Peluang dan Distribusi Peluang

download Peluang dan Distribusi Peluang

of 38

  • date post

    19-Jun-2015
  • Category

    Documents

  • view

    7.280
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of Peluang dan Distribusi Peluang

  • 1. PELUANG DAN DISTRIBUSI PELUANG PENGANTAR PELUANG Definisi secara klasik, Peristiwa E dapat terjadi, sebanyak n kali diantara N peristiwa yang saling asing dengan kesempatan yang sama maka peluang E, adalah P(E)n(E) n(S)n NE Contoh Sebuah dadu bermuka enam di tos, maka a. tentukan semesta pembicaraanya : b. Bila kejadian yang terjadi E = muka dadu bermata 4, maka P(E) ? Jawab . S = { 1, 2, 3, 4, 5 dan 6} E= {- - - }, jadi P(E) = - - - ?

2. Pengantar PeluangS EDefinisi secara klasik, peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali diantara N = n(S) peristiwa yang saling asing dengan kesempatan yang sama maka peluang E, adalah :Bahasa Himpunan : S = himp semesta n(E) = n dan n(S) = N , Contoh 1. Seduah dadu dilempar, a. tentukan semua peristiwa yang terjadi ! b. bila yang terjadi muncul angka 4, maka tentukan peluangnya ! Jawab. a.S ={ 1,2,3,4,5,6 }, b. E={4}. C. Peluang E atau P(E) = n(E)/n(S) = 1/6 c. Bagaimanakah P( muka dadu angka genap yang muncul ) = - - - ? 3. Definisi secara empiris, adalah limit dari frekuensi relatif dengan banyaknya pengamatan yang bertambah besar secara tak terhingga. Contoh, 1.Telah diketahui oleh semua orang bahwa peluang kelahiran seorang anak laki dari seorang ibu yang melahirkan adalah 0.5. Berdasar pengalaman didapat 60 anak laki dari 100 ibu yang melahirkan, maka peluang anak laki yang lahir 60/100( sebagai frekuensi relatif ( fr)) ; dari 1000 ibu yang melahirkan terdapat 545 anak laki lahir maka peluang anak laki lahir 545/1000 = 0,545( fr); bagaimnakah bila 100.000 ibu melahirkan, maka peluang anak laki lahir = - - -, Bagaimnakah bila banyak ibu makin besar sekali atau bahasa matematikan maka peluang anak laki lahir akan mendekati 0,5 Kejadian di atas dpt ditabelkan sbb: Banyaknya Ibu100100010000---Anak Laki605455102---Frekuensi Relatif0,600,545---0,50 Jadi Limit frekuensi relatif = 0,5 untuk n makin besar 4. Sifat dasar dari peluang Peluang terjadinya peristiwa E ditulis P(E) ENilai 0P(E)1,Jika P(E) = 0 maka peristiwa E mustahil terjadi dan Jika P(E) = 1 maka peristiwa E pasti terjadi P(bukan E) = P( ) E 1 - P(E) atau P(E) + P( ) = 1 E = Jumlah semua peluang yang saling asing adalah satu, Jika n buah peristiwa E1, E2, ....., En yang saling asing maka P(E1 atau E2 atau - - -atau En) = P(E1) +P(E2) + --- + P(En); Bagaimanakah bila dua himpunan tidak saling asing ? Lanutkan ke berikutnya ., 5. Dua kejadian SKejadian A dan B tidak saling asing, A AAP( A B{ }, makaB ) = P(A) + P(B) P(A B)BBKejadian A dan B saling asing atau A = { }, B maka P( A B ) = P(A) + P(B)Contoh2. RSU Subandi merekrut tenaga kesehatan, seleksi dilakukan terhadap 4 pelamar terdiri dari dokter laki-laki, dokter wanita, laki-laki bukan dokter dan wanita bukan dokter; maka masing-masing memilki peluang sbb: P(wanita) = 2/4 ; P(laki-laki) = 2/4 ; P(dokter) = 2/4 ; P(dokter wanita) =1/4; P(dokter laki) . Hitung a. P( wanita atau dokter) = - - -? b. P(wanita atau laki) = - - - ? 6. P(wanita) = 2/4 ; P(laki-laki) = 2/4 ; P(dokter) = 2/4 ; laki) .P(dokter wanita) =1/4 ; P(dokterJawab: a. P( wanita atau dokter) = P(wanita) + P(dokter) P(dokter wanita) = ----+ ----- - - - = - - - - ( 0,75)b. P(wanita atau laki) = - - - ?Peluang Bersyarat : Suatu kejadian mempunyai hubungan bersyarat, bila suatu kejadian B terjadi setelah kejadian lain,misal A terjadi, ditulis P(B|A) =P( A B) P ( A)atau P(A B) = P(A).P(B|A)Namun, bila dua kejadian bebas (indipenden), maka P(B|A) = P(B) P(Aatau P(A|B) = P(A).B) = P(A).P(B) dibaca peluang A dan B terjadi 7. Contoh 1.BekerjaMenganggurLaki20040Perempuan40140Kejadian : L = laki-laki ; B = Bekerja Tentukan P(L|B) = - - Jawab. P(B) = - - P(LB) = - - -P(L|B) = - - Atau P(L|B ) = 200/240 = 5/6 atau - - - %Bagaimnakah dengan P(B|L) ? Tentukan P(W|M), bila W wanita, M = menganggur 8. Contoh2. Peluang pasien DB ditangani tepat pada waktunya P(D) adalah 0,83 dan peluang Pasien DB selesai ditangani tepat waktunya sebesar 0,92 serta peluang pasien darurat ditangani dan selesai tepat waktunya sebesar 0,78 A. hitung peluang pasien DB selesai ditangani tepat waktunya, bila DB ditangani tepat waktunya, B. Hitung peluang DB ditangani tepat waktunya, bila DB selesai ditangani tepat waktunya. *Contoh3. Sebuah kecamatan mempunyai 1 mobil kebakaran dan 1 mobil ambulan. Peluang mobil kebakaran digunakan saat diperlukan sebesar 0,86 , sedangkan peluang ambulan digunakan saat diperlukan sebesar 0,92. Dalam hal terjadi kecelakaan akibat kebakaran, maka a. hitunglah peluang ambulan dan mobil kebakaran itu digunakan ? P( MK MAM) = P(MK) .P(MAM) (0,901) 9. Contoh 4. Misalkan kita mempunyai mangga dalam satu keranjang memuat 80 buah, yang rusak 12 buah. Bila 2 mangga diambil secara acak dan tanpa pengembalian, berapa peluang: a. Berapa peluang buah yang terambil ke duanya rusak, b. Berapa peluang buah yang terambil satu rusak dan satu tidak, Contoh 5. Misalkan kita mempunyai mangga dalam satu keranjang memuat 80 buah, yang rusak 12 buah. Bila 2 mangga diambil secara acak dan dikembalikan, a. Berapa peluang buah yang terambil ke duanya rusak, b. Berapa peluang buah yang terambil satu rusak dan satu tidak, 10. DISTRIBUSI PELUANG Suatu undian dengan dua mata uang, maka peristiwa yang akan terjadi adalah : GG, GA, AG, AA, sehingga P(GG) = P(GA) = P(AG) = P(AA) = . Jika X menyatakan banyak muka G, maka X = 0, 1, 2, dengan demikian P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) = atau XP(X)0 1 2 jumlah1X yang memiliki peluang, bersifat variabel, dan harga variabel X = 0, 1, 2, 3, ... disebut variabel acak diskrit, sedangkan harga X yang tidak diskrit disebut variabel acak kontinue. Pada variabel acak kontinue memiliki suatu fungsi densitas (kepadatan) sebut f(x), bila dipenuhi : np( x i )1f ( x ) dxi 1X diskritX kontinuDengan p(x) sebagai fungsi peluang dan f(x) fungsi densitas1 11. 1.Dsitribusi peluang diskrit Tiga orang ibu melahirkan ,maka tentukan semua peristiwa yang mungkin terjadi, a. susunlah tabel distribusi peluang P (x), bila x sebagai variabel banyaknya anak laki-laki yang terjadi. b. Tunjukkan P(X) fungsi peluang c. Hitung P(x= 2) d. Hitung P( paling sedikit satu anak laki yang lahir) e. Hitung P(1 x < 3) Jawab. 12. 2. Perawat RSU Kota X berjumlah 50 orang, peluang distribuasi x dikonstruk seperti pada tabel, x jumlah anak perkeluarga perawat tersaji pada tabel sbb: xf0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 4 6 4 9 10 7 4 2 2 1 50P(X = x)a. Lengkapi nilai peluang, kemudian sketsa grafik distribusi peluang ?b. Tunjukkannp ( xi ) i 0c. Hit P(x=4 atau x = 3) d. Hit P(X 4) e. Hit P(X > 4) f.Hit P( 3 x < 7)1 13. 3. Peristiwa, dua dadu dilempar sekaligus, dan variabel x menyatakanjumlah mata dadu, maka a. Buatlah tabel peluang distribusinya ? b. Tunjukkan bahwa P(x) fungsi kepadatan peluang!!c. Tentukan P( x=2) d. Tentukan peluang P(x 4) e. Tentukan peluang x 10 f. Tentukan P(x 10 dan dadu pertama adalah angka 4) 14. Distribusi Peluang kontinu Untuk menentukan peluang harga X = x antara a dan b adalah : bP (a X b )f ( x ) dx aContoh 1. Sebuah variabel acak kontinue x mengambil nilai antara x = 2 dan x = 4, mempunyai fungsi densitas f(x) = (x + 1)/8 a. Sketsa grafik f, b. Tunjukkan f(x) fungsi kepadatan probabilitas? c. Hitung P(2 < X < 3 ) ! d. Hitung P(0 < X < 3) ! Penyelesaian : a. Karena type variabel ini adalah kontinue maka b.Silahkan coba 15. Semacam alat elektronik mempunyai daya pakai X (dalam ribuan jam) yang mengikuti pola atau distribusi : f(x) = e-x untuk x > 0. A. Sketsa grafik f B. Tunjukkan apakah fungsi tersebut fungsi kepadatan peluang ? C. Berapa prosen diperkirakan alat tersebut memilki daya pakai : c.1 paling lama 10 ribua jam c.2 anatar 2000 sanpai 4500 jam c.3 lebih dari 2500 jam 16. DISTRIBUSI PELUANG Distribusi Peluang Diskrit Distrubusi Binomial Distribusi multinom. Distribusi Hypergeometrik Distribusi Poisson Distribusi Peluang Kontinu Distribusi Normal Distribusi t student Distribusi X2 (Khi Square) Distribusi F 17. Distribusi Binomial Dari suatu percobaan yang terdiri atas n peristiwa, dimana setiap peristiwa hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal, bila peluang berhasil dilambangkan dengan p dan (1-p) gagal. Permasalahan; peluang untuk sukses sebanyak x dari n percobaan di tulis p(x) = P(X = x) =n p x (1 p)n x denganxn xn! x!(n x)!Program 51.Di sebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja atau sebangsanya ternyata melatarbelakangi 70% peristiwa pencurian yang terjadi. Berapa peluang bahwa tepat 2 diantara 5 kasus pencurian berikutnya dilatarbelakangi oleh keperluan uang untuk membeli ganja ? 2. Peluang seorang mahasiswa yang baru masuk Pend. Biologi FKIP Unej, akan lulus tepat pada waktunya 0,60. Tentukan berapa peluang dari 10 akan lulus tepat pada waktunya ; a. Tidak seorang pun b. 5 orang mahasiswa, c. Paling sedikit 5 orang mahasiswa, d. tidak lebih dari 5 orang e. tidak lebih dari seorang . 18. Penyelesaian: 1. Diketahui p = 70 % = 0,70 P(X=2) = b(2; 5; 0,70) =q = 1 p = 0,304 ?..... 2Jadi peluang yang ditanya adalah ... npqParameter distribusi binomial adalah dan , dimana = np dan Dsitribusi Multinomial Jika percobaan dilakukan sebanyak n kali, peristiwa E1, x2 peristiwa E2, ... xk peristiwa Ek diantara n, ditentukan oleh n! p x ! x 2 !.... k ! xx1xp 2 2 ...p kxk 19. Program 6 Bila 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah mata dadu 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada kedua dadu sekali, dan kemungkinan lainnya 3 kali Penyelesaian : Misal : E1 : jumlah mata dadu 7 atau 11= {(2,5),(3,4),(4,3),- - -,(5,6)} E2 : bilangan yang sama pada kedua dadu ={(1,1)---, (6,6)} E3 : kemungkinan lainnya selain dua diatas Maka n(E1) = - - Dalam setiap percobaan, peluang masing-masing kejadian adalah p1 = 2/9, p2 = 1/6 dan p3 = 11/18, dengan menggunakan distribusi multinom dan x1 = 2, x2 = 1, x3 = 3 maka peluang yang ditanyakan :P(2,1,3)6! 2 2!1!3! 92116113180,1127 20. Distribusi Hypergeometrik Dua sifat percobaan hipergeometrik adalah : Suat