MA1201 MATEMATIKA 2A - … · Sasaran Kuliah Hari Ini 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya Memeriksa...

MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

10 Februari 2017

Kuliah yang Lalu

9.2 Deret Tak Terhingga

Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya

9.3 Deret Positif: Uji Integral

Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji jumlah terbatas dan uji integral

2/19/2014 2(c) Hendra Gunawan

Sasaran Kuliah Hari Ini

9.4 Deret Positif: Uji Lainnya

Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji perbandingan dan uji rasio

9.5 Deret Ganti Tanda: Kekonvergenan Mutlakdan Kekonvergenan Bersyarat

Memeriksa kekonvergenan mutlak/bersyaratderet ganti tanda

2/19/2014 3(c) Hendra Gunawan

9.4 DERET POSITIF: UJI LAINNYAMA1201 MATEMATIKA 2A

2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 4

Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji perbandingan dan uji rasio

Mengapa Perlu Uji Lainnya

Kita telah mempunyai beberapa ‘senjata’ utkmenyelidiki kekonvergenan deret, ada: definisi, sifat deret geometri, teorema kelinearan deret, uji suku ke-n, uji jumlah terbatas, dan uji integral (termasuk uji deret-p). Namun, kita masihkesulitan menghadapi deret seperti

dan


41

1

n.

!

2

n

n

Catatan. Di sini kita masih membahas deret positif.

Uji Perbandingan

Misalkan 0 ≤ an ≤ bn utk n ≥ K (utk suatu K ϵ N).

(i) Jika konvergen, maka konvergen.

(ii) Jika divergen, maka divergen.

Catatan. Kedua pernyataan di atas ekuivalen.


na nb

na nb

Contoh

Deret konvergen karena

untuk tiap n ϵ N dan konvergen.


41

1

n

4

1

n

44

1

1

1

nn

Uji Perbandingan Limit

Misalkan an ≥ 0 dan bn > 0 dan .

(i) Jika 0 < L < ∞, maka dan sama-sama konvergen atau divergen.

(ii) Jika L = 0 dan konvergen, makakonvergen.


na nb

nb na

Lb

a

n

n

n

lim

Contoh

Deret divergen karena

dan divergen.


n1

1

n

1

11

1

1lim

nnn

Soal

Selidiki kekonvergenan deret


.ln

2n

n

Uji Rasio

Misalkan deret dengan an > 0 dan

(i) Jika ρ < 1, maka deret konvergen.

(ii) Jika ρ > 1, maka deret divergen.

(iii) Jika ρ = 1, maka uji ini tidak memberikankesimpulan apapun.

Catatan. Pada deret geometri, rasionya konstan.2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 11

na

.lim 1

n

n

n a

a

Contoh

Selidiki kekonvergenan deret

Jawab: Kita hitung

Menurut Uji Rasio, deret konvergen.


.!

2

n

n

.01

2lim

!

2

)!1(

2lim

1

nnn n

nn

n

!

2

n

n

Soal

Selidiki kekonvergenan deret berikut:

1.

2.

3.


.!n

nn

1.

2n

n

.2

!

n

nn


1

1 2 3... 1.

2 4 8 16n

n

9.5 DERET GANTI TANDAMA1201 MATEMATIKA 2A


Memeriksa kekonvergenan mutlak/bersyaratderet ganti tanda

Apa itu Deret Ganti Tanda

Kita telah mempelajari deret positif (dan deretnegatif). Sekarang kita tinjau deret ganti tanda, yaitu deret berbentuk

dengan an > 0 untuk tiap n ϵ N. Sebagai contoh, kita akan menyelidiki kekonvergenan deretharmonik ganti tanda


...4321 aaaa

...141

31

21

Kekonvergenan Deret Ganti Tanda

Diketahui deret ganti tanda

Kita hitung jumlah parsialnya


.

... 434

323213

21212

11

dst

aSS

aSaaaS

aSaaS

aS

...4321 aaaa

Misalkan {an} turun. Maka S1, S3, S5, … turun danterbatas di bawah, sehingga konvergen, katakanke S*. Sementara itu, S2, S4, S6, … naik danterbatas di atas, sehingga konvergen, katakan keS**. Baik S* maupun S** berada di antara Sn danSn+1 (ilustrasi di papan tulis).

Jadi, |S* – S**| ≤ |Sn – Sn+1| = an+1.

Jadi, jika maka S* = S**, sehinggaderet konvergen ke bilangan yang sama, sebut-lah S. Dapat pula diperiksa bahwa

|S – Sn| ≤ |Sn+1 – Sn| = an+1.2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 18

,0lim0

nn

a

Uji Deret Ganti Tanda

Diketahui deret ganti tanda

dengan an > an+1 > 0 untuk tiap n ϵ N.

Dari pengamatan sebelumnya, kita simpulkan:

Jika maka deret konvergen.

Lebih jauh, jika jumlahnya ditaksir dengan Sn, maka kesalahannya tak lebih daripada an+1.


...4321 aaaa

,0lim0

nn

a

Contoh

Deret merupakan deret gantitanda dengan an = 1/n turun dan menuju 0.

Jadi, deret ganti tanda ini konvergen.

Bila kita ingin menaksir jumlahnya dengankesalahan tak lebih daripada 0.01, maka kitaharus menaksirnya dengan S99, yaitu


...141

31

21

....1991

981

41

31

21

99 S

Kekonvergenan Mutlak

Teorema. Diketahui deret sembarang.

Jika konvergen, maka konvergen.

Catatan. Deret dikatakan konvergenmutlak apabila konvergen.

Kebalikan teorema di atas tidak berlaku: kekonvergenan tidak menjaminkekonvergenan .


nu

nu || nu

nu

|| nu

nu

|| nu

Contoh

Deret konvergen

mutlak, karena deret

konvergen.


...1321

161

81

41

21

...1321

161

81

41

21

Kekonvergenan Bersyarat

Deret harmonik ganti tanda

konvergen, tetapi tidak konvergen mutlak.

Deret yang konvergen tetapi

tidak konvergen dikatakan konvergen bersyarat.

Sebagai contoh, merupakan

deret yang konvergen bersyarat. 2/19/2014 (c) Hendra Gunawan 23

nu || nu

...141

31

21

...141

31

21

Uji Rasio Mutlak

Misalkan deret sembarang dengan suku-suku tak nol, dan

(i) Jika ρ < 1, maka deret konvergen mutlak.

(ii) Jika ρ > 1, maka deret divergen.

(iii) Jika ρ = 1, maka uji ini tidak memberikankesimpulan apapun.


nu

.lim 1

n

n

n u

u

Latihan

Selidiki kekonvergenan deret dan, dalam halkonvergen, tentukan apakah ia konvergenmutlak atau bersyarat.

1.

2.


12

.sin

n n

n

.ln

)1(2

n

n

n

n

MA1201 MATEMATIKA 2A - … · Sasaran Kuliah Hari Ini 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya Memeriksa...

Documents

Transcript of MA1201 MATEMATIKA 2A - … · Sasaran Kuliah Hari Ini 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya Memeriksa...