Met num s1

download Met num s1

If you can't read please download the document

  • date post

    23-Jan-2015
  • Category

    Automotive

  • view

    107
  • download

    12

Embed Size (px)

description

 

Transcript of Met num s1

  • 1. Metode Numerik

2. Apa yang akan dibahas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.Pendahuluan dan motivasi Analisis Kesalahan Persamaan Tidak Linier Persamaan Linier Simultan Interpolasi Integrasi Numerik Solusi Persamaan Differensial BiasaMetode Numerik2 3. Daftar Pustaka Chapra, S. C. and Canale, R. P. (1991): Metode Numerik untuk Teknik. Penerbit Universitas Indonesia, Jakarta. Hanselman, D. and Littlefield, B. (1997): Matlab Bahasa Komputasi Teknis. Penerbit Andi, Yogyakarta. Scheid, F. (1983), Numerical Analysis, McGrawHill International Editions, Singapore. Conte, S. D. and de Boor, C. (1993), Dasar-Dasar Analisis Numerik, Penerbit Erlangga, Jakarta. Metode Numerik3 4. Pendahuluan Metode Numerik: Teknik menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan. Pada umumnya mencakup sejumlah besar kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan menjenuhkan Karena itu diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakannyaMetode Numerik4 5. Motivasi Kenapa diperlukan? Pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika Persamaan ini sulit diselesaikan dengan tangan analitis sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerikMetode Numerik5 6. Penyelesaian persoalan numerik Identifikasi masalah Memodelkan masalah ini secara matematis Identifikasi metode numerik yang diperlukan untuk menyelesaikannya Implementasi metode ini dalam komputer Analisis hasil akhir: implementasi, metode, model dan masalahMetode Numerik6 7. Persoalan analisis numerik Eksistensi (ada tidaknya solusi) Keunikan (uniqueness) Keadaan tidak sehat (ill-conditioning) instabilitas (instability) Kesalahan (error)Contoh: Persamaan kuadrat Persamaan linier simultan Metode Numerik7 8. Angka Signifikan 7,6728 7,67 15,506 15,51 7,3600 7,4 4,27002 4,3Metode Numerik3 angka signifikan 4 angka signifikan 2 angka signifikan 2 angka signifikan8 9. Sumber Kesalahan Kesalahan pemodelan contoh: penggunaan hukum Newton asumsi benda adalah partikel Kesalahan bawaan contoh: kekeliruan dlm menyalin data salah membaca skala Ketidaktepatan data Kesalahan pemotongan (truncation error) Kesalahan pembulatan (round-off error) Metode Numerik9 10. Kesalahan pemotongan (i) Kesalahan yang dihasilkan dari penggunaan suatu aproksimasi pengganti prosedur matematika yang eksak Contoh: approksimasi dengan deret Taylor x x 2 x n f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ( xi ) + f ( xi ) + + f n ( xi ) + Rn 1! 2! n!x = xi +1 xi Kesalahan: Metode Numerikf ( n +1) ( ) ( n +1) Rn = x (n + 1)! 10 11. Kesalahan pemotongan (ii) Aproksimasi orde ke nol (zero-order appr.) f ( xi +1 ) f ( xi ) Aproksimasi orde ke satu (first-order appr.) f ( xi +1 ) f ( xi ) + f ( xi )x 1! Aproksimasi orde ke dua (second-order appr.) x 2 x f ( xi + ) = f ( xi ) + f xi ) ( + f ( xi ) 1 1 ! 2!Metode Numerik11 12. Motivasi Dari Persamaan Non Linear Dalam desain tikungan jalan lingkar, terdapat rumusan berikut: R=R2 R +T 22+MR = jari-jari kurva jalan T = jarak tangensial = 273.935 m M = ordinat tengah = 73.773 mMetode Numerik12 13. Motivasi Dari Persamaan Non Linear (ii) Dari suatu perhitungan tentang kebutuhan akan produksi optimal suatu komponen struktur didapat persamaan biaya yang dibutuhkan untuk pengadaaan produksi dalam satu hari sebagai berikut: C = 13000 N 1 + 158.11 N 0.5 + N + 0.0025 N 2dengan C = biaya per hari N = jumlah komponen yang diproduksi Metode Numerik13 14. Solusi Persamaan Non Linear (i) 1) Metode Akolade (bracketing method) Contoh: Metode Biseksi (Bisection Method) Metode Regula Falsi (False Position Method) Keuntungan: selalu konvergen Kerugian: relatif lambat konvergen Metode Numerik14 15. Solusi Persamaan Non Linear (ii) 2) Metode Terbuka Contoh: Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration) Metode Newton-Raphson Metode Secant Keuntungan: cepat konvergen Kerugian: tidak selalu konvergen (bisa divergen) Metode Numerik15 16. Metode Bagi Dua (i) Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval [ a0 ,b0 ] f (a0 ) f (b0 ) < 0do n = 0,1, m = (an + bn ) / 2an +1 = an , bn +1 = mif f (a n ) f (m) < 0, then else an +1 = m, bn +1 = bn if bn +1 an +1 or end do Metode Numerikf ( m) = 0exit 16 17. Metode Biseksi (ii)Metode Numerik17 18. Regula Falsi (i) Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval [ a0 ,b0 ] f (a0 ) f (b0 ) < 0do n = 0,1, w = [ f (bn )an f (an )bn ] /[ f (bn ) f (an )]an +1 = an , bn +1 = wif f (an ) f ( w) < 0, then else an +1 = w, bn +1 = bn ifbn +1 an +1 orf ( w) = 0exitend do Metode Numerik18 19. Regula Falsi (i)Metode Numerik19 20. Regula Falsi Termodifikasi (i) Inisialisasi: F = f (a0 ) do n = 0,1,G = f (b0 ) w0 = a0wn +1 = [Gan Fbn ] /[G F ]if f (an ) f ( wn +1 ) 0, then an +1 = an , bn +1 = wn +1 , ifG = f ( wn +1 )f ( wn ) f ( wn +1 ) > 0, then F = F / 2else an +1 = wn +1 , bn +1 = bn , F = f ( wn+1 ) if f ( wn ) f ( wn +1 ) > 0, then F = F / 2 exit if bn +1 an +1 end do Metode Numerik20 21. Regula Falsi Termodifikasi (ii)Metode Numerik21 22. Iterasi Titik TetapMetode Numerik22 23. Metode Newton-RaphsonMetode Numerik23 24. Metode SecantMetode Numerik24 25. Akar Ganda (i) y = ( x 1) 2Metode Numeriky = ( x 1)325 26. Akar Ganda (ii)y = ( x 1) 4Metode Numerik26 27. Akar Ganda (iii) Metode akolade tak bisa digunakan, krn fungsi tak berubah tanda f (x) danf (x)menuju nol disekitar akarModifikasi metode Newton-Raphson: Bentuk alternatif: Hasil akhir: Metode Numerikf ( x) u ( x) = f ( x)f ( xi ) f ( xi ) xi +1 = xi [ f ( xi )]2 f ( xi ) f ( xi ) 27 28. Motivasi Persamaan Linier Persamaan linier simultan sering muncul dalam sains dan teknik (sekitar 75 %): Analisis struktur Analisis jaringan Interpolasi Riset Operasi Teknik Transportasi Manajemen Konstruksi Penyelesaian numeris persamaan diferensial biasa Penyelesaian numeris persamaan diferensial parsial Metode Numerik28 29. Persamaan Linier Simultan a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a 22 x2 + + a2 n xn = b2 an1 x1 + a n 2 x2 + + ann xn = bn dalam notasi matriks a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 an 2 ann an1 A Metode Numerik x1 b1 x b 2 = 2 xn bn xb29 30. Pandangan Secara Geometri Secara geometri, solusi persamaan linier simultan merupakan potongan dari hyperplane 2 persamaan dan 2 variabel tidak diketahui Hyperplane: garis Potongan hyperplane: titik potong 3 persamaan dan 3 variabel tidak diketahui Hyperplane: bidang Potongan hyperplane: garis potongMetode Numerik30 31. Matriks Bujursangkar (i) a) Matriks Simetris aij = a ji b) Matriks Diagonal aii 0,aij = 0untuk i jc) Matriks Identitas aii = 1,aij = 0untuk i j 0 untuk i j d) Matriks segitiga atas aij = 0 untuk i > j 0 untuk i j e) Matriks segitiga bawah aij = 0 untuk i < j Metode Numerik31 32. Matriks Bujursangkar (ii) f) Matriks pita Lebar pita 3 tridiagonal matriks 0 untuk i j 1 aij selainnya = 0 Lebar pita 5 tridiagonal matriks 0 untuk i j 2 aij selainnya = 0 Metode Numerik32 33. Matriks Segitiga Ide dasar: Transformasi persamaan linier asal menjadi persamaan linier berbentuk segitiga sehingga mudah diselesaikan u11x1 +u12 x 2 + + u1nxn = c1 u 22 x2 + + u2nxn = c2 unnxn = cnDalam notasi matriks Ux = c Metode Numerik33 34. Syarat Regularitas Sebuah matriks bujursangkar A yang mempunyai dimensi n x n dikatakan tidak singular jika salah satu syarat di bawah ini terpenuhi: A dapat diinversikan Semua nilai eigen dari matriks A tidak sama dengan nol det (A) 0Metode Numerik34 35. Eliminasi GauMetode Numerik35 36. Substitusi BalikMetode Numerik36 37. Contoh Persamaan LinierMetode Numerik37 38. Interpolasi Tujuan: Mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui nilainya Metode Interpolasi yg paling populer: Interpolasi Polinom Polinom berbentuk: Pn ( x) = an x n + an 1 x n 1 + + a1 x + a0Metode Numerik38 39. Metode Lagrange (i) Jika (x0,y0), (x1,y1),, (xn,yn) merupakan sepasang nilai x dan y, dengan y = f(x); maka jika f(x) diaproksimasi dengan polinomial derajat ke-n akan diperoleh: Pn ( x) = a 0 ( x x1 )( x x 2 )...( x x n ) + + a1 ( x x0 )( x x 2 )...( x x n ) + ... + + a n ( x x0 )( x x1 )( x x 2 )...( x x n 1 )Metode Numerik39 40. Metode Lagrange (ii) Dimana syarat interpolasi harus dipenuhi Pn ( x0 ) = y 0 Pn ( x1 ) = y1 ................... Pn ( x n ) = y nDengan mensubstitusi x = xi dan P(xi) = yi maka yi ai = ( xi x0 )( xi x1 )...( xi xi 1 )...( xi xi +1 )...( x0 x n )Metode Numerik40 41. Metode Lagrange (iii) Dengan memakai fungsi Lagrange (x x j )( x x0 )( x x1 )...( x xi 1 )...( x xi +1 )...( x x n ) Li = = ( xi x0 )( xi x1 )...( xi xi 1 )...( xi xi +1 )...( x0 x n ) j =0 ( xi x j ) nj imaka nPn ( x) = Li y i = L0 y 0 + L1 y1 + + Ln y n i =0Metode Numerik41 42. Motivasi untuk interpolasi (i) Sejumlah uang didepositokan dengan tingkat bunga tertentu. Tabel berikut menguraikan perkiraaan uang deposito pada masa yang akan datang, berupa nilai uang pada 20 tahun mendatang dibandingkan dengan nilai sekarang. Tingkat suku bungaF/P (n = 20 tahun)15 20 25 30 Metode Numerik16,366 38,337 86,736 190,050 42 43. Motivasi Interpolasi (ii) Jika Rp. 100.000.000,- didepositokan sekarang dengan suku bunga 23,6%, berapa nilai uang tersebut pada 20 tahun yang akan datang. Gunakan interpolasi linear, kuadratik, dan Lagrange bagi penyelesaian, kemudian bandingkan hasil perhitungan ketiga metode tersebut.Metode Numerik43 44. Motivasi untuk Interpolasi (iii) Viskositas air dapat ditentukan dengan menggunakan tabel berikut ini: T(C) 0 10 30 50 70 90 100 Metode Numerik(10-3 Ns/m2) 1,792 1,308 0,801 0,549 0,406 0,317 0,284 44 45. Motivasi untuk Interpolasi (iv) Perkirakan harga viskositas air pada temperatur 25C. Gunakan interpolasi Lagrange. Perkirakan juga kisaran kesalahan dari hasil yang didapat.Metode Numerik45 46. Pengintegralan Numerik bIntegral:I = f ( x ) dx aJika f ( x) > 0tafsiran geometrik: luas daerahyf(x)I 0abxJika fungsi primitif F (x) yaitu f ( x) =dF (