DISTRIBUSI FREKUENSI & PELUANG

download DISTRIBUSI FREKUENSI & PELUANG

of 18

description

Universitas Riau

Transcript of DISTRIBUSI FREKUENSI & PELUANG

TUGAS STATISTIKA TERAPANDISTRIBUSI FREKUENSI DAN PROBABILITAS

OLEH:FREDDY MANULLANG(1407123875)

KELAS A

PROGRAM SARJANA TEKNIK KIMIAFAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS RIAU PEKANBARU20141. DISTRIBUSI FREKUENSI1.1. PENGERTIAN DISTRIBUSI FREKUENSIDalam suatu penellitian biasanya dilakukan kegiatan pengumpulan data. Data-data ini digunakan untuk mendukung penelitian, dimana hasil dari penelitian ini bergantung dari banyak dan ketepatan data-data yang berhasil dikumpulkan. Untuk memudahkan penggunaan data-data tersebut dapat diringkas atau disusun.Salah satu cara mengatur atau menyusun data adalah dengan mengelompokkan data-data berdasarkan ciri-ciri penting dari sejumlah data, ke dalam beberapa kelas dan kemudian dihitung banyaknya pengamatan yang masuk kedalam setiap kelas. Susunan demikian ini dalam bentuk tabel, disebut distribusi frekuensi. Selain itu, dapat pula disajikan dalam bentuk grafik dan diagram.

Grafik 1. Contoh distribusi frekuensi

Data yang telah diperoleh dari suatu penelitian yang masih berupa data acak yang dapat dibuat menjadi data yang berkelompok, yaitu data yang telah disusun ke dalam kelas-kelas tertentu. Daftar yang memuat data berkelompok disebut distribusi frekuensi atau tabel frekuensi. Distribusi frekuensi adalah susunan data menurut kelas interval tertentu atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar (Hasan, 2001).Sebuah distribusi frekuensi akan memiliki bagian-bagian yang akan dipakai dalam membuat sebuah daftar distribusi frekuensi. Bagian-bagian tersebut akan dijelaskan sebagai berikut (Hasan, 2001):a. Kelas-kelas (class) adalah kelompok nilai data atau variable dari suatu data acak.b. Batas kelas (class limits) adalah nilai-nilai yang membatasi kelas yang satu dengan kelas yang lain. Batas kelas merupakan batas semu dari setiap kelas, karena di antara kelas yang satu dengan kelas yang lain masih terdapat lubang tempat angka-angka tertentu. Terdapat dua batas kelas untuk data-data yang telah diurutkan, yaitu: batas kelas bawah (lower class limits) dan batas kelas atas (upper class limits).c. Tepi kelas disebut juga batas nyata kelas, yaitu batas kelas yang tidak memiliki lubang untuk angka tertentu antara kelas yang satu dengan kelas yang lain. Terdapat dua tepi kelas yang berbeda dalam pengertiannya dari data, yaitu: tepi bawah kelas dan tepi atas kelas.d. Titik tengah kelas atau tanda kelas adalah angka atau nilai data yang tepat terletak di tengah suatu kelas. Titik tengah kelas merupakan nilai yang mewakili kelasnya dalam data. Titik tengah kelas = (batas atas + batas bawah) kelas.e. Interval kelas adalah selang yang memisahkan kelas yang satu dengan kelas yang lain.f. Panjang interval kelas atau luas kelas adalah jarak antara tepi atas kelas dan tepi bawah kelas.g. Frekuensi kelas adalah banyaknya data yang termasuk ke dalam kelas tertentu dari data acak.

1.2. JENIS-JENIS DISTRIBUSI FREKUENSI1.2.1. Distribusi frekuensi biasaDistribusi frekuensi yang berisikan jumlah frekuensi dari setiap kelompok data. Distribusi frekuensi ada dua jenis yaitu distribusi frekuensi numerik dan distribusi frekuensi peristiwa atau kategori.a. Distribusi frekuensi bilangan ( numerical frequency distribution)Distribusi frekuensi bilangan adalah distribusi frekuensi yang berisikan data berupa angka-angka, dimana data itu dibagi atas golongan-golongan yang dinamakan kelas-kelas, menurut besarnya bilangan.

Tabel 1. Contoh distribusi frekuensi bilanganb. Distribusi frekuensi kategoris (categorical frequency distribution)Distribusi frekuensi kategoris adalah distribusi frekuensi yang berisikan data bukan angka, dimana data itu dibagi atas golongan-golongan yang dinamakan kelas-kelas, berdasarkan sifat lain.

Tabel 2. Contoh distribusi frekuensi kategoris

1.2.2. Distribusi frekuensi relatifDistribusi frekuensi yang berisikan nilai-nilai hasil bagi antara frekuensi kelas dan jumlah pengamatan. Distribusi frekuensi relatif menyatakan proporsi data yang berada pada suatu kelas interval, distribusi frekuensi relatif pada suatu kelas didapatkan dengan cara membagi frekuensi dengan total data yang ada dari pengamatan atau observasi.

Frekuensi relatif =

1.2.3. Distribusi frekuensi kumulatifDistribusi frekuensi yang berisikan frekuensi kumulatif (frekuensi yang dijumlahkan). Distribusi frekuensi kumulatif memiliki kurva yang disebut ogif. Ada dua macam distribusi frekuensi kumulatif yaitu distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi lebih dari.

a. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari

Tabel 3. Contoh distribusi frekuensi kumulatif kurang dariKeterangan :Untuk acuan penentuan nilai, menggunakan nilai ujung bawah kelas.Penentuan frekuensi kumulatif melihat dari frekuensi pada tabel distribusi frekuensi (mutlak), lalu dikumulasikan sesuai dengan kategori nilai pada tabel distribusi frekuensi kumulatif.Ada penambahan satu kelas, yaitu Kurang dari 80 saja, maka unutk data nilai yang lebih dari 80 tidak masuk hitungan padahal ada frekuensinya.b. Distribusi frekuensi kumulatif lebih dari .

Tabel 4. Contoh disribusi frekuensi kumulatig lebih dari

Keterangan :Konsep perhitungan frekuensi kumulatifnya sama dengan frekuensi kumulatif kurang dari, hanya saja kalau tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari mengacu pada nilai lebihnya, sehingga tinggal mencari berapa frekuensi kumulatifnya dengan melihat dari frekuensi (mutlak).c. Variasi distribusi frekuensi kumulatifa) HistogramHistogram adalah merupakan bagian dari grafik batang di mana skala horisontal mewakili nilai-nilai data kelas dan skala vertikal mewakili nilai frekuensinya. Tinggi batang sesuai dengan nilai frekuensinya, dan batang satu dengan lainnya saling berdempetan, tidak ada jarak/ gap diantara batang. Kita dapat membuat histogram setelah tabel distribusi frekuensi data pengamatan dibuat.

b) Poligon Frekuensi:Poligon Frekuensimenggunakan segmen garis yang terhubung ke titik yang terletak tepat di atas nilai-nilai titik tengah kelas. Ketinggian dari titik-titik sesuai dengan frekuensi kelas, dan segmen garis diperluas ke kanan dan kiri sehingga grafik dimulai dan berakhir pada sumbu horisontal.

c) OgiveOgiveadalah grafik garis yang menggambarkan frekuensi kumulatif, seperti daftar distribusi frekuensi kumulatif. Perhatikan bahwa batas-batas kelas dihubungkan oleh segmen garis yang dimulai dari batas bawah kelas pertama dan berakhir pada batas atas dari kelas terakhir. Ogive berguna untuk menentukan jumlah nilai di bawah nilai tertentu. Sebagai contoh, pada gambar berikut menunjukkan bahwa 68 mahasiswa mendapatkan nilai kurang dari 90.5.

1.3. PENYUSUNAN DISTRIBUSI FREKUENSIPenyusunan suatu distribusi frekuensi perlu dilakukan tahapan penyusunan data. Pertama melakukan pengurutan data-data terlebih dahulu sesuai urutan besarnya nilai yang ada pada data, selanjutnya diakukan tahapan berikut ini (Hasan, 2001).Menentukan jangkauan (range) dari data. Jangkauan = data terbesar data terkecil.Menentukan banyaknya kelas (k). Banyaknya kelas ditentukan dengan rumus sturgess K = 1 + 3.3 log n; k (Keterangan: k = banyaknya kelas, n = banyaknya data)Menentukan panjang interval kelas. Panjang interval kelas (i) = Jumlah Kelas (k)/ Jangkauan (R)Menentukan batas bawah kelas pertama. Tepi bawah kelas pertama biasanya dipilih dari data terkecil atau data yang berasal dari pelebaran jangkauan (data yang lebih kecil dari data data terkecil) dan selisihnya harus kurang dari panjang interval kelasnya.Menuliskan frekuensi kelas didalam kolom turus atau tally (sistem turus) sesuai banyaknya data.

2. PROBABILITAS2.1.PENGERTIAN PROBABILITASProbabilitas atau Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dapat juga diartikan sebagai harga angka yang menunjukkan seberapa besarkemungkinan suatuperistiwa terjadi, di antarakeseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi.Probabilitas dilambangkan dengan P.Contoh 1: Sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (H & T) kalau mata uang tersebut dilambungkan satu kali, peluang untuk keluar sisi H adalah . Contoh 2: Sebuah dadu untuk keluar mata lima saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6).Rumus :

P: ProbabilitasE: Event (Kejadian)X: Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)N: Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadiProbabilitas yang rendah menunjukkan kecilnyakemungkinan suatu peristiwa akan terjadi.Suatu probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam presentase. Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi, sedangkan probabilitas 1 menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi.Ada tiga hal penting dalam probabilitas, yaitu pertama percobaanadalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi. Kedua, hasiladalah suatu hasil dari sebuah percobaan. Ketiga, peristiwaadalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.

2.2.MANFAAT PROBABILITAS DALAM PENEITIANManfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu kita dalam mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjau pada saat kita melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain:a. Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat.b. Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi.c. Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasilpenelitian dari suatu populasi.

2.3. PENDEKATAN PROBABILITASAda 3 (tiga) pendekatan konsep untuk mendefinisikan probabilitas dan menentukan nilai-nilai probabilitas, yaitu : (1). Pendekatan Klasik, (2). Pendekatan Frekuensi Relatif, dan (3). Pendekatan Subyektif.1) Pendekatan KlasikPendekatan klasik didasarkan pada sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi sama besar (equally likely). Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai suatu rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil).Probabilitas suatu peristiwa = Jumlah kemungkinan hasil / Jumlah total kemungkinan hasilJika ada a kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A dan ada b kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing, maka probabilitas/peluang bahwa akan terjadi a adalah:P (A) = a/a+b ; dan peluang bahwa akan terjadi b adalah: P (A) = b/a+bContoh:Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita?Jawab:P (A) = 15/10+15 = 3/52) Pendekatan RelatifBesarnya probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan. probabilitas dapat dinyatakan sebagai berikut :Probabilitas kejadian relatif = Jumlah peristiwa yang terjadi / Jumlah total percobaan atau kegiatanJika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas/peluang akan terjadi A untuk N data adalah:P (A) = a/NContoh:Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang ikut serta?Jawab:P (A) = 5/400 = P (A) = 1/803) Pendekatan SubjektifBesarnya suatu probabilitas didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan. Penilaian subjektif diberikan terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleh dan berdasarkan keyakinan.

2.4. KONSEP DASAR DAN HUKUM PROBABILITASDalam mempelajari hukum dasar probabilitas berturut-turut akan dibahas hukum penjumlahan dan hukum perkalian.2.4.1. HUKUM PENJUMLAHANHukum penjumlahan menghendaki peristiwa saling lepas (mutually exclusive) dan peristiwa/kejadian bersama (non mutually exclusive).

a. Saling meniadakan (mutually exclusive)Apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan.Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling meniadakan:P (A U B) = P (A atau B)= P (A) + P (B)

Contoh:Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah:P(2 U 5) = P (2) + P (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6b. Kejadian Bersama (Non Mutually Exclusive)PeristiwaNon Mutually Exclusive (Joint)dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersama-sama (tetapi tidak selalu bersama). Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan:Dua KejadianP (A U B) =P(A) + P (B) P(A B)Tiga KejadianP(A UB UC) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C)

Peristiwa terjadinya A dan B merupakan gabunganantara peristiwa A dan peristiwa B. Akan tetapi karenaada elemen yang sama dalam peristiwa A dan B, Gabungan peristiwa A dan B perlu dikurangi peristiwadi mana A dan B memiliki elemen yang sama. Dengandemikian, probabilitas pada keadaan di manaterdapat elemen yang sama antara peristiwa A dan Bmaka probabilitas A atau B adalah probabilitas Aditambah probabilitas B dan dikurangi probabilitaselemen yang sama dalam peristiwa A dan B.

c. Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)Apabila peristiwa A dan B saling melengkapi, sehingga jika peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi. Peristiwa A dan B dikatakan sebagai peristiwa komplemen.Rumusuntuk kejadian-kejadian yang saling melengkapi :P(A)+P(B) = 1 atau P(A) = 1 P(B)2.4.2. HUKUM PERKALIANa. Hukum Bebas (independent) Hukum perkalian menghendaki setiap peristiwa adalah independen, yaitusuatu peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi. Peristiwa A dan B independen, apabila peristiwa A terjadi tidak menghalangi terjadinya peristiwa B.P(A B) = P (A dan B) = P(A) x P(B)Contoh soal 1:Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya adalah:P (5 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36Contoh soal 2:Sebuah dadu dan koin dilambungkan bersama-sama, peluang keluarnya hasil lambungan berupa sisi H pada koin dan sisi 3 pada dadu adalah:P (H) = , P (3) = 1/6P (H 3) = x 1/6 = 1/12b. Peristiwa Bersyarat (Tidak Bebas) /(Conditional Probability)Probabilitas bersyarat adalah probabilitas suatu peristiwa akan terjadi dengan ketentuan peristiwa yang lain telah terjadi. Peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A telah terjadi.P(A dan B) = P(A x P(B|A) atau P(B dan A) = P(B) x P(A|B)Contoh :Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya kartu as adalah sebagai berikut: Peluang as I adalah 4/52 -> P (as I) = 4/52Peluang as II dengan syarat as I sudah tertarik adalah 3/51P (as II as I) = 3/51P (as I as II) = P (as I) x P (as II as I) = 4/52 x 3/51 = 12/2652 =1/2212.5. DIAGRAM POHON PROBABILITASDiagram pohonmerupakan suatu diagram yang menyerupai pohon dimulai dari batang kemudian menuju ranting dan daun. diagram pohon dimaksudkan untuk membantu menggambarkan probabilitas atau probabilitas bersyarat dan probabilitas bersama. diagram pohon sangat berguna untuk menganalisis keputusan-keputusan bisnis dimana terdapat tahapan-tahapan pekerjaan.Contoh:

2.6. RUANG SAMPEL DAN TITIK SAMPELRuang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian.Ruang Sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel.Titik Sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul.Contoh:Pada percobaan melempar dua buah mata uang logam (koin) homogen yang berisi angka (A) dan gambar (G) sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut.a. Dengan Diagram Pohon

Kejadian yang mungkin:AA : Muncul sisi angka pada kedua koinAG : Muncul sisi angka pada koin 1 dan sisi gambar pada koin 2b.Dengan Tabel

Ruang sampel = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}Banyak titik sampel ada 4 yaitu (A,A), (A,G), (G,A), dan (G,G)

2.7. TEOREMA BAYESDalam teori probabilitas dan statistika,teorema Bayesadalah sebuah teorema dengan dua penafsiran berbeda. Dalampenafsiran Bayes, teorema ini menyatakan seberapa jauh derajat kepercayaan subjektif harus berubah secara rasional ketika ada petunjuk baru.Dalampenafsiran frekuentisteorema ini menjelaskan representasi invers probabilitas dua kejadian. Teorema ini merupakan dasar dari statistika Bayes dan memiliki penerapan dalam sains, rekayasa, ilmu ekonomi (terutama ilmu ekonomi mikro), teori permainan, kedokteran dan hukum. Penerapan teorema Bayes untuk memperbarui kepercayaan dinamakan inferens Bayes.

atau

2.8. PRINSIP MENGHITUNG2.8.1. FAKTORIALFaktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu. Hasil perkalian semua bilangan bulat positif secara berurutan dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial. Dari definisi faktorial tersebut, maka dapat dituliskan prinsip menghitung faktorial sebagai berikut :n ! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x 3 x 2 x 1n ! dibacan faktorialnb: 0! = 1dan 1! = 1Contoh:3! = 3 x 2 x 1 = 65! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

2.8.2. PERMUTASIPermutasi digunakan untuk mengetahui jumlah kemungkinan susunan (arrangement) jika terdapat satu kelompok objek. pada permutasi berkepentingan dengan susunan atau urutan dari objek. Permutasi dirumuskan sebagai berikut :

atau

dimana :P = Jumlah permutasi atau cara objek disusunn = jumlah total objek yang disusunr/k = jumlah objek yang digunakan pada saat bersamaan, jumlah r/k dapat sama dengan n atau lebih kecil! = tanda dari faktorial

Contoh:Di kantor pusat DJBC Ada 3 orang staff yang dicalonkan untuk menjadi mengisi kekosongan 2 kursi pejabat eselon IV. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk mengisi jabatan tersebut?jawab : Permutasi P (3,2), dengan n =3 (banyaknya staff) dan k =2 (jumlah posisi yang akan diisi)

Permutasi Unsur-unsur yang sama

Contoh:Tentukan permutasi atas semua unsur yang dibuat dari kata MATEMATIKA!Jawab: pada kata MATEMATIKAterdapat 2 buah M, 3 buah A, dan 2 buah T yang sama, sehingga permutasinya adalah:

Permutasi Siklis

RUMUS: banyaknya permutasi = (n-1)!Contoh:Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?Jawab :Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

2.8.3. KOMBINASIKombinasi digunakan apabila ingin mengetahui berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya. Jumlah kombinasi dirumuskan sebagai berikut:

Contoh:Saat akan menjamu Bayern Munchen di Allianz arena, Antonio Conte (Pelatih Juventus) punya 20 pemain yang akan dipilih 11 diantaranya untuk jadi starter. Berapa banyak cara pemilihan starter tim juventus? (tidak memperhatikan posisi pemain).

Daftar Pustaka

Hasan, M. Iqbal. 2001.Pokok-pokok Materi Statistik I (Statistik Deskriptif), BumiAksara. Jakarta.Suharyadi, & Purwanto S. K. (2007). Statistika: Untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, Edisi 2. Jakarta: Penerbit Salemba Empat.http://tyarhashawol.blogspot.com/2012/12/probabilitas-dan-statistika_31.htmlhttp://rumus-mtk.blogspot.com/2012/10/teori-peluang-ruang-sampel-dan-titik.htmlhttp://sainsmatika.blogspot.com/2012/03/probabilitas-peluang.htmlhttp://www.idomaths.com/id/peluang5.phphttp://probstat7.blogspot.com/2013/05/teorema-bayes.htmlhttp://rumushitung.com/2013/04/06/permutasi-dan-kombinasi-matematika/