Limit Dan Kekontinuan

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami seba-

gai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya

kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan barisan bilangan real. Sebagaimana

telah diketahui bahwa barisan merupakan bentuk khusus fungsi, yaitu fungsi bernilai real

dengan domain bilangan asli. Pada bab ini kita memperluas konsep limit kepada bentuk

fungsi bernilai real secara umum. Karena konsep kekontinuan terkait erat dengan konsep

limit maka kedua topik ini dibahas secara simultan pada bab ini.

3.1 Pengertian Limit Fungsi dan Fungsi Kontinu

Biasanya, notasi

limxc f(x) = L

dipahami secara intuitif dengan berbagai pernyataan berikut

1. Jika x mendekati c maka f(x) mendekati L, semakin dekat x kepada c semakindekat pula f(x) kepada L.

2. Nilai-nilai f(x) adalah dekat dengan L untuk x dekat dengan c.

Pada pernyataan pertama, dekatnya f(x) terhadap L disebabkan oleh dekatnya x kepadac. Pernyataan ini banyak diambil sebagai denisi limit khususnya bagi mereka yangbelum belajar analisis. Padahal sesungguhnya pernyataan kedua lebih sesuai untuk den-

isi limit. Pada pernyataan ini ada dua kriteria atau ukuran dekat. Kriteria dekatnya f(x)terhadap L memberikan kriteria dekatnya x kepada c. Kemudian, setiap x yang dekatdengan c dalam kriteria ini mengakibatkan nilai f(x) dekat dengan L. Sebelum masuk kedenisi formal limit fungsi, diberikan terlebih dahulu pegertian titik limit (cluster point)

suatu himpunan.

Denisi 3.1. [Titik Limit] Misalkan A R. Sebuah titik c R dikatakan titik limitA jika setiap persekitaran V(c) := (c , c + ) memuat paling sedikit satu anggota Aselain c, atau

(c , c+ ) A \ {c} 6= , > 0.Catatan 1. Titik limit A boleh jadi anggota A atau bukan anggota A. Sebaliknya, suatuanggota A dapat menjadi titik limit atau bukan titik limit A.

Sebelum diberikan contoh diperhatikan teorema yang menjamin adanya barisan di dalam

A yang konvergen ke titik limit A yang dapat dijadikan kriteria titik limit.

Teorema 3.1. Sebuah bilangan c A titik limit A bila hanya bila terdapat barisan (an)dalam A dengan an 6= c untuk setiap n N sehingga lim(an) = c.Bukti. Misalkan c titik limit. Untuk setiap n N, bentuk persekitaran radius := 1n ,yaitu V 1

n(c) = (c 1n , c+ 1n). Selalu ada an AV 1n dengan an 6= c. Karena berlaku

|anc| < 1n maka disimpulkan lim(an) = c. Sebaliknya, diketahui terdapat barisan

1


(an) dalam A, an 6= c dan lim(an) = c, dibuktikan c seperti ini adalah titik limit A.Karena diketahui lim(an) = c maka untuk sebarang > 0 terdapat bilangan asli Ksehingga |an c| < untuk setiap n K. Ini berarti, khususnya aK A, aK 6= cdan aK V yaitu A V \ {c} 6= . Terbukti c titik limit A. Contoh 3.1. Diberikan himpunan A yang didenisikan sebagai

A = {1} {x R : 0 x < 1} {2}.

Tentukan himpunan semua titik limit A.

Penyelesaian. Diperhatikan bahwa setiap x [0, 1] dan setiap > 0 maka berlaku (x, x+ )A \ {x} 6= . Jadi setiap x [0, 1] merupakan titik imit A. Diperhatikanx = 1 A. Kita dapat memilih 1 > 0 sehingga (1 1,1 + 1) A = {1}sehingga (1 1,1 + 1) A \ {1} = , jadi x = 1 bukan titik limit A.Argumen yang sama diterapkan untuk x = 2. Diperoleh himpunan titik lmit Aadalah [0, 1].

Gambar 3.1: Ilustrasi titik limit pada garis bilangan

Diperhatikan pada contoh ini, 1 / A tetapi 1 titik limit A. Sebaliknya 2 A tetapi2 bukan titik limit A. Bilangan di dalam interval [0, 1) kesemuanya anggota A dansekaligus titik limit A.

Berikut diberikan beberapa fakta sederhana tentang titik limit:

I Himpunan yang banyak anggotanya berhingga tidak mempunyai titik limit.I Himpunan bilangan asli N tidak mempunyai titik limit.I Himpunan bilangan rasional Q mempunyai titik limit semua bilangan real. Hal inidisebabkan sifat kepadatan bilangan rasional di dalam R.

I Himpunan A ={1n : n N

}hanya mempunyai titik limit 0. Dalam kasus ini tidaksatupun anggota A menjadi titik limitnya.

Selanjutnya denisi limit fungsi diberikan sebagai berikut.

Denisi 3.2. [Limit Fungsi] Misalkan A R dan f : A R, c titik limit A. BilanganL dikatakan limit fungsi f di c, ditulis

L = limxc f(x) (3.1)

adalah bilamana diberikan > 0 terdapat > 0 sehingga berlaku

0 < |x c| < |f(x) L| < . (3.2)

Pada denisi ini, nilai biasanya bergantung pada nilai yang diberikan sehingga kadang-kadang ditulis sebagai () untuk menunjukkan ketergantungan pada yang diberikan.Bila limit L ini ada maka fungsi f dikatakan juga konvergen ke L di c. Secara praktis,dapat dikatakan f(x) mendekati L bilamana x mendekati c. Ukuran dekat f(x)terhadap L diberikan oleh , dan kedekatan x dengan c diukur oleh . Pada ekspresi

2


c c+c+

V (c)

L

L-

L+

V (L)

diberikan

terdapat

|f(x) -L|<

Gambar 3.2: Ilustrasi denisi limit fungsi

(3.3) kita dapat membuat f(x) sedekat mungkin dengan L dengan memilih x yang dekatdengan c.

Ilustrasi denisi limit fungsi diberikan pada Gambar 3.2. Pernyataan 0 < |x c| < pada (3.3) menunjukkan bahwa untuk berlakunya |f(x)L| < tidak memperhitungkanx yang sama dengan c. Artinya pada denisi limit, nilai f(c) tidak perlu ada. Ingat, titiklimit himpunan domain A tidak harus di dalam A. Oleh karena itulah, ilustrasi grakdenisi limit menggunakan dot di titik x = c.Pengertian yang hampir sama untuk fungsi kontinu di x = c, seperti diungkapkan berikutini.

Denisi 3.3. [Fungsi Kontinu] Misalkan A R dan f : A R, c A . Fungsif dikatakan kontinu di c, adalah bilamana diberikan > 0 terdapat > 0 sehinggaberlaku

|x c| < |f(x) f(c)| < . (3.3)Kontinu pada himpunan A berarti kontinu di setiap c A.

Dalam kasus c A dan c titik limit A maka kedua pengertian limit dan kekontinuansangat terkait seperti diungkapkan pada teorema berikut.

Berdasarkan denisi ini, syarat perlu agar fungsi f kontinu di c adalah f(c) harus adaatau terdenisi. Syarat ini tidak berlaku pada kasus limit, yakni nilai limit fungsi di cdapat saja ada walaupun nilai f(c) tidak ada. Ilustrasi fungsi kontinu di c diberikanpada Gambar 3.3.

Teorema 3.2. Misalkan A R dan f : A R, c A. Bila c titik limit A maka keduapernyataan berikut ekuivalen.

(i) f kontinu di c

(ii) limxc f(x) = f(c)

Bukti. Untuk mudahnya kita bentuk dua himpunan berikut

E1 := {x A : 0 < |x c| < }, E2 := {x A : |x c| < }.Jadi E2 E1. Diketahui f kontinu di c berarti x E2 |f(x) f(c)| < .Misalkan x E1 maka x E2 atau x = c. Bila x E2 maka (3.2) berlaku dengan

3


c c+c+

V (c)

f(c)

f(c) -

f(c)+

V (f(c))

diberikan

terdapat

|f(x) -f(c)|<

Gambar 3.3: Ilustrasi fungsi f kontinu di c

L = f(c). Untuk kemungkinan x = c berlaku |f(x) f(c)| = |f(c) f(c)| = 0 < sehingga (3.2) juga dipenuhi. Terbukti limxc f(x) = f(c). Sebaliknya, diketahuilimxc f(x) = f(c) yaitu x E1 |f(x) f(c)| < . Karena E2 E1 makaberlaku x E2 |f(x) f(c)| < , yaitu f kontinu di c. Contoh 3.2. Misalkan f fungsi konstan pada R, katakan f(x) = b untuk setiap x R.Buktikan untuk sebarang c R, berlaku limxc b = b. Kemudian simpulkan bahwa fkontinu di c.

Penyelesaian. Diberikan > 0 sebarang, ambil := 1 maka diperoleh

0 < |x c| < |f(x) L| = |b b| = 0 < .Jadi terbukti limxc f(x) = f(c). Karena c Rmerupakan titik limit maka denganteorema 3.2 maka disimpulkan f kontinu di c.

Catatan 2. Pengambilan pada pembuktian di atas dapat selain 1, bahkan berapapunboleh. Pembuktian ini menggunakan pola p q dimana q sudah dipastikan benar.Contoh 3.3. Buktikan untuk sebarang c R, limxc x = c. Kemudian simpulkanbahwa f(x) := x kontinu di c.

Penyelesaian. Untuk setiap > 0 yang diberikan, ambil := . Diperoleh

0 < |x c| < |f(x) L| = |x c| < = .Karena itu terbukti limxc x = c. Karena berlaku limxc f(x) = f(c) dan c titiklimit maka disimpulkan f kontinu di c.

Contoh 3.4. Misalkan f(x) = x2, x R. Buktikan f kontinu pada R.Bukti. Misalkan c R. Kita perhatikan dulu penjabaran berikut

|f(x) f(c)| = |x2 c2| = |x+ c||x c|.Karena sudah ada suku |x c| maka kita perlu melakukan estimasi pada suku|x+ c|. Untuk itu diasumsikan dulu |x c| < 1, maka berlaku

||x| |c|| |x c| < 1 1 < |x| |c| 1 |x| |c|+ 1.

4


Untuk asumsi ini diperoleh estimasi pada |x+ c|, yaitu

|x+ c| |x|+ |c| 2|c|+ 1.

Secara keseluruhan diperoleh estimasi

|f(x) f(c)| = |x+ c||x c| < (2|c|+ 1) |x c|. ()

Agar kuantitas terakhir ini kurang dari maka haruslah

|x c| < 2|c|+ 1 . ()

Agar kedua |x c| < 1 dan |x c| < 2|c|+1 dipenuhi maka diambil

= () := min

{1,

2|c|+ 1}.

Jadi jika 0 < |x c| < maka (*) dan (**) berlaku sehingga disimpulkan |f(x)f(c)| < . Jadi, limxc f(x) = f(c), dan terbukti f kontinu di c. Ada kalanya sebuah fungsi tidak kontinu di suatu titik c dikarenakan ia tidak terdenisidi c, yaitu f(c) tidak ada. Tetapi, asalkan limitnya di c ada maka fungsi tersebut dapatdiperluas menjadi fungsi kontinu.

Contoh 3.5. Diberikan fungsi f(x) = x21x1 , x 6= 0 tidak kontinu di 1 karena f(1) tidakada. Namun, berlaku

limx1

f(x) = limx1

x2 1x 1 = limx1(x+ 1) = 2.

Jadi fungsi ini dapat diperluas menjadi fungsi kontinu pada R sebagai berikut

f(x) =

{x21x1 untukx 6= 02 untuk x = 0.

3.2 Kriteria Barisan untuk Limit dan Kekontinuan

Untuk mengetahui limit dan kekontiunuan fungsi di suatu titik dapat dideteksi melalui

limit barisan yang sudah dipelajari pada bab sebelumnya.

Teorema 3.3. Misalkan f : A R dan c titik limit A. Maka kedua pernyataan berikutekuivalen.

(i) limxc f(x) = L

(ii) Untuk setiap barisan (xn) di dalam A yang konvergen ke c, xn 6= c untuk setiapn N, maka barisan (f(xn)) konvergen ke L.Bukti. (i)(ii). Diberikan > 0 sebarang. Karena diketahui limxc f(x) = L, makaterdapat > 0 sehingga jika 0 < |x c| < berlaku |f(x) L| < . Misalkanlim(xn) = c, xn 6= c. Berdasarkan denisi limit barisan, untuk > 0 sebelumnyaterdapat K N sehingga |xn c| < untuk setiap n K. Karena xn 6= c makadapat ditulis 0 < |xn c| < , sehingga berlaku |f(xn) L| < untuk setiapn K. Ini menunjukkan bahwa barisan (f(xn)) konvergen ke L.(ii)(i). Dibuktikan melalui kontraposisinya. Diketahui limxc f(x) 6= L, berarti

5


ada 0 > 0 sehingga setiap > 0 terdapat x A, 0 < |x x| < tetapi|f(x) x| 0. Bila para > 0 tersebut diambil sebagai := 1n > 0 untuksetiap n N maka terbentuk barisan (xn) dengan sifat 0 < |xn c| < 1n , xn Atetapi |f(xn) L| 0 untuk setiap n N. Ini berarti barisan (f(xn)) tidakmungkin konvergen ke L. Jadi ada barisan (xn) dalam A, xn 6= c tetapi (f(xn))tidak konvergen ke L. Pernyataan (ii) salah. Bukti teorema selesai.

Dengan demikian diperoleh kriteria divergen sebagai berikut:

(a) limxc f(x) 6= L bila hanya bila ada barisan (xn) dalam A dengan xn 6= c, (xn)konvergen ke c tetapi barisan lim (f(xn)) 6= L.(b) limxc f(x) tidak ada bila hanya bila ada barisan (xn) dalam A dengan xn 6= c, (xn)konvergen ke c tetapi barisan f(xn) tidak konvergen.

(c) limxc f(x) tidak ada bila hanya bila ada dua barisan (xn), (yn) dalam A denganxn, yn 6= c, (xn) dan (yn) konvergen ke c tetapi lim (f(xn)) 6= lim (f(yn)).Contoh 3.6. Buktikan limx0 1x tidak ada.

Bukti. Di sini kita mempunyai f(x) = 1x . Ambil barisan (xn) dengan xn :=1n . Je-

las barisan ini konvergen ke 0, xn 6= 0. Sekarang perhatikan barisan (f(xn)) =(1

1/n

)= (n) = (1, 2, 3, ) tidak konvergen. Berdasarkan kriteria (b) maka ter-bukti limitnya tidak ada.

Contoh 3.7. Diberikan fungsi signum yang didenisikan sebagai berikut

sgn(x) : =

+1 untuk x > 0,

0 untuk x = 0,

1 untuk x < 0.Buktikan limx0 sgn(x) tidak ada.

Bukti. Ambil dua barisan (xn) dan (yn) dengan xn :=1n dan yn := 1n . Jelas keduabarisan ini konvergen ke 0 dan setiap sukunya tidak ada yang sama dengan 0. Diper-hatikan barisan (sgn(xn)) =

(sgn

(1n

))= (1) = (1, 1, ) konvergen ke 1, tetapi

(sgn(yn)) =(sgn( 1n)

)= (1) = (1,1, ) konvergen ke 1. Berdasarkankriteria (c) maka terbukti limitnya tidak ada.

Cara lain dapat menggunakan sifat bahwa sgn(x) = x|x| untuk x 6= 0. Dengan mengam-bil xn :=

(1)nn maka barisan (xn) konvergen ke 0, xn 6= 0. Tetapi (sgn(xn)) =(sgn

((1)nn

))= (1)n = (1,+1,1, ) divergen.

Contoh 3.8. Buktikan lim sin 1x tidak ada.

Bukti. Di sini kita mempunyai f(x) = sin 1x , x 6= 0. Ambil dua barisan (xn) dan (yn)dimana xn :=

1npi , yn :=

1(pi/2+2pin) . Maka jelas kedua barisan ini konvergen ke nol

dan suku-sukunya tidak pernah sama dengan nol. Namun, barisan

(f(xn)) = (sin npi) = (1, 1, ) 1(f(yn)) = (sin (pi/2 + 2pin)) = (0, 0, ) 0sehingga berdasarkan kriteria (c) maka disimpulkan limitnya tidak ada.

Ilustrasi grak fungsi f(x) = sin 1x diberikan pada Gambar 3.4 . Pada gambar ini terlihatjelas bahwa nilai fungsi f selalu berada di dalam interval [1, 1], semakin dekat x kepada0 semakin cepat oskilasinya tetapi nilai f(x) tidak menuju titik apapun.

6


0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.41

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gambar 3.4: Grak fungsi f(x) = sin(1/x)

Teorema 3.4. Misalkan f : A R dan c A. Maka kedua pernyataan berikutekuivalen.

(i) f kontinu di c

(ii) Untuk setiap barisan (xn) di dalam A yang konvergen ke c, maka barisan (f(xn))konvergen ke f(c).

Bukti. Gunakan fakta f kontinu di c bila hanya bila limxc f(x) = f(c) dan ambilL := f(c). Selanjutnya gunakan teorema kriteria barisan untuk limit.

Dengan demikian diperoleh kriteria diskontinu sebagai berikut

Fungsi f tidak kontinu di c jika hanya jika terdapat barisan (xn) dalam A sehingga (xn)konvergen ke c tetapi (f(xn)) tidak konvergen ke f(c).

Contoh 3.9. Beberapa fungsi tidak kontinu

(a) Fungsi (x) := 1/x tidak kontinu di 0 sebab (0) tidak ada. Juga, fungsi initidak mempunyai limit di 0.

(b) Fungsi s(x) := sgn(x) tidak kontinu di 0, karena limx0 s(x) tidak ada,seperti telah dibahas sebelumnya.

Berikut ini diberikan contoh fungsi yang tidak kontinu dimana-mana pada R.

Contoh 3.10. Diberikan fungsi Dirichlet sebagai berikut

f(x) :=

{1 bila x rasional

0 bila x irrasional.

Buktikan f tidak kontinu dimana-mana.

Bukti. Misalkan c bilangan real sebarang. Ditunjukan f tidak kontinu di c. Bila cbilangan rasional maka dengan sifat kepadatan bilangan rasional, selalu terda-

pat barisan bilangan irrasional (xn) yang konvergen ke c. Jadi lim(xn) = c,tetapi barisan (f(xn)) = (0, 0, 0, ) sehingga lim (f(xn)) = 0 6= f(c) = 1. Se-baliknya bila c bilangan irrasional maka terdapat barisan bilangan rasional (yn)yang konvergen ke c. Dengan argumen yang sama seperti sebelumnya, diperolehlim (f(xn)) = 1 6= f(c) = 0. Jadi f tidak kontinu di c untuk setiap c R.

7


3.3 Teorema tentang Limit

Pada pembahasan limit barisan, berlaku bahwa jika barisan konvergen maka ia terbatas

tetapi tidak berlaku sebaliknya. Sifat yang sama berlaku pada fungsi yang mempunyai

limit, tetapi keterbatasan dalam arti lokal.

Denisi 3.4. Misalkan f : A R, dan c R titik limit A. Fungsi f dikatakanterbatas lokal di c jika terdapat persekitaran V(c) dan konstanta M > 0 sehingga|f(x)| M untuk setiap x A V(c).Teorema 3.5. Bila f : A R mempunyai limit di c R maka f terbatas lokal di c.Bukti. Misalkan L := limxc f(x), maka berdasarkan denisi untuk = 1, terdapat

> 0 sehingga untuk setiap x A dengan 0 < |x c| < berlaku |f(x) L| < 1,yang berakibat |f(x)| < |L| + 1. Sedangkan untuk x = c maka |f(x)| = |f(c)|.Dengan mengambil M := sup {|f(c)|, |L|+ 1} maka diperoleh |f(x)| M untuksetiap x A V(c). Operasi penjumlahan, perkalian, perkalian skalar dan pembagian fungsi-fungsi diden-

isikan sebagai berikut

(f + g) (x) := f(x) + g(x), (fg) (x) := f(x)g(x), (f) (x) := f(x),

(f

h

)(x) :=

f(x)

h(x)

dimana domain fungsi-fungsi tersebut sama. Khusus untuk pembagian, disyaratkan

h(x) 6= 0 untuk setiap x.Teorema 3.6. Misalkan f, g : A R, c R titik limit A. Bila f dan g mempunyailimit di c, katakan limxc f(x) = F dan limxc g(x) = G maka berlaku

1. limxc (f g) (x) = F G2. limxc (fg) (x) = FG

3. limxc (f) (x) = F untuk suatu konstanta .

4. limxc(fg

)(x) = FG asalkan G 6= 0 dan g(x) 6= 0 untuk setiap x.

Bukti. Teorema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan denisi limit fungsi, tetapi

lebih mudah menggunakan kriteria barisan untuk limit. Misalkan (xn) suatubarisan dalam A dimana xn 6= c dan lim(xn) = c, maka berlaku

lim (f(xn)) = F, dan lim (g(xn)) = G.

Diperoleh

lim ((f g) (xn)) = lim (f(xn) g(xn))= lim (f(xn)) lim (g(xn))= F G.Dengan menggunakan kriteria barisan untuk limit, hasil terakhir ini memberikan

kesimpulan bahwa limxc (f g) (x) = F G, yang membuktikan pernyataan (i).Untuk pernyataan lainnya dapat dibuktikan dengan cara yang sama.

Diperhatikan khusus untuk perkalian, bila terdapat beberapa fungsi f1, f2, , fn denganmasing-masing limxc fk(x) = Fk maka berlaku

limxc (f1f2 fn) (x) =

(limxc f1(x)

)(limxc fk(x)

) (limxc fn(x)

)= F1F2 Fn.

8


Lebih khusus, jika f1 = f2 = = fn := f maka diperoleh

limxc (f(x))

n =(limxc f(x)

)n= Fn.

Jika p suatu polinomial pada R, yaitu p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0 makadengan menggunakan sifat limit hasil kali fungsi diperoleh

limxc p(x) = anc

n + an1cn1 + + a1c+ a0 = p(c).

Selanjutnya, jika p(x) dan q(x) polinomial dan jika q(c) 6= 0 maka berlaku

limxc

p(x)

q(x)=p(c)

q(c).

Teorema berikut memberikan kepastian bahwa bila nilai fungsi f(x) terbatas dalam suatuinterval, maka begitu juga nilai limitnya.

Teorema 3.7. Misalkan f : A R, c R titik limit A. Bila a f(x) b untuksemua x A, x 6= 0 dan limxc f(x) ada maka

a limxc f(x) b.

Bukti. Misalkan (xn) suatu barisan dalam A dimana xn 6= c dan lim(xn) = c makaberlaku lim (f(xn)) = limxc f(x). Karena a f(xn) b untuk setiap n Nmaka a limxc (f(xn)) b. Jadi, a limxc (f(x)) b. Teorema 3.8. Misalkan f, g, h : A R dan c R titik limit A. Bila diketahui

f(x) g(x) h(x)

untuk setiap x A, x 6= c dan limxc f(x) = L = limxc h(x) maka limxc g(x) = L.Bukti. Teorema ini adalah teorema squeeze untuk limit fungsi. Pembuktiannya meng-

gunakan teorema squeeze untuk limit barisan. Untuk sebarang barisan (xn) dalamA dimana xn 6= c dan lim(xn) = c, maka berlaku

f(xn) g(xn) h(xn).

Dengan memandang (f(xn)) , (g(xn)) dan (h(xn)) sebagai tiga barisan bilanganreal maka berlaku

lim (g(xn)) = lim (f(xn)) = lim (h(xn)) = L,

sehingga disimpulkan limxc g(x) = L.

Teorema squeeze ini biasanya digunakan untuk membuktikan nilai limit suatu fungsi

dengan cara membangun dua fungsi lainnya yang selalu mendominasi dari bawah dan

dari atas. Kedua fungsi tersebut mempunyai nilai limit yang sama.

Berikut diberikan beberapa contoh limit yang memuat fungsi trigonometri yang sering

muncul sebagai rumus limit. Namun, sebelumnya diberikan beberapa fakta pembatas

yang berkaitan dengan fungsi sinus dan cosinus.

(i) x sinx x untuk setiap x 0.(ii) 1 x22 cosx 1untuk setiap x 0.

9


(iii) x x36 sinx x untuk setiap x 0.

Contoh 3.11. Buktikan limit sebagai berikut :

1. limx0 sinx = 0,

2. limx0 cosx = 1,

3. limx0(cosx1

x

)= 0,

4. limx0(sinxx

)= 1,

5. limx0 x sin(1x

)= 0.

Bukti. Karena berlaku x sinx x untuk setiap x 0 (berdasarkan (i)) danlimx0x = limx0 x = 0 maka dengan menggunakan teorema squeeze di per-oleh

0 = limx0x lim

x0sinx lim

x0x = 0

sehingga terbukti limx0 sinx = 0. Untuk limx0 cosx menggunakan (ii), yaitu1 x22 cosx 1. Karena limx0(1 x

2

2 ) = limx0 1 = 1 maka diperolehlimx0 cosx = 1. Selanjutnya, dengan (ii) diperoleh

x2

2 cosx 1 0, untuk x 0

Untuk x > 0 berlaku

x2 cosx 1

x 0dan untuk x < 0 diperoleh

0 cosx 1x

x2.

Bila diambil fungsi f dan h sebagai berikut

f(x) : =

{x2 untuk x 00 untuk x < 0

, h(x) :=

{0 untuk x 0x2 untuk x < 0maka untuk x 6= 0 berlaku

f(x) cosx 1x

h(x).

Karena limx0 f(x) = limx0 h(x) = 0 maka disimpulkan limx0(cosx1

x

)= 0.

Untuk soal 4, dengan menggunakan (iii) berlaku x x36 sinx x untuk x 0dan x sinx x x36 untuk x 0. Jadi untuk x 6= 0 berlaku

1 x2

6 sinx

x 1.

Karena limx0(1 x26

)= limx0 1 = 1 maka disimpulkan limx0

(sinxx

)= 1.

Untuk pertanyaan 5, gunakan kenyataan bahwa 1 sin z 1 untuk semuabilanga real z. Dengan mengganti z = 1x , x 6= 0 maka diperoleh

1 sin 1x 1.

Gunakan denisi nilai mutlak. Kalikan ketiga ruas ekspresi terakhir ini dengan

x > 0 diperoleh

|x| = x x sin 1x x = |x|.

10


Bila dikalikan dengan x < 0 diperoleh

|x| = x x sin 1x x = |x|

Jadi untuk setiap x R dan x 6= 0 berlaku

|x| x sin 1x |x|.

Karena limx0|x| = limx0 |x| = 0 maka disimpulkan limx0 x sin(1x

)= 0.

Fungsi x sin 1x berkelakuan seperti fungsi sin1x sebelumnya tetapi ia semakin dekat kepada

nol nilainya semakin mengecil mengikuti corong yang terbentuk oleh garis y = x dany = x. Pola ini ditunjukkan pada Gambar 3.5.

0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Gambar 3.5: Grak fungsi y = x sin(1x

)

3.4 Sifat-sifat Fungsi Kontinu

Sifat-sifat fungsi kontinu banyak yang mengikuti sifat-sifat yang berlaku pada limit

fungsi. Jumlahan, perkalian, perkalian skalar fungsi-fungsi kontinu membentuk fungsi

kontinu yang baru. Pembagian dua fungsi kontinu juga merupakan fungsi kontinu asalkan

fungsi penyebutnya tidak pernah nol.

Sifat aljabar fungsi kontinu

Teorema 3.9. Misalkan f, g : A R, c A. Bila f dan g kontinu di c maka1. Fungsi-fungsi f g, fg dan f kontinu di c.2. Bila h : A R kontinu di c A dan h(x) 6= 0 untuk semua x A maka fungsi

fh kontinu di c.

Bukti. Hanya akan dibuktikan bagian 2, sisanya dapat dibuktikan sendiri. Gunakan

fakta limxc f(x) = f(c), dan limxc h(x) = h(c). Karena c A dan f(c) 6= 0maka berlaku

f

h(c) =

f(c)

h(c)=

limxc f(x)limxc h(x)

= limxc

f

h(x)

sehingga disimpulkan

fg kontinu di c.

11


Contoh 3.12. Bentuk-bentuk fungsi kontinu :

1. Fungsi polinomial p(x) = anxn+an1xn1+ +a1x+a0 kontinu di setiap bilanganreal c.

2. Bila p(x) dan q(x) fungsi rasional dan 1, 2, , m akar q(x)maka fungsi rasional

r(x) =p(x)

q(x), x / {1, 2, , m}

kontinu di setiap c yang bukan akar q(x).

3. Fungsi s(x) = sinx dan c(x) = cosx kontinu pada R.

4. Fungsi tanx, cotx, secx dan cscx kontinu dimana mereka terdenisi.

Kekontinuan fungsi nilai mutlak dan fungsi akar

Teorema 3.10. Misalkan f : A R, kemudian didenisikan fungsi nilai mutlak danfungsi akar sebagai berikut

|f |(x) := |f(x)|, danf(x) :=

f(x).

1. Bila f kontinu pada A maka demikian juga dengan |f |.2. Bila f(x) 0 dan f kontinu pada A maka f kontinu pada A.Bukti. Gunakan sifat ||f(x)| |L|| |f(x) L| untuk menunjukkan berlaku

limxc |f |(x) = | limxc f(x)|,

sehingga diperoleh

limxc |f | (x) =

limxc f(x)

= |f(c)| = |f |(c).Jadi |f | kontinu di c. Untuk fungsi akar, gunakan hubungan

f(x)L =1

f(x)+L|f(x) L| 1

L|f(x) L| untuk menunjukkan bahwa limxc

f(x) =

limxc f(x). Selanjutnya, gunakan fakta ini untuk menunjukkan kekontinuan-nya.

Kekontinuan fungsi komposisi

Berikut diberikan syarat kontinu agar komposisi fungsi kontinu juga kontinu.

Teorema 3.11. Bila A,B R, f : A R dan g : B R. Bila f kontinu di c A,g kontinu f(c) dan f(A) B maka komposisi g f : A R kontinu di c.Bukti. Diberikan > 0 sebarang. Karena g kontinu di f(c) maka terdapat 1 > 0sehingga

y B dan |y f(c)| < 1 |g(y) g(f(c))| < . ()Karena f kontinu di c maka untuk 1 > 0 di atas, terdapat > 0 sehingga

x A dan |x c| < |f(x) f(c)| < 1. ()

12


Karena f(A) f(B)maka f(x) B sehingga ruas kiri () dipenuhi oleh y = f(x).Jadi ruas kanan () berlaku, yaitu

|g(f(x) g(f(c))| = |g f(x) g f(c)| < .

Kesimpulannya, setiap > 0 terdapat > 0 sehingga

x A dan |x c| < |g f(x) g f(c)| < ,

yakni g f kontinu di c. Contoh 3.13. Pada contoh ini diberikan cara lain membuktikan kekontinuan fungsi nilai

mutlak dan fungsi akar kontinu.

(a) Dengan mendensikan g1 := |x| maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa g1kontinu pada A, yaitu menggunakan ketidaksamaan segitiga

|g1(x) g1(c)| = ||x| |c|| |x c|.

Bila f : A R sebarang fungsi kontinu pada A maka g1 f = |f | kontinu pada A.(b) Dengan mengambil g2(x) :=

x, x 0 maka g2 dapat ditunjukkan kontinu disetiap c 0, yaitu dengan menggunakan hubungan

xc = x cx+c = 1x+c |x c| 1c |x c| .Bila f : A R, dengan f(x) 0 sebarang fungsi kontinu pada A maka g2f =

fkontinu pada A.

Bila syarat f(A) B atau g kontinu di f(c) tidak terpenuhi maka ada kemungkinan kom-posisi dua fungsi kontinu tidak kontinu, seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut.

Contoh 3.14. Misal diberikan fungsi f dan g yang didenisikan sebagai berikut

g(x) :=

{0 bila x = 1

2 bila x 6= 1 , f(x) := x+ 1, x R.

Buktikan g dan f kontinu di 0 tetapi g f tidak kontinu di 0. Apakah hasil ini berten-tangan dengan teorema sebelumnya?

Bukti. Untuk fungsi g, limx0 g(x) = limx0 2 = 2 = g(0) yakni g kontinu di 0. Karenaf berupa fungsi linier atau polinomial derajat satu maka ia pasti kontinu di 0.Sekarang bentuk komposisi g f sebagai berikut

(g f) (x) = g (f(x)) ={0 bila f(x) = 1

2 bila f(x) 6= 1 ={0 bila x = 0

2 bila x 6= 0 .

Uji kekontinuan sebagai berikut

limx0

g f(x) = limx0

2 = 2 6= g f(0) = 0,

sehingga disimpulkan g f tidak kontinu di 0. Diperhatikan salah satu syaratteorema adalah g kontinu di f(c). Karena f(0) = 1 dan limx1 g(x) = 2 6= g(1) = 0maka g tidak kontinu di f(0) = 1. Karena ada syarat pada teorema tidak dipenuhimaka fakta ini tidak bertentangan dengan teorema.

13


Eksistensi ekstrim mutlak

Eksistensi nilai maksimum dan minimum mutlak sangat banyak digunakan dalam teori

optimasi. Teori optimasi merupakan salah satu kajian dalam matematika yang banyak

digunakan dalam bidang terapan, khususnya dalam menentukan nilai yang mengopti-

mumkan suatu fungsi objektif. Sebelumnya diberikan pengertian fungsi terbatas dan

kaitannya dengan fungsi kontinu.

Denisi 3.5. Sebuah fungsi f : A R dikatakan terbatas pada A jika terdapatkonstanta M > 0 sehingga

|f(x)| M untuk semua x A.

Dengan kata lain, fungsi f terbatas jika rentang (range) bayangannya merupakan him-punan terbatas.

Contoh 3.15. Fungsi f(x) := 1x kontinu pada A := (0,) tetapi tidak terbatas pada Akarena setiap bilangan real > 0 terdapat x A, misalnya x = 1+1 sehingga |f(x)| > .Namun, ia terbatas dan kontinu pada himpunan takterbatas B := (1,) yaitu denganmengambil M = 1. Pada himpunan terbatas C = (0, 1], fungsi f kontinu tetapi tidakterbatas.

Keterbatasan fungsi kontinu pada suatu interval akan terjamin bila interval tersebut

terbatas dan tertutup seperti diungkapkan pada teorema berikut.

Teorema 3.12. Jika I := [a, b] suatu interval tertutup dan f : I R kontinu maka fterbatas pada I.

Bukti. Andai f tidak terbatas pada I. Maka, untuk sebarang n N terdapat bilanganxn I sehingga |f(xn)| > n. Karena I terbatas maka ia memuat barisan bagianX = (xnr) dari X = (xn) yang konvergen ke suatu bilangan x (Teorema Bolzano-Wierestrass). Karena I tertutup dan xnr I maka x I. Karena f kontinu disetiap anggota I maka f kontinu di x sehingga barisan (f(xnr)) konvergen ke f(x).Jadi, (f(xnr)) barisan terbatas. Padahal berlaku

|f(xnr)| > n nr untuk setiap r Nyang menyatakan bahwa (f(xnr)) tidak terbatas. Diperoleh suatu kontradiksi.Jadi, pengandaian f tidak terbatas adalah salah. Kesimpulan, teorema terbikti.

Denisi 3.6. Misalkan f : A R. Kita katakan f mempunyai sebuah maksimummutlak (absolute maximum) pada A jika terdapat titik x A sehingga

f(x) f(x) untuk semua x A.Dikatakan f mempunyai minimum mutlak pada A jika terdapat titik x A sehingga

f(x) f(x) untuk setiap x A.Selanjutnya, titik x disebut titik maksimum mutlak dan x disebut titik minimummutlak.

Contoh 3.16. Fungsi f(x) := 1x tidak mempunyai maksimum maupun minimum mutlakpada domain A = (0,), tetapi pada domain B = [1, 2] mempunyai maksimum mutlakdan minimum mutlak dengan titik maksimum x = 1 dan titik minimum x = 2. Fungsig(x) := x2 mempunyai dua maksimum mutlak pada domain C := [1, 1] yaitu x = 1dan satu minimum mutlak dengan x = 0. Perhatikan Gambar

14


Gambar 3.6: Ilsutrasi maksimum dan minimum mutlak Contoh 3.16

Teorema 3.13. Jika I := [a, b] suatu interval tertutup dan f : I R kontinu maka fmempunyai maksimum dan minimum mutlak pada I.

Bukti. Karena f terbatas maka range f(I) := {f(x) : x I} merupakan himpunan ter-batas. Berarti ia mempunyai supremum dan inmum, katakan s = sup f(I)dan s = inf f(I). Kita tunjukkan terdapat x, x I sehingga f(x) = s danf(x) = s. Karena s = sup f(I) maka untuk setiap n N, terdapat xn Isehingga

s 1n< f(xn) s. (#)Karena I terbatas maka barisan X := (xn) terbatas, sehingga ia memuat barisanbagian X = (xnr) yang konvergen ke suatu x I. Jadi f kontinu di x. Akibat-nya, lim(f(xnr)) = f(x

). Mengikuti (#), diperoleh

s 1nr

< f(xnr) s untuk setiap r N.

Karena lim(s 1nr ) = lim(s) = s maka dengan teorema squeeze, disimpulkanbahwa

lim (f(xnr)) = f(x) = s.

Untuk eksistensi titik minimum x dibuktikan sejalan.

3.5 Limit Satu Sisi

Sebelumnya telah ditunjukkan bahwa limit fungsi signum di 0 tidak ada. Tetapi jikadomainnya dibatasi pada interval (0,) maka limitnya ada yaitu bernilai 1. Juga, biladomainnya hanya dibatasi pada interval (, 0)maka limitnya juga ada yaitu 1. Kasusseperti ini mengilhami pengertian limit kanan dan limit kiri yang dimodikasi langsung

dari pengertian limit biasa. Limit kiri dan limit kanan dikenal dengan istilah limit satu

sisi, sedangkan limit biasa dikenal dengan limit dua sisi.

Denisi 3.7. Misalkan A R dan f : A R.1. Bila c R titik limit A(c,) = {x A : x > c}, maka bilangan real L dikatakanlimit kanan f di c, ditulis

L = limxc+

f(x)

adalah jika diberikan > 0 sebarang terdapat > 0 sehingga untuk semua x Adengan 0 < x < c+ maka berlaku |f(x) L| < .2. Bila c R titik limit A (, c) = {x A : x < c}, maka bilangan real Ldikatakan limit kiri f di c, ditulis

L = limxc

f(x)

adalah jika diberikan > 0 sebarang terdapat > 0 sehingga untuk semua x Adengan c < x < 0 maka berlaku |f(x) L| < .

15


c- c

L

L-

L+

diberikan

terdapat

|f(x) -L|<

c c+

L

L-

L+

diberikan

terdapat

|f(x) -L|<

Gambar 3.7: Ilustrasi limit kiri (panel kiri) dan limit kanan (panel kanan)

Biasanya notasi L = limxc+ f(x) dibaca L adalah limit fungsi f untuk x mendekati cdari kanan. Analog untuk limit kiri.

Secara geometri kedua pengertian limit ini diberikan pada Gambar 3.7 . Pada kedua

denisi ini, adanya nilai f(c) tetap tidak disyaratkan.

Analog kriteria barisan untuk limit dapat diadaptasikan langsung pada limit satu sisi,

seperti diungkapkan pada teorema berikut.

Teorema 3.14. Misalkan A R dan f : A R, maka berlaku pernyataan berikut:limxc+ f(x) = L bila hanya bila untuk setiap barisan (xn) yang konvergen ke c dimanaxn A dan xn > c berakibat barisan (f(xn)) konvergen ke L R.limxc f(x) = L bila hanya bila untuk setiap barisan (xn) yang konvergen ke c dimanaxn A dan xn < c berakibat barisan (f(xn)) konvergen ke L R.Bukti. Dapat dibuktikan sendiri dengan adaptasi teorema yang mirip untuk limit dua

sisi. Berikut ini hubungan limit satu sisi dan limit dua sisi :

limxc f(x) = L bila hanya bila limxc f(x) = limxc+ f(x) = L

Contoh 3.17. Diperhatikan kembali fungsi signum. Diperoleh

limx0+sgn(x) = 1, lim

x0sgn(x) = 1.

Karena limit kiri dan limit kanan tidak sama maka limit dua sisinya limx0 sgn(x) tidakada.

Adakalanya, salah satu limit kiri atau limit kanan tidak ada. Sebagai ilustrasi amati

contoh berikut.

Contoh 3.18. Fungsi g(x) := e1/x, x 6= 0 tidak mempunyai limit kanan di 0 tetapi limitkirinya ada yaitu 0 (Why???). Fungsi h(x) := 1

e1/x+1, x 6= 0 mempunyai limit kiri di 0yaitu 1, sedangkan limit kanannya 0 (Why ???). Karena limit kiri dan kanan tidak samamaka limit dua sisinya tidak ada.

3.6 Kekontinuan Seragam dan Fungsi Lipschitz

16

Limit Dan Kekontinuan

Documents

Transcript of Limit Dan Kekontinuan