METODE NUMERIK
-
Upload
joseph-head -
Category
Documents
-
view
104 -
download
0
description
Transcript of METODE NUMERIK
PRESENTED byDRS. MARZUKI SILALAHI
METODE NUMERIK
Teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian, sehingga dapat diselesaikan melalui operasi aritmatika.
Tujuan :
Mencari solusi pendekatan (aproksimasi) dari masalah matematika tersebut.
Kenapa : karena solusi eksaknya sulit atau bahkan tidak dapat dicari.
Ide :
Iteration (repetition)
Aproksimasi dari sebuah fungsi rumit
dengan sebuah fungsilinier
Pengulangan pola tindakan atau proses
Pemecahan persaman : x = f(x)
Pemecahan persamaan bentuk : f(x) = 0Aproksimasi kurva dengan TANGENTnya pada titik (xo, f(xo))
Iterasi akan semakin KONVERGEN menuju solusi masalah yang bersangkutan.
Dapat mencari solusi praktis (aproksimasi) dari masalah yang sulit atau bahkan tidakdapat dicari solusi eksaknya
Mengandung kesalahanAda sejumlah besar iterasi.
Keuntungan
kerugian
Peranan komputer :Kesalahan dapat diperkecil dan sejumlah besar iterasi dapat diatasi
Menggunakan sistem binary digit (bit) sedangkan sehari-hari menggunakan sistem desimal
Kesalahan
1. Kesalahan absolut (mutlak)
eabs = x – x’=nilai sebenarnya-nilai pendekatan
2. Kesalahan relatif
ercl= eabs/x’
Harga sebenarnya dikurangi dengan harga pendekatan
Untuk bilangan yang mendekati 1, kesalahan relatif mendekati kesalahan Absolut
Untuk bilangan yang tidak mendekati 1, kesalahan relatif tidak mendekati kesalahan absolut
a.x = 0,00005 dengan pendekatan 0,00006kes.absolut = - 0,00001kes.relatif = - 1667
b. x = 1,0000 dengan pendekatan 1,0002kes.absolut = - 0,0002kes.relatif = - 0,0002
c. Mis: perhitungan menghasilkan : -3,60016<x<-3,60013 maka titik tengahnya = -3,600145sehingga x dapat dituliskan : x = -3,6001450,000015.Harga mutlak kesalahan absolut = 0,000015Harga mutlak kesalahan relatif = 0,000417%.
Contoh :
Jenis kesalahan :1. INHEREN (bawaan)
disebabkan : data yang diperoleh adalah
* data aproksimasi
* keterbatasan alat komputasi
* kalkulator atau komputer (akibat pembulatan karena jumlah digit terbatas)
* pengukuran yang tidak pasti akibat salah baca
* salah memasukkan data
* kurang mengerti hukum fisis
2. Pemotongan (truncation)
disebabkan : pemotongan proses matematis yang tidak berhingga atau karena tidak semua bit
digunakan
Pembulatan (rounding)Untuk membulatkan sampai ke n angka signifikan, perhatikan sampai dengan (n+1) angka signifikan.
Chopping
penghapusan digit setelah n angka signifikan
Gunakan aturan sebagai berikut :Untuk bilangan yang kurang dari 5, angka n tidak berubah.Untuk bilangan yang lebih dari 5, angka n bertambah satu satuan Untuk bilangan yang tepat = 5, angka ke n bertambah satu satuanBilangan hasil pembulatan tersebut disebut : teliti sampai n angka signifikan”
Contoh : = 3,141592654…pembulatan 4 desimalnya : 3,1416chopping sampai 4 desimal : 3,1415
Normalisasi :Proses penulisan bilangan dengan mengggunakan mantissa dan eksponen, dengan syarat digit terdepan mantissa (setelah tanda koma desimal) 0.
Contoh :0,0002354 ditulis : 0,2354.10-3 (4 desimal).
mantissa = 0,2354 ; eksponen = -3165,2 ditulis : 0,1652.103 (4 desimal).
mantissa = 0,1652 ; eksponen = 3
Penjumlahan Dua Bilangan riildalam komputer dilakukan dengan menyamakan eksponennya menurut pangkat yang terbesar
Contoh :x =165,2 ; y = 21,00, maka : x y = 0,1652.103 0,0210.103
= 0,1862.103.
Carilah kesalahan chopping dan rounding untuk : x = 0,7324.103 0,8261.10-1
Kesalahan relatif akibat Chopping = 0,1128.10-3
Kesalahan relatif akibat rounding = -0,2374.10-4.
Kesalahan akibat rounding lebih kecil daripada kesalahan akibat chopping
Prosedurnya:
Study kasus:F(x) = x4 – 9x3 – 2x2 120x – 130
untuk harga x = -10, -9, …,9,10Mencari harga x untuk polinomial sehingga nilainya nol.
Membagi dua interval (metode membagi dua interval) Mencari pendekatan akar Metode pendekatan beruntun Modifikasi metode pendekatan beruntun Metode Newton – raptoson Akar yang hampir sama besar dsb
Analisis kesalahan dalam hasil numerikdasar perhitungan yang baik
Karena : harga masukan jarang mempunyai nilai eksak (pasti). didasarkan pada percobaan atau taksiran & proses
numerik itu sendiri mempunyai berbagai macam kesalahan).Contoh :1. Pers: x2 0,4002x 0,00008 = 0
dengan menggunakan empat digit “floating point aritmatic” salah satu akarnya : x = -0,00015 (tanpa ketelitian)muncul kesalahan yang disebabkan oleh empat digit “floating point” aritmatic sebesar 25%.dengan dealapan digit = x = -0,0002
2. Deret Taylor : sinx = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + …hanya berlaku untuk sudut terbatas. Kesalahan pemendekan deret yang terjadi karena menghentikan penjumlahan.
Secara manual
Dengan komputer