60

5. INTERPOLASI DAN REGRESI

5. 1 Pendahuluan

Diberikan titik n + 1 buah titik yang berbeda, (x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn). Tentukan

polinom interpolasi pn(x) yang melewati semua titik tersebut sehingga,

yi = pn(xi) untuk i = 0, 1, 2, …, n (5. 1. 1)

selanjutnya dari interpolasi polinom tersebut diketahui pn(x), yang dapat digunakan untuk

menghitung perkiraan nilai y di titik x = a, yaitu y = pn(a). Dan jika titik itu terletak pada,

(i). x0 < a < xn maka yk = p(xk) disebut nilai interpolasi,

(ii). a < x0 atau a > xk maka yk = p(xk) disebut nilai ekstrapolasi.

5. 2 Interpolasi Langsung dalam Bentuk Linier

Interpolasi linier adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus.

Misalkan diberikan dua buah titik, (x0, y0) dan (x1, y1). Polinom yang menginterpolasi

kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk, (juga disebut orde ke satu)

(lihat gambar 5. 2a):

p1(x) = a0 + a1 x (5. 2. 1)

Untuk mendapatkan nilai koefisien a0 dan a1, disubtitusikan ke persamaan (5. 2.1) :

y0 = a0 + a1 x0

y1 = a0 + a1 x1

dengan proses eliminasi maka akan didapatkan :

1

0

1

0

y

y

x1

x1

01

0

01

0

yy

y

xx0

x1

dengan a1 =

01

01

xx

yy

dan a0 =

01

1001

xx

yxyx

dengan mensubtitusikan kembali kepersamaan (5. 2) maka,

p1(x) = 01

1001

xx

yxyx

+

01

01

xx

xyy

(5. 2. 2)

(x0, y0)

(x1, y1)

f1 (x)

x

y

r2 – r1

61

Gambar 5. 2a. Interpolasi Linier

atau dapat ditulis sebagai

p1(x) = y0 +

0

01

01 xxxx

yy

(5. 2. 3)

ini dapat dibuktikan dengan manipulasi aljabar berikut,

p1(x) = 01

1001

xx

yxyx

+

01

01

xx

xyy

= 01

01

xx

yx

+

01

01

xx

xyy

–

01

10

xx

yx

= 01

01

xx

yx

–

01

00

xx

yx

+

01

01

xx

xyy

–

01

10

xx

yx

+

01

00

xx

yx

=

01

001

xx

yxx

+

01

01

xx

xyy

–

01

001

xx

x)yy(

= y0 +

0

01

01 xxxx

yy

, terbukti

Cara lain untuk membuktikan rumusan di atas dengan metode perbandingan garis atau

segitiga – segitiga sebangun berikut :

Gambar 5. 2b. Metode grafik interpolasi linier

0

01

xx

)x(f)x(f

=

01

01

xx

)x(f)x(f

(5. 2. 4)

atau dapat disusun kembali sebagai,

f1(x) = f(x0) + )xx(xx

)x(f)x(f0

01

01

x0

Nilai

Sejat

i f(x)

= ln

x

f (x1)

x

f (x0)

x x1

f1(x)

f (x)

62

0 5 x 0

1

2

f(x)

f(x) = ln x

Taksiran

linier

Nilai Sejati

ln x

yang merupakan rumus interpolasi linier, sama seperti pada persamaan (5. 2. 3) dengan

pendekatan yang berbeda (metode grafik).

Contoh 5. 2. 5 :

Taksirlah logaritma asli dari 2 (ln 2) dengan menggunakan interpolasi linier.

Pertama lakukan perhitungan dengan menginterpolasi antara ln 1 = 0 dan

ln 6 = 1. 7917595. Kemudian, ulangi prosedurnya tetapi dengan menggunakan selang yang

lebih kecil mulai ln 1 sampai ln 4 (1, 3862944). Tunjukan bahwa nilai sejati dari ln 2

adalah 0. 69314718 (biasanya dengan kalkulator).

Penyelesaian,

Dengan menggunakan persamaan (5. 2. 3) maka interpolasi linier dari x0 = 1

sampai x1 = 6 adalah,

p1(x) = y0 +

0

01

01 xxxx

yy

p1(x=2) = 0 +

12

16

07917595.1

= 0. 358355190

Persen galatnya (ea) = 35835519.0

69314718.035835519.0 x 100% = 93.31%

Gambar. 5. 2c. Dua interpolasi linier untuk taksiran ln 2

Untuk selang yang lebih kecil dari x0 = 1 sampai x1 = 4 dihasilkan,

63

p1(x=2) = 0 +

12

14

03862944.1

= 0.46209813

dengan Persen galatnya (ea) = 69314718.0

46209813.069314718.0 = 33. 3%.

Jadi dengan penggunaan selang yang lebih kecil akan mengurangi persen galat relatif (ea).

dapat ditunjukkan dengan gambar 5. 2c.

Contoh 5. 2. 6 :

Diketahui kecepatan sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu berikut ini

(diadaptasi dari, http://numericalmethods.eng.usf.edu) :

Tabel 1. Kecepatan sebagai fungsi terhadap waktu

Waktu [detik] v(t) [m/detik]

0 0

10 227.04

15 362.78

20 517.35

22.5 602.97

30 901.67

0

250

500

750

1000

0 10 20 30 40

t [s]

v (t) [s]

Gambar 5. 2c. Data kecepatan Roket terhadap waktu

Tentukan nilai kecepatan pada waktu t = 16 detik, gunakan polinomial derajat

pertama (intepolasi linier).

Penyelesaian,

64

Untuk mengetahui kecepatan pada waktu t = 16 detik, dipilih dua titik data yang

terdekat atau yang mengurung titik tersebut. Dua titik itu adalah 15t0 and 20t1

,15t0 78.362)t(v 0

,20t1 35.517)t(v 1

sehingga dengan menggunakan rumus interpolasi linier berikut :

p1(x) = y0 +

0

01

01 xxxx

yy

atau dapat diadaptasikan dengan model berikut,

)tt(tt

)t(v)t(v)t(v)t(v 0

01

01

0

)15t(1520

78.36235.51778.362

)15t(913.3078.362)t(v

sehingga untuk ,16t

)1516(913.3078.362)16(v

7.393 m/detik.

5. 3 Interpolasi Langsung Bentuk Kuadratik

Galat yang cukup besar dari contoh 5. 2. 6, disebabkan oleh interpolasi yang

dihampiri dengan garis lurus. Cara untuk memperbaiki taksiran adalah menggunakan

interpolasi kuadratik, yaitu memperkenalkan suatu kelengkungan ke garis yang

menghubungkan titik – titik tersebut. Jika tersedia tiga titik data, dapat digunakan polinom

orde ke dua (juga disebut polinom kuadrat atau parabola) berikut :

p2(x) = a0 + a1 x + a2x2 (5. 3. 1)

Prosedur untuk menentukan nilai koefisiennya adalah menghubungkan ketiga titik (x0, y0),

(x1, y1) dan (x2, y2) dengan mensubtitusi ke persamaan (5. 3. 1) sehingga,

a0 + a1 x0 + a2x0 2 = y0

a0 + a1 x1 + a2x1 2 = y1 (5. 3. 2)

a0 + a1 x2 + a2x2 2 = y2

dengan metode eliminasi gauss dapat ditunjukkan nilai – nilai a0, a1 dan a2, seperti contoh

berikut ini,

Contoh 5. 3. 3 :

65

f(x)

0 5 x 0

1

2 f(x) = ln x

Taksiran

linier

Nilai Sejati ln

x

f2(x)

Taksirlah logaritma asli dari 2 (ln 2) dengan menggunakan interpolasi linier

(polinom derajat 2). Pertama lakukan perhitungan dengan menginterpolasi antara ln 1 = 0

dan ln 6 = 1. 7917595. Kemudian, ulangi prosedurnya tetapi dengan menggunakan selang

yang lebih kecil mulai ln 1 sampai ln 4 (1.3862944). Tunjukan bahwa nilai sejati dari ln 2

adalah 0. 69314718 (biasanya dengan kalkulator).

Penyelesaian,

Diketahui,

x0 = 1 f(x0) = 0

x1 = 4 f(x1) = 1. 3862944

x2 = 6 f(x2) = 1. 7917595,

sehingga dengan menyusun ke dalam bentuk persamaan ke (5. 3. 6), diperoleh yang dapat

diselesaikan dengan metode Gauss seperti berikut ini :

7917595.1

3862944.1

0

a

a

a

3661

1641

111

2

1

0

atau

7917595.1

3862944.1

0

3661

1641

111

7917595.1

3862944.1

0

3550

1530

111

518731165.0

462098133.0

0

1000

510

111

Gambar 5. 3a. Pendekatan interpolasi kuadratik untuk taksiran ln 2.

r2 – r1

r3 – r1

r2 /3

r3–5r2

66

(x0, y0)

(x1, y1) (x2, y2)

f2 (x)

x

y

maka a2 = 10

518731165.0 = –0.051873116 ,

a1 = 0.462098133 – 5(–0.051873116) = 0.721463713

dan a0 = 0.051873116 –0.721463713 = –0.669590597.

sehingga,

p2(x = x) = –0.669590597 + 0.721463713x – 0.051873116 x2

p2(x = 2) = –0.669590597 + 0.721463713(2) – 0.051873116(2)2 = 0.565844365.

dengan nilai galat mutlak adalah,

et = 100x69314718.0

56584436.069314718.0 = 18.36% (bandingkan dengan interpolasi

linier sebelumnya sebesar 33.3%). Jadi, dapat disimpulkan, bahwa pendekatan interpolasi

kuadratik lebih baik dari interpolasi linier.

Contoh 5. 3. 4:

Diketahui kecepatan sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu, seperti pada

Tabel 2 berikut :

Tabel 2. Kecepatan sebagai fungsi waktu

Waktu [detik] 0 10 15 20 22.5 30

v(t) [m/detik] 0.00 227.04 362.78 517.35 602.97 901.67

Tentukan kecepatan pada waktu t = 16 detik, gunakan metode langsung dengan

polinomial derajat dua (kuadratik).

Penyelesaian:

Untuk interpolasi polinom derajat dua, dimana rumus keceaptan dapat ditulis sebagai,

2

210 tataatv

67

Untuk mengetahui kecepatan pada waktu t = 16 detik, dipilih tiga titik terdekat

yang mengurung titik t = 16 yaitu t0 = 10, t1 = 15 dan t2 = 20.

04.227tv,10t oo

78.362tv,15t 11

35.517tv,20t 22

diberikan,

04.22710a10aa10v2

210

78.36215a15aa15v2

210

35.51720a20aa20v2

210

atau dapat ditulis dalam tiga persamaan, bentuk matriks berikut,

35.517

78.362

04.227

a

a

a

400201

225151

100101

2

1

0

dan penyelesaian dari tiga persamaan tersebut adalah :

001.12a0 , 740.17a1 dan 37637.0a2

sehingga,

20t10,t37637.0t740.17001.12tv2

pada t = 16,

21637637.016740.17001.1216v

ikdet/m19.392

Nilai galat mutlak (absolutnya), perbandingan antara polinomial galat derajat satu dengan

galat tingakat dua adalah,

10019.392

70.39319.392a

%38502.0

5. 4 Interpolasi Langsung Bentuk Kubik

Interpolasi ini, menghubungkan empat buah titik data, (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) dan

(x3, y3). Bentuk polinom interpolasi ini,

p2(x) = a0 + a1 x + a2x2 + a3x

3 (5. 4. 1)

68

(x0, y0)

(x1, y1)

(x2, y2)

(x3, y3)

f (x)

x

y

untuk menentukan nilai koefisiennya dengan mensubtitusi empat buah data tersebut

ke persamaan (5. 4. 1) sehingga,

a0 + a1 x0 + a2x0 2 + a3x0

3 = y0

a0 + a1 x1 + a2x1 2 + a3x1

3 = y1 (5. 4. 2)

a0 + a1 x2 + a2x2 2 + a3x2

3 = y2

a0 + a1 x3 + a2x3 2 + a3x3

3 = y3

dengan metode eliminasi gauss dapat ditunjukkan nilai – nilai a0, a1, a2, dan a3 seperti

contoh berikut ini,

Contoh 5. 4. 3

Diketahui kecepatan sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu, seperti pada

Tabel 3 berikut :

Tabel 3. Kecepatan sebagai fungsi waktu

Waktu [detik] 0 10 15 20 22.5 30

v(t) [m/detik] 0.00 227.04 362.78 517.35 602.97 901.67

a) Tentukan nilai kecepatan pada waktu t = 16 detik gunakan metode langsung dan

interpolasi polinomial derajat tiga. Carilah nilai pendekatan galat mutlak polinomial

derajat interpolasi ketiga tersebut.

b) Gunakan interpolasi polinomial derajat tiga dari kecepatan roket pada bagian (a).

Carilah jarak yang ditempuh roket pada waktu t = 11 sampai t = 16 detik.

c) Gunakan interpolasi polinomial derajat tiga dari kecepatan roket pada bagian (a),

untuk mencari percepatan roket pada t = 16 detik.

Penyelesaian

69

a) Untuk mencari polinomial derajat tiga (disebut juga dengan interpolasi Kubik), maka

rumus kecepatan diberikan sebagai

3

3

2

210 tatataatv

Selanjutnya akan dicari kecepatan pada waktu t = 16 detik, dengan menggunakan

polinomial derajat tiga, akan digunakan empat titik yang mengurung titik tersebut.

Keempat titik itu adalah t0 = 10, t1 = 15, t2 = 20 dan t3 = 22.5.

04.227tv,10t oo

78.362tv,15t 11

35.517tv,20t 22

97.602tv,5.22t 33

sehingga,

3

3

2

210 10a10a10aa04.22710v

3

3

2

210 15a15a15aa78.36215v

3

3

2

210 20a20a20aa35.51720v

3

3

2

210 5.22a5.22a5.22aa97.6025.22v

Dapat ditulis dalam bentuk empat persamaan matriks berikut,

97.602

35.517

78.362

04.227

a

a

a

a

1139125.5065.221

8000400201

3375225151

1000100101

3

2

1

0

Dan penyelesaian empat persamaan itu adalah :

3810.4a0

289.21a1

13065.0a2

0054606.0a3

Sehingga,

3

3

2

210 tatataatv

5.22t10,t0054606.0t13064.0t289.213810.432

32160054606.01613064.016289.213810.416v

70

ikdet/m06.392

Persentase nilai galat mutlak, a untuk nilai v(16) antara polinomial derajat dua dan

ketiga adalah,

10006.392

19.39206.392a

%033427.0

b) Jarak (s) yang ditempuh roket itu antara t = 11 detik dan t = 16 detik dapat dihitung

dengan menggunakan interpolasi polinomial,

20t10,t0054606.0t13064.0t289.213810.4tv32

Catatan, polinomial ini berada diantara t = 10 dan t = 20, dapat didekati dengan

integral limit dari t = 11 dan t = 16.

Jadi

16

11

dttv11s16s

dtt0054606.0t13065.0t289.213810.4

16

11

32

=

16

11

432

4

t0054606.0

3

t13065.0

2

t289.21t3810.4

m 1605

c) Percepatan (a) pada waktu t = 16 diberikan oleh,

16t

tvdt

d16a

Diketahui,

5.22t10,t0054606.0t13065.0t289.213810.4tv32 ,

Sehingga,

32t0054606.0t13064.0t289.213810.4

dt

dtv

dt

dta

5.22t10,t016382.0t26130.0289.212

216016382.01626130.0289.2116a 2

s/m664.29

71

5. 5 Interpolasi Langsung Bentuk Polinom Derajat n

Untuk kasus derajat yang lebih tinggi dapat di tulis interpolasi polinomnya sebagai

berikut :

a0 + a1 x0 + a2x0 2 + … + anx0

n = y0

a0 + a1 x1 + a2x1 2 + … + anx1

n = y1

a0 + a1 x2 + a2x2 2 + … + anx2

n = y2 (5. 5. 1)

… …

a0 + a1 xn + a2xn 2 + … + anxn

n = yn

Dengan Cara yang sama dapat dicari nilai konstanta dari a0, a1, a2, …, an

menggunakan eliminasi gauss yang sudah diketahui sebelumnya.

n

n

2

nn

n

2

2

22

n

1

2

11

n

0

2

00

x...xx1

...............

x...xx1

x...xx1

x...xx1

n

2

1

0

a

...

a

a

a

=

n

2

1

0

y

...

y

y

y

(5. 5. 2)

Secara umum, penentuan polinom interpolasi dengan cara seperti yang diuraikan

seperti di atas kurang disukai, karena sistem persamaan linier, kemungkinan berkondisi

buruk, terutama pada polinom derajat tinggi.