Metode Numerik – Metode Regula Falsi

Ditulis pada 4 November 2010

2 Votes

Sesi metode numerik ini membahas salahsatu metode penyelesaian sistem persamaan non linier, yaitu dengan metode regula faksi.

Pada umumnya pencarian akar dengan menggunakan metode biseksi selalu dapat menemukan akar, tetapi kecepatan untuk mencapai akar hampiran sangat lambat. Untuk mempercepat pencarian akar tersebut, maka nilai-nilai dari f (a) dan f (b) perlu diperhitungkan. Metode yang memanfaatkan nilai f (a) dan f (b) ini adalah metode regula falsi (metode titik palsu).

Seperti metode bagi-dua, metode regula falsi dimulai dengan dua titik awal a0 dan b0sedemikian sehingga f(a0) dan f(b0) berlawanan tanda. Berdasarkan teorema nilai antara, ini berarti fungsi f memiliki akar dalam selang [a0, b0]. Metode ini kemudian berlanjut dengan menghasilkan berturut-turut selang [ak, bk] yang semuanya berisi akar f.

Pada iterasi ke-k, bilangan

dihitung. Seperti yang diterangkan di bawah, ck adalah akar dari garis sekan melalui (ak, f(ak)) dan (bk, f(bk)). Jika f(ak) dan f(ck) memiliki tanda yang sama, maka kita menetapkan ak+1 = ck dan bk+1 = bk. Jika tidak, kita menetapkan ak+1 = ak dan bk+1 = ck. Proses ini diteruskan hingga akar dihampiri dengan cukup baik.

Berikut ini implementasi menggunakan MATLAB

1

2

3

4

function biseksi

clc;

a=input('Masukkan Nilai a=');

b=input('Masukkan nilai b=');

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

epsilon=input('Masukkan nilai Epsilon=');

E=abs(a-b);

i=0;

fprintf('-----------------------------------------------------------------------\n')

fprintf(' i a b m f(a) f(m) E\n ')

fprintf('------------------------------------------------------------------------\n')

while (E>epsilon)

i=i+1;

fprintf('%5.0f%12.7f%12.7f',i,a,b);

fa= a^2-2*a-2;

fb= b^2-2*b-2;

m = b-(fb*(b-a))/(fb-fa);

fm= m^2-2*m-2;

if (fa*fm >0)

a=m;

else

b=m;

end

E=abs(b-a);

fprintf('%12.7f%12.7f%12.7f%12.7f\n', m,fa,fm,E);

end

Hasil Running Programnya sebagai berikut:

Masukkan Nilai a=2

Masukkan nilai b=3

Masukkan nilai Epsilon=0.01

-----------------------------------------------------------------------

i a b m f(a) f(m) E

------------------------------------------------------------------------

1 2.0000000 3.0000000 2.6666667 -2.0000000 -0.2222222 0.3333333

2 2.6666667 3.0000000 2.7272727 -0.2222222 -0.0165289 0.2727273

3 2.7272727 3.0000000 2.7317073 -0.0165289 -0.0011898 0.2682927

4 2.7317073 3.0000000 2.7320261 -0.0011898 -0.0000854 0.2679739

5 2.7320261 3.0000000 2.7320490 -0.0000854 -0.0000061 0.2679510

6 2.7320490 3.0000000 2.7320507 -0.0000061 -0.0000004 0.2679493

7 2.7320507 3.0000000 2.7320508 -0.0000004 -0.0000000 0.2679492

8 2.7320508 3.0000000 2.7320508 -0.0000000 -0.0000000 0.2679492

9 2.7320508 3.0000000 2.7320508 -0.0000000 -0.0000000 0.2679492

10 2.7320508 3.0000000 2.7320508 -0.0000000 -0.0000000 0.2679492

11 2.7320508 3.0000000 2.7320508 -0.0000000 -0.0000000 0.2679492

12 2.7320508 3.0000000 2.7320508 -0.0000000 -0.0000000 0.2679492

13 2.7320508 3.0000000 2.7320508 -0.0000000 -0.0000000 0.2679492

14 2.7320508 3.0000000 2.7320508 -0.0000000 0.0000000 0.0000000

Tentang iklan-iklan ini

TERKAIT

Penyelesaian Persamaan Non Linier menggunakan Metode Biseksidalam "Metode Numerik"

Metode Numerik - Kisi-kis UAS 2012dalam "Metode Numerik"

Penyelesaian Persamaan Non Linier menggunakan Metode Newton Raphsondalam "Metode Numerik"

Entri ini ditulis dalam Metode Numerik dan di-tag Matlab Regula Falsi, Metode Numerik, Regula Falsi olehFairuz El Said. Buat penanda ke permalink.

3 THOUGHTS ON “METODE NUMERIK – METODE REGULA FALSI”

1. Bayu Saputra Pribadi pada 11 Maret 2012 pukul 6:29 pm berkata:

selain MATLAB, software apalagi yang bisa digunakan?

Balas ↓

o Fairuz El Saidpada 4 November 2012 pukul 6:52 pm berkata:

Hampir semua bahasa pemrograman semua bisa

Balas ↓

restupada 3 Desember 2014 pukul 10:45 pm berkata:

SCILAB bisa dicoba.

Metode regula falsiDari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Belum Diperiksa

Dalam matematika, metode regula falsi adalah algoritma pencarian akar yang menggabungkan ciri-ciri dari metode bagi-dua dan metode sekan. TOC

Metode[sunting | sunting sumber]

Dua iterasi pertama metode regula falsi. Kurva merah menunjukkan fungsif dan garis-garis biru adalah sekan.

Seperti metode bagi-dua, metode regula falsi dimulai dengan dua titik awal a0 dan b0 sedemikian sehingga f(a0) dan f(b0) berlawanan tanda. Berdasarkan teorema nilai antara, ini berarti fungsi f memiliki akar dalam selang [a0, b0]. Metode ini kemudian berlanjut dengan menghasilkan berturut-turut selang [ak, bk] yang semuanya berisi akar f.

Pada iterasi ke-k, bilangan

dihitung. Seperti yang diterangkan di bawah, ck adalah akar dari garis sekan melalui (ak, f(ak)) dan (bk, f(bk)). Jika f(ak) dan f(ck) memiliki tanda yang sama, maka kita menetapkan ak+1 = ck dan bk+1 = bk. Jika tidak, kita menetapkan ak+1 = ak dan bk+1 = ck. Proses ini diteruskan hingga akar dihampiri dengan cukup baik.

Rumus di atas juga digunakan pada metode sekan, namun metode sekan selalu mempertahankan dua titik terakhir yang dihitung, sementara metode regula falsi mempertahankan dua titik yang pasti mengapit akar. Di sisi lain, satu-satunya perbedaan antara metode regula falsi dan metode bagi-dua adalah yang terakhir menggunakan ck = (ak + bk) / 2

Mencari akar sekan[sunting | sunting sumber]Misalkan diketahui ak dan bk, kita menarik garis melalui titik-titik (ak, f(ak)) dan (bk, f(bk)), sebagaimana ditunjukkan oleh gambar di atas. Perhatikan bahwa garis ini adalah sekan dari grafik fungsi f. Garis ini dapat didefinisikan sebagai:

Kita sekarang memilih ck sebagai akar dari garis ini, sehingga c dipilih sedemikian sehingga

Memecahkan persamaan ini memberikan persamaan di atas untuk ck

Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

Metode Numerik : Menghitung Akar Fungsi dengan Metode Regula Falsi

Berdasarkan materi presentasi kelompok empat pada mata kuliah metode numerik, maka saya akan mencoba menjelaskan tentang metode kedua dari sistem persamaan non linear yang bersifat tertutup yaitu Regula Falsi.

Metode Regula Falsi merupakan cara menentukan akar persamaan suatu fungsi, dengan melakukan pengulangan akar falsu yang dibentuk dari perpotongan garis yang melalui titik (x1, f(x1)) dan (x2, f(x2)) dengan sumbu x. Ilustrasi grafis sebagai berikut:

Gambar 1.8 Posisi akar falsi

Persamaan garis yang melalui titik (x1,f(x1)) dan (x2,f(x2)) adalah :

Jika x = xr, maka diperoleh nilai y = 0. Kenyataan ini memberikan persamaan regula falsi sebagai berikut:

Selanjutnya tahapan-tahapan pengerjaan penentuan akar persamaan f(x) dengan metode Regula Falsi sama dengan tahapan-tahapn sebagaimana metode Bisection.

Gambar 1.9 Proses update interval metode Regula Falsi

Oleh karena itu, algoritma program metode Regula Falsi dapat diberikan sebagai berikut:

Berdasarkan teori di atas, maka algoritma program metode regula falsi dapat dirumuskan sebagai berikut:

Algortima Program Metode Regula Falsi

Step 0. Mulai

Step 1. Tentukan interval [x1 x2]

Step 2. Hitung nilai f(x1) dan f(x2)

Step 3. Jika f(x1)f(x2) < 0, maka kerjakan step 4 sampai 11

Step 4. Masukan toleransi error (E)

Step 5. Ulangi terus step 6 sampai 11 jika |f(xr)| > e

Step 6. Hitung nilai

Step 7. Hitung nilai f(xr)

Step 8. Jika |f(xr)| > e, maka kerjakan step 9 sampai 11

Step 9. Hitung nilai f(x1)

Step 10. Jika f(x1)f(xr) < 0, maka x2 = xr

Step 11. Jika f(x1)f(xr) > 0, maka x1 = xr

Step .12 Jika f(x1)f(x2) > 0, maka tidak ada kar pada [x1 x2]

Step 13. Selesai

Contoh Soal Metode Regula Falsi

Contoh soal

Tentukan nilai x dengan menggunakan metode Regula Falsi sehingga xe-x + 1 = 0 dengan toleransi kesalahan E=0.001.

Solusi:

Penyelesaian dengan program computer setelah mengkonversi algoritma program di atas menjadi algoritma komputasi, maka diperoleh output sebagai berikut:

f(x) = x*exp(-x)+1

[x1 x2] = [-1 0]

f(-1) = -1.7183

f(0) = 1

Karena f(x1)f(x2)<0, maka x shg f(x)= 0 pada interval [-1 0]

Toleransi Kesalahan = 0.001

Iterasi ke-1

xr = x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1))

= -1-(0 - -1)f(-1)/(f(0)-f(-1))

= -1-(1)(-1.7183)/(1 - -1.7183)

= -1-(-1.7183)/(2.7183)

= -1-(-0.63212)

= -0.36788

f(xr)= 0.46854

Karena |f(xr)| = 0.46854>0.001=e maka update [x1 x2]

Karena f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr

Jadi interval baru adalah [-1 -0.36788]

Iterasi ke-2

xr = x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1))

= -1-(-0.36788 - -1)f(-1)/(f(-0.36788)-f(-1))

= -1-(0.63212)(-1.7183)/(0.46854 - -1.7183)

= -1-(-1.0862)/(2.1868)

= -1-(-0.49669)

= -0.50331

f(xr)= 0.16742

Karena |f(xr)| = 0.16742>0.001=e maka update [x1 x2]

Karena f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr

Jadi interval baru adalah [-1 -0.50331]

Iterasi ke-3

xr = x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1))

= -1-(-0.50331 - -1)f(-1)/(f(-0.50331)-f(-1))

= -1-(0.49669)(-1.7183)/(0.16742 - -1.7183)

= -1-(-0.85345)/(1.8857)

= -1-(-0.45259)

= -0.54741

f(xr)= 0.053649

Karena |f(xr)| = 0.053649>0.001=e maka update [x1 x2]

Karena f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr

Jadi interval baru adalah [-1 -0.54741]

Iterasi ke-4

xr = x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1))

= -1-(-0.54741 - -1)f(-1)/(f(-0.54741)-f(-1))

= -1-(0.45259)(-1.7183)/(0.053649 - -1.7183)

= -1-(-0.77767)/(1.7719)

= -1-(-0.43888)

= -0.56112

f(xr)= 0.016575

Karena |f(xr)| = 0.016575>0.001=e maka update [x1 x2]

Karena f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr

Jadi interval baru adalah [-1 -0.56112]

Iterasi ke-5

xr = x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1))

= -1-(-0.56112 - -1)f(-1)/(f(-0.56112)-f(-1))

= -1-(0.43888)(-1.7183)/(0.016575 - -1.7183)

= -1-(-0.75413)/(1.7349)

= -1-(-0.43469)

= -0.56531

f(xr)= 0.0050629

Karena |f(xr)| = 0.0050629>0.001=e maka update [x1 x2]

Karena f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr

Jadi interval baru adalah [-1 -0.56531]

Iterasi ke-6

xr = x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1))

= -1-(-0.56531 - -1)f(-1)/(f(-0.56531)-f(-1))

= -1-(0.43469)(-1.7183)/(0.0050629 - -1.7183)

= -1-(-0.74692)/(1.7233)

= -1-(-0.43341)

= -0.56659

f(xr)= 0.001541

Karena |f(xr)| = 0.001541>0.001=e maka update [x1 x2]

Karena f(x1) = -1.7183 maka f(x1)f(xr)<0, shg x2=xr

Jadi interval baru adalah [-1 -0.56659]

Iterasi ke-7

xr = x1 - (x2-x1)f(x1)/(fx(2)-f(x1))

= -1-(-0.56659 - -1)f(-1)/(f(-0.56659)-f(-1))

= -1-(0.43341)(-1.7183)/(0.001541 - -1.7183)

= -1-(-0.74473)/(1.7198)

= -1-(-0.43303)

= -0.56697

f(xr)= 0.00046855

Karena |f(xr)| = 0.00046855<0.001=e maka proses berhenti

Jadi akar persamaan adalah x = -0.56697 dengan f(xr) = 0.00046855

Hasil komputasi di atas, menujukkan bahwa solusi pendekatan untuk x sehingga f(x) = 0 adalah x = -0.56697. Nilai tersebut diperoleh setelah melakukan perhitungan hingga iterasi ke-7. Konvergensi iterasi ini lebih cepat jika dibandingkan dengan metode Bisection. Grafik laju konvergensi dan akar persamaan fungsi diberikan sebagai berikut:

Gambar 1.10. Grafik konvergensi dan akar persamaan dengan metode Regula Falsi

Posted by Widhi Wardani SN at 08:03