Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

22
Pertemuan 4 STATISTIKA 1 Konsep Variabel Acak dan Distribusi Peluang Rully Aprianto [email protected] November 2013 Carpe Diem

description

Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Transcript of Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Page 1: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Pertemuan 4

STATISTIKA 1Konsep Variabel Acak dan

Distribusi Peluang

Rully Aprianto

[email protected]

November 2013

Carpe Diem

Page 2: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Konsep Variabel Acak Variabel acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi)

ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi). Fungsi variabel acak merupakan suatu langkah dalam statistika untuk

mengkuantifikasikan kejadian-kejadian alam. Pendefinisian fungsi variabel acak harus mampu memetakan setiap kejadian dengan

tepat ke satu bilangan riil. Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang

seimbang. Ruang kejadiannya dapat disenaraikan sebagai berikut:

R = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}

Salah satu variabel acak yang dapat dibuat adalah:

X = jumlah sisi dadu yang bermata genap

= 0 jika sisi dadu ganjil

=1 jika sisi dadu genap

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 3: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:

Daerah fungsi Wilayah fungsi

S1 .S2 .S3 .S4 .S5 .S6.

X(ei) . 0

. 1

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 4: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Distribusi Peluang variabel Acak X tergantung dari distribusi peluang kejadiannya.

Sehingga distribusi variabel acak X dapat dijabarkan sebagai berikut:

p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)

= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6

p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)

= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6

Sisi yang muncul

Kejadian S1 S2 S3 S4 S5 S6

Peluang kejadian

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

X 0 1 0 1 0 1

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 5: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

LatihanDua buah mata uang dilempar bersama-sama. Jika masing-masing memiliki sisi yang seimbang, senaraikanlah ruang kejadiannya. Jika kita ingin melihat munculnya sisi muka pada kedua mata uang, maka definisikan variabel acak tersebut. Lengkapi dengan distribusi peluang dari variabel acak tersebut.

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 6: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Nilai Harapan Variabel Acak Nilai harapan dari variabel acak adalah pemusatan dari

nilai variabel acak jika percobaannya dilakukan secara berulang-ulang sampai tak berhingga kali.

Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:

kontinu p.a X jika ,)(

diskret p.a X jika ),(

)(1

dxxfx

xpx

X

ii

n

iix

Ε

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 7: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Sifat-sifat Nilai Harapan Jika c konstanta maka E(c ) = c Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c

maka E(cX) = c E(X) Jika X dan Y variabel acak maka E(XY) =

E(X) E(Y)

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 8: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Contoh: Jika diketahui distribusi peluang dari

variabel acak X seperti tabel disamping

Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:

E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6

E(3X) = 3 E(X) = 45/6

Nilai variabel Acak X

X 0 1 2 3 4 5

P(X=xI) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Xip(xi) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 9: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Ragam Variabel Acak Ragam dari variabel acak X didefinisikan sebagai berikut:

V(X) = E(X-E(X))2

= E(X2) - E2(X) tunjukkan ! Sifat-sifat dari ragam

Jika c konstanta maka V(c ) = 0 Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = c2 V(X) Jika X dan Y variabel acak maka, V(XY) = V(X) + V(Y) Cov(X,Y)

Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0

Contoh (Gunakan contoh sebelumnya)V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6)2

= 55/6 - 225/36 = 105/36

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 10: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Distribusi Peluang Populasi (1) Distribusi Peluang Diskret

Merupakan distribusi peluang bagi variabel acak yang nilai-nilainya diperoleh dengan cara mencacah (counting)

Beberapa distribusi peluang diskret, antara lain: Bernoulli Binomial Poisson

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 11: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Distribusi Peluang Kontinu Merupakan distribusi peluang bagi variabel acak

yang nilai-nilainya diperoleh dengan menggunakan alat ukur

Beberapa distribusi yang tergolong dalam distribusi variabel acak kontinu antara lain: Normal Weibull Gamma Beta

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Distribusi Peluang Populasi (2)

Page 12: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Distribusi Peluang Diskret Bernoulli

Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu sukses atau gagal

variabel acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal

Misal, p=p(sukses) dan q=p(gagal) maka fungsi peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:P(x,p)=pxq(1-x), x=0,1

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 13: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Binomial Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas variabel acak Binomial merupakan jumlah dari

kejadian sukses, X=0,1,2,….,n Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat

dituliskan sebagai:P(x,n,p)=C(n,x)pxq(n-x), x=0,1,2,…,n

dimana C(n,x) = n!/x!(n-x)!

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Distribusi Peluang Diskret

Page 14: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Contoh: Peluang turun hujan per hari diketahui p=0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam satu minggu, hitunglah:

a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu?

b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan satu hari dalam satu minggu?

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 15: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Distribusi Peluang KontinuDistribusi Normal

Bentuk distribusi simetrik Mean, median dan modus berada

dalam satu titik Fungsi kepekatan peluang dapat

dituliskan sebagai berikut: P ( - < x < + ) = 0.683 P ( - 2 < x < + 2 ) = 0.954

Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatan normal:

variabel acak (X) dengan mean () dan ragam (2) menyebar normal sering dituliskan sebagai X ~ N (, 2)

2

2

12

2

1),,(

x

exf

b

a

aFbFdxxfbxap )()()()(

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

0.4000

0.4500

X

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 16: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Setiap variabel acak normal memiliki karakteristik yang berbeda-beda perhitungan peluang akan sulit

Lakukan transformasi dari X N( , 2) menjadi variabel acak normal baku Z N(0 , 1) dengan menggunakan fungsi transformasi

Distribusi peluang dari variabel acak normal baku Z N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk tabel peluang normal baku

X

Z

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 17: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Cara Penggunaan Tabel Normal Baku Nilai z, disajikan pada kolom

pertama (nilai z sampai desimal pertama) dan baris pertama (nilai z desimal kedua)

Nilai peluang didalam tabel normal baku adalah peluang variabel acak Z kurang dari nilai k (P(Z<k)).

Nilai Z 0.00 0.01 0.02 0.03

-2.6 0.005 0.005 0.004 0.004

-2.5 0.006 0.006 0.006 0.006

-2.4 0.008 0.008 0.008 0.008

P(Z<-2.42)=0.008

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 18: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Contoh: Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal dengan rata-rata tingkat curah hujan 25 mm dan ragam 5 mm2. Hitunglah,1. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15 mm?2. Curah hujan di kota Bogor antara 10 mm sampai

20 mm?3. Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm?

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 19: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Tugas 2 Seorang peternak menetaskan dua butir telur untuk menghitung

keuntungan dari usaha menetaskan telur ayam petelur. Ada tiga kemungkinan hasil yaitu telur menetas dengan jenis kelamian jantan dengan peluang 0.45, menetas dengan jenis kelamin betina dengan peluang 0.45 dan kemungkinan terakhir adalah telur tidak menetas. Harga telur Rp 1000/butir, biaya tetas Rp 300/butir, harga jual anak ayam jantan Rp 800/ekor dan harga anak ayam betina Rp 3000/ekor.

1. Tentukan ruang contohnya 2. Definisikan variabel acaknya agar dapat menghitung keuntungan 3. Tentukan peluang untuk tiap nilai variabel acak 4. Hitung nilai harapan dari variabel acaknya! 5. Apakah untung atau rugi?

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 20: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Tugas 3 Lima ibu akan melahirkan bayi tunggal. Peluang

seorang ibu akan melahirkan bayi laki-laki sebesar 0.5

a. Tentukan ruang contohnya b. Tentukan semua bayi yang dilahirkan laki-laki. c. Tentukan peluang paling banyak 3 bayi

dilahirkan berjenis kelamin perempuan.

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 21: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

Tugas 4 Berat badan mahasiswi menyebar normal dengan

mean sebesar 50 Kg dan standar deviasi 10 Kg. Seorang mahasiswi menimbang berat badannya

a. Berapa peluang berat badan mahasiswi tersebut antara 48 Kg sampai 55 Kg

b. Jika berat badan mahasiswi tersebut tergolong 5% terkurus berapa berat maksimum berat badan mahasiswi tersebut?

KonsepVariabel Acak & Distribusi Peluang

Desember 2013Rully Aprianto ([email protected])

Statistika 1

Page 22: Statistika Konsep Variabel Acak & Distribusi Peluang

22 S E K I A N

AD ASTRA PER ASPIRA