BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Distribusi peluang merupakan konsep yang menjadi dasar pengembangan makalah ini. statistika Distribusi inferensial, yang khususnya dari penaksiran hasil suatu parameter dan pengujian hipotesis, menjadi topik utama dalam diturunkan percobaan dapat dibedakan atas: Distribusi farik Distribusi malar Sesuai dengan sifat yang sampelnya. Jadi, kalau ruang sampelnya farik, distribusinya juga disebut disebut distribusi malar. Namun distribusi farik. sebelum Demikian juga kalau ruang sampelnya malar, distribusinya demikian, membicarakan distribusi peluang, konsep peubah acak perlu dipahami, karena sesungguhnya peubah acak inilah yang memiliki fungsi distribusi. B. Tujuan Berdasarkan latar tujuan 1. Mahasiswa dapat menjelaskan apa yang dimaksud distribusi peluang? 2. Mahasiswa dapat membedakan distribusi farik dan distribusi malar? 3. Mahasiswa dapat memahami konsep peubah arah? belakang diatas makalah ini memiliki

i

BAB II PEMBAHASAN A. Peubah Acak Pada percobaan yang digunakan untuk menjelaskan setiap proses yang menghasilkan pengukuran, sering yang menarik perhatian kita bukan titik sampel itu sendiri melainkan gambaran numeriknya. Misalnya, sebuah mata uang dengan sisi muka (M) dan Belakang (B) yang dilemparkan tiga kali memberikan ruang sampel S = {MMM, MMB, MBM, BMM, MBB, BMB, BBM, BBB}. Bila yang diperhatikan banyaknya sisi muka yang muncul, maka hasil numerik, 0, 1, 2, atau 3 dikaitkan dengan titik sampel. Transformasi yang memasangkan titik sampel di S ke suatu hasil numeric disebut peubah acak (random variable). Jika X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul dalam tiga kali pelemparan mata uang itu, maka X = 0 merupakan gambaran numeric untuk {BBB} , X = 1 untuk {MBB, BMB, BBM}, X = 2 untuk {MMB, MBM, BMM}, dan X = 3 {MMM}. Karena bilangan cardinal n(S) = 8, diperoleh nilai-nilai peluang P (X = 3) = 1/8, sesuai ed bilangan cardinal masing-masing peristiwa yang berkaitan dengan nilai X tersebut. Nilai-nilai peluang inilah yang disebut fungsi distribusi peluang farik yang biasa disebut fungsi massa peluang dari peubah acak X, yang dapat dibuat dalam sebuah tabel sebagai berikut:

i

3.1.

Fungsi massa peluang munculnya sisi muka dalma tiga kali pelemparan mata uang x 0 1 2 3 P (X = x) = p (x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Karena ruang sampel S adalah ruang sampel farik, maka peubah acak X yang diturunkan dari S juga disebut peubah acak farik, dan distribusi peluangnya disebut distribusi peluang farik. Peubah acak ditulis dengan huruf capital, misalnya X dan symbol nilai pengamatannya dengan huruf kecil x. Untuk penyerderhanaan, kita tulis p (x) untuk x = 0, 1, 2, 3 memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 1. p(x) 0 untuk x = 0, 1, 2, 3 2. Sifat-sifat diatas dapat dinyatakan secara umum. Untuk setiap peubah acak farik X yang mempunyai terhingga banyaknya nilai x1, x2, x3, ..xn dengan peluang p(xi) = pi untuk i = 1, 2, 3, n untuk sebaang bilangan asli n, harus memenuhi sifat-sifat fungsi massa peluang berikut: 1. pi 0 untuk i = 1, 2, 3, .n 2. Sifat ini dapat diperluas lagi untuk peubah acak yang memiliki tak hingga banyaknya nilai, dan masih dapat dipadankan satusatu dengan bilangan asli A = {1, 2, 3}. Misalkan nilai-nilai

i

peubah acak X adalah x1, x2, x3.. dengan peluang masingmasing p1, p2, p3.. harus memenuhi sifat-sifat berikut: 1. pi 0 untuk i = 1, 2, 3, .

2. Ada dua momen penting dari peubah acak yang disebut nilai harapan (expected value) dan variansi (variance). Rumus kedua momen ini berturut-turut adalah: = E (X) = 2

xi =1

i

pi

= E (X - ) =2

(xi =1

i

i ) pi

Symbol E (X) dalam bahasa Inggris dibaca Expected value of X. rumus variansi dapat pula ditulis dengan E(X ) =2 2

= E(X2) - 2, dengan

xi =1

2 i

p i . Untuk peubah acak farik X yang nilainya

terhingga banyaknya (n), kedua nomen tersebut dinyatakan oleh rumus yang sama, tetapi batas sigma yang berbeda sebagai berikut: = E (X) = 2n

xi =1

i

pi

= E (X - )2 =

(xi =1

n

i

i ) pi

Hasil suatu percobaan mungkin saja tak hingga banyaknya dan tidak dapat dipadankan satu-satu dengan bilangan asli. Misalnya, penelitian mengenai jarak yang ditempuh sebuah mobil yang dijalankan dengan lima liter bensin. Jika X

i

menyatakan jarak yang ditempuh oleh mobil itu sampai bensin itu habis, maka peubah acak ini memiliki nilai tak hingga banyaknya. Perlu diperhatikan disini bahwa peubah acak X dapat didefinisikan langsung dari percobaan dan tidak melalui transformasi dari ruang sample S, karena ruang sample itu sendiri sudah dinyatakan dengan bilangan riil. Ruang sampel yang memuat takhingga banyaknya titik sampel dan tidak dapat dipadankan satu-satu dengan bilangan asli disebut ruang sampel malar, dan peubah acak yang diturunkannya disebut peubah acak malar. Peubah acak sifat-sifat berikut: 1. f(x) 0 untuk semua x R = {bilangan riil}+

malar X memiliki fungsi distribusi khusus

yang disebut fungsi padat peluang f (x), dan harus memenuhi

2.

f (x)dx dx = 1 f (x) dx untuk a, b Ra b

3. P(a 0 (v / 2)

dengan v = derajat, kebebasan dan dapat dibuktikan secara

matematis bahwa

f (x)dx = 1 . Selanjutnya grafik distribusi chi

kuadrat umumnya merupakan kurva positif, yaitu miring ke kanan, yaitu berekor panjang ke kanan. Kemiringan ini semakin berkurang jika derajat kebebasan makin besar. Grafik distribusi chi kuadrat secara umum dengan derajat kebebasan dk = v, dimana nilai peubah acak X ditulis dengan symbol X2 Luas daerah di bawah kurva yang dibayang-bayangi sama dengan nilai peluang p yaitu luas dari X2p ke sebelah. Untuk nilai dengan pasangan dk = v dan peluang p yang besarnya tertentu dapat dilihat pada tabel khusus distribusi chi kuadrat. Untuk menjelaskan cara penggunaan

i

tabel khusus ini, terdapat pada baris paling atas terdiri kebebasan n ada pada kolom paling kiri. Tabel Daftar luas di bawah kurva chi kuadrat v 1 2 23.7 14 .. X20,005 X20,95

4. Distribusi Snedecor F Fungsi padat peluang peubah acak yang berdistribusi Snedecor F atau dengan singkat distribusi F adalah v + v2 v1 1 v +v v 2 ( v1 1) v1 ( 12 2 ) 2 1 2 f (x) = (1 + x) x v2 v1 v 2 v 2 2 2 Untuk x > 0, dengan v1 = dk pembilang dan v2 = dk penyebut. Distribusi F memiliki dua buah derajat kebebasa. Grafik distribusi F tidak simetris dan umumnya sedikit miring positif. Seperti juga disediakan distribusi lainya, untuk keperluan perhitungan dengan distribusi F, tabel distribusi F telah nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan derajat kebebasan v1 dan v2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang dibayang-bayangi, sedangkan dk = v1 ada pada baris paling atas dan dk = v2 pada kolom paling kiri.

i

Untuk

tiap pasang dk, v1 dn v2 tabel berisikan nilai-nilai F

dengan kedua luas daerah yaitu 0,01 dan 0,05. Untuk setiap dk (v1, v2), tabel sebagai berikut: v2 = dk penyebut 8 v1 = dk pembilang 24 3.12 5.28 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Distribusi yang diturunkan dari hasil suatu percobaan dapat dibedakan atas : 1. 2. Distribusi farik Distribusi malar Jadi, kalau ruang sampelnya farik, distribusinya juga disebut distribusi farik. Demikian juga kalau ruang sampelnya malar, distribusinya disebut distribusi malar. Fungsi distribusi terletak pada peubah acak. Peubah acak (random variable) yaitu transformasi yang memasangkan titik sampel di semesta ke suatu hasil numeric. Ruang sampel yang memuat takhingga banyaknya titik sampel dan tidak dapat dipadankan satu-satu dengan bilangan asli disebut ruang sampel

i

malar dan peubah acak yang diturunkannya disebut peubah acak malar. B. Saran Dalam penulisan makalah ini masih memiliki banyak kekurangan sehingga kami mengharapkan sumbangan kritik dan saran demi kesempurnaan makalah kami selanjutnya. Wasalam.

i

DAFTAR PUSTAKA http://......dasar.statistika.id Tiro, M. A. 1999a. Analisis Data Frekusi dengan Chi Kuadrat. Ujung Pandang Hasanuddin University Press. Tiro, M. A. 1999b. Dasar-dasar Statistika. Ujung Pandang Badan Penerbit UNM Ujung Pandang. Tiro, M. A. 2000. Analisis Regresi dengan Data Kategori. Makassar: Makassar State University Press. Walpole, R. E. 1993. Pengantar Statistika, Edisi ke-3 Jakarta; Penerbit PT. Gramedia Pustaka Utama. www.dasar.statistika.com www.distribusi.peluang.com

i

KATA PENGANTAR Segala puji bagi Allah swt yang dengan segala kasih sayang dan menyeru hamba-Nya mengikuti petunjuk yang benar. Shalawat dan salam atas Nabi Muhammad saw Rasul Allah yang telah mencucurkan keringat jihad sebanyak-banyaknya dalam menyebarkan kebenaran dan mengamalkan kebajikan. Dalam penulisan makalah ini kami sangat bersyukur karena dengan kerjasama antara anggota kelompok sehingga makalah yang berjudul Distribusi Peluang ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Tiada gading yang tak retak, begitu juga dengan penulisan makalah ini, sehingga kami sebagai penulis mengharapkan sumbangsi saran, ide, maupun kritik yang membangun untuk kelanjutan penulisan makalah kedepan. Makassar, 22 Januari 2009 Penulis Kelompok III

i

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ..................................................................... DAFTAR ISI ................................................................................ BAB I PENDAHULUAN ................................................................ A. Latar Belakang ........................................................... B. Tujuan ........................................................................ BAB II PEMBAHASAN ................................................................. h Acak ........................................................................ busi Peluang Farik ..................................................... 1. 2. 3. 4. 5. Distribusi seragam farik ....................................... Distribusi Hipergeometris .................................... Distribusi Rumpun Bionomia................................. Distribusi Multinomial ........................................... Distribusi Poisson ................................................. i ii 1 1 1 2 2 6 6 7 8 10 10 11 11 14 15 17 18 18 18

A.......................................................................................................Peuba B.......................................................................................................Distri

C.......................................................................................................Distri busi Peluang Malar .................................................... 1. 2. 3. 4. Distribusi Normal ................................................. Distribusi student t ............................................... Distribusi chi kuadrat ........................................... Distribusi Snedecor F ...........................................

BAB III PENUTUP ....................................................................... pulan .......................................................................... ...................................................................................

A.......................................................................................................Kesim B.......................................................................................................Saran

i

DAFTAR PUSTAKA .....................................................................

19

i