Deret Taylor & Maclaurin

Deret Taylor & Maclaurin Misalkan f(x) dan turunan-turunannya f’(x),

f’’(x), ..., f(n)(x) ada dan kontinu di dalam interval tutup a ≤ x ≤ b, dan f(n+1)(x) juga kontinu di a ≤ x ≤ b.

Maka berlaku:

dimana Rn adalah sisanya yang berbentuk:

( )

2"' ...

2! !

nn

n

f a f af x f a f a x a x a x a R

n

Deret Taylor & Maclaurin

dimana (a, x)

( 1)1 (Bentuk Lagrange)

1 !

nn

n

fR x a

n

( 1)

(Bentuk Cauchy)!

nn

n

fR x x a

n

Deret Taylor & Maclaurin Bukti:

Pertama-tama akan dibuktikan dahulu bahwa :

........... 1)

2

( )( 1)

"' ...

2!

1

! !

n xn n n

a

f af x f a f a x a x a

f ax a x t f t dt

n n

Deret Taylor & Maclaurin Kemudian akan ditunjukkan bahwa

mempunyai dua bentuk, yaitu bentuk Lagrange dan bentuk Cauchy

( 1)1

!

xn n

a

x t f t dtn

Deret Taylor & Maclaurin Untuk membuktikan persamaan 1)

digunakan induksi matematika. Untuk n = 0

0 0 11

0!

'

x

a

xx

aa

f x f a x t f t dt

f a f t dt f a f t

f a f x f a f x

Deret Taylor & Maclaurin Misalkan berlaku untuk n = k

2

( )( 1)

"' ...

2!

1

! !

k xk k k

a

f af x f a f a x a x a

f ax a x t f t dt

k k

Deret Taylor & Maclaurin Untuk n = k + 1

Perhatikan bentuk

misal:

( 1)1

!

xk k

a

x t f t dtk

( 1)

1

( 2)

!

1 !

k

k

k

k

x tdv dt u f t

k

x tv du f t dt

k

Deret Taylor & Maclaurin

11( 1)

1 ( 2)

11 1 ( 2)

1

! 1 !

1

1 !

1

1 ! 1 !

xkx

k kk

a a

xk k

a

k xk k k

a

f tx t f t dt x t

k k

x t f t dtk

f ax a x t f t dt

k k

Deret Taylor & Maclaurin dari n = k, diperoleh

2

1( )1

1 ( 2)

"' ...

2!

! 1 !

1

1 !

kkk k

xk k

a

f af x f a f a x a x a

f a f ax a x a

k k

x t f t dtk

Deret Taylor & Maclaurin Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

mempunyai 2 bentuk

( 1)1

!

xn n

a

x t f t dtn

Deret Taylor & Maclaurin Menurut teorema nilai rata-rata untuk

integral

Misalkan

maka

, ( , )x x

a a

F t G t dt F G t dt a x

1 ,!

n

n x tF t f t G t

n

1 11

! !

nx xn n n

a a

x tx t f t dt f t dt

n n

Deret Taylor & Maclaurin

Berarti diperoleh bentuk Lagrange untuk sisa, yaitu

1

1 1

11

! 1 !

1 !

xn nx

n n

aa

nn

x t x tf dt f

n n

f x a

n

11

, ,1 !

nn

n

f x aR a x

n

Deret Taylor & Maclaurin Misalkan

maka

1

, 1!

nnf t x tF t G t

n

11

1 1

1

1.1

! !

! !

!

nnx xn n

a a

n nn nxx

aa

nn

f t x tx t f t dt dt

n n

f x f xdt t

n n

f xx a

n

Deret Taylor & Maclaurin Berarti diperoleh bentuk Cauchy untuk

sisa, yaitu

1

, ,!

nn

n

f xR x a a x

n

Deret Taylor & Maclaurin Sewaktu n berubah, maka umumnya juga

berubah. Jika untuk semua x dan di dalam [a, b] kita mempunyai , maka persamaan di awal dapat ditulis:

Deret ini dinamakan deret Taylor atau ekspansi Taylor dari f(x) di sekitar x = a. Dalam kasus a = 0, deret tersebut dinamakan deret Maclaurin

lim 0nnR

2" "'' ...

2! 3!

nf a f af x f a f a x a x a x a

Deret Taylor & Maclaurin Walaupun semua turunan f(x) ada di x

= a, dan secara formal kita dapat memperoleh deret di ruas kanan, tetapi bisa saja terjadi deret tersebut tidak konvergen ke f(x).

Deret Taylor & Maclaurin Contoh:

Buktikan bahwa deret Taylor di sekitar x = 0 yang bersesuaian dengan f(x) ada. Kemudian tunjukkan deret tersebut tidak konvergen ke fungsi yang diberikan untuk sebarang x 0

21/ , 0

0, 0

xe xf x

x

Deret-Deret Penting Deret-deret berikut, konvergen ke fungsi

yanng diberikan di dalam interval yang ditunjukkan

dll

1 2 13 5 7 11.sin ... ...,

3! 5! 7! 2 1 !

n nxx x xx x x

n

1 2 22 4 6 12.cos 1 ... ...,

2! 4! 6! 2 2 !

n nxx x xx x

n

2 3 1

3. 1 ... ...,2! 3! 1 !

nx x x xe x x

n

Deret Binomial Bentuknya adalah

a) Jika p adalah sebuah bilangan bulat positif atau nol, maka deret tersebut akan berakhir

b) Jika p > 0 tetapi bukan bilangan bulat, maka deret tersebut konvergen mutlak untuk –1 ≤ x ≤ 1

21 1 ... 11 1 ... ...

2! !

p np p p p p nx px x x

n

Deret Binomial

c) Jika –1 < p < 0, maka deret tersebut konvergen untuk –1 < x ≤ 1

d) Jika p ≤ –1 maka deret tersebut konvergen untuk –1 < x < 1

Tugas: Tunjukkan sifat (a) , (b), (c), dan (d)