Deret Taylor Mantap Zzz

DERET TAYLOR

PENGERTIAN

• Deret Taylor merupakan bentuk umum fungsi perluasan fungsi yang di berikan Taylor.

• Fungsi-fungsi yang bentuknya kompleks dapat disederhanakan menjadi fungsi pendekatan (perkiraan) dalam bentuk fungsi polinomial yang lebih sederhana.

Tujuan

• Kenapa perlu perkiraan?– Perkiraan dibentuk dari fungsi paling sederhana –

polynomial.– Kita bisa mengintegrasikan dan mendiferensiasi

dengan mudah. – Kita bisa gunakan saat kita tidak tahu fungsi

sebenarnya.

Polynomial Approximations

• Misalkan kita ingin membuat perkiraan untuk sebuah fungsi yang kompleks pada sekitar x = 0;

• Perkiraan paling simple adalah menentukan sebuah konstanta, sehingga:

• Catatan: perkiraan di atas disebut sebagai zero’th order polynomial approximation;

• Lalu, nilai berapa yang harus kita berikan pada konstanta itu?

00 )( axp


• Kita inginkan angka paling akurat pada x = 0.• Sehingga: )0()(0 fxp

-1 -0.5 0 0.50.5

1

1.5

2

x

y

f(x)

p(x)


• Contoh

xxf

1

1)(

1)(11

1)0( 0 xpf


-1 -0.5 0 0.50.5

1

1.5

2

x

y

f(x)

p0(x)

Sangat akurat

Kurang akuratTidak akurat


• Sekarang kita tingkatkan dengan perkiraan dengan menggunakan aproksimasi linier (1st order approximation);

• Sekarang kita pilih nilai sehingga perpotongan dan garis nya semirip mungkin dengan fungsi sebenarnya.

xaaxp 101 )(


• Menyamakan perpotongan:

• Menyamakan slope:

• Sehingga polinom nya:

)0(

)0(0)0()0(

0

101

fa

faafp

)0()0()0( 11 fafp

xffp )0()0()0(1


• Contohx

xf

1

1)(

xaaxp 101 )(

1)0(101

1)0( 0

faf

1)0(1

1

1)0( 12

fa

xf

xxp 1)(1

-1 -0.5 0 0.50.5

1

1.5

2

x

y

f(x)

p0(x)


-1 -0.5 0 0.50.5

1

1.5

2

x

y

f(x)

p0(x)

p1(x)

Masih ‘lumayan’ sampai disini


• Kita bisa teruskan penaksiran secara polinom hingga n derajad.

• Kalau kita teruskan, kita akan mendapatkan rumus:

!)0(

!2)0(

)0()0()()(

)(2

n

xf

xf

xffxpxfn

n

n


• Akurasi perkiraan akan bertambah seiring dengan penambahan polinom;

• Kita lihat polinom derajad 0, 1, 2 dan 6 (warna hijau), dibanding fungsi asli nya f(x) (warna biru).


-1 -0.5 0 0.50.5

1

1.5

2

x

y

f(x)

p0(x)

p1(x)

p2(x)

p6(x)

Maclaurin (Power) Series

• Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajad tak hingga

• Notice: Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa akhirnya deret ini sama dengan fungsi sebenarnya, bukan penaksiran lagi!

!)0(

!2)0(

)0()0()(

)(2

n

xf

xf

xffxfn

n

Taylor Series

• Sesungguhnya, kita bisa membuat deret polinom yang berasal dari titik manapun. 0xx

• Dari awal kita selalu memulai perkiraan pada nilai 0x

• Ini disebut Taylor Series.• Jadi, Deret MacLaurin merupakan

Deret Taylor yang berpusat pada x0=0

Taylor Series

• Rumus umum Deret Taylor:

!

)()(

!2

)()())(()()(

00

)(

20

0000

n

xxxf

xxxfxxxfxfxf

nn

0

00

)(

!

)()(

n

nn

n

xxxf

Taylor Series• Approximate function? Copy derivatives!

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

X

f(x)

=si

n(2

x) What is f(x) near x=0.35?

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

X

f(x)

=si

n(2

x)Taylor Series

• Approximate function? Copy derivatives!

What is f(x) near x=0.35?

0 ( ) (0.35)T x f

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

X

f(x)

=si

n(2

x)Taylor Series


1( ) (0.35)

'(0.35) 0.35

T x f

f x


0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

X

f(x)

=si

n(2

x)Taylor Series


2

212

( ) (0.35)

'(0.35) 0.35

''(0.35) 0.35

T x f

f x

f x


0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

X

f(x)

=si

n(2

x)Taylor Series


( )

0

( )!

iiN

Ni

f a x aT x

i

10 ( )T x

2

212

( ) (0.35)

'(0.35) 0.35

''(0.35) 0.35

T x f

f x

f x


0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

X

f(x)

=si

n(2

x)Taylor Series


• Look out for “approximate” or “when x is small” or “small angle” or “close to” …

1( ) ( )

'( )

T x f a

f a x a

Most Common: 1st Order

Deret Taylor Mantap Zzz

Documents

Transcript of Deret Taylor Mantap Zzz