NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari...
-
Upload
nguyenliem -
Category
Documents
-
view
227 -
download
0
Transcript of NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari...
![Page 1: NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x B t). 5. Hitung selisih E est =](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022022116/5c89eebd09d3f232478b8af9/html5/thumbnails/1.jpg)
NUMERIKNUMERIKMencari SOLUSI-Mencari SOLUSI-
Persamaan Persamaan DifferensialDifferensial
![Page 2: NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x B t). 5. Hitung selisih E est =](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022022116/5c89eebd09d3f232478b8af9/html5/thumbnails/2.jpg)
Carilah solusi x(t) dari persamaan differensial biasa (Ordinary Differential Equation, ODE) order pertama: dx(t)
= f{t,x(t)}, x(0) = x0
dtjika diketahui:
f{t,x(t)} = - 2x(t), x(0) = 10
Mencari SOLUSI-Mencari SOLUSI-Persamaan DifferensialPersamaan Differensial
Istilah-istilah:“order”“keadaan awal” (initial condition)peubah bebas tpeubah terikat xx(t) -------> x
![Page 3: NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x B t). 5. Hitung selisih E est =](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022022116/5c89eebd09d3f232478b8af9/html5/thumbnails/3.jpg)
Mencari SOLUSI-Mencari SOLUSI-Persamaan DifferensialPersamaan Differensial
dx(t)= - 2 x(t)
dt
dx(t) = - 2 dt x(t)∫ ∫
![Page 4: NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x B t). 5. Hitung selisih E est =](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022022116/5c89eebd09d3f232478b8af9/html5/thumbnails/4.jpg)
Mencari SOLUSI-Mencari SOLUSI-Persamaan DifferensialPersamaan Differensial
NUMERIKNUMERIKDeret EULER:
x(t + t) = x(t)+t(dx(t)/dt)+(½)t2(d2x(t)/dt2)
+ (1/6)t3(d3x(t)/dt3) + .........
+ (1/n!)tn(dnx(t)/dtn)
Metode Numerik Order Pertama:
x(t + t) = x(t)+t(dx(t)/dt)+ Error
mulai pada t = 0, dihitung:x(0 + t) = x(0)+t f{t,x(0)}
dan seterusnya........
![Page 5: NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x B t). 5. Hitung selisih E est =](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022022116/5c89eebd09d3f232478b8af9/html5/thumbnails/5.jpg)
Mencari SOLUSI-Mencari SOLUSI-Persamaan DifferensialPersamaan Differensial
NUMERIKNUMERIKContoh Kasus:
dx(t) = - 2 x(t), x(0) = 10
dt
Penyelesaian secara numerik, Order Pertama, t = 0.1:
t = 0, x(t) = x(0) + t(dx(0)/dt)
= x(0) + t( -2 x(0)) = 10 + (-2)(10) x() = 8
t = 0.1, x(0.2) = x(0.1) + t(dx(0.1)/dt) = 8 + (-2)(8) = 6.4 dst.
![Page 6: NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x B t). 5. Hitung selisih E est =](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022022116/5c89eebd09d3f232478b8af9/html5/thumbnails/6.jpg)
NUMERIKNUMERIK
Dalam berbagai metode NUMERIK ada setidaknya 2 (dua) langkah baku untuk memperkecil galat (ERROR), yaitu:
1. Memperbanyak interval N atau memperkecil t
2. Memperbaiki metode
Kebanyakan program numerik menggunakan sedikitnya 2 (dua) macam metode yang berbeda, menggunakan selisih hasil keduanya sebagai estimasi ERROR, dan
terus memperbanyak N/memperkecil t sampai selisih hasil keduanya lebih kecil dari suatu angka yang masih ditolerir.
![Page 7: NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x B t). 5. Hitung selisih E est =](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022022116/5c89eebd09d3f232478b8af9/html5/thumbnails/7.jpg)
NUMERIKNUMERIKMencari SOLUSI-Mencari SOLUSI-
Persamaan Persamaan DifferensialDifferensial
Ordinary Differential EquationOrdinary Differential Equation
![Page 8: NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x B t). 5. Hitung selisih E est =](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022022116/5c89eebd09d3f232478b8af9/html5/thumbnails/8.jpg)
Carilah solusi x(t) dari persamaan differensial biasa (Ordinary Differential Equation, ODE) order pertama: dx(t)
= - 2x(t), x(0) = x0
dt
Mencari SOLUSI-Mencari SOLUSI-Persamaan DifferensialPersamaan Differensial
Deret EULER:
x(t + t) = x(t)+t(dx(t)/dt)+(½)t2(d2x(t)/dt2)
+ (1/6)t3(d3x(t)/dt3) + .........
+ (1/n!)tn(dnx(t)/dtn)
![Page 9: NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x B t). 5. Hitung selisih E est =](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022022116/5c89eebd09d3f232478b8af9/html5/thumbnails/9.jpg)
Metode Numerik Order Pertama:
x(t + t) = x(t)+t(dx(t)/dt)+ Error
Metode Numerik Order Kedua:
x(t + t) = x(t)+t(dx(t)/dt) + (½)(t)2(d2x(t)/dt2) + Error
x'(t)= dx(t)/dt dan x''(t) = d2x(t)/dt2
x(t + t) = x(t)+t[x'(t)] + (½)(t)2[x''(t)]
x(t) diketahui,x'(t) dihitung dari f{t,x(t)},bagaimana menghitung x''(t)???
ESTIMASI x''(t)..............
Mencari SOLUSI-Mencari SOLUSI-Persamaan DifferensialPersamaan Differensial
![Page 10: NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x B t). 5. Hitung selisih E est =](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022022116/5c89eebd09d3f232478b8af9/html5/thumbnails/10.jpg)
Metode Numerik Order Kedua (lanjutan):
ESTIMASI x''(t)..............
“FORWARD DIFFERENCE”x(t) diketahui,x'(t) dihitung dari f{t,x(t)},dengan metode order pertama,dihitung estimasi x(t+t):
Ex(t + t) = x(t)+t[x'(t)]lalu dihitung estimasi x'(t+t):
Ex'(t + t) = f{t+t,Ex(t+t)}dengan demikian ESTIMASI x”(t)
dapat dihitung:Ex”(t) = [Ex'(t+t) – x'(t)]/t
Mencari SOLUSI-Mencari SOLUSI-Persamaan DifferensialPersamaan Differensial
![Page 11: NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x B t). 5. Hitung selisih E est =](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022022116/5c89eebd09d3f232478b8af9/html5/thumbnails/11.jpg)
Metode Numerik Order Kedua (lanjutan):
Setelah ESTIMASI x''(t) diketahui, maka selanjutnya dapat dihitung x(t + t):
x(t + t) = x(t)+t[x'(t)] + (½)(t)2[Ex''(t)] ESTIMASI x”(t):
Ex”(t) = [Ex'(t+t) – x'(t)]/tsehingga:x(t + t) = x(t)+t[x'(t)] +
(½)(t)2[Ex'(t+t) – x'(t)]/tjadi:x(t + t) = x(t)+(½t)[x'(t) + Ex'(t+t)]dengan Ex'(t+t) = f{t+t,Ex(t+t)}dan Ex(t+t) = x(t)+t[x'(t)]
Mencari SOLUSI-Mencari SOLUSI-Persamaan DifferensialPersamaan Differensial
![Page 12: NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x B t). 5. Hitung selisih E est =](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022022116/5c89eebd09d3f232478b8af9/html5/thumbnails/12.jpg)
Metode Numerik Order Kedua (lanjutan):Kembali ke contoh kasus:
x'(t) = f{t,x(t)} = -2 x(t), x(0)= 10
Misalnya t = 0,1Pada t = 0: x'(0) = - 2 x(0) = (-2)*10 = -20 Ex(0+t) = x(0)+t[x'(0)] = 10 +(0,1)(-20) Ex(0,1) = 8 Ex'(0+t) = f{0+t,Ex(0+t)} = - 2 Ex(t) Ex'(0,1) = -16 x(t + t) = x(t)+(½t)[x'(t) + Ex'(t+t)] x(0,1) = x(0)+(½0,1)[x'(0) + Ex'(0,1)] = 10 + (½0,1)[(-20) + (-16)] = 8,2
Mencari SOLUSI-Mencari SOLUSI-Persamaan DifferensialPersamaan Differensial
![Page 13: NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x B t). 5. Hitung selisih E est =](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022022116/5c89eebd09d3f232478b8af9/html5/thumbnails/13.jpg)
Selanjutnya ............Pada t = 0,1: x'(0,1) = - 2 x(0,1) = (-2)*8,2 = -16,4 Ex(0,1+t) = x(0,1)+t[x'(0,1)] = 8,2 +(0,1)(-16,4) Ex(0,2) = 6,56 Ex'(0,1+t) = f{0,1+t,Ex(0,1+t)} = - 2 Ex(0,2) = - 2 (6,56) Ex'(0,2) = - 13,12 x(t + t) = x(t)+(½t)[x'(t) + Ex'(t+t)] x(0,2) = x(0,1)+(½0,1)[x'(0,1) + Ex'(0,2)] = 8,2 + (½0,1)[(-16,4) + (-13,12)] = 6,274
dan seterusnya ...........
Mencari SOLUSI-Mencari SOLUSI-Persamaan DifferensialPersamaan Differensial
![Page 14: NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x B t). 5. Hitung selisih E est =](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022022116/5c89eebd09d3f232478b8af9/html5/thumbnails/14.jpg)
ERROR dan TOLERANSI
Pada umumnya Metode Numerik digunakan ketika Solusi Analitik TIDAK DIKETAHUI, dengan demikian ERROR yang sesungguhnya juga tidak diketahui. Oleh sebab itu biasa diterapkan ALGORITMA sebagai berikut:
1. Tetapkan suatu batas toleransi, , sebuah angka yang cukup kecil, misalnya = 10-6.
2. Tetapkan step-size awal: t = t
a/N
ta = t akhir perhitungan
N = jumlah interval
Mencari SOLUSI-Mencari SOLUSI-Persamaan DifferensialPersamaan Differensial
![Page 15: NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x B t). 5. Hitung selisih E est =](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022022116/5c89eebd09d3f232478b8af9/html5/thumbnails/15.jpg)
ERROR dan TOLERANSI(lanjutan.........)3. Hitung solusi untuk t = t dengan
suatu metode numerik, misalnya Metode A, sehingga diperoleh x
A(t)
4. Hitung lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x
B(t).
5. Hitung selisih Eest
= |xB(t) – x
A(t)|
sebagai estimasi ERROR.6. Jika E
est > , maka step-size
diperkecil, yang baru = t /n, n = bilangan bulat > 1, misalnya 2, 10, dst., lalu kembali ke langkah 3
Mencari SOLUSI-Mencari SOLUSI-Persamaan DifferensialPersamaan Differensial
![Page 16: NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x B t). 5. Hitung selisih E est =](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022022116/5c89eebd09d3f232478b8af9/html5/thumbnails/16.jpg)
ERROR dan TOLERANSI(lanjutan.........)
Catatan: Agar tidak terjadi infinite loop dari langkah 3 sampai langkah 6, maka step-size harus dibatasi jangan lebih kecil dari . Jika terjadi demikian berarti toleransi-nya terlalu kecil. Program gagal, kembali ke langkah 1.
6. Jika Eest
< , berarti xB(t) adalah
solusi untuk t = t maka lanjut hitung solusi untuk t = 2t dengan kembali menggunakan langkah 3 tanpa mengubah t.
7. Begitu seterusnya diulangi sampai t = t
a.
Mencari SOLUSI-Mencari SOLUSI-Persamaan DifferensialPersamaan Differensial
![Page 17: NUMERIK - Universitas Hasanuddin lagi solusi untuk dengan metode numerik lain yang lebih baik dari Metode A, misalnya Metode B, sehingga diperoleh x B t). 5. Hitung selisih E est =](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022022116/5c89eebd09d3f232478b8af9/html5/thumbnails/17.jpg)
NUMERIKNUMERIKMencari SOLUSI-Mencari SOLUSI-
Persamaan Persamaan DifferensialDifferensial
Ordinary Differential EquationOrdinary Differential Equation