MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.8 DERET TAYLOR DAN DERET MACLAURIN MA1201 MATEMATIKA 2A 2/21/2014...
Transcript of MA1201 MATEMATIKA 2A - … · 9.8 DERET TAYLOR DAN DERET MACLAURIN MA1201 MATEMATIKA 2A 2/21/2014...
Kuliah yang Lalu
9.6 Deret Pangkat
Menentukan selang kekonvergenan deretpangkat
9.7 Operasi pada Deret Pangkat
Melakukan operasi pada deret pangkat (yang diketahui jumlahnya) untuk mendapatkanderet pangkat lainnya (dan jumlahnya)
2/21/2014 2(c) Hendra Gunawan
Sasaran Kuliah Hari Ini
9.8 Deret Taylor dan Deret Maclaurin
Menentukan deret Taylor dan deretMaclaurin dari suatu fungsi di sekitar titikyang ditentukan
9.9 Hampiran Taylor terhadap Fungsi
Menentukan hampiran Taylor terhadap suatufungsi di sekitar titik yang ditentukan, besertataksiran kesalahannya
2/21/2014 3(c) Hendra Gunawan
9.8 DERET TAYLOR DAN DERETMACLAURIN
MA1201 MATEMATIKA 2A
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4
Menentukan deret Taylor dan deret Maclaurindari suatu fungsi di sekitar titik yang ditentukan
Ingat: Untuk Apa Kita MembahasDeret Tak Terhingga
Dengan turunan pertama, kita mendapatkanhampiran
Bila kita gunakan turunan kedua dan ketiga, kitaakan dapatkan hampiran yang lebih baik
Kelak kita dapat menunjukkan bahwa
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 5
.0,sin xuntukxx
.0,sin6
3
xuntukxx x
.,......sin!5!3
53
xuntukxx xx
Pada Kuliah yang Lalu…
Tentukan jumlah dari deret pangkat berikut:
Catatan. Deret ini konvergen pada R.
Jawab: Penurunan terhadap x menghasilkan
Solusi persamaan diferensial ini adalah S(x) = Cex. Karena S(0) = 1, maka C = 1. Jadi S(x) = ex.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 6
...!3!2
1)(32
xx
xxS
).(...!3!2
10)('32
xSxx
xxS
Serupa Dengan Itu…
Tinjau deret pangkat
Deret ini konvergen untuk seluruh bilangan real x, dan memenuhi persamaan diferensial orde 2:
S’’(x) = –S(x),
dengan S(0) = 0 dan S’(0) = 1. Solusi persamaandiferensial ini adalah S(x) = sin x.
Nanti ada cara lain utk mendapatkan hasil yg sama.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 7
...!5!3
)(53
xx
xxS
Sejauh Ini…
Diberikan suatu deret pangkat, kita dapatmenentukan selang kekonvergenannya.
Untuk deret geometri, serta turunan danintegralnya, kita bisa mendapatkan jumlahnya.
Demikian juga utk beberapa deret pangkat yang jumlahnya sama dengan ex, cos x, dan sin x.
Lalu, dengan operasi pada deret pangkat, kitadapat memperoleh uraian deret pangkat darifungsi seperti f(x) = xex dan g(x) = ex/(1 – x).2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 8
Pertanyaan Baru
Diberikan suatu fungsi f(x), dapatkah kita meng-uraikannya sebagai sebuah deret pangkat
untuk x di sekitar a?
Dengan perkataan lain, apakah kita dapatmencari c0, c1, c2, … sehingga deret pangkat diatas konvergen ke f(x) untuk x di sekitar a?
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 9
...)()()( 2
210 axcaxccxf
Misalkan f dapat diuraikan sebagaideret pangkat untuk x ≈ a
Maka, c0 mestilah sama dengan nilai f(a). Selanjutnya, jika kita turunkan f terhadap x
maka c1 mestilah sama dengan nilai f’(a).
Turunkan lagi terhadap x:
maka c2 mestilah sama dengan ½ f’’(a).
Dan seterusnya… 2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 10
...)(3)(2)(' 2
321 axcaxccxf
...)(34)(!3!2)('' 2
32 axaxccxf
Jadi…
Jika f dapat diuraikan sebagai deret pangkat
(1)
maka f mempunyai turunan setiap orde dan
(2)
dengan f (0)(a) = f(a) dan 0! = 1.
Tetapi… bagaimana sebaliknya? Jika f (n)(a) adauntuk tiap n, dan cn kita hitung dgn rumus (2), apakah jumlah deret pangkat (1) sama dgn f(x)? 2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 11
...)()()( 2
210 axcaxccxf
,...2,1,0,!
)()(
nn
afc
n
n
Deret Taylor dan Deret Maclaurin
Uraian deret pangkat dari f untuk x ≈ a disebutderet Taylor untuk f di a, yakni:
Jika a = 0, maka deret pangkat tsb disebutderet Maclaurin untuk f, yakni:
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 12
...)(!2
)(''))((')( 2 ax
afaxafaf
...!3
)0('''
!2
)0('')0(')0( 32 x
fx
fxff
Polinom dan Suku Sisa Taylor
Misalkan f fungsi yang mempunyai turunan ke-(n+1) pada selang terbuka I yang memuat a. Maka, untuksetiap x ϵ I, berlaku f(x) = Pn(x) + Rn(x) dengan
dan suku sisa
untuk suatu c di antara x dan a.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 13
nn
n
axn
af
axaf
axafafxP
)(!
)(....
...)(!2
)(''))((')()(
)(
2
,)()!1(
)()( 1
)1(
nn
n axn
cfxR
Teorema Taylor
Misalkan f fungsi yang mempunyai turunan tiaporde pada selang I = (a – r, a + r). Maka, untuksetiap x ϵ I, berlaku
Jika dan hanya jika
dengan c di antara x dan a.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 14
...)(!2
)(''))((')()( 2 ax
afaxafafxf
,0)()!1(
)(lim)(lim 1
)1(
nn
nn
nax
n
cfxR
Contoh 1
Tentukan deret Maclaurin untuk sin x danperiksa bahwa deret tsb merepresentasikansin x untuk setiap x ϵ R.
Jawab:
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 15
Contoh 2
Tentukan deret Maclaurin untuk sinh x danperiksa bahwa deret tsb merepresentasikansinh x untuk setiap x ϵ R.
Jawab:
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 16
Beberapa Deret Maclaurin Penting
1.
2.
3.
4.
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 17
211 ...
1x x
x
ln(1 )x
xe
1tan x
Beberapa Deret Maclaurin Penting
5.
6.
7.
8.
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 18
cos x
sin x
sinh x
cosh x
Latihan
Tentukan deret Maclaurin (setidaknya tiga sukutak nol pertama) untuk
1. f(x) = (1 + x)1/2, untuk -1 < x < 1.
2. g(x) = tan x, untuk –π/2 < x < π/2.
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 19
9.9 HAMPIRAN TAYLOR TERHADAPFUNGSI
MA1201 MATEMATIKA 2A
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 20
Menentukan hampiran Taylor terhadap suatufungsi di sekitar titik yang ditentukan, besertataksiran kesalahannya
Diferensial & Aproksimasi Berlanjut
Dengan turunan pertama, kita dapat meng-hampiri fungsi f(x) untuk x ≈ a :
Polinom di ruas kanan tidak lain merupakanpolinom Taylor orde 1 dari f di sekitar a.
Bila f mempunyai turunan kedua untuk x ≈ a, maka kesalahan penghampiran di atas adalah
dgn c di antara x dan a.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 21
).())((')()( 1 xPaxafafxf
,)(!2
)('')( 2
1 axcf
xR
Hampiran Taylor Orde n
Jika f mempunyai turunan ke-(n+1), maka kitadapat menghampiri fungsi f(x) untuk x ≈ adengan polinom Taylor orde n:
dengan kesalahan penghampiran
dgn c di antara x dan a.
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 22
).()(!
)(...))((')()(
)(
xPaxn
afaxafafxf n
nn
,)()!1(
)()( 1
)1(
nn
n axn
cfxR
Contoh 2
Taksirlah nilai e0.1 dengan kesalahan tak lebihdaripada 0.01.
Jawab:
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 23
Bahan Diskusi
Diketahui f(x) = x4. Tentukan polinom Taylor orde 4 dari f di sekitar 1. Jelaskan mengapapolinom ini menyatakan f secara eksak.
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 24