MAKALAH LIMIT FUNGSI.doc

7/22/2019 MAKALAH LIMIT FUNGSI.doc

1/14

BAB I

PENDAHULUAN

A.Latar Belakang Masalah

Limit merupakan konsep dasar atau pengantar dari deferensial dan integral

pada kalkulus.

Cobalah kamu mengambil kembang gula. Kembang gula dalam sebuah

tempat dengan genggaman sebanyak 5 kali. Setelahdihitung, pengambilan pertama

terdapat 5 bungkus, pengambilan kedua terdapat 6 bungkus, pengambilan ketiga 5

bungkus, pengambilan keempat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus.

Jadi,dirata-rata pada pengambilan pertama sampai pengambilan kelima adalah

5,!, dan dikatakan hamper mendekati 6. "alam #ontoh sehari-hari,banyak sekali

kita temukan kata-kata hampir, mendekati, harga batas dsb. $engertian tersebut

sering dianalogikan dengan pengertian Limit.

B. Identifikasi Masalah

%. $engertian Limit &ungsi Se#ara 'ntuitif(

). Cara *enentukan Limit &ungsi +labar(

C. Metode Penelitian

%. uang Lingkup Kaian

Lingkup kaian pada makalah ini pada dasarnya men#akup

%

$engertian, *enentukan Limit &ungsi +labar /ila 0ariabelnya *endekati

nilai 1ertentu dan /ila 0ariabelnya *endekati 1ak 1erhingga, 1eorema

Limit, Serta Limit &ungsi 1rigonometri.

). 1eknik $engumpulan "ata

+dapun pengumpulan data yang dilakukan oleh penulis dalam membuat

makalah ini dengan menggunakan dua metode, yaitu

- *elalui media elektronik dengan mengambil urnal-urnalnya pada

lokasi2situs3 yang berbeda.

%


2/14

- *engambil atau mengutip dari buku *atematika.

4. Sistematika $enulisan

*akalah yang berudul Limit ini tersusun dalam 4 bab, yaitu

/ab $ertama, merupakan bab $endahuluan, menguraikan tentang Latar

/elakang, 'dentifikasi *asalah, *etode $enelitian dan 1uuan $embahasan.

/ab Kedua, merupakan bab ang membahas masalah Limit, menguraikan

tentang $engertian, *enentukan Limit &ungsi +labar /ila 0ariabelnya

*endekati nilai 1ertentu dan /ila 0ariabelnya *endekati 1ak 1erhingga,

1eorema Limit, Serta Limit &ungsi 1rigonometri.

/ab Ketiga, merupakan bab $enutup yang meliputi kesimpulan dan saran.

D. Tujuan Pe!ahasan

%. ntuk *engetahui $engertian dari Limit.

). ntuk *engetahui Cara *enentukan Limit &ungsi +labar /ila 0ariabelnya

*endekati nilai 1ertentu dan /ila 0ariabelnya *endekati 1ak 1erhingga

4. ntuk *engetahui 1eorema Limit

8. ntuk *engetahui Limit &ungsi 1rigonometri.

)


3/14

BAB II

PEMBAHA"AN

A. LIMIT #UN$"I AL%ABA&

'. Pengertian Liit #ungsi "e(ara Intuitif

Limit dapat digunakan untuk menelaskan pengaruh 9ariabel fungsi yang

bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut.

ntuk dapat memahami pengertian limit se#ara intuitif, perhatikanlah #ontoh

berikut

&ungsi f di definisikan sebagai f 2:3 )

))

x

xx

Jika 9ariabel : diganti dengan ), maka f2:3 ;

;2tidak dapat ditemukan3

ntuk itu perhatikanlah tabel berikut

: ; %,% %,5 %,< %,


4/14

*enentukan limit dengan #ara diatas tidaklah efisien. ntuk mengatasinya,

kita dapat menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa #ara, yaitu

a. "u!titusi

$erhatikanlah #ontoh berikut>

Contoh,

1entukan nilai ( !lim )4

xx

>

Pen+elesaian ,

?ilai limit dari fungsi f2:3 :)@ ! dapat kita ketahui se#ara langsung,

yaitu dengan #ara mensubtitusikan : 4 ke f2:3

( )!lim )4

xx

!

%=

+rtinya bilamana : dekat 4 maka :)@ ! dekat pada 4)@ ! < @ ! %

"engan ketentuan sebagai berikut

a3 Jika f 2a3 #, maka axfax = 32lim

b3 Jika f 2a3 ;

c

, maka A32lim = xfax

#3 Jika f 2a3 c

;, maka ;32lim = xfax

!. Pefaktoran

Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan

sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi.


Contoh,

1entukan nilai4

Jika : 4 kita subtitusikan maka f 243 ;

;

44


5/14

( )( )

( ) ( ).4444

+=

+

xx

xx

%4

4

=

x

x

Jadi,4

Contoh,

1entukan nilai)

)4lim

)

)

+

x

xx

x>

Pen+elesaian,

)

)4lim

)

)

+

x

xx

x

)

)4lim

)

)

+

x

xx

x )

).

x

x

( )(

( )))

) )

))4lim

+ x

xxx

x

( )( )( )

( ))))%

lim)

x

xxx

x

( ) )%lim)

xxx

( ) )).%)

% . ;

;

d. Merasionalkan Pe!ilang


Contoh,

1entukan nilai%

48)4lim

%

x

xx

x>

5


6/14

Pen+elesaian,

%

48)4lim

%

x

xx

x

%

48)4lim

%

x

xx

x.

48)4

48)4

+

+

xx

xx

( ) ( )

( )( )48)4%48)4

lim

))

% +

xxx

xx

x

( )( )48)4%

%lim

% ++

xxx

x

x

( )

( ) ( )48)4%%

lim% +

xxx

x

x

48)4

%lim

% +

xxx

4%.8)%.4

%

+

%%

%

+

%%

%

+

)

%

-. Menentukan Liit #ungsi Alja!ar Bila *aria!eln+a Mendekati Tak

Berhingga

/entuk limit fungsi alabar yang 9ariabelnya mendekati tak

berhingga,diantaranya

32

32lim

A xg

xf

xdan [ ]3232lim

Axgxf

x

ntuk menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tersebut, dapat dilakukan#ara-#ara sebagai berikut

a. Me!agi dengan angkat tertinggi

Cara ini digunakan untuk men#ari nilai32

32lim

A xg

xf

x. Caranya dengan

membagi f2:3 dan g2:3 dengan pangkat yang tertinggi dari n yang terdapat

pada f2: 3 atau g 2:3.

Contoh,

1entukan nilai limit dari

a.%)

%8lim

A +

x

x

x b.

xx

x

x +

)A

%8lim

Pen+elesaian,

6


7/14

a. untuk menentukan nilai dari%)

%8lim

A +

x

x

xperhatikan pangkat tertinggi

dari : pada f 2: 3 8: @ % dan g2:3 ): B %. ternyata pangkat tertinggi

dari : adalah satu.

%)

%8lim

A +

x

x

x

xx

xxx

x

x %)

%8

limA

+

x

xx %

)

%8

limA

+

A

%)

A

%8

+

;)

;8

+

)

8 )

b. $erhatikan fungsi h 2:3 )

%8) +

x

x> &ungsi tersebut memiliki : dengan

pangkat tertinggi ), yaitu :) yang terdapat pada :)@ ). adi, untuk

menentukan nilaixx

x

x +

)A

%8lim maka fungsi 8: B % dan :)@ ) harus

dibagi dengan :) .

xx

x

x +

)A

%8lim

))

)

))

A )

%8

lim

xx

xxx

x

x

+

)

)

A )%

%8

lim

x

xxx

+

)

)

2A3

)%

2A3

%

A

8

+

;%;;

+

%

; ;

!. Mengalikan dengan faktor la/an

7


8/14

Cara ini digunakan untuk menyelesaikan [ ]3232limA

xgxfx

. Jika kita

dimitai menyelesaikan [ ]3232limA

xgxfx

maka kita harus mengalikan f

2:3 B g 2:3D dengan2:3Dg2:3Cf

2:3Dg2:3Cf

sehingga bentuknya menadi

[ ]3232limA

xgxfx

. 2:3Dg2:3Cf

2:3Dg2:3Cf

{ }

2:3g2:3f

2:3DCg2:3DCflim

))

A

xataupun sebaliknya.

Contoh,

1entukan nilai dari xxxxx

++

))

A)lim

Pen+elesaian,

xxxxx

++

))

A

)lim

xxxxx

++

))

A)lim .

xxxx

xxxx

++

++

))

))

)

)

( ) ( )

xxxx

xx

x++

++

))

))

A )

%)lim

xxxx

x

x++

))A )

4lim

))

)

))

)A )

4

lim

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

++

;%;%

4

++

)

4

B. TE0&EMA LIMIT

1eorema limit yang akan disaikan berikut ini yang sangat berguna dalam

menangani hampir semua masalah limit. *isalkan n bilangan bulat positif, k

sebuah konstanta danf, gadalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di amaka

!


9/14

%. kkax=

lim

). axax =lim

4. kax

lim f 2:3 kax

lim f 2:3

8.ax

lim f 2:3 E g 2:3D ax

lim f 2:3 Eax

lim g 2:3

5.ax

lim 9 f 2:3 . g 2:3D ax

lim f 2:3 .ax

lim g 2:3

6.32lim

32lim

32

32lim

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

= , dimanaax

lim g2:3 F ;

7.ax

lim f 2:3 Dn ax

lim f 2:3Dn

!. nax

n

axxfxf 32lim32lim

= dimana

axlim f 2:3 ; untuk nbilangan genap

ax

lim f 2:3 G ; untuk nbilangan ganil

Contoh,

Carilah a. ( )xxx

)

84lim > b.

x

x

x )

MAKALAH LIMIT FUNGSI.doc

Documents

Transcript of MAKALAH LIMIT FUNGSI.doc