Materi 1Pengertian dan prosedur

penduga beda dan penduga regresi

PENDUGA RASIO adalah suatu estimator dengan menggunakan informasi pendukung agar mendapat estimasi yang lebih efisien yaitu menghasilkan presisi yang lebih baik. Pada sampling berpeluang setiap unit harus mempunyai informasi untuk penghitungan peluang yaitu pi, demikian juga pada rasio. Hanya pada rasio, pi bukan sebagai peluang tetapi sebagai dasar penghitungan rasio. Estimasi rasio cocok digunakan, bila unit-unit populasi mempunyai karakteristik yang berkorelasi besar dan positif. Estimasi rasio ini mendasarkan perubahan suatu karakteristik dari waktu ke waktu, atau juga dapat diadakan modifikasi dengan data sumber di luar survei sebagai dasar rasio, misalnya data proyeksi penduduk.

PENDUGA REGRESI (Regression Estimators)Estimator regresi seperti halnya estimator rasio juga menggunakan variabel pendukung sebagai dasar estimasi dengan tujuan meningkatkan presisi.

Bila b = c suatu konstanta, maka: merupakan PENDUGA BEDA (Diffrerence Estimator)

1) Penduga beda (difference estimator)

Misal dan merupakan penduga yg tidak bias dari dan

Penduga yg tidak bias dari adalah penduga beda

(difference estimator)

dg varian

Sampel independent, atau estimatornya tidak berkorelasi

Varian penduga beda tergantung pada korelasi antara dan .

Varian akan minimum apabila korelasi tersebut positif dan sangat besar.

1Y

2Y

1Y2Y

12 YYD

d

2Y 1Y

22121 , YYYY VCovVdV

021,

YYCov

1Y

2Y

Dalam suatu populasi dengan variabel dilakukan double sampling,

dapat dilakukan estimasi sbb.

dengan varian

utk mengurangi varian, koefisien korelasi tidak harus positif dan besar.

y

2

1

Y

1Y 2Y

221214

1 , YYYYY VCovVV

Rumus umum : xxcyDy

xyCovCxVCyVDyV ,22

21

..

.21

..

2

22

2

2

22

yV

Sy

SxSy

Sx

Sy

Sy

Sx

Sx

SyyVDyV

Sx

SyC

Sy

ScBila

n

ii

n

ii

n

iii yyxxxxyyDyv

1 1

2

1

22

SRSiBerkorelasydanx

estimatedifferentratarataVarianceDyV

estimatediffrentrataRataDy

taKonsC

ybagibiastidakEstimasiy

xbagibiastidakEstimasix

tan

atau

Keterangan :

CONTOH

yi 51 42 46 39 71 61 58 57 58 67

xi 56 47 48 40 78 59 52 58 55 67

Dik : N = 100 n = 10

yi : berat badan mahasiswa yang diukur dengan cara ditimbang

xi : berat badan mahasiswa yang diukur dengan cara dilihat

dengan X = 4700 kgdit : Hitung nilai estimasi rata-rata, varian serta rse-nya !

JAWABAN :

)( xXyy d

dimana :

5510

550

n

yy i

5610

560

n

xx i

47100

4700

n

XX

kgyd 46)5647(55

21)()( 2 yvyv d

028,1435,10

729,10

y

x

s

s

929,0.

),cov(

yx ss

yx

438,1)929,0)(028,1(2)028,1(18,9)( 2 dyv

026,046

689,1)()()(

dd

dd

y

yv

y

ysey dRSE (

dimana :

SOAL LATIHANJumlah Ternak pada 24 Desa Sampel

Desa Sampel

Jumlah TernakDesa

Sampel

Jumlah TernakDesa

Sampel

Jumlah Ternak

Sensus SurveiSensus Survei Sensus Survei

1 623 654 9 161 210 17 330 375

2 680 696 10 298 555 18 218 212

3 534 530 11 2045 2110 19 160 147

4 293 315 12 1069 592 20 225 297

5 189 78 13 706 707 21 262 401

6 842 640 14 1795 1890 22 204 252

7 475 692 15 1406 1123 23 185 199

8 371 292 16 128 115 24 574 564

Total Desa = 1238 ; Total ternak = 680900

2) Penduga regresi

mendaptkan estimator dg presisi yang lebih baik dg menggunakan variabel lain yang mempunyai korelasi dg variabel yg diduga

walaupun mempunyai hubungan linear, persamaan garisnya tidak melalui titik (0,0)

Bandingkan : penduga ratio melalui (0,0)

dengan penduga regresi tidak melalui (0,0)

penduga perubahan untuk penambahan satu unit.

Nilai dan diperoleh dari setiap unit dalam sampel ; nilai dan

diketahui.

Penduga total populasi :

y

Xx

yyr

xXbyylr

b y x

lrlr yNY

ix iy ix X

Penduga regresi :

utk

y

yylr0b

xXyyb lr

1

x

yb

rlr YXx

yxX

x

yyy

(penduga ratio)

xXbyylr

lry xyX

xbyXbxXbyylr (penduga beda)

(penduga beda)

3) Penduga regresi dg nilai ditentukan, misal = (asumsi SRS)

Teorema 1.1

unbiased, dg varian

Bukti dg menggunakan rumus SRS

b

xXbyylr 0

1

1 1

2

0

N

XxbYy

n

fyV

N

iii

lr

2200

2 21

xyxy SbSbSn

f

YxXbyEyE lr

0

1

1 1

2

0

N

XxbYy

n

fyV

N

iii

lr

2200

2 21

xyxy SbSbSn

f

0b

unbiased estimator dari varian

Minimum tercapai pada saat nilai

( buktikan 1 ) Tulis :

= koefisien korelasi populasi antara dan

1

1 1

20

n

xxbyy

n

fyv

n

iii

lr

2200

2 21

xyxy sbsbsn

f

Teorema 1.2 lryV

20x

yx

S

SBb

N

ii

N

iii

Xx

XxYy

1

2

1

22min 1

1

ylr Sn

fyV

x y

dBb 0

4) Penduga regresi dg nilai dihitung dari sampel, least squares estimate dari B, sbb.

Bila merupakan least squares estimate dari B dan

maka dalam pengambilan sampel SRS dg jumlah sampel n ( n besar )

untuk korelasi populasi antara dan

( = rho)

b

n

ii

n

iii

xx

xxyyb

1

2

1

Teorema 1.3

b xXbyylr

22 11

ylr Sn

fyV

yx

yx

SS

S x y

5) Estimasi dari varian

Tentukan nilai

maka dan

dari

karena

merupakan penduga yang tidak bias (unbiased) dari

dan

XxBYye iii

N

ie 0

N N

ii

N

iii XxBXxYyXxe 02

teorema 1.3 22 11

ylr Sn

fyV

222 1 ey SS 21elr S

n

fyV

21

elr sn

fyv

2es

2eS

2

1

2

1

1

n

iie ee

ns

( buktikan 2 )

xxBbxxbyy

xxByyee

iii

iii

dapat diabaikanUtk sampel besar, estimator dari 2

eS

2es

1

1

2

n

xxbyyn

iii

Utk populasi yg tak terhingga (infinite) dan regresi linear digunakan penyebut (n-2), bukan (n-1), sehingga penduga varian menjadi :

n

iiilr xxbyy

nn

fyv

1

2

2

1

2

2

2

2

1

xx

xxyyyy

nn

f

i

iii

xxByye iii untuk sampel

6) Penduga regresi pada stratified sampling a. Separate regression estimate ( penduga regresi dihitung untuk setiap rerata stratum)

utk

Rumus di atas digunakan apabila koefisien regresi berbeda antar stratum

b. Combine regression estimate ( penduga regresi dihitung secara kombinasi ), yaitu apabila koefisien regresi sama utk semua strata

maka

hhhhlrh xXbyy

h

lrhhlrshh yWyNNW

hB

hB

h

hhst yWy

hhhst xWx

ststlrc xXbyy

c. Penghitungan varian utk nilai dan ditentukan.

Dari butir 2) di atas, penduga yang tidak bias dari , sehingga merupakan penduga yg tidak bias dari . Karena sampling dilakukan secara independen pada setiap stratum, dari teorema 1.1 diperoleh :

Dari teorema 1.2 : minimum utk the true regression coeffisient in stratum Minimum varian dapat dituliskan :

bhb

lrhy hY

lrsy

Y

2222

21

xhhyxhhyhh h

hhlrs SbSbS

n

fWyV

lrsyV

hh Bb h

2

22

2

min

1

xh

yxh

yhh h

hhlrs S

SS

n

fWyV

Utk combine regression estimate merupakan penduga yg tidak bias dari

Karena merupakan penduga dari stratified sample utk variate

dapat digunakan teorema tentang stratified random sampling utk variate tsb.yg menghasilkan

nilai yg meminimumkan varian di atas

nilai merupakan rerata tertimbang dari stratum regression koefisien

lrcy Y

lrcy

hihi xXby

2222

21

xhyxhyhh h

hhlrc SbSbS

n

fWyV

b

h h

xhhh

h h

yxhhhc n

SfW

n

SfWB

22211

cB

2xh

yxh

h S

SB

Bila

Dari rumus varian minimum di atas, dan menggantikan dg diperoleh

Hasil tsb menunjukan bhw dg pemilihan separate estimate yg optimum akan diperoleh varian yg lb kecil dibanding combined estimate kecuali sama utk semua strata.

Pemilihan yg optimum membutuhkan nilai dan

h

xhhhh n

SfWa

22 1

hh

hhhc aBaB

b cB

22minmin c

hh

hhhlrslrc VaBayVyV

2chh BBa

hB

2xhyxh SS