MAKALAH STATISTIKA LANJUT TENTANG

“DISTRIBUSI NORMAL”

Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Statistika Lanjut

Dosen Pengampu: Titis Sunanti, M.Si

Disusun oleh:

Kelompok 5/4A3

1. Odilo Fautngilyanan (12144100061)

2. Umi Arifah (14144100093)

3. Hari Wantoro (14144100095)

4. Tika Nur Cahyani (14144100096)

PRGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2016

i

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan

rahmat dan hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah tentang

“Distribusi Normal” dengan lancar. Penulisan makalah ini merupakan kewajiban

dan sebagai tugas mata kuliah Statistika Lanjut mahasiswa Universitas PGRI

Yogyakarta.

Kami menyadari bahwa dalam penyelesaian makalah ini, kami banyak

mendapatkan bimbingan dan nasehat, serta bantuan dari berbagai pihak. Berkaitan

dengan hal tersebut kami mengaturkan banyak terima kasih kepada

1. Bu Titis Sunanti, M.Si yang sudah memberikan bimbingan dan

pengarahan kepada kami.

2. Teman-teman 4A3 terima kasih atas bantuannya.

3. Semua pihak yang tidak dapat kami sebutkan satu per satu yang telah

memberikan bantuan dalam penyusunan makalah ini.

Kami menyadari sepenuhnya dalam penyusunan makalah ini masih banyak

kekurangan. Oleh karena itu, kami terus menunggu saran dan kritik yang sifatnya

membangun dan positif. Semoga hasil makalah ini dapat bermanfaat bagi

pembaca dan pihak yang berkepentingan.

Yogyakarta, 9 Mei 2016

Penyusun

ii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL................................................................................................i

KATA PENGANTAR.............................................................................................ii

DAFTAR ISI..........................................................................................................iii

BAB I PENDAHULUAN........................................................................................1

1.1 LATAR BELAKANG...............................................................................1

1.2 RUMUSAN MASALAH...........................................................................2

1.3 TUJUAN MAKALAH..............................................................................2

BAB II PEMBAHASAN.........................................................................................3

2.1 Distribusi Normal......................................................................................3

2.2 Mean , Variansi dan Fungsi Pembangkit Momen......................................6

2.3 MGF Distribusi Normal.............................................................................8

2.4 Cara Membaca Tabel Distribusi Normal.................................................11

2.5 Kelebihan dan Kelemahan Distribusi Normal.........................................13

BAB III PENUTUP...............................................................................................18

3.1 KESIMPULAN........................................................................................18

3.2 SARAN....................................................................................................18

DAFTAR PUSTAKA............................................................................................19

iii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Dikenalnya distribusi normal diawali oleh kemajuan yang pesat dalam

pengukuran pada abad ke 19. Pada waktu itu, para ahli matematika dihadapkan

pada suatu tantangan mengenai fenomena variabilitas pengamat atau interna

yang artinya bila seorang mengadakan pengukuran berulang-ulang maka

hasilnya akan berbeda-beda.Yang menjadi permasalahan adalah nilai manakah

yang dianggap paling tepat dari semua hasil pengukuran tersebut. Maka

kemudian berdasarkan kesepakatan maka nilai rata-rata dianggap paling tepat

dan semua penyimpangan dari rata-rata dianggap suatu kesalahan atau error.

Abraham de Moivre adalah yang pertama kali memperkenalkan

distribusi normal ini dan kemudian dipopulerkan oleh Carl Fredreich Gauss.

Sehingga nama lain distribusi ini adalah distribusi Gauss. Gauss mengamati

hasil dari percobaan yang dilakukan berulang-ulang, dan dia menemukan hasil

yang paling sering adalah nilai rata-rata. Penyimpangan baik ke kanan atau ke

kiri yang jauh dari rata-rata, terjadinya semakin sedikit. Sehingga bila disusun

maka akan terbentuk distribusi yang simetris. Satu-satunya distribusi

probabilitas dengan variabel random kontinu adalah distribusi normal. Ada dua

peran yang penting dari distribusi normal .Pertama, distribusi normal memiliki

beberapa sifat yang mungkin untuk digunakan sebagai patokan dalam

mengambil suatu kesimpulan berdasarkan hasil sampel yang diperoleh.

Pengukuran sampel digunakan untuk menafsirkan parameter populasi.

Kedua, distribusi normal sangat sesuai dengan distribusi empiris,

sehingga dapat dikatakan bahwa semua kejadian alami akan membentuk

distribusi ini. Karena alasan inilah sehingga distribusi ini dikenal sebagai

distribusi normal dan grafiknya dikenal sebagai kurva normal atau kurva gauss.

Karena begitu pentingnya ketepatan dalam pengambilan kesimpulan suatu

pengukuran atau percobaan. Oleh sebab itu, kami perlu menyusun makalah

yang berjudul “Distribusi Normal”.

1

1.2 RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dipapakan diatas,

adapun rumusan masalah adalah sebagai berikut :

1. Apa yang dimaksud distribusi normal ?

2. Bagimana rumus mean, variansi dan fungsi pembangkit momen dalam

distribusi normal?

3. Bagaimana rumus MGF distribusi normal?

4. Bagaimana cara membaca tabel distribusi normal?

5. Apa saja kelebihan dan kelemahan distribusi normal?

1.3 TUJUAN MAKALAH

Berdasarkan latar belakang masalah yang telah dipaparkan diatas,

adapun tujuan makalah ini antara lain :

1. Mengetahui dan memahami pengertian distribusi normal.

2. Mengetahui dan memahami rumus mean, variansi dan fungsi pembangkit

momen dalam distribusi normal.

3. Mengetahui dan memahami rumus MGF distribusi normal.

4. Mengetahui dan memahami cara membaca tabel distribusi normal.

5. Mengetahui dan memahami kelebihan dan kelemahan distribusi normal.

2

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Distribusi Normal

Distribusi peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang

statistika adalah distribusi normal. Distribusi normal merupakan suatu alat

statistik yang sangat penting untuk menaksir dan meramalkan peristiwa-

peristiwa yang lebih luas. Grafiknya disebut kurva normal, terbentuk lonceng

seperti pada gambar 2.1. yang menggambarkan dengan cukup baik banyak

gejala yang muncul di alam, industri, dan penelitian. Pengukuran fisik di

bidang seperti percobaan meteorologi, penelitian curah hujan, dan pengukuran

suku cadang yang diproduksi sering dengan baik dapat diterangkan

menggunakan distribusi normal.

Di samping itu, galat dalam pengukuran ilmiah dapat dihampiri

dengan sangat baik oleh distribusi normal. Pada tahun 1733, Abraham de

Moivre menemukan persamaan matematika kurva normal. Ini merupakan dasar

bagi banyak teori statistika induktif. Distribusi normal sering pula disebut

distribusi Gauss untuk menghormati Karl Friedrich Gauss (1777-1855) yang

juga menemukan persamaannya waktu meneliti galat dalam pengukuran yang

berulang- ulang mengenai bahan yang sama.

Gambar 2.1

Suatu peubah acak kontinu X yang distribusinya berbentuk lonceng

seperti pada gambar 2.1 disebut peubah acak normal. Persamaan matematika

distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter μ

dan σ yaitu rataan dan simpangan bakunya. Jadi fungsi padat X akan

dinyatakan dengan n (x, μ, σ ) .

3

Fungsi densitas distribusi normal diperoleh dengan persamaan sebagai

berikut

Keterangan:

π = 3,1416

e = 2,7183

µ = rata-rata

σ = simpangan baku

Begitu μ dan σ diketahui maka seluruh kurva normal diketahui.

Sebagai contoh, bila μ = 50 dan σ = 5 , maka ordinat n(x; 50, 5) dapat dengan

mudah dihitung untuk berbagai nilai x dan kurvanya dapat digambarkan. Pada

ambar 2.2 telah dilukiskan dua kurva normal yang mempunyai simpangan baku

yang sama tapi rataanya berbeda. Kedua kurva bentuknya persis sama tapi titik

tengahnya terletak di tempat yang berbeda di sepanjang sumbu datar.

Gambar 2.2

Pada gambar 2.3 terlukis dua kurva normal denga rataan yang sama

tapi simpangan bakunya berlainan. Terlihat kedua kurva mempunyai titik

4

Distribusi Normal

Fungsi padat peubak acak normal X, dengan rataan μ dan variansi σ , ialah

Dengan π= 3,14159 ... dan e = 2,71828

tengah yang sama pada sumbu datar, tapi kurva dengan simpangan baku yang

lebih besar tampak lebih rendah dan lebih melebar. Perhatikan bahwa luas di

bawah kurva peluang harus sama dengan 1 sehingga baik kumpulan data makin

berbeda maka makin rendah dan melebar pula kurvanya.

Gambar 2.3

Gambar 2.4 memperlihatkan lukisan dua kurva normal yang baik

rataan maupun simpangan bakunya berlainan. Jelas keduanya mempunyai letak

titik tengah yang berlainan pada sumbu datar dan bentuknya mencerminkan

dua nilai σ yang berlainan.

Gambar 2.4

Beberapa sifat dari kurva fungsi kepadatan peluang (densitas)

distribusi normal umum:

1. Kurvanya berbentuk lonceng dan simetrik di x = µ.

2. Rataan, median, modus dari distribusi berimpitan.

5

3. Fungsi kepadatan peluang mencapai nilai maksimum di x = µ sebesar

.

4. Kurvanya berasimtot sumbu datar x.

5. Kurvanya mempunyai titik infleksi (x, f(x), dengan x = µ ± σ,

2.2 Mean , Variansi dan Fungsi Pembangkit Momen

Mean, variansi dari fungsi pembangkit momen dari distribusi normal

umum adalah:

Mean

Variansi

Pembangkit momen

6

Sehingga

7

2.3 MGF Distribusi Normal

Penjelasan singkat mengenai distribusi normal dapat dilihat di artikel

“Distribusi Normal”. Artikel ini akan membahas tentang fungsi pembangkit

momen atau moment generating function (MGF) dari distribusi normal.

Pembahasan awal dari bagian ini adalah menurunkan persamaan

MGF-nya. Selanjutnya menurunkan momen pertama dan momen kedua

berdasarkan persamaan MGF yang telah diperoleh sebelumnya. Dari momen

pertama dan kedua dapat diketahui rata-rata (mean) dan varian.

8

Misalkan , maka

Selanjutnya , sehingga

9

Nilai Harapan X

10

Nilai Harapan X2

Nilai Harapan (X – E(X))2

Sebagai catatan, nilai harapan X merupakan rata-rata (mean) dan nilai harapan

(X – E(X))2 merupakan varian.

2.4 Cara Membaca Tabel Distribusi Normal

Berikut adalah tabel distribusi normal standar, untuk P (X < x), atau

dapat diilustrasikan dengan luas kurva normal standar dari X = minus

takhingga sampai dengan X = x.

11

Contoh penggunaan tabel:

Hitung P (X<1,25)

Penyelesaian: 

12

Pada tabel, carilah angka 1,2 pada kolom paling kiri. Selanjutnya,

carilah angka 0,05 pada baris paling atas. Sel para pertemuan kolom dan

baris tersebut adalah 0,8944.

Dengan demikian, P (X<1,25) adalah 0,8944.

2.5 Kelebihan dan Kelemahan Distribusi Normal

Metode yang juga dikenal dengan sebutan forceddistribution ini

mendapatkan namanya dari kenyataan bahwa para penilai yang terlibat

memang “dipaksa” untuk mendistribusikan nilai karyawan ke dalam sejumlah

kategori kinerja yang sudah ditetapkan persentase proporsinya. Biasanya,

bentuk distribusi yang diterapkan adalah distribusi normal, dimana persentase

yang setara kecilnya ditempatkan di kutub kanan (terbaik) dan kutub kiri

(terburuk) sedangkan persentase yang lebih besar ditempatkan di bagian tengah

— di antara kedua kutub tersebut. Sebagai contoh, proporsi yang mungkin

digunakan adalah: Istimewa 10%, Memuaskan 20%, Berkinerja Bagus 40%,

Perlu Peningkatan 20%, dan Tidak Memuaskan 10%.

Adapun asumsi yang mendasari metode ini adalah bahwa, secara

statistik, tingkat kinerja karyawan terdistribusi mengikuti pola kurva

normal.Jika berhasil diimplementasikan secara efektif, metode distribusi

normal bisa mendatangkan kelebihan berikut ini:

1. Mengurangi kemungkinan terjadinya bias penilaian.

Dengan memaksa penilai untuk mendistribusikan hasil penilaiannya, bias

yang terjadi akibat penilai terlalu murah hati (dimana semua karyawan

dinilai bagus) atau terlalu pelit (dimana semua karyawan dinilai buruk)

13

bisa diminimalkan. Melalui penerapan metode ini, Ford —misalnya—

berhasil menurunkan bias kemurahan hati yang terjadi di metode

penilaian kinerja sebelumnya dimana 98% stafnya dinilai “memenuhi

harapan” (Olson & Davis, 2003).

2. Meningkatkan objektivitas penilaian.

Karena harus memastikan penempatan setiap karyawan dalam suatu

kategori, pada metode distribusi normal, para penilai perlu mengevaluasi

semua karyawan berdasarkan kriteria yang sama. Dengan demikian, hasil

penilaian mereka akan cenderung lebih objektif dibandingkan jika setiap

manajer menilai anak buah mereka berdasarkan kriteria mereka masing-

masing.

3. Memfasilitasi terjadinya komunikasi yang spontan dan terbuka antara

atasan dan bawahan.

Metode ini menuntut para atasan untuk secara berkala memberikan

umpan balik kepada anak buah mereka. Tanpa kesediaan untuk sering

menyampaikan umpan balik secara spontan dan terbuka, sang atasan

akan menghadapi kesulitan pada saat harus menjelaskan kepada anak

buahnya mengapa dia menempatkan si karyawan di kategori “tidak

memuaskan”.

4. Membantu menetapkan konsekuensi kinerja yang tepat.

Dengan memaksa para atasan untuk mendistribusikan karyawan ke

dalam kategori tertentu, perusahaan bisa mengenali siapa saja yang

berkinerja unggul, menengah, dan yang berkinerja terendah. Jadi, secara

terarah, perusahaan bisa memutuskan karyawan mana yang harus

diganjar dengan kompensasi dan promosi, karyawan mana yang patut

dipertahankan dan dikembangkan, serta karyawan mana yang perlu

diputuskan hubungan kerjanya.

Di sisi lain, metode distribusi normal juga tidak lepas dari sejumlah

kelemahan pokok yang mengundang kritik:

14

1. Metode ini menggunakan sistem distribusi normal yang salah

penerapannya.

Menurut Abelson (2001), model kurva lonceng mengasumsikan

bahwa distribusi normal akan terjadi pada sekelompokbesar subjek yang

terbentuk secara acak, dan tidak mengasumsikan hal yang sama untuk

kelompok-kelompok kecil. Adapun yang dimaksud dengan kelompok

besar adalah kelompok yang setidaknya terdiri dari 1.000 – 1.500

anggota.

Pada kenyataannya, sejumlah perusahaan menerapkan model

kurva lonceng ini pada sekelompok kecil karyawan, yang jumlah

anggotanya bahkan tidak lebih dari 50 orang. Akibatnya, sebagian

karyawan yang berkinerja bagus tetapi berada di kelompok unggul mau

tidak mau akan menderita karena terpaksa mendapatkan nilai buruk.

Sebaliknya, beberapa karyawan yang sebenarnya berkinerja biasa-biasa

saja tetapi berada di kelompok yang berkinerja lemah, akan menikmati

inflasi nilai dan dianugerahi posisi sebagai 10%-20% karyawan yang

berkinerja terbaik — hanya karena memang harus ada yang dinilai paling

tinggi.

Sementara itu, asumsi acak yang digunakan juga dianggap tidak

tepat. Kalau secara statistik dinyatakan bahwa acak adalah situasi dimana

setiap anggota populasi memiliki peluang yang sama untuk terpilih

menjadi anggota sampel, maka dengan jelas dapat disimpulkan bahwa

kelompok karyawan Anda bukanlah kelompok yang acak. Anda tidak

merekrut mereka secara acak, Anda tidak menempatkan mereka secara

acak, Anda juga tidak melatih dan memperlakukan mereka secara acak.

2. Ketika diterapkan secara konsisten, metode distribusi normal justru

membangkitkan tantangan baru yang menyulitkan.

Karena mengharuskan perusahaan untuk memecat karyawan yang dinilai

berkinerja paling rendah, setelah diimplementasikan selama beberapa

tahun, metode ini justru semakin mempersulit upaya membedakan

karyawan yang berkinerja memuaskan dengan karyawan yang berkinerja

15

istimewa. Perbedaan di antara keduanya semakin menipis dan semakin

tidak kasat mata. Di sisi lain, karena standar kinerja karyawan yang

semakin lama semakin meningkat, perusahaan juga semakin sulit

mendapatkan calon karyawan yang memenuhi standar tersebut, yaitu

karyawan yang kualifikasinya harus melebihi karyawan yang sebelumnya

dipecat.

3. Kategori yang digunakan tidak menunjukkan kinerja yang sebenarnya.

Pemaksaan nilai dan pengkategorian yang dipersyaratkan dalam metode

distribusi normal membuat karyawan diberi nilai dan ditempatkan di

kategori yang belum tentu sesuai dengan tingkat kinerja aktual mereka.

Perusahaan yang berhasil mencapai target bisnisnya, misalnya, dimana

semua karyawannya memang berprestasi bagus dan berhasil mencapai

target perorangan mereka, dengan terpaksa harus tetap menempatkan

10% karyawannya di kategori “tidak memuaskan”. Situasi semacam ini

tentu tidak bisa dianggap objektif. Akibatnya, seperti yang dikemukakan

oleh Olson dan Davis, karyawan lebih sering merasa bahwa nilai yang

mereka terima sesungguhnya hanyalah nilai yang dibuat untuk

memuaskan distribusi yang telah ditetapkan perusahaan. Bukan

merupakan refleksi dari kinerja aktual mereka.

4. Dipersepsi lebih sulit dan kurang fair dibandingkan metode penilaian

konvensional.

Persepsi yang timbul di kalangan mereka yang terlibat dalam

implementasi metode distribusi normal ini ditemukan dalam penelitian

Schleicher, Bull dan Green (2008). Dengan adanya persepsi semacam itu,

tidak mengherankan jika kemudian teridentifikasi bahwa para manajer

umumnya kurang bereaksi positif terhadap metode tersebut (Lawler,

2002). Mereka sering mengungkapkan komentar miring tentang metode

itu, sehingga akhirnya para karyawan pun berpandangan bahwa metode

tersebut kurang fair dan dengan demikian tidak mereka terima.

5. Terlalu memaksakan perbandingan kinerja antar-jabatan dalam upaya

mendapatkan peringkat kinerja seluruh karyawan.

16

Pertanyaannya adalah: Bagaimana Anda akan secara fair dan objektif

membandingkan kinerja seorang kepala departemen dengan kinerja

seorang petugas administrasi? Atau kinerja Kepala Departemen

Pemasaran dengan Kepala Departemen SDM? Kriteria apa yang akan

Anda gunakan? Selain tidak mudah untuk dijawab dan

diimplementasikan, pertanyaan itu jelas mengusik rasa keadilan para

pengemban jabatan yang diperbandingkan.

6. Merangsang tumbuhnya lingkungan kerja yang kompetitif sekaligus

destruktif.

Upaya membandingkan tingkat kinerja, dan memasukkan

karyawan ke dalam kategori yang proporsinya sudah dibatasi dengan

persentase tertentu, jelas membuat karyawan terperangkap dalam situasi

persaingan. Selalu mencoba menampilkan kinerja yang tidak hanya

sebaik mungkin, tetapi juga harus lebih baik dibandingkan kinerja rekan-

rekan yang lain, agar bisa masuk dalam kategori penilaian yang lebih

tinggi dan terhindar dari kemungkinan menjadi penghuni kategori

terbawah.

Situasi semacam ini jelas menghambat terjadinya kerja sama di

kalangan anggota kelompok kerja. Apalagi jika karyawan mengetahui

bahwa perusahaan memberikan perlakuan dan kompensasi yang berbeda

untuk setiap kategori penilaian.

17

BAB III PENUTUP

3.1 KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah penyusun uraikan diatas, maka

dapat disimpulkan bahwa distribusi peluang kontinu yang terpenting dalam

seluruh bidang statistika adalah distribusi normal. Distribusi normal merupakan

suatu alat statistik yang sangat penting untuk menaksir dan meramalkan

peristiwa-peristiwa yang lebih luas. Grafiknya disebut kurva normal terbentuk

lonceng yang menggambarkan dengan cukup baik banyak gejala yang muncul

di alam, industri, dan penelitian. Abraham de Moivre adalah yang pertama kali

memperkenalkan distribusi normal ini dan kemudian dipopulerkan oleh Carl

Fredreich Gauss. Sehingga nama lain distribusi ini adalah distribusi Gauss.

3.2 SARAN

Dalam penulisan makalah ini kami meyadari bahwa masih banyak

kekeliruan dan kesalahan dalam hal penulisan dan penyusunannya. Oleh karena

itu, kami menantikan saran dan kritikan yang sifatnya membangun untuk

perbaikan selanjutnya. Semoga makalah ini bermanfaat bagi pembaca dan dapat

menambah pustaka keilmuan mahasiswa.

18

DAFTAR PUSTAKA

Ronald E. Walpole. Pegantar Statistik edisi ke-3. Jakarta: PT Gramedia

Pustaka Utama.

Dari Internet:

Harum, Anita Sugiarti. 2013. Distribusi Normal (Kurva Normal). Diunduh

dari: https://anitaharum.wordpress.com/2013/11/12/distribusi-normal-

kurva-normal/. Pada hari Minggu pukul 20:00 WIB.

Labels, Rory.2016. MGF Distribusi Normal. Diunduh dari:

http://www.rumusstatistik.com/2016/04/mgf-distribusi-normal.html,

diakses pada tanggal 9 Mei 2016 pukul 10.50 WIB.

Subari, Hendrianto. 2014. Distribusi Normal Baku. Diunduh dari:

http://hendritakengon.blogspot.co.id/2014/03/distribusi-normal-baku.html.

Pada Hari Rabu pukul 19:50 WIB.

https://hatta2stat.wordpress.com/category/distribusi-normal-2/. 23

November 2011. Archive for the ‘Distribusi normal’ Category. Pada hari

Rabu pukul 19:40 WIB

19

20