VI. Tugas Akhir

1. Crank-Nichoson

a. Crank-Nicolson dengan syarat Dirichlet

Listing Program

print"Program Heat Equation dengan Skema Crank-Nicolson menggunakan

syarat batas Dirichlet"

print"\n"

print"Nama: Fatah Ramdhan"

print"NPM : 140710130002"

print"Praktikum Metode Numerik II"

print"Geofisika Universitas Padjadjaran"

print"\n"

from numpy import *

from math import *

from matplotlib.pyplot import *

import scipy as sp

import scipy.sparse

import scipy.sparse.linalg

import numpy.linalg

#diskritisasi

L=1

T=1

N=64

dx=1/(N+1.0)

gamma=0.5

dt=gamma*dx*dx

M=int(round(T/float(dt)))

x=linspace(0,L,N+1)

tg=linspace(0,T,M+1)

#initial condition

u0= zeros(N+1)

U= zeros(N+1)

Ua=zeros(N+1)

for i in range(0,N+1):

u0[i]=sin(pi*x[i])

a=sp.ones((3,N))

a[0]=-gamma/2

a[1]=1+gamma

a[2]=-gamma/2

diags=[-1,0,1]

A=sp.sparse.spdiags(a,diags,N,N)

b=sp.ones((3,N))

b[0]=gamma/2

b[1]=1-gamma

b[2]=gamma/2

B=sp.sparse.spdiags(b,diags,N,N)

print A

ctr=0

t=0

u=u0

ion()

show()

while t

U[:N]=sp.sparse.linalg.spsolve(A,B.dot(u[:N]))

U[0]=0

U[N]=0

clf()

axis([0,1,0,1])

plot(x,U,'r*',x,u0,'b-')

xlabel('x')

ylabel('u')

draw()

u=U

Tampilan

Analisa

Program di atas merupakan program Crank-Nicolson dengan menggunakan

syarat batas Dirichlet di mana nilai ujung-ujungnya kita set sama dengan nol.

Dalam program, untuk syarat batas Dirichlet ini kita gunakan U[0]=0 dan U[N]=0

yang artinya nilai U di ujung kanan dan kiri bernilai sama dengan nol. Metode ini

memiliki akurasi O(2, 2) dan kestabilan akan stabil apabila tanpa syarat

(|| 1 untuk setiap S > 0). Hasil program menunjukkan bahwa semakin besar

nilai N maka semakin kecil errornya. Hal ini karena kita mendiskritnya ke dalam

banyak bagian N dan membuat diskrit menjadi rapat. Dalam contoh kasus di atas,

kita memasukkan nilai N = 64, L = 1, T = 1.

b. Crank-Nicolson dengan syarat Neumann

Listing Program

print"Program Heat Equation dengan Skema Crank-Nicolson Menggunakan

Syarat Batas Neumann"

print"\n"

print"Nama: Fatah Ramdhan"

print"NPM : 140710130002"

print"Praktikum Metode Numerik II"

print"Geofisika Universitas Padjadjaran"

print"\n"

from numpy import *

from math import *

from matplotlib.pyplot import *

import scipy as sp

import scipy.sparse

import scipy.sparse.linalg

import numpy.linalg

#diskritisasi

L=1

T=1

N=64

dx=1/(N+1.0)

gamma=0.5

dt=gamma*dx*dx

M=int(round(T/float(dt)))

x=linspace(0,L,N+1)

tg=linspace(0,T,M+1)

#initial condition

u0= zeros(N+1)

U= zeros(N+1)

Ua=zeros(N+1)

for i in range(0,N+1):

u0[i]=sin(pi*x[i])

a=sp.ones((3,N))

a[0]=-gamma/2

a[1]=1+gamma

a[2]=-gamma/2

diags=[-1,0,1]

A=sp.sparse.spdiags(a,diags,N,N)

b=sp.ones((3,N))

b[0]=gamma/2

b[1]=1-gamma

b[2]=gamma/2

B=sp.sparse.spdiags(b,diags,N,N)

print A

ctr=0

t=0

u=u0

ion()

show()

while t

Analisa

Program di atas merupakan program Crank-Nicolson dengan menggunakan

syarat batas Neumann di mana nilai ujung-ujungnya kita set tidak sama dengan

nol. Dalam program, untuk syarat batas Neumann ini kita gunakan U[0]=U[1]

dan U[N]=U[N-1]. Metode ini memiliki akurasi O(2, 2) dan kestabilan akan

stabil apabila tanpa syarat (|| 1 untuk setiap S > 0). Perbedaan dari kedua

program di atas hanya terletak pada syarat batasnya saja, secara umum sama.

Hasil program menunjukkan bahwa semakin besar nilai N maka semakin kecil

errornya. Hal ini karena kita mendiskritnya ke dalam banyak bagian N dan

membuat diskrit menjadi rapat. Dalam contoh kasus di atas, kita memasukkan

nilai N = 64, L = 1, T = 1.

2. Resume

Dalam persamaan difusi atau heat equation terdapat tiga macam skema untuk

menyelesaikannya, yaitu skema Eksplisit, Implisit dan Crank-Nicolson. Dalam

skema Eksplisit, persamaan dan teknik penyelesaiannya straight-forward,

penyelesaian dilakukan node per node. Rentan terhadap konvergensi dan

stabilitas hitungan serta time step terkendala oleh konvergensi dan stabilitas

hitungan. Sedangkan Implisit, persamaan dan teknik penyelesaiannya lebih

rumit, penyelesaian dilakukan secara simultan untuk seluruh node. Konvergensi

dan stabilitas hitungan lebih mudah dijaga serta time step tidak terkendala oleh

konvergensi dan stabilitas hitungan. Skema Crank-Nicolson merupakan

gabungan dari kedua skema tersebut. Skema Crank-Nicolson memiliki akurasi

yang sama pada aproksimasi suku derivative waktu dan ruang. Ditinjau dari nilai

, apabila = 0, maka skema adalah Eksplisit. Apabila = 1, maka skema

adalah Implisit. Sedangkan apabila =1

2, maka skema adalah Crank-Nicolson.

VII. Kesimpulan

Berdasarkan praktikum yang telah dilaksanakan, maka dapat disimpulkan

bahwa praktikan telah memahami dan bisa menggunakan metode beda hingga

untuk mencari solusi numeric persamaan parabolic satu dimensi,

mengaplikasikan skema Eksplisit, Implisit dan Crank-Nicolson dalam solusi

Heat Equation 1D, mampu menentukan dan membandingkan orde akurasi

untuk masing-masing skema serta mampu menyelesaikan masalah syarat batas

secara numerik. Berdasarkan hasil percobaan program, diperoleh :

Pada skema eksplisit dengan menggunakan syarat batas Dirichlet (U[0]=0 dan

U[N]=0), kurva menunjukkan bahwa nilai analitik dan numerik cukup

berdekatan dan berjalannya temperatur seiring dengan berjalannya waktu, nilai

temperatur maksimum berada di titik nol. Nilai gamma yang dimasukkan akan

mempengaruhi stabilitasnya. Jika nilai gamma yang dimasukkan cukup besar,

maka akan menghasilkan blow up.

Pada skema eksplisit dengan menggunakan syarat batas Neumann (U[0]=U[1]

dan U[N]=U[N-1]). Kurva yang didapat bentuknya berbeda dengan kurva saat

syarat batasnya menggunakan Dirichlet. Titik maksimum dan minimum yang

semula berada pada U = 0 kali ini berada pada satu nilai yaitu pada U = 0.63.

Hal ini dakibatkan perbedaan syarat batas. Sama seperti pada Dirchlet Besar

nilai gamma mempengaruhi kestabilan program, jika kita memilih nilai gamma

yang lebih besar dari 0.5 maka program akan mengalami blow up.

Pada skema implisit didapat bahwa kurva antara solusi analitik dan solusi

numerik error yang cukup kecil. Nilai gamma yang dimasukan tidak

berpengaruh pada kestabilan program. Skema implisit dibutuhkan solusi

persamaan linier untuk menentukan nilai U. Nilai U akan berubah seiring

dengan berjalannya waktu. karena syarat batas yang dibuat dalam program

adalah syarat batas dirichlet untuk U = 0 maka nilai temperatur akan memiliki

nilai maksimum dan minimum di 0 derajat.

Pada skema Implisit Neumann, matriks yang diperoleh berbeda dengan

eksplisit yang memiliki nilai N yang berbeda. Syarat batasnya diubah sehingga

mengakibatkan nilai maksimum dan minimumnya berbeda pula. Skema

implisit lebih cepat dibandingkan implisit.

Pada skema Crank-Nicolson, menunjukkan bahwa semakin besar nilai N maka

semakin kecil errornya. Hal ini karena kita mendiskritnya ke dalam banyak

bagian N dan membuat diskrit menjadi rapat. Kestabilan akan stabil apabila

tanpa syarat (|| 1 untuk setiap S > 0). Dalam contoh kasus di atas, kita

memasukkan nilai N = 64, L = 1, T = 1.

DAFTAR PUSTAKA

Chapra, S. C., Carale R. P., 1990, Numerical Methods for Engineers, 2nd Ed., Mc.Graw-

Hill Book Co., Newyork., Chapter 23 dan 34, hlm.707-749

Istiarto, n.d, Persamaan Differensial Parsial (PDE), Yogyakarta, UGM [online]

http://www.istiarto.staff.ugm.ac.id/persamaan-differensial-parsial.pdf [diakses

12 Maret 2015]

Munir Rinaldi, 2003, Metode Numerik revisi kedua, Bandung, Informatika

[noname], 2012, Partial Differential Equation, Bandung, SRP12 ITB [online] http://www.itb.ac.id/partial-differential-equation.pdf [diakses 12 Maret 2015]