Integral terbagi dua yaitu integral taktentu danintegral tertentu. Perbedaanyang mendasar, integral tertentu memiliki batas-batas.

1. Integral tak tentu adalah suatu bentuk Standar Kompetensi: Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar: 1. Mengenal konsep integral tak tentu danintegral tentu. 2. Menghitung integral tak tentu, integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana. operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut integral tak tentu. Jika F adalah anti turunan dari f, maka:

d ( F ( x )) = f ( x) dx d ( F ( x)) = f ( x) dx F ' ( x) =

3. Menggunakan integral untuk menghitungluas daerah di bawah kurva dan volume benda putar.

d ( F ( x)) = f ( x) dx F ( x) + c = f ( x ) dx

Standar Kompetensi Lulusan:1. Menghitung integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri 2. Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral

f ( x) dx = F ( x) + c

2. Integral

tertentu adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi pada batas (selang) tertentu dan menghasilkan nilai pasti. Jika F adalah anti turunan dari f, maka:

Integral merupakan kebalikan dari prosesdiferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi

f ( x)dx = F (b) F (a) .a

b

f(x) disebut integran, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas, F(b) / F(a) adalah nilai Fungsi hasil integral untuk x = a atau x = b.

Profil:

RUMUS DASAR INTEGRAL TAKTENTU

3. Jika f dan g fungsi-fungsi yg terintegralkan,maka:

u n du =

1 n +1

u n+1 + c. n 1

f ( x) + g ( x) dx = f ( x) dx + g ( x) dx4. Jika f dan g fungsi-fungsi yg terintegralkan,maka:

Integral Aljabar 1. Jika n bilangan rasional dan n 1, maka:George Friedrich Bernhard Reimann (1826 1866), Matematikawan asal Jerman yang menjelaskan Integral tertentu dengan menggunakan luas daerah yang dihi-tungnya menggunakan polygon dalam dan polygon luar. Untuk Mengenang jasanya, integral tertentu tersebut dinamakan Integral Reimann.George Friedrich Bernhard Reimann http://www-groups. dcs.stand.ac.uk

f ( x) g ( x) dx = f ( x) dx g ( x) dxContoh 3:

dimana c adalah konstanta Contoh 1:3 1 4 x dx = 4 x + c 2 2 x 2 dx = 3 x 2 + c = 3 x x + c1 3

x n dx =

1 n +1

x n+1 + c

2x

3

3 x 2 + 4 dx =

= 2 x 4 3 x3 + 4x + c 4 3Aturan Integral Subtitusi

5. Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, maka:

2. Jika f fungsi yang terintegralkan dan ksuatu konstanta, maka:

(u( x ))

r

u' ( x ) dx =

1 ( u( x )) r +1 r +1

+c,

kf ( x ) dx = k f ( x ) dxContoh 2:3 3 2 4 2 x dx = 2 x dx = 4 x + c 1 1 2 x dx = 2 x dx1 2

di mana u merupakan turunan dari fungsi u, dan c adalah konstanta dan r 1. Aturan ini merupakan salah satu teknik dalam menyelesaikan masalah Integral. Contoh 4:

3x. 3x 2 + 1 dx =... (dx bisa diganti d(3x2+1) asal dibagi dengan turunannya).

= 1.2 x +c = 1 x x +c 2 3 3

3 2

= 3 x.(3 x + 1) d(3x2+1) 6x2

1 2

turunannya adalah 1 jadi tidak dapat menghilangkan 5x . Dimisalkan 5x = u dan (1 x)6 dx = dv,6 maka du = 5 dx dan v = (1 x) dx ,

Untuk baris ke tiga ber-tanda (+) dan terus berulang dengan bergantian tanda.

= = = =

1 2

(3x

2

+ 1) d(3x2+1)21 +1 2

1 2

gunakan teknik subtitusi utk mencari v 7 yaitu: v = 1 (1 x) 7

Integral Trigonometri 1. Rumus rumus dasar:

1 1 2 1 +1 2 1 2 2 3 1 3

(3x + 1)23 2

5x(1 x) dx = uv v.du 5 x.{ (1 x) } (1 x) .5dx6 1 7 7 1 7 7 5 5 x(1 x) 7 { 7 . 1 (1 x) 8 } 7 8 5 5 x(1 x) 7 56 (1 x ) 8 7

cos x dx = sin x + c sin x dx = cos x + c2. Rumus rumus lainnya:

(3x + 1)2

(3 x + 1) 3 x + 1 + c2

Aturan Integral Parsial

6. Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapatdidiferensialkan, maka:

u dv = uv v duAturan ini juga merupakan salah satu teknik dalam menyelesaikan masalah Integral, biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah yang tidak bisa diselesaikan dengan teknik Subtitusi. Contoh 5:

Bisa juga menggunakan table parsial untuk mempermudah langkah penyelesaian sebagai berikut: soal dibagi dua bagian penyelesaian, bagian kiri diferensialkan hingga sama dengan nol dan bagian kanan diintegralkan hingga sebelah kirinya sama dengan nol.

sec 2 x dx = tan x + c csc 2 x dx = cot x + c

5x(+) 5

(1 x) d x 1 (1 x) 7 7 1 . 1 (1 x ) 8 7 86 5 75 7 (1 x) 7 5 56

6

() 0Jadi:

(1 x) 8

tan x. sec x dx = sec x + c cot x. csc x dx = csc x + c3. Jika k dan a suatu konstantan, maka:

5 x(1 x)

6

dx =

5x(1 x) dx = Catatan:

(1 x) 7

5 56

(1 x)

8

k cos ax dx = k sin x + c a

Masalah ini tidak bisa diselesaikan dengan integral subtitusi, karena (1x)

dikalikan, sedangkan tanda (+) atau () hasil integral yang akan di-jumlahkan.

k sin ax dx =

k a

cos x + c

Contoh 6:

2 2 cos 1 x dx =

Ada beberapa cara, misalnya dengan mengubah bentuk fungsi, baru diintegralkan: sin 2 x. cos x = 1 [sin( 2 x + x) + sin( 2 x x)] : 2

2

sin 1 x d ( 1 x) 2 21 2

sin 2 x. cos xdx = sin 3 x + sin xdx1 2

4 cos 1 x + c 2Contoh 7:

1 ( 1 cos 3 x cos x) 2 3 1 6 cos 3x 1 cos x + c 2

4 sin 3x dx = 4

Atau

sin 2 x. cos x = 2 sin x cos x. cos x

sin 3 x d (3 x) 3 4 3 cos 3 x + c

sin 2 x. cos xdx = 2 sin x. cos xdx 2 cos x.d (cos x)22

subtitusi

4. Jika a dan b suatu konstanta, maka:

2 cos 3 x + c 3

cos(ax + b)dx = sin( ax + b) + c sin(cx + d )dx = cos(cx + d ) + c1 a1 c

Contoh 10:

Contoh 8:

(x

2

+ 1). cos xdx = ....

cos( 3x + 601 3

0

) dx =0

Untuk masalah ini hanya bisa gunakan Integral parsial.

sin(3x + 60 ) + c

5.

Soal-soal lainnya:

Contoh 9:

x2 + 1 2x 2 02

cos xdxsin x cos x

sin x

sin 2 x.cos xdx =

( x + 1) sin x + 2 x cos x 2 sin x + c

RUMUS DASAR INTEGRAL TERTENTU

Contoh 12:

a

b

f ( x )dx = F ( x ) (

b a

2x2

4

2

dx = 2 x 2 dx = 2 ( x 3 4 ) 2 323

4

= F (b) F (a)

2 ( 4 2 3 ) = 2 (64 8) = 112 3 3 32. Teorema Perubahan batas Jika f terintegralkan pada interval [a, b], maka:1 2

Contoh 11:

2x1 1 2

2

3

+ x dx = 1 x 4 + 1 x 2 24 1 2

2 14

= (2) + (2)atau3 2 x + x dx = 1 2

{1 2

(1) + (1)}

i). ii).

f ( x ) dxa b

a

=0a

= 8 + 1 {1 + 1} = 8 2 21 2

f ( x)a

dx = f ( x) dxb

x4 + 1 x 2

2 1

= 1 (2 4 14 ) + 1 (2 1) 2 2 = 1 (15) + 1 (1) = 8 2 21. Teorema KelinearanJika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu konstanta, maka:b b

3. Teorema Penambahan Interval Jika f terintegralkan pada interval yang memuat tiga titik a, b, dan c,

f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dxa a b

c

b

c

4. Teorema Kesimetrisani)

Jika f fungsi genap, maka

i). k . f ( x) dx = k f ( x ) dxa a

ii). f ( x ) + g ( x) dx = f ( x) dx + g ( x) dxa a a

b

b

b

aa

f ( x) dx =2 f ( x) dx0

a

a

ii) Jika f fungsi ganjil, maka

iii). f ( x ) g ( x) dx = f ( x) dx g ( x ) dxa a a

b

b

b

a

f ( x ) dx =0

Menuju Ujian Nasional:STANDAR KOMPETENSI LULUSAN: Menghitung integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri

sin 2 x. cos x dx = 0

2 3

cos x

3

0

1 2

sin 8 x sin 2 x dx =0

2

1 2

( 1 cos 8 x + 1 cos 2 x 8 2

90 0 0

)

1. Diketahui (3 x + 2 x + 1) dx = 25.2 a

3

2 cos 3 ( 2 cos 3 0) 3 3 2 (1) 3 [ 2 (1) 3 ] 3 3 2+2= 3 34 3

1 [ 1 cos 4 + 1 cos ( 1 cos 0 + 1 cos 0)] 2 8 2 8 2 1 [ 1 .1 + 1 . 1 ( 1 .1 + 1 .1)] 2 8 2 8 2 1 [ 1 1 + 1 1 )] = 1 2 8 2 8 2 2

Nilai3

1 a =. 2

Jawab:

2 3. Hasil dari 3 x 3 x + 1 dx = ... 0

1

Coba soal yang lain....

(3xa

2

+ 2 x + 1) dx = x + x + x .3 2 3 a

Nilai a yang memenuhi = 21 1 Maka nilai a = 2 = 1 2 2

(3 3 +3 2 + 3) ( a 3 + a 2 + a) = 25. (39) (a 3 + a 2 + a) = 25. a 3 + a 2 + a 14 = 0.

Jawab: Kita dapat gunakan teknik Integral Subtitusi dengan mengubah dx menjadi d(3x2+1) dan membagi dengan 6x (turunan 3x2+1)2 3x 3x + 1 dx = 0 0 1 1 1

3x 3x 2 + 1 d (3 x 2 + 1). 6x3

1 2

(3 x0

2

+ 1) 2 d (3 x 2 + 1) = 1 . 2 (3 x 2 + 1) 2 2 33 3

1

1 0

2. Nilai

sin 2 x. cos x dx = ....0

1 2 2 3

[( 4) 2 (1) 2 ] = 1 .7 = 3 2

7 3

Jawab: Berdasarkan contoh 9, maka sin 2 x. cos x dx = 16 cos 3x 12 cos x 00

4.

Nilai

sin 3x. cos 5x dx = ....0

1 cos 3 1 cos ( 1 cos 0 1 cos 0) 6 2 6 2 1 1 1 1 6 (1) 2 (1) [ 6 (1) 2 (1)] 1 + 1 [ 1 1 )] = 4 6 2 6 2 3Atau

Jawab: Ubah bentuk sin 3 x. cos 5 x dengan rumus trigonometri

sin a. cos b = 1 [sin( a + b) + sin( a b)] 2 1 2

sin 3 x. cos 5 x = 1 [sin(3 x + 5 x) + sin(3 x 5 x)] 2 (sin 8 x sin 2 x) , maka

Aplikasi Integral I. LUAS DAERAH Konsep dasar: Luas suatu daerah merupakan limit jumlah garis (persegi- panjang) dari satu batas ke batas berikutnya.Luas suatu daerah dapat dihitung dengan cara menggeser/menggerakan garis (x atau y) terhadap sumbu hingga menutupi daerah yang dimaksud. Jika garisnya sejajar sumbu-y maka bergeraknya sepanjang sumbu-x : Y dx , dana b

Berikut beberapa model masalah

Luas Daerah 1. Luas daerah yang di batasi oleh kurvay = f(x) 0 ; sb-x ; garis x = a ; garis x = b y f(x)

3. Luas daerah yang di batasi oleh kurva y= f(x) 0 ; sb-x ; garis x = a ; garis x = b y

y

a

b x

f(x)

Rumus:a b x

Rumus:

L = f ( x) d = f ( x) d x xa a4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = f(y) 0 ; sb-y ; garis y = c ; garis y = d

b b

jika garisnya sejajar sumbu-x maka bergeraknya sepanjang sumbu-y:

X dya

b

L= f x)( d xa2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = f(y) 0 ; sb-y ; garis y = c ; garis y = d y g(y)

b

RUMUS DASAR LUAS DAERAH

Rumus:

L = Y dxaatau

b

Batas-batasnya ada pada sumbu-x

g(y)

y

Rumus:

d

d

d

L = X dyc

d

Batas-batasnya ada pada sumbu-y c

L = g( y ) d ycx

c

x

5. Jika y = f(x) pada interval a < x < bgrafiknya memotong sumbu-x, maka

luasnya merupakan jumlah dari bebe-rapa integral tertentu y y = f(x) 7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f1(x) ; y = f2(x) yang berpotongan pada titik yang berabsis a dan b

Beberapa Teknik Menghitung Luas Daerah1. Luas daerah yang dibatasi sebuah kurva dalam interval tertentu.

a c b

x

y = f2(x)y = f1(x)

Langkah-langkahnya: a. Tentukan daerah yang dimintadengan menggambar daerahnya

Rumus:

b. Perhatikan daerah yang dimaksuduntuk menentukan batas-batas integrasinya

L=

a

c

f(x) dx

+

c

b

Rumus:

f(x) d x

a

b

x

c. Tentukan rumus luas yang akandigunakan

d. Hitung nilai integral sebagai hasil luasdaerah. 8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f1(x); dan garis y = f2(x) berpotong-an pada titik yang berabsis a Contoh 13: Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh: y = x 2 4 x + 4 , sb-x dan sb-y. Jawab: Melukis kurva:

6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f1(x); y = f2(x) ; garis x = a ; garis x = b y

y = f1(x)

y = f2(x) y y = f1(x) x Rumus: a b x

y = x 2 4x + 4

ttk pot dgn sb-x, y = 02 x 2 4 x + 4 = 0 ( x 2) = 0 (2, 0)

y = f2(x) a Rumus: b

ttk pot dgn sb-y, x = 0 (0, 4) 4 Jika memperhatikan daerah yang diminta, maka luas daerahnya bisa dihitung sebagai -berikut :

L = { f1 ( x ) f 2 ( x)} dxa

b

L=f(x)d+ 21 x0a

ab

2

b. Perhatikan daerah yang dimaksuduntuk menentukan batas-batas dan dasar sumbu integrasinya ,2 2

L = y dx = x 2 4 x + 4 dx0 0

c. Tentukan rumus dasar yang akandipakai :

= 1 x 3 2x 2 + 4x 3

2 0

=8 3

L = y1 y 2 dx atau L = x1 x 2 dyac

b

d

c. Rumus luas yang dipakai

satuan luas

L=1

atau dengan rumus lain dengan mengubah bentuk fungsinya,

Jika kurva 1 berada di atas/kanan kurva 2

2

y1 y 2

1

dx

d. Menghitung luasnya :

y = x 2 4 x + 4 y = ( x 2) 2x=2 y4

L = y1 + y 2 dx atau L = x1 + x2 dya c

b

d

L = (2 x) ( x 2 ) dx2

dan batasnya 0 s.d 44

Jika kedua kurva bersebelahan/ berlanjut. Contoh 10:

= 2x 1 x 2 1 x3 2 3

1 2

L = x dy = 2 y dx00

= 2(1 + 2) 1 (1 4) 1 (1 + 8) 2 3= 4 satuan luasContoh 11:Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x y

2y 2 y y 3

4 0

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y1 = x2 dan garis y2 = 2 - x

Jawab :a. Gambar daerahnya b. Tentukan titik potong kedua kurva y1 = y2 x2 = 2 x x2 + x 2 = 0 (x + 2) (x 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1, maka y = batas daerahnya dari -2 s.d 1 2x y

= 8 satuan luas 32. Luas daerah yang dibatasi dua kurva. Langkah-langkahnya: a.Tentukan daerah yang diminta dengan menggambar kedua kurva

Jawab :6

4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2

a. b. kurva

Gambar daerahnya Tentukan titik potong kedua

y = x22

2 x1 = x2 y2 = 6 y y2 + y 6 = 0 (y + 3)(y 2) = 0

x= y

Diperoleh: y = - 3 dan y = 2x 0

x

6

x =6 y

Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi sebagaimana permasalahan Aplikasi Integral yang baru kita pelajari.

c.2

Rumus luas yang dipakai

L = x2 x1 dy0

c.4

Rumus luas yang dipakai6

d.2

Menghitung luasnya :

L = y1dx + y2 dx0 4

L = 6 y y 2 dy0

y1 = x2 0d.4

dan

y2 = 6 x6

= 6 y 1 y 2 1 y3 2 3=25 3

Menghitung luasnya :

satuan luas

L = x dx + (6 x) dx0 4

Bisa juga diselesaikan dengan pendekat-an lain (dengan dasar sumbu x).

=2 x 3=25 3

3 2

4 [ 0 + 6x

1 x2 2

6 4]

Jawab :a. b.y

satuan luas

Gambar daerahnya Tentukan titik potong kedua

kurva y2 disubtitusi ke y1 (6 x)2 = x 36 12x +x2 x = 0 (x 4)(x 9)=0 diperoleh: x = 4 dan x = 9

6

x = y220 x

4

6

x =6 y

II. VOLUME BENDA PUTAR Konsep dasar:Volume benda putar merupakan volume bangun ruang yang terbentuk karena suatu daerah diputar mengelilingi salah satu sumbu . Untuk menghitung volume benda putar kita lakukan dengan menggunakan luas daerah lingkaran yang bergerak memenuhi seluruh benda yang dimaksud. Jika daerahnya diputar mengelilingi sumbu-x, maka lingkarannya berjari-jari Y dan bergerak mengikuti sumbu-x (dx) dan jika daerahnya diputar mengelilingi sumbu-y, maka lingkarannya berjari-jari X dan bergerak mengikuti sumbu-y (dy) Catatan: rumus luas lingkaran: L = r 2

Berikut beberapa model masalah Volume Benda Putar 1. Volume benda putar yang terbentuk oleh daerah yang dibatasi: y = f(x) ; garis x = a ; dan garis x = b

y d x = f(y)

c y y = f(x) x a b diputar mengelilingi sb-x, maka

x

diputar mengelilingi sb-y, maka y d x = f(y)

y

y = f(x) x RUMUS:

c

x

RUMUS DASAR VOLUME BENDA PUTAR

L = Y dx2 aatau

b

Diputar mengelilingi sumbu-x

a RUMUS:

b

V = { f ( y )}2 dyc3. Volume benda putar yang terbentukoleh daerah yang dibatasi: Y = f1 (x); Y = f2 (x) ; garis x = a ; garis x = b

d

L = X 2 dyc

d

Diputar mengelilingi sumbu-y

V = { f ( x)}2 dxa2. Volume benda putar yang terbentuk oleh daerah yang dibatasi: x = f(y) ; garis y = c ; dan garis y = d

b

y

y = f1 (x) y = f2 (x) a b x

diputar mengelilingi sumbu-x , maka y = f1 (x) y y = f2 (x) a RUMUS: b x ax

diputar mengelilingi sumbu-y, maka

X = f 2 ( y)

y

X = f1 ( y)

b

V = [{ f1 ( x)}2 { f 2 ( x)}2 ] dxa

b

0 RUMUS:

4. Volume benda putar yang terbentukoleh daerah yang dibatasi: dibatasi X = f1 (y) ; X = f2 (y) ; dan garis x = 0 Kedua kurva berpotongan di titik yang berordinat; y = a, dan daerah berada di kuadran 2y

V = { f 2 ( y )} dy + { f1 ( y ) 2 } dy2 0 a

a

b

X = f 2 ( y)

X = f1 ( y)b

Beberapa teknik Menghitung Volume Benda Putar.1. Pastikan gambar daerah yang akan diputar sudah sesuai dengan batasbatasnya.

2. Perhatikan sumbu yang menjadi pusat ax

pemutaran. Jika diputar terhadap sumbux, maka batas-batasnya harus ada pada sumbu-x juga. Jika diputar terhadap sumbu-y, maka batas-batas-nya harus ada pada sumbu-y juga.

0

3. Untuk daerahnya terdiri dari dua kurvamaka perhatikan posisi keduanya.

Berikut beberapa contoh: 1. Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 1 dan sumbux diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o !

2. Volume benda putar yang dibatasi olehkurva y = x2 + 4 & y = 2x + 4 diputar 3600 mengelilingi sumbu-y !

3. Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = 6x x2 dan y = x2 , diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o !

Jawab: 4

Jawab:

y

y = x2 1x

y = x + 4 y = 2x + 42Daerah yang diputar

2

y1 = x 2

1

0 1 1

3tentukan titik pot. Ke-2 kurva: y1 = y2

Diputar mengelilingi sumbu-x

Karena diputar terhadap sumbu-y, maka bentuk fungsi diubah

y2 = 6 x x 2

6

y

y = x2 1x

y = x 2 + 4 x = 4 y {f(y)}y = 2 x + 4 x = 1 (4 y ) {g(y)} 2b

x 2 = 6x x 2 2x 2 6x = 0 x( 2 x 6) = 0 ; (0,0) dan (3,9) V =

1

0 1 1

V=

fa

2

( y ) g ( y ) dy

2

( y 2 ) 2 ( y1 ) 2 dx

3

Menghitung Volume Benda Putarnya:

=

V = {x 1} dx2 2

1

( 4 y )2 (2 0

4

1 2 y ) dy 2

=

(6 x x 2 ) 2 ( x 2 ) 2 dx (36 x 2 12 x 3 + x 4 ) x 4 dx0 3

0 3

= 2 x 4 2 x 2 + 1 dx0

1 1

=

1 (4 y ) (4 2 y + y 2 ) dy 4 01 y 2 + y dy 4 01 3 1 24 8 y + y = sv 3 12 2 04

4

=

= 2

=

=

36 x03

0 3

2

12 x 3 dx

[1 5

x x +x2 3 26 15

5

3

1 0]

= 12 x

3 x 4 3 = 81 0

= 2 [ 1 2 + 1] = 5 3

sv

=

Menuju Ujian Nasional:STANDAR KOMPETENSI LULUSAN: Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral

2. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah satuan luas

y4 3 2 1

x= 3

y = x2 4x + 3

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva: y = x 2 dan garis x + y = 6 adalah ... .Jawab:

y = x2 + 6x 51 2 3

y

y = x2y+ x= 6-3 -1 0

0Jawab:3

x

L = y1 y 2 dx1

x1 2 6

L = x 2 + 6 x 5 ( x 2 4 x + 3) dx1

3

Dengan memperhatikan daerahnya, maka Rumus luas yang dipakai

2 x 2 + 10 x 8 dx =1

3

L = y1 y 2 dx3

2

3 2 x 3 + 5x 2 8x 1 33 2 (27 1) + 5(9 1) 8(3 1) 1 3

L = (6 x) ( x 2 ) dx3

2

L = 6 2 satuan luas 3

= 6x 1 x 2 1 x3 2 3

2 3

= 6(2 + 3) 1 ( 4 9) 1 (8 + 27) 2 3

3. Volume benda putar bila daerah yang 1 di-batasi kurva y = 2x 2 , y = 1 x dan 2adalah

= 20 5 6

satuan luas

x = 4 diputar 360o mengelilingi sumbu x

Jawab:

y=1x 22

V = ( y1 ) 2 ( y2 ) 2 dx V = ( x + 3) 2 ( x 2 + 1) 2 dx1 1 2

2

x0 4y =2 x

x 2 + 6 x + 9 ( x 4 + 2 x 2 + 1) dx1

2

V = ( y1 ) ( y2 ) dx2 2 0

4

x 2 + 6 x + 8 x 4 dx1

2

V = (2 x ) 2 ( 1 x) 2 dx 20

4

x + 3x 2 + 8 x 1 x5 51 3 3

2 1

1 (8 + 1) + 3(4 1) + 8(2 + 1) 1 (32 + 1) 3 51 12

4 x x dx = 2 x 1 4 2

4

2

x

3 4 0

1 .9 + 3.3 + 8.3 1 33 = 23 2 3 5 5Coba soal yang lain....

0

1 2 16 12 4 4 4 16(2 1 ) = 26 2 satuan volum 3 3

4. Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x 2 + 1 dan y = x + 3 , diputar mengelilingi sumbu xadalah satuan volum Jawab:

y= x +12

y

y = x+ 3

-3

-1

0

x1 2