M2 lp- met grafik

Srikandi Kumadji

DOSEN FIA UB

Sebuah industri XYZ berkecimpung dalam proses produksi dua macam produk, yaitu produk A dan B. Kedua produk tesebut dapat dijual masing-masing dengan harga Rp 3000,00 per unit. Dalam proses produksinya diperlukan tiga macam departemen, yaitu Departemen P yang memiliki 3 unit mesin tipe P, Departemen Q memiliki 6 unit mesin tipe Q dan Departemen R memiliki 9 unit mesin tipe R. Lama waktu pemakaian mesin mesin tersebut berbeda untuk setiap produk.Produk A memerlukan waktu 2 jam untuk proses produksinya pada mesin tipe P, kemudian 2 jam pada mesin tipe Q dan 4 jam pada mesin tipe R. Sedangkan untuk produk B memerlukan waktu 1 jam pada mesin tipe P, kemudian 3 jam pada mesin tipe Q dan 3 jam pada mesin tipe R.

PERSOALAN MAKSIMASI . CONTOH : PERUSAHAAN XYZ

Lamanya waktu mesin-mesin tersebut berope-rasipun sangat terbatas, yaitu mesin tipe P beroperasi selama 10 jam per hari per mesin, kemudian mesin tipe Q dapat beroperaasi 10 jam per hari per mesin dan mesin tipe R beroperaasi selama 8 jam per hari per mesin.

Pertanyaan: 1. Rumuskan persoalan tsb. dalam model program linier (formula matematika)2.Gambarlah persoalan LP tersebut dan3. Hitunglah berapa produk A dan B harus dijual sehingga penerimaannya maksimal

Definisi : Produk A = X1

Produk B = X2

METODE GRAFIK

PERSOALAN MAKSIMASI . CONTOH : PERUSAHAAN XYZ ....lanjt

SdSd XX11 XX22 Kap.Kap.

PP 22 11 << 30 30

QQ 22 33 << 60 60

RR 44 33 << 72 72

HargaHarga 30003000 30003000

Dari contoh persoalan LP tsb, dapat diringkas pada tabel berikut :

Kemudian dengan lebih mudah dapat disusun formulasi matematisnya :

Max. TR = 3000 X1 + 3000 X2

Stc. P : 2 X1 + X2 < 30

Q : 2 X1 + 3 X2 < 60

R : 4 X1 + 3 X2 < 72

X1 , X2 > 0

Metode Grafik / Maksimasi

Max. TR = 3000 X1 + 3000 X2

Stc. P : 2 X1 + X2 < 30

Q : 2 X1 + 3 X2 < 60

R : 4 X1 + 3 X2 < 72

X1 , X2 > 0

R : 4 X1 + 3 X

2 < 72

Q : 2 X1 + 3 X

2 < 60

GAMBAR FUNGSI KENDALA

2 X1 + X

2 < 30

•

•P : 2 X1 + X2 < 30

Jika A = 0 , maka X2 = 30

Jika X2 = 0 , maka A = 15


•

•

•

••

TR = 3000 X1 + 3000 X2 X2 = TR/3000 - A0 = 3000(0) + 3000(0)

45000 = 3000(15) + 3000(0)60000 = 3000(0) + 3000(20)63000 = 3000(9) + 3000(12)

> 66000 = IMPOSIBLE66000 = 3000(6) + 3000(16)

FISIBLE AREA dan ISO REVENUE

Solusi : Produk X1 = 6 unit

Produk X2 = 16 unit TR = $ 66000

Evaluasi Sumberdaya :P : 2(6) + 1(16) = 28 jam sisa 2 jamQ : 2(6) + 3(16) = 60 jam persisR : 4(6) + 3(16) = 72 jam persis

B

A


P

Q

R

KEPUTUSAN BERALTERNATIFKEPUTUSAN BERALTERNATIF

A •

B •

C •

D •

1) Antara titik A dan B

2) Antara titik B dan C

3) Antara titik C dan D


Variabel SlackVariabel Slack

Ingat bahwa solusi terjadi pada titik ekstrim, di mana garis persamaan kendala berpotongan satu sama yang lain atau berpotongan dengan sumbu pada grafk. Jadi dalam hal ini, kendala-kendala tsb. lebih dipertimbangkan sebagai persamaan daripada pertidaksamaan.

Prosedur baku untuk merubah pertidaksamaan kendala menjadi persamaan, adalah dengan menambah sebuah variabel baru ke dalam masing-masing kendala, yang disebut sebagai variabel slack. -


Variabel SlackVariabel Slack

Untuk contoh perusahaan XYZ di muka, model kendala adalah :P : 2 X1 + X2 < 30Q : 2 X1 + 3 X2 < 60R : 4 X1 + 3 X2 < 72

Penambahan sebuah variabel slack, S1 pada kendala P, S2 pada kendala Q dan S3 pada kendala R hasilnya dapat dilihat sbb. :

P : 2 X1 + X2 + S1 = 30Q : 2 X1 + 3 X2 + S2 = 60R : 4 X1 + 3 X2 + S3 = 72

Metode Grafik / Maksimasi lanjt

Variabel slack S1, S2 dan S3 merupakan nilai yang diperlukan untuk membuat sisi sebelah kiri persamaan menjadi sama dengan sisi sebelah kanan.

Misalnya secara hipotetis, X1 = 9 dan X2 = 10. Masukkan kedua nilai itu kedalam persamaan :

P : 2(9) + 10 + S1 = 30 S1 = 2 Q : 2(9) + 3(10) + S2 = 60 S2 = 12 R : 4(9) + 3(10) + S3 = 72 S3 = 6

Metode Grafik / Maksimasi …lanjt

Dalam contoh di atas, menghasilkan solusi yang tidak menghabiskan jumlah sumberdaya. Pada kendala P hanya menggunakan 28 jam, berarti sisa 2 jam yang tidak digunakan. Jadi S1 merupakan jumlah waktu yang tidak digunakan pada

sumberdaya P atau disebut slack P. Demikian juga pada kendala Q dan R masing-masing mempunyai slack Q dan slack R sebagai sisa 12 jam dan 6 jam yang tidak digunakan.

Jika perusahaan belum melakukan kegiatan produksi, maka seluruh kapasitas sumberdaya masih utuh, sehingga slacknya masing-masing sebesar 30, 60 dan 72 jam

Metode Grafik / Maksimasi… lanjt

Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan dari contoh adalah : TR = 3000 X1 + 3000 X2. Koefisien 3000 dan 3000, masing-masing merupakan kontribusi TR setiap X1 dan X2. Lalu, apa wujud kontribusi variabel slack S1 dan S2 ?. Variabel slack tidak mempunyai kontribusi apapun terhadap TR sebab variabel slack merupakan sumberdaya yg tidak digunakan. TR dicapai hanya setelah sumberdaya digunakan dlm proses produksi. Dengan demikian variabel slack dalam fungsi tujuan dapat ditululis :

TR = 3000 X1 + 3000 X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3


Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan

Seperti halnya pada variabel keputusan (X1 dan X2), variabel slack berni-lai non-negative, sebab tidak mungkin sumber-daya itu negatif. Oleh karenanya, model formulasinya :

X1, X2 , S1, S2 dan S3 > 0Dengan adanya varibel slack, model LP baku secara lengkap dapat ditulis sbb.:

Maksimumkan: TR = 3000 X1 + 3000 X2 + 0S1 + 0S2 +0S3 Kendala : 2 X1 + X2 + S1 < 30 2 X1 + 3 X2 + S2 < 60 4 X1 + 3 X2 + S3 < 72 X1, X2 , S1, S2 dan S3 > 0


• w

•X

•Y

Z •

Max. TR = 3000 X1 + 3000 X2 Kendala : 2 X1 + X2 + S1 < 30 2 X1 + 3 X2 + S2 < 60 4 X1 + 3 X2 + S3 < 72

X1, X2 , S1, S2 dan S3 > 0

X1 = 0X2 = 20TR = 60000S1 = 10S2 = 0S3 = 12

X1 = 6X2 = 16TR = 66000S1 = 2S2 = 0S3 = 0

X1 = 9X2 = 12TR = 63000S1 = 0S2 = 6S3 = 0

X1 = 15X2 = 0TR = 45000S1 = 0S2 = 30S3 = 12


Contoh : Perusahaan RContoh : Perusahaan Raadiodio

Perusahaan RPerusahaan Raadio memproduksi 2 macam bahan pelarut dio memproduksi 2 macam bahan pelarut (A dan B). Untuk me(A dan B). Untuk memmproduksi kedua bahan tersebut produksi kedua bahan tersebut memerlukan semberdaya Minyak Tanah paling tidak memerlukan semberdaya Minyak Tanah paling tidak memerlukan 24 liter, Damar minimal 20 liter dan dan memerlukan 24 liter, Damar minimal 20 liter dan dan Spiritus paling sedikit diperlukan 24 liter. Kebutuhan Spiritus paling sedikit diperlukan 24 liter. Kebutuhan minyak tanah untuk setiap unit bahan pelarut A diperlukan minyak tanah untuk setiap unit bahan pelarut A diperlukan 8 liter dan bahan pelarut B diperlukan 6 liter, kebutuhan 8 liter dan bahan pelarut B diperlukan 6 liter, kebutuhan Damar untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 10 liter Damar untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 10 liter dan bahan pelarut B sebanyak 4 liter, dan kebutuhan dan bahan pelarut B sebanyak 4 liter, dan kebutuhan Spiritus untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 6 Spiritus untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 6 liter dan bahan pelarut B sebanyak 12 liter. liter dan bahan pelarut B sebanyak 12 liter.

Metode Grafik / MinimasiKASUS MINIMASI

Contoh : Perusahaan RContoh : Perusahaan Raadiodio (lanjt)(lanjt)

Kalau biaya produksi per unit bahan pelarut A dan B Kalau biaya produksi per unit bahan pelarut A dan B masing sebesar Rp 80 dan Rp 100masing sebesar Rp 80 dan Rp 100>>Pertanyaan:Pertanyaan:BBerapa bahan pelarut A dan B harus diproduksi agar erapa bahan pelarut A dan B harus diproduksi agar biaya produksi minimalbiaya produksi minimal??

Selesaikan persoalan ini dengan gambar, evaluasi pula Selesaikan persoalan ini dengan gambar, evaluasi pula penggunaan bahan bakunya. penggunaan bahan bakunya.

Metode Grafik / MinimasiKASUS MINIMASI

GAMBAR FUNGSI KENDALA

Min. TC = 80A + 100BStc. MT : 8A + 6B > 24 D : 10A + 4B > 20 S : 6A + 12B > 24 A , B > 0

MT : 8A + 6B > 24 B > 4 – 4/3 A

D : 10A + 4B > 20 B > 5 - 2,5 A S : 6A + 12B > 24

B > 2 - 0,5 A

A

B

B

A

B

A

Metode Grafik / Minimasi

FISIBLE AREA dan ISO COSTFISIBLE AREA dan ISO COST

( 2, 4 ; 0,8 ) •

Solusi Optimal :B.Pelarut A = 2,4 unitB.Pelarut B = 0,8 unitTC min = 80 (2,4) + 100(0,8) = Rp 272

Penggunaan Sumberdaya :MT = 8(2,4) + 6(0,8) = 24 Lt. persisD = 10(2,4) + 4(0,8) = 27,2 Lt. > 20S = 6(2,4) + 12(0,8) = 24 Lt. persis

Metode Grafik / Minimasi

CONTOH : USAHA KATERING (RANGSUM)

Kasus Primal sebuah usaha kesehatan dalam rangka membuat susunan rangsum dari berbagai bahan makanan dengan biaya murah adalah sbb. :

Minimumkan : Z = 150X1 + 100X2 + 350X3 + 250X4 + 320X5

Kendala : Protein : 8,3 X1 + 246 X2 + 17,2 X3 + 5,2 X4 + 2,01 X5 > 70 Karbohidrat : 5 X1 + 26 X2 + 595 X3 + 3,1 X4 + 4 X5 > 3000 Lemak : 0,4 X1 + 793 X2 + 14,8 X3 + 0,6 X4 + 0,16 X5 > 800 Vitamin : 6 X1 + 93 X2 + 61,6 X3 + 6,8 X4 + 2,05 X5 > 40 Zat Besi : 24,9 X1 + 243 X2 + 810 X3 + 16,4 X4 + 0,57 X5 > 12

Dimana : X1 = Nasi X4 = BuahX2 = Sayur X5 = SusuX3 = Lauk pauk

Buatlah model Dual persoalan di atas, dan selesaikan !

JAWAB :

Maksimumkan : Z’ = 70Y1 + 3000Y2 + 800Y3 + 40Y4 + 12Y5

Kendala :

X1 : 8,3 Y1 + 5,0 Y2 + 0,4 Y3 + 6,0 Y4 + 24,9 Y5 < 150

X2 : 246 Y1 + 26 Y2 + 793 Y3 + 93 Y4 + 243 Y5 < 100

X3 : 17,2 Y1 + 595 Y2 + 14,8 Y3 + 61,6 Y4 + 810 Y5 < 350

X4 : 5,2 Y1 + 3,1 Y2 + 0,6 Y3 + 6,8 Y4 + 16,4 Y5 < 250

X5 : 2,01 Y1 + 4 Y2 + 0,16 Y3 + 2,05 Y4 + 0,57 Y5 < 320

Y1 , Y2, Y3, Y4 , Y5 > 0

Cj Basic Variable

Quantity 70 Y1

3000 Y2

800 Y3

40 Y4

12 Y5

0 slack 1

0 slack 2

0 slack 3

0 slack 4

0 slack 5

Langka 1 0 slack 1 150 8.3 5 0.4 6 24.9 1 0 0 0 0 0 slack 2 100 246 26 793 93 243 0 1 0 0 0 0 slack 3 350 17.2 595 14.8 61.6 810 0 0 1 0 0 0 slack 4 250 5.2 3.1 0.6 6.8 16.4 0 0 0 1 0 0 slack 5 320 2.01 4 0.16 2.05 0.57 0 0 0 0 1 zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cj-zj 70 3,000 800 40 12 0 0 0 0 0

Langkah 2 0 slack 1 147.0588 8.1555 0 0.2756 5.4824 18.0933 1 0 -0.0084 0 0 0 slack 2 84.7059 245.2484 0 792.3533 90.3082 207.605 0 1 -0.0437 0 0

3,000 Y2 0.5882 0.0289 1 0.0249 0.1035 1.3613 0 0 0.0017 0 0 0 slack 4 248.1765 5.1104 0 0.5229 6.4791 12.1798 0 0 -0.0052 1 0 0 slack 5 317.6471 1.8944 0 0.0605 1.6359 -4.8754 0 0 -0.0067 0 1 zj 1,764.71 86.7227 3,000 74.6218 310.5882 4,084.03 0 0 5.042 0 0 cj-zj -16.7227 0 725.3782 -270.588 -4,072.03 0 0 -5.042 0 0

Langkah3 0 slack 1 147.0294 8.0701 0 0 5.4509 18.0211 1 -0.0003 -0.0084 0 0

800 Y3 0.1069 0.3095 0 1 0.114 0.262 0 0.0013 -0.0001 0 0 3,000 Y2 0.5856 0.0212 1 0 0.1007 1.3548 0 0 0.0017 0 0

0 slack 4 248.1206 4.9485 0 0 6.4195 12.0428 0 -0.0007 -0.0052 1 0 0 slack 5 317.6406 1.8756 0 0 1.629 -4.8912 0 -0.0001 -0.0067 0 1 zj 1,842.25 311.241 3,000 800 393.263 4,274.09 0 0.9155 5.002 0 0 cj-zj -241.241 0 0 -353.263 -4,262.09 0 -0.9155 -5.002 0 0

SOLUSI

Soal N0. 8Perusahaan mebel Jati Indah memproduksi meja dan kursi dari sumberdaya tenaga kerja dan kayu. Perusahaan memiliki kapasitas terbatas untuk tenaga kerja 80 jam perhari dan 36 Kg kayu perhari. Permintaan atau penjualan kursi terbatas 6 kursi per hari. Untuk memproduksi satu unit kursi memerlukan 8 jam tenaga kerja dan 2 Kg kayu, sedang setiap satu meja memerlukan 10 jam tenaga kerja dan 6 Kg kayu. Laba yang diperoleh untuk setiap meja sebesar Rp 40.000 dan untuk setiap kursi sebesar Rp 50.000. Perusahaan ingin menetapkan jumlah meja dan kursi yang harus dijual agar memperoleh laba maksimum.a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini.b. Selesaikan persoalan ini dengan analisis grafik.

MM KK KapKap

MaximizeMaximize 4000040000 5000050000

LaborLabor 1010 88 <=<= 8080

KayuKayu 66 22 <=<= 3636

DemandDemand 00 11 <=<= 66

Solution->Solution-> 3.23.2 66 428.000428.000

SOAL N0. 8

Soal N0.12 Perusahaan Kimia Farma memproduksi sebuah obat dengan ramuan dua bahan. Setiap bahan berisi tiga antibiotik yang sama tapi berbeda dalam proporsinya. Satu gram bahan 1 menyumbangkan 3 unit dan bahan 2 menyumbangkan1 unit antibiotik 1; obat membutuhkan 6 unit. Sedikitnya 4 unit antibiotik 2 dibutuhkan, dan per gram bahan masing-masing menyumbang 1 unit. Paling sedikit 12 unit antibiotik 3 diperlukan; satu gram bahan 1 menyumbang 2 unit, dan satu gram bahan 2 menyumbang 6 unit. Biaya per gram bahan 1 dan bahan 2 masing-masing Rp 80.000 dan Rp 50.000. Kimia Farma ingin memformulasikan model LP untuk menetapkan jumlah (gram) ma-sing-masing bahan yang harus digunakan dalam pembuatan obat agar biaya campuran antibiotik itu serendah mungkin.a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini.b. Selesaikan persoalan ini dengan menggunakan analisis grafik.

Soal N0.12Bahan 1Bahan 1 Bahan 2Bahan 2 KaPKaP

MinimizeMinimize 8000080000 5000050000

Antibiotik 1Antibiotik 1 33 11 >=>= 66



KASUS UCP

SDSD X1X1 X2X2 Kap.Kap. Sur.Sur.

KlaimKlaim 1616 1212 >> 450 450 3030

RusaRusakk

0,50,5 1,41,4 >> 25 25 3131

KompKomptt

11 11 << 40 40 00

CC 6400640000

4200420000

SolusSolusii

00 4040 TC = 168000TC = 168000

KASUS Giman Piza

SDSD PIPI PSPS KapKap SlackSlack

DMDM 11 11 << 150150

17,517,5

TMTM 44 88 << 800800

00

Sales Sales PIPI

11 << 75 75 00

Sales Sales PIPI

11 << 125125

62,562,5

LabaLaba 500500 750750

SolusiSolusi 7575 62,562,5 8437843755

KASUS Toko Perhiasan

SdSd KK GG KapKap SlackSlack

EmasEmas 3030 2020 1818

PlatinPlatinaa

2020 4040 2020

DGDG 11 4040

LabaLaba 300003000000

400004000000

SolusiSolusi 0,40,4 0,30,3 L=240000L=240000

KASUS Obat

SdSd B1B1 B2B2 KapKap SurSur

A1A1 33 11 >> 6 6 00

A2A2 11 11 >> 4 4 00

A3A3 22 66 >> 12 12 88

TCTC 8000800000

5000500000

SolusSolusii

11 33 TC=230000TC=230000

KASUS Usaha Ternak

Min. TC = 60A + 100KStc. Pr : 20 A + 40 K > 30 Lm : 2 A + 0,5 K > 1 Prod. : 1 A + 1 K < 1

A, K ,> 0

SdSd AA KK kapkap SlacSlackk

PrPr 2020 4040 >> 30 30 00

LmLm 22 0,50,5 >> 1 1 00

ProdProd 11 11 << 1 1 0,070,07

SoluSolusisi

0,360,36 0,570,57

TCTC 21,421,433

57,157,144

78,578,577

78,57178,5714343

78,57178,5714343

78,57178,5714343

KASUS Della & Pandu

Mak. L = 2C + 2TStc. K : 8 C + 6 T < 120 Tom : 3 C + 6 T < 90 B : 3 C + 2 T < 45 Prod : 1 C + 1 T < 24

C, T > 0

SdSd CC TT kapkap SlacSlackk

KK 88 66 << 120 120 00

TomTom 33 66 << 90 90 00

BB 33 22 << 45 45 33

ProdProd 11 11 << 24 24 66

SoluSolusisi

66 1212

LabaLaba 1212 2424 3636

78,57178,5714343

78,57178,5714343

78,57178,5714343

KASUS Untitled

Mak. L = 3 X + 2 YStc. A : 3 X + 2 Y < 120 F : 1 X + 2 Y < 80 Pro X : 1 X + 0 Y > 10 Pro Y : 0 X + 1 Y > 10

X, Y > 0

SdSd XX YY kapkap SS

AA 33 22 << 120 120 00

FF 11 22 << 80 80 26,626,677

Pro Pro XX

11 -- >> 10 10 13,313,333

Pro YPro Y -- 11 >> 10 10 00

SoluSolusisi

33,333,333

1010

LabaLaba 100100 2020 120120

M2 lp- met grafik

Education

Transcript of M2 lp- met grafik