut harus dilakukan, dan bila salah satu operasi gagal, maka

peluncuran satelit juga gagal. Berapakah probabilitas keberhasilan atau

reliabilitasnya?

Penyelesaian

Keberhasilan suatu sistem adalah irisan dari empat keberhasilan subsistem yang

terpisah, atau

908.0)97.0)(965.0)(98.0)(99.0(

)tT(P

)]tT()tT()tT()tT[(P)tT(P4

1ii

4321MS

==

>=

>∩>∩>∩>=>

∏=

(2.38)

Terlihat bahwa reliabilitas sistem konsisten dengan reliabilitas serentetan subsis-

tem, yaitu kurang dari atau sama dengan reliabilitas subsistem yang paling rendah.

26

Contoh 2.10

Rem adalah komponen terpenting untuk setiap kendaraan. Kebanyakan kendaraan

memiliki dua sistem pengereman, yaitu hidrolis dan mekanis. Jika salah satu ru-

sak, maka yang lain akan mengambil alih ( sebenarnya, hanya sistem mekanis

yang akan mengambil alih fungsi ketika sistem hidrolis rusak, namun dalam hal

ini diasumsikan salah satu akan mengambil alih fungsi jika yang lain rusak). Jika

diberikan reliabilitas kedua subsistem pengereman untuk sebuah truk berturut-

turut adalah 0.98 untuk subsistem Hidrolis dan 0.95 untuk subsistem Mekanis,

berapa reliabilitas keseluruhan untuk pengereman truk?

Penyelesaian

Untuk sistem ini, semua subsistem harus rusak untuk mengakibatkan kerusakan

sistem, jadi

001.0)95.01)(98.01(

)tT(P

)]tT()tT[(P)tT(P2

1ii

21B

=−−=

>=

≤∩≤=≤

∏=

(2.39)

adalah reliabilitas kegagalan ( kerusakan ). Probabilitas keberhasilan atau relia-

bilitasnya adalah

999..0001.01)(1)(

=−=≤−=> tTPtTP BB (2.40)

Dari dua contoh di atas, dapat disimpulkan hubungan reliabilitas menyangkut de-

ngan dua jenis sistem ( seri dan pararel ).

27

Reliabilitas Sistem Seri

Andaikan adalah subsistem ke- i untuk suatu system S dalam sistem seri,

keberhasilan sistem keseluruhan bergantung pada keberhasilan tiap-tiap

subsistemnya, yaitu

iS

(2.41)n21 S...SSS ∩∩∩=

Jadi probabilitas keberhasilan pada sistem keseluruhan atau reliabiltas sistem,

diasumsikan setiap subsistem adalah berdiri sendiri, yaitu

∏ ∏= =

=>=

>∩∩>∩>=>=

n

1i

n

1iii

n21

seris

)t(R)tT(P

)]tT(...)tT()tT[(P)tT(P)t(R

(2.42)

Dapat ditunjukkan bahwa tingkat kegagalan untuk sitem seri adalah jumlahan dari

tingkat kegagalan untuk tiap subsistemnya. Logaritma dari persamaan 2.42

menghasilkan

∑−

>=

>=n

1ii

seris

)]tT(Pln[

)]tT(Pln[)t(Rln[ (2.43)

Turunan negatif dari logaritma reliabilitas adalah tingkat kegagalan berdasarkan

persamaan 2.31, jadi

∑

∑

=

=

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

−=

n

1ii

n

1ii

ss

)t(h

)]t(T[Plndtd

)]t(Rln[dtd)t(h

(2.44)

Contoh 2.11

28

Andaikan reliabilitas berdasar waktu untuk subsistem dalam contoh 2.17 adalah

fungsi eksponensial

t4

t3

t2

t1

44

3

2

1

e)t(R

e)t(R

e)t(R

e)t(R

λ

λ

λ

λ

−

−

−

−

=

=

=

=

(2.45)

Tentukan reliabilitas sistem, rata-rata waktu kegagalan dan tingkat kegagalan.

Penyelesaian

Reliabilitas sistem berdasarkan persamaan 2.42 adalah

(2.46)∏−

+++−==a

1i

t)(is

4321e)t(R)t(R λλλλ

Dari persamaan 2.27, rata-rata waktu kegagalan adalah

4321

0

t)(

0ss

1

dte

dt)t(R)T(E

4321

λλλλ

λλλλ

+++=

=

=

∫

∫∞

+++−

∞

(2.47)

Untuk subsistem dengan reliabilitas eksponensial, tingkat kegagalan adalah kon-

stanta dalam eksponensial, oleh karena itu tingkat kegagalan sistem adalah

(2.48)4321s )t(h λλλλ +++=

Reliabilitas Sistem Pararel

29

Andaikan adalah subsistem ke- i untuk suatu system F dalam sistem

pararel, semua subsistem harus mengalami kerusakan sebelum sistem mengalami

kerusakan. Jadi untuk subsistem paling bebas

iF

(2.49)n21pararel F...FFF ∩∩∩=

Probabilitas kegagalan

∏

∏

∏

≠

=

=

−=

=

≤=

≤∩∩≤∩≤=≤=

n

1ii

n

1ii

n

1ii

n21pararelp

)]t(R1[

)t(F

)tT(P

)]tT(...)tT()tT[(P)tT(P)t(F

(2.50)

Reliabilitas sistem pararel adalah

∏=

−−=

−=n

1ii

pp

)]t(R1[1

)t(F1)t(R (2.51)

Contoh 2.12

Fungsi exponensial reliabilitas dalam sistem pararel diberikan dengan

tb

ta

b

a

e)t(R

e)t(Rλ

λ

−

−

=

= (2.52)

Tentukan reliabilitas sistem pararel, rata-rata waktu kegagalan, dan tingkat kega-

galan.

Penyelesaian

Dari persamaan 2.51, diperoleh reliabilitas sistem yaitu

t)(tt

ttp

baaa

ba

eee

)e1)((e1(1)t(Rλλλλ

λλ

+−−−

−−

−+=

−−−= (2.53)

30

Dari persamaan 2.16, rata-rata waktu kegagalan adalah

baba

0pp

111

dt)t(R)T(E

λλλλ +−+=

= ∫∞

(2.54)

Dari persamaan 2.31, tingkat kegagalannya adalah

t)(tt

t)(ba

tb

ta

pp

baba

baba

eeee)(ee

)t(Rlndtd)t(h

λλλλ

λλλλ λλλλ+−−−

+−−−

−++−+

=

−= (2.55)

Tidak seperti kasus yang terjadi dalam sistem seri, tingkat kegagalan dalam sistem

pararel tidak dinyatakan sederhana.

Reliabilitas Sistem Standby

Dalam sistem ini, suatu subsiatem akan beroperasi sampai rusak, dan pada

suatu waktu sistem standby (disingkat sb) akan akan menggantikannya. Untuk

beberapa susunan :

(2.56)21sb TTT +=

Dimana adalah sistem utama dan adalah sistem standby. Pengambilan nilai

harapan dari keduanya, dapat menentukan rata-rata waktu kegagalan

1T 2T

(2.57))T(E)T(E)T(E 21sb +=

Persamaan 2.56 menyatakan bahwa waktu kegagalan dari sistem stanby adalah

jumlahan dari dua variable random, yaitu waktu kegagalan sistem primer dan

waktu kegagalan sistem sekunder. Jika kedua waktu kegagalan adalah saling be-

31

bas secara statistik, fungsi distribusi probabilitas untuk sistem standby adalah

konvolusi dari dua fungsi distribusi probabilitas kegagalan subsistem, atau

(2.58)∫∞

∞−

−= ηηη d)(f)t(f)t(f 21sb

Fungsi distribusi kumulatif kegagalan adalah integral dari fungsi distribusi

probabilitas, dan reliabilitasnya adalah 1 minus fungsi distribusi kumulatif

kegagalan.

Contoh 2.13

Tentukan rata-rata waktu kegagalan, fungsi distribusi probabilitas kegagalan,

fungsi distribusi kumulatif kegagalan dan reliabilitas sistem standby dengan dua

subsistem yang mempunyai fungsi distribusi probabilitas berupa fungsi

eksponensial yang diberikan dengan

(2.59)0t,e)t(f ti ≥= −λλ

Penyelesaian

Waktu kegagalan untuk setiap subsistem adalah λ1 , jadi tingkat kegagalan sistem

standby adalah

λ2)T(E sb = (2.60)

Dari persamaan 2.58,fungsi distribusi probabilitas kegagalan adalah

0t,tedtee)t(f t2

0

)t(t2sb,2 ≥== −

∞−−−∫ λλλλ λλ (2.61)

32

Perhatikan bahwa fungsi distribusi probabilitas adalah 0 saat 0=t dan bernilai

maksimum saat λ1

=t . Pengintegralan menghasilkan fungsi distribusi kumulatif

kegagalan, yaitu

∫ ≥+−== −t

0

tsb,2sb,2 0t,e)t1(1d)(f)t(F λλττ (2.62)

Reliabilitasnya

(2.63)0t,e)t1()t(F1)t(R tsb,2sb,2 ≥+=−= −λλ

Seperti pada persamaan 2.60, pengintegralan reliabilitas dari 0 sampai tak hingga

menghasilkan rata-rata waktu kegagalan.

2.5 Distribusi Bernoulli

Distribusi Bernoulli didasarkan atas ruang sampel yang dibangkitkan dari

percobaan Bernoulli. Ruang sampel ini terdiri atas dua unsur yang biasanya

disimbolkan dengan “sukses” dan “gagal”, dengan probabilitas sukses P(S)=p dan

probabilitas gagal P(G)=1-p. Jika sukses disimbolkan dengan 1 dan gagal dengan

0, maka fungsi probabilitas Bernoulli dapat didefinisikan sebagai berikut :

Definisi 2.5.1 fungsi Probabilitas Bernoulli

Jika X adalah variabel random bernoulli maka fungsi probabilitas X adalah

⎩⎨⎧ =−

==−

selainnya,01,0x,)p1(p

)p;x(f)x(fx1x

XX (2.64)

Sifat-sifat percobaan Bernoulli adalah :

a. Setiap percobaan menghasilkan satu dari dua hasil yang mungkin

yang dinamakan sukses dan gagal.

33

b. Untuk setiap percobaan, probabilitas sukses P(S) adalah sama dan

ditulis P(S) = p, dan probabilitas gagal P(G) = (1-p)dan biasa ditulis

sebagai q, maka p+q = 1.

c. Percobaan yang satu dengan yamg lain saling bebas.

Contoh percobaan Bernoulli ysng psling sederhana adalah pelemparan

mata uang logam, di mana terjadinya gambar dan angka dapat dikatakan sukses

dan gagal. Jika mata uang logam tersebut seimbang, maka 21

== qp .

2.6 Distribusi Binomial

Suatu percobaan seringkali terdiri atas ulangan-ulangan dan masing-masing

mempunyai kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal.

Misalnya dalam pengambilan 5 kartu berturut-turut, pengambilan dapat dikatakan

sukses jika yang terambil adalah kartu warna hitam. Bila setiap kali kartu

dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya, maka percobaan tersebut bersifat

bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama yaitu 21 . Percobaan

semacam ini disebut sebagai percobban Binomial yang tak lain adalah percobaan

yang terdiri atas ulangan-ulangan percobaan Bernoulli.

Percobaan Binomial adalah percobaan yang memiliki ciri-ciri sebagai berikut

a. Percobaan terdiri atas n ulangan.

b. Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai sukses dan

gagal.

34

c. Peluang sukses, yang dilambangkan dengan p, untuk setiap ulangan

adalah sama.

d. Ulangan-ulangan tersebut adalah saling bebas.

Definisi 2.6.1 Distribusi Binomial

Jika X adalah variabel random Binomial, maka distribusi probabilitas X adalah

(2.65)n...,,1,0xuntuk,)p1(pxn

)p,n;x(b xnx =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

Teorema 2.6.1

Nilai harapan dan variansi untuk variabel random yang berdistribusi Binomial b(x; n,p) adalah

E(X)=np dan Var[X]=np(1-p)

Bukti :

Nilai harapan untuk distribusi Binomial

∑

∑

∑

∑

=

−−

=

−

−

=

−

=

−−−−

=

−−−

=

−−

=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

1x

xn1x

n

1x

xnx

xnxn

0x

xnxn

0x

)!xn()!1x()p1(pp)!1n(n

)p1(p)!xn()!1x(

!n

)p1(p)!xn(!x

!nx

)p1(pxn

x)X(E

35

np

)p1(p1x1n

np

)p1(p)!1x())!1x()1n((

)!1n(np

)!xn()!1x()p1(p)!1n(np

n

1x

))1x()1n((1x

))1x()1n(()1x(n

1x

n

1x

xn1x

=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=

−−−−−

−=

−−−−

=

∑

∑

∑

=

−−−−

−−−−

=

=

−−

Variansi untuk distribusi Binomial

)X(E)X(E))1X(X(E 2 −=−

2

n

1x

))2x()2n((22x

n

1x

))2x()2n((x

))2x()2n((xn

1x

xnxn

2x

n

1x

xnx

xnxn

0x

p)1n(n

)p1(pp2x2n

)1n(n

)p1(p2x2n

)1n(n

)p1(p)!2x()!xn(

)!2n()1n(n

)p1(p)!2x()!xn(

!n

)p1(p)!1x()!xn(

!n)1x(

)p1(pxn

)1x(x))1X(X(E

−=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

−−−

−−=

−−−

=

−−−

−=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

−−−−

=

−−−

−−−

=

−

=

=

−

−

=

npnppn)X(E

p)1n(n)X(E)X(Ep)1n(n))1X(X(E

2222

22

2

+−=

−=−

−=−

[ ]

)p1(npnpnp

pnnpnppn))X(E()X(EXVar

2

22222

22

−=−=

−+−=

−=

■

36

2.7 Teorema Limit Pusat

Salah satu teorema yang penting dalam statistika adalah Teorema Limit Pusat.

Teorema ini penting karena teoema ini memberikan jaminan jika suatu populasi

berdistribusi sembarang ( tidak harus normal ) maka untuk jumlah sampel yang

cukup besar distribusi sampling nilai rata-rata akan berdistribusi normal. Teorema

Ketunggalan ( Uniqueness Theorem ) berikut digunakan untuk menentukan

distribusi probabilitas suatu variabel random melalui fungsi pembangkit momen

(f.p.m ).

Teorema 2.7.1. Teorema Ketunggalan.

Andaikan untuk setiap variabel random X dan Y fungsi-fungsi pembangkit

momennya ada, yaitu berturut-turut dan . Jika =

untuk setiap t, maka X dan Y memiliki distribusi probabilitas yang sama.

)t(M x )(tM y )t(M x )t(M y

( Bukti teorema di atas di luar cakupan tulisan ini )

Definisi 2.7.1 Distribusi Normal

Variabel random X dikatakan berdistribusi normal dengan mean μ dan variansi

jika fungsi probabilitas kontinunya adalah 2σ

.0,;X;e2

1),;x(f)x(f 2

2

2)x(

XX >∞<<∞−∞<<∞−==−−

σμπσ

σμ σμ

(2.66)

Jika suatu variabel random X berdistribusi normal dengan mean μ dan

variansi maka ditulis . 2σ ),(N~X 2σμ

37

Teorema 2.7.2

Jika X adalah variabel random yang berdistribusi normal dengan mean μ dan

variansi maka fungsi pembangkit momen bagi X adalah 2σ

(2.67)2tt

X

22

e)t(mσμ +

=

dan bila σμ−

=XZ maka 2

t

Z

2

e)t(m =

Bukti

( )( )

( ) ( )

( )[ ]dxe

21e

dxe2

1e

dxee2

1e

)e(Ee)e(E)t(M

)x(t2X2

1t

2x

t

xt2x

t

)X(tttXX

222

xt2

2

μσμσμ

σμ

μ

μσμ

μ

μμ

πσ

πσ

πσμ

−−−−∞

∞−

+−−∞

∞−

−−−∞

∞−

−

∫

∫

∫

=

=

=

==

−

Karena ( )[ ]

2422

24242222

t)tx(tt)x(t2)x()x(t2X

σσμ

σσμσμμσμ

−−−=

−+−−−=−−−

Maka

dxe2

1eedxe2

1ee

dxee2

1edxe2

1e)t(m

2

2222

2

2222

22

2

22

2

2422

2]))t(x[(

2t

t2])tx[(

2t

t

2t

2])tx[(

t2t)tx(

tX

σσμσ

μσσμσ

μ

σσσμ

μσσσμ

μ

πσπσ

πσπσ−−−∞

∞−

−−−∞

∞−

−−−∞

∞−

−−−−∞

∞−

∫∫

∫∫

==

==

Akan tetapi,

1dxe2

1 2

22

2]))t(x[(

=−−−∞

∞−∫ σ

σμ

πσ

38

Sehingga

2t

t2t

tX

2222

eee)t(mσ

μσ

μ +==

)t(mX ini merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal dengan

mean μ dan variansi . Karena maka 2σ 1dan0 2ZZ == σμ

2t

2t.1

0t

Z

22

ee)t(m ==+

yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal standar.

Sehingga Z berdistribusi normal standar berdasarkan Teorema Ketunggalan.

■

Teorema 2.7.3 Distribusi sampling Mean dan Variansi

Misalkan ,...., X1X n adalah sampel random dari suatu populasi dengan

fungsi probabilitas f(o) yang memiliki mean μ dan variansi . Jika 2σ

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

1iiX

n1X adalah mean sampel maka

(2.68)( ) μμ == xXE dan Var ( )X = n

22x

σσ =

Bukti

[ ] μμ ==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

∑

∑

∑

=

=

=

nn1X

n1

XEn1

Xn1E)X(E

n

1ii

n

1ii

n

1ii

39

nn

n1

)X(Varn1

XVarn1

Xn1Var)X(Var

22

2

n

1ii2

n

1ii2

n

1ii

σσ ==

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

∑

∑

∑

=

=

=

■

Teorema ini berlaku apabila pemilihan sampel dilakukan dengan pengembalian

Secara tegas, teorema ini mengatakan apabila ,...., X1X n adalah sampel

random dari sembarang distribusi dengan mean μ dan variansi maka 2σ

( ) μμ == xXE dan Var ( )X = n

22x

σσ = . Teorema ini tidak mengatakan apakah

X berdistribusi normal atau tidak. Jika distribusi dari X dijadikan sebagai pusat

perhatian, maka teorema berikut ini yang dikenal sebagai teorema limit pusat akan

menjawab pertanyaan bagaimana X berdistribusi .

Teorema 2.7.4 Teorema Limit Pusat.

Misalkan fx(x) adalah fungsi probabilitas dengan mean μ dan variasi σ2 dan nX

adalah mean sampel random berukuran n dari fx(x). Jika Zn adalah variabel

random yang didefinisikan sebagai

n

XZ nn σ

μ−= (2.69)

Maka untuk n → ∞, Zn berdistribusi mendekati distribusi normal standar.

40

Bukti:

Fungsi pembangkit momen dari variabel random adalah nZ

( ) ( )( )( )

( )[ ]

( ) ( ) ( )

n

n

YY

n

Y

n

i

n/Yt

tZZ

)n(sn

t

...''Mn!

t'Mn

t

ntM

eE

eEtM

i

n

n

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

σ+

σ+=

σ=

=

=

μ−μ−

μ−

=

σμ−∏

21

02

01

2

2

2

1

dengan s(n) sebagai suku sisa.

Dengan demikian fungsi pembangkit momen dari , jika menjadi nZ ∞→n

222

2

21 t

nZne)n(s

ntlim)t(Mlim

n=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++=

∞→∞→ (2.70)

yang merupakan fungsi pembangkit momen bagi distribusi normal standar.

Sehingga terbukti bahwa . ■ )1,0(N~Zn

2.8 Pendekatan Normal untuk Disribusi Binomial

Teorema Limit Pusat dapat juga digunakan untuk memperkirakan probabilitas

beberapa variabel random diskret, jika probabilitas yang berdasarkan distribusi

sesungguhnya sukar dihitung untuk ukuran sampel n besar. Contoh berikut

berkaitan dengan distribusi Binomial.

Andaikan variabel random Y berdistribusi Binomial dengan n ulangan dan

probabilitas sukses p. Jika akan dihitung )( bYP ≤ , maka dapat digunakan fungsi

41

distribusi probabilitas binomial untuk setiap bilangan bulat tak negatif yang

kurang dari atau sama dengan b. Tabel Binomial memuat nilai-nilai probabilitas

hanya untuk beberapa nilai n yang terbatas. Bila n sangat besar, maka perhitungan

menjadi sukar dan di lain pihak tidak tersedia tabel.

Sebagai alternatif, pandang Y, banyaknya sukses dalam n ulangan, sebagai

jumlah suatu sampel yang tediri atas nilai 0 dan 1, yaitu

∑=

=n

1iiXY (2.71)

di mana

⎩⎨⎧ −

=selainnya,0

suksesanmenghasilkikeulanganjika,1Xi

dan , variabel random yang saling bebas. Berdasarkan Teorema

2.7.3, maka untuk n yang besar, proporsi ulangan yang bernilai sukses adalah

n,...,2,1i,X i =

∑=

==n

1ii XX

n1

nY

akan memiliki distribusi sampling yang mendekati distribusi normal dengan

dan variansi p)X(E i =n

)p1(pn

)X(V −=

Pendekatan ini sangat baik bila p dekat dengan 21 karena distribusi binomial

simetrik bila 21

=p .

42

2.9 Penduga Parameter

Statistika banyak berhubungan dengan penarikan kesimpulan mengenai

parameter populasi. Fungsi variabel random tertentu yang diperoleh dari sampel

random sering digunakan sebagai penduga atau pembuat keputusan tetntang

parameter populasi. Sebagai contoh, jika akan menduga mean suatu populasi µ,

jika diperoleh n pengamatan random , maka cukup beralasan jika µ

diduga dengan

nyyy ...,,, 21

(2.72)∑=

=n

1iiy

n1y

Kebaikan dari penduga ini didasarkan pada perilaku variabel random

dan pengaruh perilaku tersebut terhadap

n21 Y,...,Y,Y

∑=

=n

1iiy

n1y . Variabel random Y adalah

fungsi dari variabel random dan ukuran sampel n. Atau contoh lain,

andaikan berdasar hasil perhitungan dari data sampel, rata-rata produktivitas

kelapa sawait dalam satu tahun sebesar 154,97 kw/ha, maka

ˆ

n21 Y,...,Y,Y

97,154=x . Dengan

demikian, dan y x adalah contoh statistik.

Definisi 2.9.1. Statistik.

Statistik adalah fungsi dari pengamatan yang diperoleh dari sampel random dan

konstanta yang diketahui. Statistik digunakan untuk menarik kesimpulan

( menduga atau memutuskan ) tentang parameter populasi.

43

Penduga parameter merupakan usaha penentuan nilai parameter yang sedang

diselidiki. Untuk melakukan pendugaan nilai suatu parameter dapat dilakukan

denagn dua cara. Cara pertama yaitu dengan menentukan nilai tunggal yang

mendekati nilai parameter itu dengan sebaik-baiknya atau sering disebut penduga

titik. Cara kedua merupakan penentuan suatu selang nilai dengan peluang yang

besar mencakup nilai parameter yang diselidiki yang disebut penduga interval (

selang kepercayaan ).

2.9.1 Penduga Titik

Penduga titik adalah sebarang statistik yang digunakan untuk menduga

parameter θ. Suatu penduga titik bagi suatu parameter populasi adalah nilai

tunggal numerik dari suatu statistik yang relevan dengan parameter tersebut.

Contoh penduga titik adalah sebagai berikut

Andaikan X adalah suatu variabel random Binomial (n:p) maka variabel

random mempunyai mean p dan variansi pn

)p1(p − , dan untuk n besar, harga

variabel random

n)p1(p

ppz−−

= mendekati distribusi normal standar ( Teorema

Limit Pusat ).

2.9.2 Penduga Interval ( Selang Kepercayaan)

Andaikan pada populasi yang berdistribusi normal akan dilakukan

pendugaan parameter θ (μ dan P) maka selang kepercayaan (1-α) bagi parameter

44

populasi adalah suatu interval nilai ]Zˆ,Zˆ[ ˆ2ˆ2 θαθα σθσθ +− sedemikian hingga

]Zˆ,Zˆ[ ˆ2ˆ2 θαθα σθσθθ +−∈ dan ασθθσθ θαθα −=+<<− 1)ZˆZˆ(P ˆ2ˆ2 di mana

penduga titk bagi θ θ . Pernyataan taraf kepercayaan 95% (misalnya) mempunyai

implikasi bahwa jika rencana penarikan sampel berukuran sama dengan teknik

yang sama dilakukan berulang kali, misalnya 100 kali penarikan sampel,

kemudian dari setiap sampel dibuat pernyataan tentang pendugaan selang, maka

sekitar 95 kali dari selang nilai ]Zˆ,Zˆ[ ˆ2ˆ2 θαθα σθσθ +− mencakup parameter

populasi akan benar, dan hanya sekitar 5 kali akan salah.

Data sampel yang diperoleh melalui penarikan sampel menghasilkan nilai

statistik yang dapat digunakan sebagai penduga parameter. Nilai statistik tidak

bisa tepat sama dengan nilai parameter populasi, tetapi dapt ditentukan sejauh

mana ketepatan pendugaan tersebut

2.9.2.1 Metode Pivot

Metode yang sangat berguna untuk menentukan selang kepercayaan disebut

metode Pivot yang memerlukan kuantitas pivot. Ciri-ciri kuantitas pivot adalah

sebagai berikut :

1. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter θ ( yang tidak

diketahui ). θ merupakan satu-satunya kuantitas yang tidak diketahui.

2. Harus memiliki distribusi probabilitas yang tidak tergantung pada θ

45

Contoh 2.16 Jika diketahui observasi Y berdistribusi normal dengan )1,(μ , tentukan selang

kepercayaan 95% bagi μ bila diketahui kuantitas pivotnya adalah

σμ−

=Yz

Penyelesaian

Periksa apakah syarat dipenuhi:

1. z merupakan fungsi dari observasi Y

z merupakan fungsi dari parameter μ yang tidak diketahui

2. Distribusi probabilitas dari pivot

Bila Y~Normal (μ,σ) maka 2tt

Y

22

e)t(Mσ

μ +=

2t

Z

22

e)t(M

Yzσ

μ

=

−=

distribusi normal dengan 0Z =μ dan 1]Z[Var 2 ==σ

distribusi probabilitas dari pivot

)aYbY(P)bYa(P)bza(P95,0 −<<−=<−<=<<= μμ

96,1a025,0)96,1Z(P025,0)aZ(P

−==−<=<

96,1b975,0)96,1Z(P975,0)bZ(P025,0)bZ(P1025,0)bZ(P

==<=<=<−=>

46

Maka selang kepercayaannya berbentuk

96,1Y96,1Y +<<− μ

2.10 Teori Likelihood

Andaikan adalah sampel random waktu hidup dari sebuah

populasi item dengan distribusi waktu hidup yang mempunyai fungsi densitas f(t).

Distribusi ini memiliki vektor parameter yang tidak diketahui

nttt ,...,, 21

( )',...,, p21 θθθθ = ,

dimana p adalah banyaknya parameter yang tidak diketahui. Karena waktu hidup

adalah saling bebas, fungsi likelihood, ),(L θt adalah hasil kali dari fungsi

densitas yang diduga pada setiap titik sampel :

∏=

=n

1ii ),t(f),(L θθt . (2.73)

dimana Penduga maksimum likelihood diperoleh dengan

memaksimumkan

).t,...,t,t( n21=t θ

),( θtL terhadap θ . Jadi adalah penduga parameter distribusi

yang kemungkinan besar menghasilkan data .

θ

n21 t,...,t,t

Secara praktis, akan lebih mudah untuk memaksimumkan fungsi log

likelihood log ),(L θt untuk memperoleh vektor dari penduga maksimum

likelihood, dimana hal ini valid karena fungsi logaritma adalah bersifat monoton.

Fungsi log likelihood adalah :

∑=

=n

1ii ),t(flog),(Llog θθt (2.74)

dan berdistribusi normal asimtotik oleh teorema limit pusat, karena terdiri atas

jumlahan dari n hubungan yang saling bebas.

47

Karena ),(L θt adalah funsi densitas bersama untuk , maka hal

ini harus sama dengan 1 :

n21 t,...,t,t

(2.75) ∫ ∫ ∫∞ ∞ ∞

=0 0 0

1dt),(L... θt

asumsikan bahwa fungsi likelihood adalah kontinu ( dan karena diferensiasi dan

interal dapat dipertukarkan ), turunan parsial sisi kiri berkenaan dengan satu

parameter iθ menjadi :

[ ] p....,2,1i)(

),(Llog

d),(L),(Llog...

d),(L...d),(L...

i

i

0 0 0 i

0 0 0 0 0 0 ii

==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂=

∂∂

=

∂∂

=∂∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

θθ

θ

θθ

θ

θθ

θθ

UE

tE

ttt

tttt

(2.76)

dimana ))'(U....,),(U),(U()( p21 θθθθ =U sering disebut sebagai vektor skor.

Pendiferensialan sisi kanan dari persamaan (2.72) berkenaan dengan iθ :

[ ] p...,,2,1i0)(UE i ==θ

atau dalam bentuk vektor adalah

(2.77) [ ] 0U =)(E θ

Contoh 2.17

Andaikan adalah sampel random dari suatu populasi eksponensial

dengan p=1 dan parameter θ, populasi tersebut adalah

n21 t,...,t,t

48

0te1),t(f t ≥= − θ

θθ

Tentukan vektor skor dan penduga maksimum likelihood untuk θ.

Penyelesaian :

Fungsi likelihood populasi tersebut adalah

( )

∑==

=

=

−−−

=

=

∏

∏n

1i

it

i ee1

),t(f,L

ntn

1i

n

1ii

θ

θθ

θθt

θ

Fungsi log likelihoodnya adalah

( ) ∑=

−−=n

1iitlogn,Llog θθθt

Vektor skornya hanya memiliki satu elemen karena hanya terdapat satu parameter

( ) ( )2

n

1iit

1,LlogU

θθθθ

θ∑=+−=

∂∂

=t

.

Persamaan vektor dengan nol dan menyelesaikan penduga maksimum likelihood :

∑=

=n

1iit

n1θ

dimana ini adalah rata-rata sampel.

Pendiferensialan persamaan (2.73) terhadap jθ ( dengan aturan rantai )

adalah

49

[ ] p...,2,1i),(LlogE)(U)(UE

d),(L),(Llog),(L),(Llog),(Llog...

d),(L),(Llog),(L),(Llog...

d),(L),(Llog...

ji

2

ji

0 0 0 ji

2

ji

0 0 0 ji

2

ji

0 0 0 ij

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂∂

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

+∂

∂∂

∂=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂∂

+∂

∂∂

∂=

∂∂

∂∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞

θθθθθ

θθθ

θθθ

θθ

θ

θθθ

θθθ

θθ

θθ

θθ

t

tttttt

ttttt

ttt

(2.78)

Karena pernyataan ini adalah turunan kedua dari persamaan (2.72) sisi kiri, dan

turunan kedua dari sisi kanannya adalah nol, maka

(2.79) [ ],p,...,2,1j,p,...,2,1i

)(U)(UE),(LlogE jiji

2

==

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂∂− θθ

θθθt

Dengan persamaan (2.74), dapat diketahui bahwa [ ] [ ] 0)()( == θθ ji UEUE untuk

dan , sehingga pi ,....2,1= pj ,....2,1=

( ),p,...,2,1j,p,...,2,1i

)(U)(UCov),(LlogE jiji

2

==

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂∂− θθ

θθθt (2.80)

Elemen ini membentuk Matriks informasi Fisher p×p , I(θ) yang elemen

diagonalnya adalah variansi dari elemen-elemen vektor skor dan elemen-elemen

diagonal kebalikannya adalah covariansi.

Untuk melihat hasilnya adalah terlalu jauh, matriks p×1 untuk vektor skor

U(θ) mempunyai komponen

p....,,2,1i),(Llog)(Ui

i =∂

∂=

θθθ t (2.81)

50

yaitu, ketika disama dengankan nol dan diselesaikan, menghasilkan matriks p×1

penduga maksimum likelihood . Nilai harapan dari vektor skor mempunyai

komponen

θ

(2.82) [ ] p...,,2,1i0)(UE i ==θ

dan matriks variansi-kovariansi adalah

(2.83) [ ])(')(E)(I θθθ UU= .

Matriks tersebut mempunyai komponen

,p,...,2,1j,p,...,2,1i),(LlogE

ji

2

==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂∂−

θθθt (2.84)

dan ini sering disebut dengan Matriks informasi Fisher.

Contoh 2.18

Dari contoh 2.17, tunjukkan bahwa nilai harapan vektor skor adalah nol dan

tentukan matriks informasi Fisher.

Penyelesaian

Turunan dari vektor skor adalah

3

n

1ii

22

2 t2n),(Llog

θθθθ ∑

=−=∂

∂ t

Nilai harapan vektor skor adalah

51

( )[ ]

.0

n1n

tE1n

t1nEUE

2

n

1ii2

n

1ii2

=

+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

∑

∑

=

=

θθθ

θθ

θθθ

karena [ ] θ=itE untuk .....,,2,1 ni =

Matriks informasi Fisher adalah :

( )

2

n

1ii3

3

n

1ii

2

2

2

n

tE2n

t2nE

),(LlogEI

θ

θθ

θθ

θθθ

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂−=

∑

∑

=

=

t

BAB III

PENDUGA FUNGSI SURVIVOR

Sebelum mencari penduga fungsi survivor, akan dibahas terlebih dahulu apa

yang dimaksud fungsi survivor.

3.1 Fungsi Survivor

Fungsi survivor yang juga dikenal sebagai fungsi survival atau fungsi relia-

bilitas adalah sifat dari sebarang variabel random yang memetakan himpunan-

himpunan kejadian, yang biasanya berhubungan dengan kegagalan suatu sistem

dalam sembarang waktu t ( wikipedia.org ).

Fungsi survivor, S(t) adalah generalisasi dari reliabilitas. Dalam statistika, reli-

abilitas didefinisikan sebagai probabilitas suatu barang ( item ) dapat berfungsi

dalam suatu waktu tertentu, sedangkan fungsi survivor adalah probabilitas suatu

barang ( item ) dapat berfungsi dalam sembarang waktu t.

Fungsi survivor dapat ditulis

(3.1) 0t],tT[P)t(S ≥≥=

dimana t = suatu waktu

T = waktu kematian

P = Probabilitas

Dengan kata lain, fungsi survivor merupakan probabilitas dari kegagalan lebih

lama dari waktu yang telah ditentukan. Di sini diasumsikan untuk t = 0.

Fungsi survivor juga sering dikenal sebagai fungsi reliabilitas karena S(t) adalah

1)0( =S

52

53

reliabilitas pada waktu t. Jadi hubungannya dengan fungsi distribusi kumulatif

F(t) adalah untuk variabel random kontinu. Dengan demikian,

implikasi dari hubungan tersebut adalah fungsi survivor harus memenuhi beberapa

kondisi sebagai berikut :

)t(F1)t(S −=

1. 1)0(S =

2. 0)t(Slimt

=∞→

3. monoton turun )t(S

Terdapat dua interpretasi dalam fungsi survivor. Pertama, S(t) adalah proba-

bilitas suatu item individual dapat berfungsi pada waktu t. Dalam menentukan

waktu hidup ( lifetime ), terdapat hal yang sangat penting sebagai dasarnya, yaitu

menentukan distribusi waktu hidup untuk masing-masing komponennya. Kedua,

jika terdapat suatu populasi yang besar dengan distribusi waktu hidup yang sama,

S(t) adalah fraksi harapan dari populasi yang berfungsi pada waktu t.

Fungsi survivor juga digunakan untuk membandingkan pola survival dari be-

berapa populasi. Berikut ini adalah contoh grafik dua fungsi survivor.

S(t)

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

)t(S1

)t(S 2

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Grafik 3.1

54

Gambar di atas menunjukkan grafik dua buah fungsi survivor dan ,

untuk populasi 1 dan populasi 2. Karena untuk semua nilai t, dapat

disimpulkan bahwa semua bagian dari populasi 1 lebih unggul dari populasi 2.

)t(S1 )t(S2

)t(S1 ≥ )t(S2

Dalam fungsi survivor, dikenal juga adanya fungsi survivor bersyarat )t(S aTT ≥

yaitu fungsi survivor dari suatu barang yang berfungsi pada waktu a.

Fungsi survivor bersyarat dapat ditulis

at,)a(S)t(S

]aT[P]tT[P

]aT[P]aTandtT[P)t(S aTT ≥=

≥≥

=≥

≥≥=≥ (3.2)

Fungsi survivor bersyarat digunakan untuk membandingkan daya tahan sekelom-

pok barang yang berhasil bertahan hidup pada waktu a.

3.2 Penyensoran Data

Penyensoran sering terjadi pada data waktu hidup, karena tidaklah mungkin

atau bahkan tidak praktis bila harus meneliti seluruh item yang akan diuji. Sebuah

pengamatan dapat tersensor ketika hanya diketahui sebuah batas dalam suatu

waktu kgagalan. Himpunan data yang seluruh waktu kegagalannya diketahui

disebut himpunan data lengkap. Grafik 3.2 menunjukkan suatu himpunan data

lengkap dengan n=5 item yang diuji, di mana X menunjukkan waktu kegagalan.

Jika suatu himpunan data terdiri dari satu atau lebih pengamatan tersensor,

himpunan data ini disebut sebagai himpunan data tersensor.

55

1

2

3

4

5

0

X

X

X

X

X

t

Grafik 3.2 Himpunan data lengkap dengan n=5

Menentukan waktu kegagalan secara tepat lebih baik daripada

mengelompokkan waktu kegagalan ke dalam interval-interval, sehingga dengan

pengecualian tabel hidup, waktu kegagalan diasumsikan telah diketahui untuk

pengamatan tak tersensor.

Terdapat beberapa tipe penyensoran. Salah satu tipe yang sering terjadi adalah

sensor kanan. Dalam suatu himpunan dengan sensor kanan, terdapat satu item atau

lebih untuk sebuah batas bawah yang diketahui dalam suatu waktu hidup. Sebagai

contoh dalam uji hidup dalam dunia industri, 10 mesin masuk servis pada 1

Januari dan 7 item mengalami kerusakan pada 31 Desember. Himpunan data

terdiri dari 7 waktu kegagalan dan 3 pengamatan dengan sensor kanan, karena

waktu kegagalannya akan terjadi pada suatu waktu setelah 365 hari. Banyaknya

item yang diuji dinotasikan dengan n dan banyaknya pengamatan yang gagal

dinotasikan dengan r.

56

Pada sensor kanan, terdapat tiga kasus khusus yang sering terjadi dalam

reliabilitas dan uji daya hidup yaitu penyensoran Tipe I, penyensoran Tipe II dan

penyensoran Random.

3.2.1 Peyensoran Tipe II

Penyensoran Tipe II ini juga sering disebut sebagai penyensoran statistik

terurut. Pada tipe ini, pengamatan diakhiri pada salah satu dari kegagalan-

kegagalan yang terurut.

1

2

3

4

5

X

0

X

O

X

t

O

Grafik 3.3 Himpunan data ternsensor Tipe II dengan n=5 dan r=3

Grafik 3.3 menunjukkan sebuah himpunan dengan n=5 item yang diuji di

mana terdapat kegagalan r=3 dengan X adalah waktu kegagalan dan O adalah

item yang masih bertahan. Dalam penyensoran Tipe II, waktu untuk

menyelesaikan suatu pengujian adalah random.

57

3.2.2 Penyensoran Tipe I

Penyensoran Tipe I ini juga sering disebut penyensoran waktu karena sensor

ini mengakhiri pengamatan pada suatu waktu tertentu.

1

2

3

4

5

X

0

X

X

X

t

O

t1

Grafik 3.4 Himpunan data ternsensor Tipe I dengan n=5 dan r=4 Grafik 3.4 menunjukkan suatu himpunan dengan n=5 item diuji yang diakhiri

pada suatu waktu t1 yang ditunjukkan oleh garis vertikal ( t1 adalah waktu dimana

pengujian dihentiakan ). Dalam penyensoran Tipe I, banyaknya kegagalan adalah

random.

3.2.3 Penyensoran Random

Penyensoran random terjadi ketika item individual terambil dari pengujian

pada setiap waktu selama pengamatan. Ini biasa diasumsikan bahwa waktu hidup

ke i, dan waktu penyensoran ke i, adalah variabel random yang saling bebas. it ic

58

Dengan kata lain, dalam himpunan data tersensor random, suatu item tidak dapat

tersensor karena berada pada resiko kegagalan luar biasa tinggi atau rendah. Tipe

penyensoran ini biasa digunakan di dunia Biostatistik, karena tidaklah bisa untuk

mengontrol kapan seorang pasien untuk masuk ke rumah sakit atau kapan pasien

akan sembuh. Grafik 3.5 menunjukkan suatu himpunan dengan ietm n=5 yang

memiliki waktu penyensoran berbeda-beda untuk masing-masing item.

1

2

3

4

5

Disamping sensor kanan, terdapat pula penyensoran lain yang disebut sensor

kiri. Sensor kiri lebih jarang terjadi daripada sensor kanan. Aplikasi sensor ini

untuk pengukuran ketepatan presisi suatu peralatan. Sebagai contoh dalam terapan

Ilmu Bumi, ketika gas tidak dapat diukur di bawah batas ppm dengan

suatu peralatan tertentu, maka himpunan datanya memuat pengamatan dengan

sensor kiri.

6106 −x

Grafik 3.5 Himpunan data ternsensor Random dengan n=5 dan r=2

O

0

X

O

O

t

X

59

Tipe penyensoran yang lain adalah penyensoran interval yaitu di mana waktu

hidup jatuh pada sebuah interval. Penyensoran ini terjadi untuk kasus di mana data

dikelompokkan dalam suatu interval. Penyensoran ini juga terjadi ketika seuah

item diperiksa secara periodik, misalnya satu minggu atau satu bulan sekali.

Dalam kasus ini, informasi yang didapat mengenai waktu hidup adalah waktu

kegagalan yang terjadi pada awal interval sampai ketika kegagalan terdeteksi.

Secara garis besar, tipe-tipe penyensoran dapat digambarkan dalam sebuah

skema sebagai berikut :

Himpunan data waktu hidup

Disensor

Lengkap

Sensor Kiri

Sensor kanan

Sensor interval

lainnya

Tipe II

Tipe I

Random

Lainnya

Grafik 3.6 Skema Tipe Penyensoran

Dari ketiga pendekatan untuk mengatasi masalah penyensoran, hanya terdapat

satu dari ketiganya yang valid dan praktis. Pendekatan yang pertama adalah

mengabaikan semua nilai tersensor dan hanya menganalisa pada item-item yang

60

diamati untuk gagal. Meskipun secara matematis lebih sederhana, tetapi hal ini

bukan pendekatan yang valid. Misalnya pendekatan ini digunakan pada suatu

himpunan data dengan sensor kanan, penganalisa akan membuang nilai-nilai yang

tersensor kanan dan itu adalah item-item yang bertahan paling lama. Dalam kasus

ini, hasil yang didapat dari analisa waktu hidup diragukan, karena item yang

terbaik ternyata dibuang dari analisa. Pendekatan yang kedua adalah dengan

menunggu semua pengamatan item yang tersensor kanan mengalami kegagalan.

Meskipun hal ini valid secara statistik, namun hal ini tidaklah praktis. Misalnya

dalam suatu industri, bila harus menunggu sampai bola lampu terakhir mati atau

sampai sebuah mesin tidak berfungsi adalah terlalu lama sehingga produk yang

diuji tidak akan didapat dipasaran tepat waktu. Dalam dunia kedokteran,

menunggu sampai pasien terakhir meninggal karena suatu penyakit akan

membutuhkan waktu berpuluh-puluh tahun. Karena alasan-alasan tersebut,

pantaslah bila pendekatan untuk penyensoran dilakukan secara probabilitas,

termasuk nilai tersensor dalam fungsi likelihood.

Fungsi likelihood untuk suatu himpunan data dapat dituliskan dalam beberapa

persamaan yang berbeda. Andaikan adalah pengamatan yang saling

bebas menunjukkan sampel waktu hidup random suatu populasi. Waktu tersensor

kanan yang berhubungan dinotasikan dengan . Dalam kasus sensor

Tipe I, . Himpunan U terdiri atas indeks-indeks item yang

gagal dalm uji ( pengamatan tak tersensor ) :

n21 t,..,t,t

n21 c,...,c,c

cc...cc n21 ====

{ }ii ct|iU ≤=

61

Himpunan C terdiri atas indeks-indeks item yang waktu kegagalannya melebihi

waktu penyensoran yang telah ditentukan ( dengan sensor kanan ) :

{ }ii ct|iC >=

Bentuk yang biasa digunakan untuk data waktu hidup adalah diberikan dengan

pasangan ),x( ii δ , dimana },{min iii ctx = dan iδ adalah variabel indikator

penyensoran :

⎩⎨⎧

≤>

=ii

iii ct,1

ct,0δ (3.3)

untuk i = 1, 2, ...., n. Oleh sebab itu, iδ adalah 1 jika kegagalan item i telah

teramati dan 0 jika kegagalan item i adalah tersensor kanan, dan adalah waktu

kegagalan

ix

)1( i =δ atau waktu penyensoran )0( i =δ . Jika vektor

)',...,,( p21 θθθθ = adalah vektor dengan parameter yang tidak diketahui,

kemudian mengabaikan faktor konstan, fungsi likelihoodnya adalah

(3.4)∏∏∈∈

=Ci

iUi

i ),c(S),t(f),(L θθθx

dimana ),c(S i θ adalah fungsi survivor dengan parameter θ yang dievaluasi pada

waktu penyensoran i, . Alasan bahwa fungsi survivor adalah bentuk yang

tepat dalam fungsi likelihood untuk sebuah pengamatan tersensor kanan adalah

bahwa

Ci∈

),c(S i θ adalah probabilitas item i dapat bertahan ke . Fungsi log

likelihood-nya adalah

ic

∑∑∈∈

+=Ci

iUi

i ),c(Slog),t(flog),(Llog θθθx

atau

62

∑∑∈∈

+=Ci

iUi

i ),x(Slog),x(flog),(Llog θθθx (3.5)

Karena fungsi densitas adalah hasil dari fungsi hazard dan fungsi survivor, maka

fungsi log likelihood dapat disederhanakan menjadi

∑∑∑∈∈∈

++=Ci

iUi

iUi

i ),x(Slog),x(Slog),x(hlog),(Llog θθθθx

atau

(3.6)∑∑=∈

+=n

1ii

Uii ),x(Slog),x(hlog),(Llog θθθx .

Terakhir, untuk menulis log likelihood dalam bentuk hazard dan fungsi hazard

kumulatif adalah

(3.7)∑∑=∈

−=n

1ii

Uii ),x(H),x(hlog),(Llog θθθx

karena H(t) = - log S(t). Pilihan untuk menulis fungsi log likelihood dari ketiga

persamaan mungkin digunakan untuk suatu distribusi tertentu tergantung pada

bentuk tertentu dari S(t), f(t), h(t) dan H(t).

3.3 Penduga Fungsi Survivor

Dalam pembahasan sebelumnya, dijelaskan bahwa fungsi survivor adalah

fungsi yang berkaitan dengan waktu. Fungsi ini memetakan himpunan-himpunan

kejadian kegagalan suatu barang atau populasi dengan suatu waktu t, dengan

fungsi ini akan diketahui berapa besar probabilitas suatu barang atau polulasi da-

pat berfungsi pada t waktu yang telah ditentukan. Namun akan sulit untuk me-

nentukan fungsi survivor tersebut, karena tidak ada yang dapat mengetahui apa

yang akan terjadi untuk waktu yang akan datang, sehingga sulit untuk mengetahui

63

apakah suatu barang ataupun polulasi dapat berfungsi dalam waktu yang telah

ditentukan. Dengan kata lain sulit untuk mengetahui kapan suatu barang atau

populasi akan mengalami kegegagalan atau kerusakan sebelum hal itu benar-benar

terjadi. Oleh karena itu diperlukan suatu model fungsi survivor tersebut sehingga

fungsi survivor dapat diduga.

Dalam pembahasan ini, akan digunakan contoh sekumpulan data waktu

kegagalan beberapa gotri dengan n = 23 dalam suatu pengujian ketahanan. Urutan

waktu kegagalan yang diukur dalam setiap 106 putaran adalah sebagai berikut :

17.88 28.92 33.00 41.52 42.12 45.60 48.48 51.84 51.96

54.12 55.56 67.80 68.64 68.64 68.88 84.12 93.12 98.64

105.12 105.84 127.92 128.04 173.40

Dengan menggunakan data tersebut, gambar 2.3 menunjukkan tiga buah fungsi

survivor yang memberi ilustrasi suatu alasan bahwa penduga secara parametrik

dapat membawa ke suatu kesimpulan yang salah. Tes hidup (life test) dengan

menggunakan n = 23 gotri, dapat disimpulkan ketika semua gotri telah rusak..

64

S(t)

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 t

0 50 100 150

Fungsi survivor populasi

Pendekatan eksponensial

Penduga nonparametrik

Grafik 3.7 Perbandingan penduga fungsi survivor parametrik dengan nonparametrik

Fungsi survivor tertinggi dalam grafik, menggambarkan fungsi survivor

populasi untuk waktu hidup gotri. Fungsi survivor gotri mewakili distribusi untuk

semua kemungkinan kegagalan gotri. Fungsi survivor populasi mereprensentasi-

kan distribusi waktu kegagalan yang mungkin terjadi dari 23gotri. Fungsi survivor

ini tidak diketahui bentuknya, tetapi jika semua item dalam populasi dapat diuji

kegagalannya dibawah kondisi operasi lingkungan disekitarnya, kurva semacam

ini dapat dihasilkan. Fungsi survivor kedua, yang berupa fungsi tangga adalah

penduga nonparametrik dari S(t) untuk 23 sampel waktu hidup gotri dari suatu

populasi. Secara sederhana, penduga nonparametik S(t) adalah jumlah gotri yang

rusak dalam suatu waktu t dibagi dengan n. Pendugaan ini cenderung menurun

dengan ukuran n1 untuk setiap titik data. Berdasarkan pada kesalahan sampling,

65

penduga nonparametrik secara umum berada di bawah fungsi survivor populasi

yang sebenarnya. Fungsi survivor yang ketiga adalah pencocokan data dengan

fungsi eksponensial dengan menggunakan penduga biasa untuk tingkat kegagalan

λ, banyaknya kegagalan yang diamati dibagi dengan total waktu dalam tes. Untuk

t kecil, penduga fungsi survivor eksponensial secara signifikan lebih rendah

daripada fungsi survivor populasi. Dari ketiga contoh model pendekatan, fungsi

eksponensial yang berdasar pada pendugaan parameter merupakan penduga yang

buruk untuk fungsi survivor populasi, karena faktor kesalahan sampling dan

pendekatan yang digunakan maka fungsi eksponensial lebih jelek.

Dalam pendugaan nonparametrik, fungsi survivor untuk data lengkap dengan

n waktu hidup adalah tanpa pengamatan yang bernilai sama. Fungsi R(t) dikenal

dengan himpunan resiko ( risk set ), terdiri dari semua item yang gagal untuk

waktu t. Misalkan )t(R)t(n = adalah bilangan pokok, atau jumlah elemen dalam

R(t). Penduga nonparametrik untuk fungsi survivor yang paling sederhana adalah

0t,n

)t(n)t(S ≥= (3.8)

dimana ini biasanya dihubungkan dengan fungsi survivor empiris. Fungsi tangga

ini memiliki tangga turun, yaitu n1 untuk setiap pengamatan waktu hidup. Fungsi

survivor juga berhubungan dengan distribusi diskrit untuk n titik yang

berkemungkinan sama. Nilai-nilai yang sama tidaklah sukar untuk

disesuaikan,karena rumus untuk adalah sama dan fungsinya juga akan )(ˆ tS

66

bergerak dengan tangga turun nd jika ada d buah pengamatan yang sama pada

suatu waktu.

Bila tidak terdapat nilai yang sama dalam sekumpulan data, untuk menentukan

pendekatan selang kepercayaan asimtotik untuk fungsi survivor, didasarkan pada

pendekatan normal untuk distribusi binomial.

Untuk setiap n item dalam tes, survival ke t dapat dianggap sebagai percobaan

Bernoulli. Jadi jumlah item yang bertahan (survive ) ke waktu t, atau n(t), mem-

punyai distribusi Binomial dengan parameter n dan probabilitas suksesnya S(t),

dimana sukses didefinisikan dapat bertahan ke waktu t. Penduga fungsi survivor

pertama, n

)t(n)t(S = adalah fraksi sukses yang memiliki nilai harapan

[ ] )t(S)t(SE = dan variansi [ ]n

))t(S1)(t(S)t(SV −= ( Teorema 2.5.1 dan 2.5.2 ).

Selanjutnya, ketika ukuran sampel n besar dan S(t) tidak mendekati 0 atau 1,

distribusi Binomial mengasumsikan bahwa sebuah bentuk yang mendekati

perkiraan dengan fungsi densitas probabilitas normal, dapat digunakan untuk me-

nentukan selang penduga untuk S(t). Interval penduga ini lebih akurat, mengeli-

lingi median dari distribusi, karena pendekatan normal untuk distribusi Binomial

bekerja lebih baik ketika probabilitas keberhasilannya 21 , di mana distribusi Bino-

mial simetris. Dengan mengganti S(t) dengan dalam rumus variansi dan )t(S

n))t(S1)(t(S − sebagai pivot, ketepatan pendekatan 100(1-α)%, selang

kepercayaan probabilitas untuk bertahan ke waktu t adalah

67

n))t(S1)(t(Sz)t(S)t(S

n))t(S1)(t(Sz)t(S

22

−+<<

−− αα

(3.9)

Contoh 3.1

Dengan menggunakan data waktu kegagalan gotri, tentukan penduga

nonparametrik fungsi survivor dan 95% selang kepercayaan untuk probailitas

gotri akan bertahan selama 50.000.000 putaran.

Penyelesian

Penduga nonparametrik fungsi survivor ditunjukkan oleh grafik 3.8.

Dalam grafik tersebut, tangga turun dihubungkan oleh garis vertikal. Ini

digunakan ketika membandingkan pengamatan penduga S(t) untuk dicocokkan

dengan model parametrik. Fungsi survivor bergerak dengan tangga turun dengan

ukuran

)t(S

)t(S

231 untuk setiap nilai data, dengan pengecualian pada nilai 68,64 yang

bergerak menurun dengan ukuran 232 . Karena data diberikan dalam putaran,

penduga fungsi survivor saat t=50 adalah

610

696,02316)50(ˆ ==S dan selang

kepercayaan untuk fungsi survivor saat t=50 adalah

23))50(S1)(50(S96.1)50(S)50(S

23))50(S1)(50(S96.1)50(S −

+<<−

−

884.0)50(S508.0 <<

68

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 50 100 150

Grafik 3.8 Penduga nonparametrik untuk data gotri

Proses ini dapat berlaku untuk semua nilai t, wilayah kepercayaan 95% untuk

S(t) ditunjukkan dengan garis patah-patah pada grafik 3.8. Wilayah kepercayaan

dibatasi oleh 0 dan 1. Tidak terdapat nilai kepercayaan untuk nilai pertama

pengamatan kegagalan yaitu 17.88. Hal ini sesuai kenyataan bahwa adalah 1

untuk nilai t yang berada diantara 0 dan waktu kegagalan pertama, jadi batas

teratas dan terendah selang kepercayaan adalah 1.

)t(S

Secara umum, yaitu untuk semua nilai dan nilai tersensor adalah sebagai

berikut. Andaikan dengan k adalah waktu kegagalan yang jelas dan

andaikan melambangkan banyaknya kegagalan pada saat dan

k21 y.,..,y,y

jd k...,,2,1j,y j =

69

ini biasanya untuk menggolongkan semua nilai yang telah disensor pada .

adalah himpunan semua indeks dan item yang berisiko sebelum waktu

jy

)y(R j

k...,,2,1j,y j = .

Pencarian penduga fungsi survivor dimulai dengan mengasumsikan bahwa

data muncul dari distribusi diskrit dengan nilai distribusi k21 y...yy <<< . Untuk

distribusi diskrit adalah probabilitas bersyarat dengan interpretasi )y(h j

[ ]jjj yTyTP)y(h ≥== . Fungsi survivor dapat ditulis dalam fungsi hazard

dengan nilai mass

(3.10) 0t)]y(h1[)t(S)'t(Rj

i ≥−= ∏∈

dimana R(t)’ adalah komplemen dari himpunan risiko pada waktu t. Jadi penduga

rsional untuk S(t) adalah

(3.11) ∏∈

−)'j(Rj

j )]y(h1[

dengan menurunkan masalah penduga fungsi surbibor sehingtga fungsi hazard

berada pada nilai mass. Elemen yang tepat untuk fungsi likelihood pada nilai

mass adalah jy

(3.12) jjj dnj

dj )]y(h1[)y(h −−

untuk j=1, 2, ... , k

Pernyataan diatas benar karena adalah banyaknya kegagalan pada ,

adalah banyaknya item dalam tes yang tidak gagal saat dan adalah

jd jy jj dn −

jy )y(h1 j−

70

probabilitas bersyarat kegagalan setelah waktu dalam bertahan ke waktu .

Jadi fungsi likelihood untuk adalah

jy jy

)y(h...,),y(h),y(h k21

jjj dnj

k

1j

djk21 )]y(h1[)y(h))y(h...,),y(h),y(h(L −

=

−=∏ (3.13)

{ }∑=

−−+=k

1jjjjjjk21 )]y(hilog[)dn()y(hlogd))y(h...,),y(h),y(h(Llog (3.14)

Elemen ke-i dalam nilai vektor adalah

(3.15) )y(h1

dn)y(h

d)y(h

))y(h...,),y(h),y(h(Llog

i

ii

i

i

j

k21

−−

−=∂

∂

untuk i=1,2,...,k

Jika persamaan di atas sama dengan nol maka wilayah penyelesaian penduga

maksimum likelihood untuk wilayah adalah )y(h i

i

ii n

d)y(h = (3.16)

Penduga ini tampaknya cukup beralasan, karena adalah kegagalan

item dalam tes pada waktu . Jadi rasio dengan adalah penduga yang

layak bagi probabilitas bersyarat untuk kegagalan pada waktu . Persamaan ini

mungkin membawa ke bentuk yang familiar, pada suatu waktu , menduga

dengan dibagi n adalah ekivalen dengan menduga probabilitas ‘sukses’,

yaitu kegagalan pada waktu untuk setiap item yang diuji. Jadi persamaan

ini ekivalen dengan menentukan penduga maksimum likelihood untuk probabilitas

sukses untuk k variabel random binomial.

)y(h i id in

iy id in

iy

iy

)y(h i id

iy in

71

Dengan menggunakan pendugaan untuk fungsi hazard pada ini, penduga

fungsi survivor menjadi

iy

∏

∏

∈

∈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

−=

)'t(Rj j

j

)'t(Rjj

nd

1

)]y(h1[)t(S

(3.17)

yang biasa dikenal sebagai penduga Kaplan-Meier atau penduga produk-limit.

Masalah yang sering muncul pada pendugaan produk-limit adalah pengamatan

waktu kegagalan terakhir tidak dapat didefinisikan. Cara yang biasa digunakan

untuk mengatasi masalah ini adalah dengan menghilangkan penduga pengamatan

waktu kegagalan terakhir . ky

Contoh 3.2

Sebuah percobaan dilakukan untuk menentukan pengaruh suatu obat yang

bernama 6-mercaptopurin (6-MP) terhadap waktu penyembuhan leukimia. 21

penderita leukimia diambil sebagai sampel dan diobati dengan 6-MP dan waktu

penyembuhannya dicatat. Dari situ, terdapat r=9 individu yang waktu

penyembuhannya diamati sedangkan 12 pasien lainnya disensor secara random.

Andaikan tanda ‘*’ melambangkan pengamatan yang disensor, data waktu

penyembuhannya ( dalam minggu ) adalah

6 6 6 6* 7 9* 10 10* 11* 13 16

17* 19* 20* 22 23 25* 32* 32* 34* 35*

tentukan penduga S(14) untuk data di atas.

72

Penyelesaian

Himpunan data terdiri atas n = 21 pasien dalam tes, kegagalan yang diamati r = 9

dan terdapat k = 7 waktu kegagalan yang berbeda. Tabel 3.1 memberikan nilai-

nilai dari jjjjj nd1dan,n,d,y − untuk j = 1, 2, ...,7.

j jy jd jn jj nd−1

1

2

3

4

5

6

7

6

7

10

13

16

22

23

3

1

1

1

1

1

1

21

17

15

12

11

7

6

2131−

1711−

1511−

1211−

1111−

711−

611−

Tabel 3.1 Perhitungan produk-limit untuk kasus pengobatan 6-MP

Secara khusus, penduga produk-limit fungsi survivor pada saat t = 14 minggu

adalah

69.0255176

1211

1511

1711

2131

nd

1)14(S)14(Rj j

j

=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= ∏

∈

73

t

0 10 20 30 40

S(t)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Grafik 3.9 penduga produk-limit fungsi survivor untuk data 6MP

Pengaruh pengamatan tersensor pada penduga fungsi survivor adalah berupa

fungsi tangga turun yang lebih lebar pada waktu kegagalan berikutnya. Jika

terdapat nilai-nilai diantara pengamatan dan waktu penyensoran, seperti pada

waktu 6, kesepakatan untuk memasukkan nilai tersensor dalam himpunan resiko

berarti bahwa akan terdapat tangga turun yang lebih lebar sesuai dengan nilai-nilai

tersebut. Dengan catatan penduga pada saat waktu 23 dihilangkan karena itu

adalah waktu pengamatan terakhir.

Untuk menentukan penduga variansi dari penduga produk-limit akan lebih

sulit secara signifikan dibanding dengan kasus yang tidak menggunakan

74

penyensoran. Matriks informasi Fisher yang diamati membutuhkan sebuah

penurunan nilai vektor yaitu

(3.18) ))y(h1(

dn)y(h

d)y(h)y(h

))y(h...,),y(h),y(h(Llog2

i

ii2

i

i

ji

k21

−−

+=∂∂

∂−

di mana i=j dan 0 untuk selainnya. Matriks informasi Fisher yang diamati

keduanya adalah diagonal. Dengan mengganti dengan penduga maksimum

likelihood, elemen diagonal dari matriks informasi yang diamati menjadi

)y(h i

( )

( )( )

( )( )

( )

( )iii

3i

iii

i2ii

2i

3i

iii

i2iii

2i

ii

2i

i

2i

2ii

2iii

2i

2ii

2iii

2i

2iii

2i

2ii

2i

2i

i

i

ii

2i

2i

i

2

i

i

ii2

i

i

i

nd

)y(h2

i

k212

dndn

dnddndnn

dnddndnn

dnn

dn

dnndn

dnd

dnd2nndn

dnd

nd

nd21

dn

ndd

nd1

dn

nd

d)y(h

))y(h...,),y(h),y(h(Llog

i

ii

−=

−+−

=

−+−

=

−+=

−−

+=

+−−

+=

+−

−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂−

=

(3.19)

untuk i = 1, 2, ..., k. Dengan menggunakan fakta tersebut dan beberapa

pendekatan, penduga variansi menurut Greenwood ( Reliability, 1995 ) untuk

fungsi survivor adalah

75

∑∈ −

=)t(Rj jjj

j

)dn(nd

)]t(S[)]t(S[V (3.20)

yang sering dikenal dengan formula Greenwood. Rumus tersebut dapat digunakan

untuk menentukan selang kepercayaan asimtotik untuk S(t) dengan menggunakan

titik kritis normal, yaitu

)]t(S[VZ)t(S)t(S)]t(S[VZ)t(S 22 αα +<<− (3.21)

Contoh 3.3

Dengan menggunakan data pada contoh 3.2, tentukan selang kepercayaan 95%

untuk probabilitas survival ke waktu 14.

Penyelesaian

Penduga titik untuk survival waktu ke 14 dalam contoh 3.2 adalah 0.69. Dengan

menggunakan formula Greenwood, variansi untuk penduga fungsi survivor pada

saat t = 14 dapat diduga, yaitu

011.0)112(12

1)115(15

1)117(17

1)321(21

3)69.0(

)dn(nd

)]14(S[)]14(S[V

2

)14(Rj jjj

j2

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+−

+−

+−

=

−= ∑

∈

jadi penduga untuk standar deviasi dari fungsi survivor untuk semua nilai t adalah

11.0011.0 = pada saat t=14. interval kepercayaan 95% untuk S(14) adalah

90.0)14(S48.0011.096.169.0)14(S011.096.169.0

)]14(S[VZ)14(S)14(S)]14(S[VZ)14(S 22

<<+<<−

+<<− αα

76

Grafik 3.10 menunjukkan batas kepercayaan 95% untuk fungsi survivor untuk

semua nilai t.

Survival Curve

t

0 10 20 30 40

S(t)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Grafik 3.10 Batas interval kepercayaan untuk penduga produk-limit fungsi

survivor untuk data 6MP

3.3 Tabel Hidup

Tabel hidup (life table) telah digunakan dalam sejarah aktuaris untuk menduga

distribusi survival manusia, tetapi penggunaan yang lebih tepat adalah untuk

reliabilitas dan situasi biostatistik untuk data yang dikelompokkan. Dengan

asumsi bahwa waktu dibagi dalam k interval .

Aplikasi dalam asuransi, secara tipikal intervalnya memiliki lebar yang sama (1

)a,a[),....,a,a[),a,a[ k1k2110 −

77

tahun) karena biaya asuransi berubah-ubah berdasar umur individu. Dalam hal ini

akan dibahas secara umum yaitu intervalnya tidak selalu memiliki lebar yang

sama. menyatakan banyaknya kegagalan dalam interval j, menyatakan

banyaknya item tersensor dalam interval j dan dinotasikan sebagai banyaknya

item yang beresiko dalam interval j, j = 1, 2, ...k. Untuk sebuah item yang

berfungsi pada awal interval j , probabilitas bersyarat untuk kegagalan dalam

iterval dapat diduga dengan

jd jm

jn

j

j

nd

jika data tersensor di akhir interval atau dengan

jj

j

mnd−

jika data tersensor di awal interval. Ketentuan yang biasa digunakan

untuk menduga probabilitas bersyarat tersebut adalah dengan 2mn

d

jj

j

− dengan

pertimbangan bahwa item tersensor selama dalam interval hanya akan beresiko

setengah dari interval tersebut. Analog dengan penduga produk-limit fungsa

survivor, tabel hidup penduga fungsi survivor pada saat adalah ja

∏=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=j

1i ii

jj 2mn

d1)a(S (3.22)

untuk j = 1,2,...,k. Penduga fungsi survivor ini memiliki ketidakkontinuan pada

batas interval dan konstan bila berada sepanjang interval. Formula Greenwood

dapat digunakan untuk menduga variansi dari penduga fungsi survivor ini.

Dengan mengganti dengan jn 2mn ii − menjadi

(3.23) ∑= −−−

=j

1i iiiii

i2jj )d2mn)(2mn(

d)]a(S[)]a(S[V

78

untuk j=1,2,..,.k

Contoh 3.4

Pengobatan dengan 6-MP dibagi dalam k=5 interval yang tidak sama. Intervalnya

yaitu banyaknya individu yang beresiko, banyaknya penderita kanker yang

diamati dan benyaknya penyensoran selama dalam interval j diberikan dalam

tabel 3.2. Seperti sebelumnya, penduga pengamatan kegagalan terakhir

dihilangkan. Tentukan penduga titik dan interval kepercayaan 95% untuk S(14).

j 1−ja ja jn jd jm2/)( jj

j

mnd−

( )jaS )(ˆ[ˆ jaSV

1 0 8 21 4 1 418 0.80 0.088

2 8 12 16 1 3 292 0.75 0.098

3 12 18 12 2 1 234 0.62 0.12

4 18 24 9 2 2 41 0.46 0.13

5 24 36 5 0 5 0 0 0

Tabel 3.2 Tabel hidup untuk data pengobatan 6-MP

Penyelesaian

Dari tabel terlihat dan . Pengelompokan data

menyebabkan perubahan signifikan dalam pendugaan pada saat t = 14 minggu,

75.0)12(S = 62.0)18(S =

79

jadi asumsikan bahwa penduga fungsi survivor adalah konstan

sepanjang interval [12,18). Interval kepercayaan 95% untuk S(14) adalah

75.0)14(ˆ =S

94.0)14(56.0)98(1.96)(0.00.75S(14)98)(1.96)(0.0-0.75

<<+<<

S

Pada dasarnya, tabel hidup berasal dari ilmu asuransi. Ketika berhubungan

dengan populasi manusia, ukuran sampel dapat membesar seara ekstrim, menuntut

penduga survival yang sangat akurat. Ada dua tipe tabel hidup yang digunakan

oleh para aktuaris, yaitu tabel hidup generasional dan tabel hidup searah.

3.4.1 Tabel hidup generasional

Tabel hidup generasional menggolongkan pengalaman survival dari sebuah

kelompok individu yang lahir pada tahun yang sama. Semua individu yang lahir

pada tahun tertentu tersebut dipertimbangkan dengan tahun yang berurutan, dan

tabel hidup generasional mencerminkan kematian untuk semua individu tersebut.

3.4.2 Tabel hidup searah

Tabel hidup searah berbeda dengan tabel hidup generasional, tabel ini

mempertimbangkan individu-individu dari semua umur dalam suatu tahun

tertentu, misalnya tahun 1988. Pola survival untuk semua individu adalah subyek

untk tingkat kematian selama tahun 1988. Faktor-faktor yang mempengarui

kematian adalah kemajuan medis, nutrisi, faktor lingkungan dan kehidupan

keluarga. Jadi tabel hidup searah memberi sebuah potret tentang kematian yang

terjadi dalam suatu tahun tertentu. Tabel ini biasanya digunakan oleh aktuaris

untuk menentukan tarif polis asuransi hidup suatu individu.

80

Berikut ini adalah contoh tabel hidup Amerika Serikat yang menggunakan

100.000 kelahiran pada saat t=0. Seperti terlihat dalam tabel 3.3, penduga

variansinya lebih kecil secara signifikan dari pada contoh tabel hidup sebelumnya.

Kebanyakan dari tabel hidup seperti ini terbagi atas jenis kelamin dan ras. Tipe

tabel hidup ini adalah cocok untuk suatu opulasi tetapi tidak untuk sebuah

individu. Faktor genetik, jabatan dan gaya hidup akan meningkatkan atau

menurunkan probabilitas survival survival semua orang. Kolom menunjukkan

kematian bayi.

jd

j 1−ja ja jn jd jm ( )jaS )(ˆ[ˆ jaSV

1 0 1 100000 999 0 0.990 0.000314

2 1 5 99.001 128 0 0.989 0.000334

3 5 10 98.803 120 0 0.988 0.000351

4 10 15 98.683 134 0 0.986 0.000369

5 15 20 98.549 431 0 0.982 0.000422

6 20 25 98.118 565 0 0.976 0.000482

7 25 30 97.553 596 0 0.970 0.000537

8 30 35 96.957 717 0 0.963 0.000596

9 35 40 96.240 924 0 0.954 0.000664

10 40 45 95.316 1204 0 0.942 0.000741

11 45 50 94.112 177 0 0.924 0.000838

12 50 55 92.335 2766 0 0.896 0.000964

13 55 60 89.569 4238 0 0.854 0.0012

14 60 65 85.331 6208 0 0.792 0.00128

15 65 70 79.123 8344 0 0.708 0.00144

16 70 75 70.779 11,096 0 0.597 0.00155

81

17 75 80 59.683 13,654 0 0.461 0.00158

18 80 85 46.029 15,858 0 0.302 0.00145

∞19 85 30.171 30,171 0 0.000 .

Tabel 3.3 Tabel hidup untuk Amerika Serikat pada tahun 1988

3.5 Uji Kolmogorov-Smirnov ( K-S )

Pembahasan dalam tulisan ini hanya ditekankan pada distribusi waktu hidup

kontinu, sehingga uji kelayakan model juga dibatasi untuk distribusi kontinu. Uji

Chi-Square sebenarnya dapat digunakan baik untuk distribusi diskrit maupun

kontinu, namun kekurangannya adalah lebar batas intervalnya berubah-ubah dan

hanya dapat digunakan untuk himpunan data yang berukuran besar.

Fungsi survivor S(t) telah ditekankan dalam pembahasan sebelumnya, namun

fungsi distribusi kumulatif biasa digunakan untuk mendefinisikan uji statistik K-S,

di mana )t(S1]tP[)t(F −=≤= untuk distribusi kontinu. Untuk menjaga

kebiasaan tersebut, F(t) akan digunakan dalam pembahasan pada subbab ini.

Uji goodness of fit K-S bertujuan untuk membandingkan fungsi distribusi

kumulatif empiris dari variabel random T dengan fungsi distribusi kumulatif

hipotesis yang akan bermanfaat dalam penentuan selang kepercayaan bagi S(t)

sebagaimana dalam persamaan (3.9)

Prinsip dari statistik uji K-S adalah menghitung perbedaan maksimum antara

fungsi distribusi kumulatif empiris dengan fungsi distribusi kumulatif yang

dihipotesiskan, . Hipotesis nol dan alternatif untuk uji ini adalah

)t(F

)t(F0

82

)t(F)t(F:H)t(F)t(F:H

01

00

≠= (3.24)

di mana F(t) adalah fungsi distribusi kumulatif yang diuji, sedangkan adalah

distribusi kumulatif yang dihipotesiskan (teoritis). Dengan kata lain, hipotesis nol

adalah bahwa waktu hidup random T mempunyai fungsi distribusi kumulatif

.

)t(F0

)t(F0

Statistik uji Kolmogorov-Smirnov merupakan selisih absolut terbesar antara

dan yang kita sebut deviasi maksimum D. Statistik D ditulis sebagai

berikut :

)t(F )t(F0

)t(F)t(FmaxD 0−=

Nilai D kemudian dibandingkan dengan nilai kritis pada tabel distribusi penarikan

sampel (Tabel D), pada ukuran sample n dan tingkat signifikansi α. Ho ditolak bila

nilai maksimum D yang teramati lebih besar atau sama dengan nilai kritis D

maksimum. Dengan penolakan Ho berarti bentuk distribusi yang teramati dan

distribusi teoritis berbeda secara signifikan. Sebaliknya dengan tidak menolak Ho

berarti tidak terdapat perbedaan signifikansi antara distribusi teramati dan

distribusi teoritis. Perbedaan-perbedaan yang tampak hanya disebabkan variasi

penarikan sampel (sampling variation).

3.5.1 Langkah-langkah uji Kolmogorov-Smirnov

Langkah-langkah uji Kolmogorov-Smirnov adalah sebagai berikut

)t(F)t(F:H)t(F)t(F:H

01

00

≠=

1. Tetapkan :

83

2. Tetapkan α

3. Statistik uji :

)t(F)t(FmaxD 0−=

4. Wilayah kritis :

Dengan mengacu pada tabel D, dapat dilihat probabilitas ( dua sisi )

kejadian menemukan nilai-nilai teramati sebesar D, bila benar. Bila

probabilitas itu sama atau lebih kecil dari α, maka ditolak.

0H

0H

5. Perhitungan :

• Susun frekuensi-frekuensi dari tiap nilai teramati, berurutan dari

nilai terkecil sampai nilai terbesar

• Susun frekuensi kumulatif dari nilai-nilai teramati

• Konversikan frekuensi kumulatif tersebut ke dalam probabilitas,

yaitu ke dalam fungsi distribusi frekuensi kumulatif )t(F

• Hitung nilai z untuk masing-masing nilai teramati, dimana

sttz i −= kemudian dengan menggunakan tabel distribusi normal

didapat )t(F i0

• Susun berdampingan dengan . Hitung selisih absolut

antara dan pada masing-masing nilai termati.

)(ˆitF )(0 itF

)(ˆitF )(0 itF

6. Membuat kesimpulan

84

3.5.2 Statistik Uji Kolmogorov-Smirnov untuk distribusi waktu hidup

Dalam distribusi waktu hidup, selisih absolut terbesar antara dan

disebut deviasi maksimum yang ditulis sebagai berikut

)t(F i )t(F i0

nD

)t(F)t(FSupD 0t

n −= (3.25)

Untuk himpunan data yang lengkap, dimana sup adalah suprimum.

Untuk selanjutnya, pembahasan ini hanya akan mempertimbangkan fungsi

distribusi kumulatif hipotesis . Dengan membandingkan distribusi distribusi

eksponensial yang sesuai dengan fungsi distribusi kumulatif empiris, dapat

digunakan untuk menggambarkan aspek geometrik dari statistik uji K-S untuk

. Grafik di bawah ini menunjukkan perbedaan antara menggunakan fungsi

survivor dan fungsi distribusi kumulatif dalam penghitungan .

)t(F0

nD

nD

85

: Penduga Nonparametrik : Penduga Exponensial

Grafik 3.11 Grafik 3.11 menunjukkan tangga empiris funsi survivor dengan

menggunakan waktu kegagalan 23 gotri yang digunakan dalam contoh 3.1 dengan

pencocokan eksponensial . Perbedaan maksimum antara kedua fungsi

distribusi kumulatif hanya terjadi di sebelah kiri

)(ˆ tS

)(0 tS

52,41)4( =t dan

seperti terlihat dalam grafik. Grafik 3.12 adalah komplemen dari grafik 3.11

dengan lebih memperhatikan fungsi distribusi kumulatif dari pada fungsi survivor.

Perbedaan maksimum kembali terjadi hanya disebelah kiri . Untuk menghitung

301,023 =D

)4(t

23D

Penduga Nonparametrik

Pendekatan Eksponensial

0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

23D

41,52 50 100 150 200

S(t)

t

86

23D diperlukan loop untuk semua nilai data pada 23 sampel gotri dan juga

mempertimbangkan tiga kasus berikut.

: Penduga Nonparametrik : Penduga Exponensial

Grafik 3.12

Kasus pertama diperlihatkan oleh grafik 3.13, di mana F(t) dan berada

disekitar nilai data . Ketika i = 12, fungsi distribusi yang dicocokan

jatuh di atas ; yaitu, . Seperti yang ditunjukkan dalam

grafik, perbedaan maksimum antara kedua fungsi distribusi kumulatif di sekitar

hanya terjadi di sebelah kiri . Kasus ini mengindikasikan mengapa Sup

)t(F0

80.6712 =t

)t(F )i( )t(F)t(F )i()i(0 ≥

)(it )(it

Survival Curve

t

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

F(t)

23D

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

87

digunakan untuk mendefinisikan daripada max. Perbedaan fungsi distribusi

empiris dan yang dicocokkan pada saat adalah

nD

)i(t

(3.21) )t(F)t(F )1i()i(0 −−

: Penduga Nonparametrik : Penduga Exponensial

Grafik 3.13

Kasus kedua diperlihatkan oleh grafik 3.14, di mana distribusi yang dicocokan

memotong anak tangga pada )t(F0 )t(F 12.93)17( =t . Kondisi seperti ini

berhubungan dengan kasus ini, yaitu . Perbedaan antara )t(F)t(F)t(F i)i(0)1i( <<−

( )12t

t0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

F(t)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

67.80

88

kedua distribusi kumulatif pada saat bergantung apakah memotong

bagian atas atau bagian bawah anak tanga pada saat .

)t(F0)i(t

)i(t

t0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

F(t)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

93.12

: Penduga Nonparametrik : Penduga Exponensial

Grafik 3.14

Kasus ketiga diperlihatkan oleh grafik 3.15, di mana dan terlihat

disekitar nilai data . Dalam kasus ini, funsi distribusi kumulatif yang

dicocokan pada saat jatuh pada ; yaitu . Perbedaan

antara fungsi distribusi kumulatif yang dicocokan pada saat adalah

)t(F )t(F0

12.105)19( =t

)t(F )1i( − )t(F)t(F )1i()i(0 −≤)(it

)(it

)()(ˆ)(0)( ii tFtF −

89

t0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

F(t)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

( )19t

105.12

: Penduga Nonparametrik : Penduga Exponensial

Grafik 3.15

Metode pertama dalam penghitungan adalah menentukan kasus yang

terjadi diantara ketiga kasus tersebut pada beberapa nilai data dan kemudian

tentukan nilai maksimum dari n nilai. Metode kedua yang lebih sering digunakan

adalah

nD

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=

−

=

+

n1it(FmaxD

)t(FnimaxD

)i(0n....2,1in

)i(0n...2,1in

(3.27)

dan kemudian

90

{ }−+= nnn D,DmaxD (3.28)

Contoh 3.5

Gunakan metode kedua untuk mencari dari data kegagalan 23 gotri yang

digunakan dalam contoh 3.1

nD

Penyelesaian

66.36,23.72t,23n === σDiketahui

i data z )( )(0 itF )( )(0 itFni−

nitF i

1)( )(0−

−

1 17.88 -1.48 0.0694 -0.02592 0.0694 2 28.92 -1.18 0.119 -0.03204 0.075522 3 33 -1.07 0.1423 -0.01187 0.055343 4 41.52 -0.84 0.2005 -0.02659 0.070065 5 42.12 -0.82 0.2061 0.011291 0.032187 6 45.6 -0.73 0.2327 0.02817 0.015309 7 48.48 -0.65 0.2578 0.046548 -0.00307 8 51.84 -0.56 0.2877 0.060126 -0.01665 9 51.96 -0.55 0.2912 0.100104 -0.05663

10 54.12 -0.49 0.3121 0.122683 -0.0792 11 55.56 -0.45 0.3264 0.151861 -0.10838 12 67.8 -0.12 0.4522 0.069539 -0.02606 13 68.64 -0.1 0.4602 0.105017 -0.06154 14 68.64 -0.1 0.4602 0.148496 -0.10502 15 68.88 -0.09 0.4641 0.188074 -0.1446 16 84.12 0.32 0.6255 0.070152 -0.02667 17 93.12 0.57 0.7157 0.02343 0.020048 18 98.64 0.72 0.7642 0.018409 0.02507 19 105.12 0.9 0.8159 0.010187 0.033291 20 105.84 0.92 0.8212 0.048365 -0.00489 21 127.92 1.52 0.9357 -0.02266 0.066135 22 128.04 1.52 0.9357 0.020822 0.022657 23 173.4 2.76 0.9971 0.0029 0.040578

Dari tabel di atas diketahui :

188074.0)t(FnimaxD )i(0n...2,1in =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=

+

91

075522.0n

1it(FmaxD )i(0n....2,1in =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−==

−

{ }{ }

188074.0075522.0,188074.0max

D,DmaxD nnn

=== −+

3.6 Sensor Kanan Himpunan Data

Uji K-S mudah digunakan untuk kasus sensor Tipe I dan tipe II. Namun

situasinya akan lebih kompleks untuk sensor kanan data secara random. Untuk

sensor data Tipe II, rumus uji K-S didefinisikan dengan

(3.29) )t(F)t(FSupD 0tt0

r,n)r(

−=≤≤

dimana adalah urutan waktu hidup yang diamati. Contoh kasus

sensor data Tipe II adalah

)()2()1( ...,, rttt

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=

−

=

+

n1it(FmaxD

)t(FnimaxD

)i(0r....2,1ir,n

)i(0r...2,1ir,n

(3.30)

{ }−+= r,nr,nr,n D,DmaxD (3.31) kemudian dicari .

Contoh 3.6

Dengan menggunakan data pada contoh 3.2, hitunglah nilai rnD ,

Penyelesaian

Dari contoh 3.2 diketahui n = 21, r = 9 dengan data sebagai berikut

92

6 6 6 6* 7 9* 10 10* 11* 13 16

17* 19* 20* 22 23 25* 32* 32* 34* 35*

dengan (*) menandakan item yang tersensor.

r = 9, maka

nitF i

1)( )(0−

−)( )(0 itFni−

i data z )( )(0 itF1 6 -1.72158 0.1711 -0.1711 0.218719 2 6 -1.56664 0.1711 -0.1711 0.218719 3 6 -1.4117 0.1711 -0.1711 0.218719 4 7 -1.25675 0.2148 -0.2148 0.262419 5 10 -1.10181 0.3707 -0.3707 0.418319 6 13 -0.94687 0.5557 -0.5557 0.603319 7 16 -0.79193 0.7257 -0.7257 0.773319 8 22 -0.63698 0.937 -0.937 0.984619 9 23 -0.48204 0.8545 -0.8545 0.902119

1711.0)t(FnimaxD )i(0r...2,1ir,n −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=

+

984619.0n

1it(FmaxD )i(0r....2,1ir,n =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−==

−

{ }{ }

984619.0984619.0,1711.0max

D,DmaxD r,nr,nr,n

=−=

= −+

Semua statistik uji tersebut diatas , yaitu dan , untuk selanjutnya

dibandingkan dengan tabel D untuk membuat kesimpulan tentang bentuk

distribusi.

nD r,nD

BAB IV

APLIKASI PENDUGA FUNGSI SURVIVOR

Dalam bab ini diberikan beberapa contoh permasalahan sebagai aplikasi untuk

penduga fungsi suvivor. Permasalahan akan dimulai dari data yang lengkap tanpa

terdapat penyensoran, kemudian permasalahan dengan data yang tersensor, yang akan

ditentukan penduga dan selang kepercayaannya dengan beberapa metode yang telah

dibahas dalam bab sebelumnya.

4.1 Permasalahan Sebanyak 44 penderita leukemia diambil sebagai sampel yang kemudian akan

ditentukan selang penduga dan kepercayaan untuk waktu bertahan hidupnya. Data

dari pasien tersebut adalah ( dalam minggu ) sebagai berikut :

4 5 8 9 10 10 10 10 12 12 13 14 20 20 23 28 28 28 29 31

32 37 41 41 48 57 62 70 74 75 99 100 103 139 161 162 169

195 199 217 220 245 258 269

dari data tersebut tentukan penduga nonparametrik fungsi survivor dan selang

kepercayaan 95% untuk probabilitas pasien akan bertahan selama 40 minggu.

Penyelesaian

Sebelum menentukan penduga nonparametrik fungsi survivor dan selang

kepercayaannya, data perlu diuji apakah data berdistribusi normal atau tidak. Dengan

menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov, akan diketahui apakah data berdistriusi

normal atau tidak.

93

94

Uji K-S

Langkah-langkah uji Kolmogorov-Smirnov adalah sebagai berikut

1. = Data berdistribusi normal 0H

= data tidak berdistribusi normal 1H

2. α = 0.05

3. Statistik uji :

{ }−+= nnn D,DmaxD

4. Wilayah kritis :

Dengan mengacu pada tabel D, dapat dilihat probabilitas ( dua sisi ) kejadian

menemukan nilai-nilai teramati sebesar D, bila benar. Bila probabilitas itu

sama atau lebih kecil dari α, maka ditolak.

0H

0H

5. Perhitungan (dengan menggunakan metode kedua) :

i data z )( )(0 itF )( )(0 itFni−

nitF i

1)( )(0−

−

1 4 -0.92 0.1788 -0.15607 0.1788 2 5 -0.91 0.1841 -0.13865 0.1614 3 8 -0.87 0.1922 -0.12402 0.1467 4 9 -0.86 0.1949 -0.10399 0.1267 5 10 -0.85 0.1977 -0.08406 0.1067 6 10 -0.85 0.1977 -0.06134 0.0840 7 10 -0.85 0.1977 -0.03861 0.0613 8 10 -0.85 0.1977 -0.01588 0.0386 9 12 -0.82 0.2061 -0.00155 0.0242

10 12 -0.82 0.2061 0.02117 0.0015 11 13 -0.81 0.2119 0.03810 -0.0153 12 14 -0.79 0.2148 0.05793 -0.0352 13 20 -0.72 0.2358 0.05966 -0.0369 14 20 -0.72 0.2358 0.08238 -0.0596

95

15 23 -0.68 0.2433 0.09761 -0.0748 16 28 -0.62 0.2676 0.09604 -0.0733 17 28 -0.62 0.2676 0.11876 -0.0960 18 28 -0.62 0.2676 0.14149 -0.1187 19 29 -0.61 0.2743 0.15752 -0.1347 20 31 -0.58 0.281 0.17355 -0.1508 21 32 -0.57 0.2843 0.19297 -0.1702 22 37 -0.51 0.305 0.19524 -0.1722 23 41 -0.46 0.3228 0.19993 -0.1772 24 41 -0.46 0.3228 0.22263 -0.1999 25 48 -0.37 0.3557 0.21248 -0.1897 26 57 -0.25 0.4013 0.18961 -0.1668 27 62 -0.19 0.4247 0.18894 -0.1662 28 70 -0.09 0.4641 0.17226 -0.1495 29 74 -0.04 0.484 0.17509 -0.1523 30 75 -0.03 0.492 0.18982 -0.1670 31 99 0.27 0.6064 0.09815 -0.0754 32 100 0.29 0.6064 0.12087 -0.0981 33 103 0.32 0.6255 0.12453 -0.1017 34 139 0.78 0.7823 -0.00957 0.0323 35 161 1.05 0.8531 -0.05765 0.0803 36 162 1.07 0.8554 -0.03722 0.0599 37 169 1.15 0.8749 -0.03399 0.0567 38 195 1.48 0.9306 -0.06696 0.0896 39 199 1.53 0.937 -0.05064 0.0733 40 217 1.76 0.9608 -0.05171 0.0744 41 220 1.80 0.9641 -0.03228 0.0551 42 245 2.11 0.9826 -0.02805 0.0507 43 258 2.27 0.9884 -0.01113 0.0338 44 269 2.41 0.992 0.00842 0.0147

Tabel 4.1

Dari tabel diketahui

22263.0)t(FnimaxD )i(0n...2,1in =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=

+

96

1788.0n

1it(FmaxD )i(0n....2,1in =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−==

−

{ }{ }

22263.01788.0,22263.0max

D,DmaxD nnn

=== −+

Kemudian nilai akan dibandingkan dengan nilai D dalam Tabel D. Sdiketahui

nilai D tabel adalah 0.210 sedangkan nilai =0.22263 dengan demikian > D

sehingga diterima.

nD

nD nD

0H

6. Karena diterima, dengan demikian data berdistribusi normal. 0H

Kemudian akan ditentukan penduga nonparametrik fungsi survivor dan selang

kepercayaan saat t=40 sebagai berikut :

Penduga fungsi survivor saat t=40 adalah

5.0

4422)40(S

=

=

Selang kepercayaan fungsi survivor saat t=40

648.0)40(S352.0148.05.0)40(S148.05.0

44)5.0)(5.0(96,15.0)40(S

44)5.0)(5.0(96,15.0

44))40(S1)(40(S96.1)40(S)40(S

44))40(S1)(40(S96.1)40(S

<<+<<−

+<<−

−+<<

−−

97

Gambar 4.1 t

0 50 100 150 200 250 300

S(t)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Grafik 4.1

4.2 Permasalahan

Dari permasalahan 4.1 terdapat r=37 individu yang waktu penyembuhannya diamati

dan terdapat 7 pasien yang tersensor. Andaikan (*) melambangkan pengamatan yang

tersensor, data contoh 4.1 menjadi sebagai berikut

4 5 8 9 10 10 10 10 12 12 13 14 20 20* 23 28 28 28 29 31

32 37 41 41 48 57 62 70 74 75 99 100 103 139 161* 162 169

195 199* 217* 220 245* 258* 269*

tentukan penduga S(30) untuk data di atas

98

Penyelesaian

Himpunan data terdiri atas n = 44 pasien, kegagalan yang diamati r = 37 dan terdapat

k = 30 waktu kegagalan yang berbeda, maka

j jy jd jn jj nd−1

1 4 1 44 0.98 2 5 1 43 0.98 3 8 1 42 0.98 4 9 1 41 0.98 5 10 4 40 0.90 6 12 2 36 0.94 7 13 1 32 0.97 8 14 1 32 0.97 9 20 1 31 0.97

10 23 1 30 0.97 11 28 3 29 0.90 12 29 1 26 0.96 13 31 1 25 0.96 14 32 1 24 0.96 15 37 1 23 0.96 16 41 2 22 0.91 17 48 1 20 0.95 18 57 1 19 0.95 19 62 1 18 0.94 20 70 1 17 0.94 21 74 1 16 0.94 22 75 1 15 0.93 23 99 1 14 0.93 24 100 1 13 0.92 25 103 1 12 0.92 26 161 1 11 0.91 27 162 1 9 0.89 28 169 1 8 0.88 29 195 1 7 0.86 30 220 1 4 0.75

Tabel 4.2

Dengan menggunakan penduga produk-limit dapat dicari penduga fungsi survivor

saat t = 30 minggu

99

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][

59.0584828.0

96.090.097.097.097.097.094.090.098.098.098.098.0

nd

1)30(S)30(Rj j

j

≈==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= ∏

∈

]

4.3 Permasalahan

Dengan menggunakan data pada permasalahan 4.2, tentukan selang kepercayaan 95%

untuk probabilitas survival ke waktu 30

Penyelesaian

Penduga titik untuk survival waktu ke 30 dalam permasalahan 4.2 adalah 0.59.

Dengan menggunakan formula Greenwood, variansi untuk penduga fungsi survivor

pada saat t = 30 dapat diduga, yaitu

036443.0)(0.001538)(0.003979)(0.001149)(0.001075)(0.001008)(0.001008)

(0.001634)(0.002778))(0.00061))(0.000581)(0.000554((0.000529)59.0(

)dn(nd

)]30(S[)]30(S[V

2

)30(Rj jjj

j2

=

=

−= ∑

∈

jadi penduga untuk standar deviasi dari fungsi survivor untuk semua nilai t adalah

18.0036.0 = pada saat t=30 interval kepercayaan 95% untuk S(30) adalah

94.0)30(S24.0036.096.159.0)30(S036.096.159.0

)]30(S[VZ)30(S)30(S)]30(S[VZ)30(S 22

<<+<<−

+<<− αα

100

4.4 Permasalahan

Buatlah tabel hidup dari data dalam permasalahan 4.2 kemudian tentukan penduga

titik dan interval kepercayaan 95% untuk S(30)

Penyelesaian

Data dalam permasalahan 4.2 akan dibagi dalam k=18 interval yang berbeda. Tabel

hidup dari data tersebut adalah sebagai berikut

j 1−ja ja jn jd jm 2/)( jj

j

mnd− )(ˆ

jaS )(ˆ[ˆ jaSV1 0 6 44 2 0 0.09 0.91 02 6 15 42 10 0 0.48 0.52 -0.0253 15 24 32 2 1 0.13 0.87 0.0684 24 30 29 4 0 0.28 0.59 0.0375 30 36 25 2 0 0.16 0.84 0.0496 36 42 23 3 0 0.26 0.73 0.0327 42 50 20 1 0 0.10 0.90 0.0528 50 58 19 1 0 0.11 0.89 0.0559 58 63 18 1 0 0.11 0.89 0.06010 63 76 17 3 0 0.35 0.64 0.02311 76 101 14 2 0 0.29 0.71 0.02612 101 110 12 1 0 0.17 0.83 0.04413 110 140 11 1 0 0.18 0.81 0.05414 140 163 10 1 1 0.22 0.77 0.06415 163 170 8 1 0 0.25 0.75 0.07716 170 200 7 1 1 0.33 0.67 0.08517 200 221 5 1 1 0.50 0.50 0.07918 221 270 3 0 3 0 1 0

Tabel 4.3

Dari tabel terlihat penduga pada saat t = 30 minggu, jadi . 59.0)30(S =

Interval kepercayaan 95% untuk S(30) adalah

94.0)30(S24.0037.096.159.0)30(S037.096.159.0

<<+<<−

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Fungsi survivor adalah suatu fungsi yang berkaitan dengan waktu, yaitu

probabilitas dari kegagalan lebih lama dari waktu yang telah ditentukan. Dengan kata

lain fungsi survivor digunakan untuk mengetahui ketahanan hidup suatu item.

Sangatlah sulit untuk mengetahui kapan suatu item akan mengalami kegagalan

sehingga diperlukan suatu penduga untuk fungsi survivor tersebut. Metode

nonparametrik sangatlah tepat untuk menentukan model penduga fungsi survivor.

Penentuan selang kepercayaannya dapat dilakukan dengan pendekatan distribusi

normal untuk binomial. Terdapat tiga metode yang bisa digunakan untuk menetukan

penduga nonparametrik fungsi survivor dan selang kepercayaannya tersebut. Metode

pertama adalah dengan memodelkan 0t,n

)t(n)t(S ≥= dan dilanjutkan dengan

menentukan selang kepercayaan yang formulanya telah ditentukan. Metode kedua

adalah dengan menggunakan teori Kaplan-Meier yang penentuan selang

kepercayaannya menggunakan formula Greenwood. Tabel hidup adalah metode

terakhir yang memudahkan untuk menentukan penduga dan selang kepercayaan

untuk fungsi survivor. Namun sebelumnya, Uji K-S perlu dilakukan untuk

menentukan normal atau tidaknya distribusi data sebagai syarat pembentukan selang

kepercayaan.

101

102

5.1 Saran

Dalam penulisan skripsi ini tentunya penulis masih melakukan banyak kesalahan,

sehingga sangat diharapkan adanya kritik dan saran yang membangun. Selain itu,

penulis juga menyarankan untuk membahas lebih dalam lagi mengenai fungsi

survivor dan apikasi-aplikasinya.

103

DAFTAR PUSTAKA

Anonim.(2002). Survival Function. http://en.wikipedia.org/wiki/survivor-

function. Diakses pada tanggal 13/09/2006.

Anonim.(2001). What is a Sistem? http://www.atis.org/tg2k/_system.html. Diak-

ses pada tanggal 12/11/2006.

Everitt, B.S.(1994). Statistical Methods in Medical Investigations. New York :

Wiley&Sons, Inc.

Grimmett, G.K.& D.R, Stirzaker.(1992). Probability and Random Processes. New

York : Oxford University Press, Inc.

Kopetz, H.(1979). Sofware Reliability. UK : The Macmillan Press, Ltd.

Larsen, R.J.& M.L, Marx.(1985). An Introduction to Probability and Its Aplica-

tions. New Jersey : Prentice-Hall, Inc.

Leemis, L.M.(1995). Reliability : Probabilistic Models and Statistical Methods.

Englewood Cliff : Asimon & Schuster,Inc.

Miller, I.& J.E,Freund(1965). Probability and Statistics for Engineering. Engle-

wood Cliff : Prentice-Hall, Inc..

Murti Bisma.(1996). Penerapan Metode statistik Nonparametrik dalam Ilmu-ilmu

Kesehatan. Jakarta : Gramedia Pustaka Utama.

Ross, S.(1998). A First Course in Probability. New Jersey : Prentice-Hall, Inc.

Walpole, R.E.(1988). Pengantar Satistika. Jakarta : Gramedia

Ziemer, R.E.(1997). Elements of Engineering Probability and Statistics. New Jer-

sey : Prentice-Hall, Inc.