Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

44
BAB VI ~ Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 183 KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI VI BAB Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan mampu: 1. membedakan pengertian relasi dan fungsi, 2. memberikan contoh fungsi-fungsi sederhana, 3. menjelaskan sifat-sifat fungsi, 4. menentukan aturan fungsi dari komposisi beberapa fungsi, 5. menentukan nilai fungsi komposisi terhadap komponen pembentuknya, 6. menentukan komponen fungsi jika aturan komposisinya diketahui, 7. memberikan syarat agar fungsi mempunyai invers, 8. menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi, 9. menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya.

Transcript of Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

Page 1: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 183

KOMPOSISI FUNGSIDAN INVERS FUNGSI��

BAB

Tujuan Pembelajaran

��������������� ����� ������������������� ����������

�� ��������������� ����� ����������*������

�� ���� �����)#��#�*������*���������� ����

!� ��������������*�����*��� *������

"� �������������� ���*�������� ���#�#��������� ����*������

$� �����������������*�������#�#������� ������#�#������������� ��

%� ������������#�#����*�������������� ����#�#����� �����������

&� ��� ����� � � ������ � *���������� ��� ��J� ��

'� �������������� ���*��������J� ���� ��������*������

<� �������� ����� �*���*��������J� ���� ��� �*���*����������� ��

Page 2: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������184

������� �������������� )#�������������������������� ����������.���������

..��9��� ��������������� #������ )#����������������������� �������*�������� ����

��� ��� ��#������ ������)#�������,���������.����������������� ���'�#������ �����

>����� ������ ( ) 2f x x= + �� ��������������� ����� ..��� ������>�����2( ) 2 1g x x= − �

/��������� ����� ��������������������� )#���������� ������#��������� ������������

�� )#����� ������ �������� ���������-� � �������� ��� ����� ����� �� )#�����>����� ���

���� ��������������&�������� ����#������� ����� �������������-

2������� ������������ �������� �� ������������ ������� �� ����������������� ���

�#�����������������������#������������������������������������� ���� ���������� ���

������ ��#�#�� �� (���������������������#������#���������������� ���������������

�����������������������������

������1���������������!���������#����"�%7������������!�����#�6����7� 7�#�������

�#���D����%7��#�&��%��!

Pengantar

Page 3: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 185

-� ����������� �� �����;�'� �

�������������������� ��

,������������������'�&���������'� ��������� ������� ��������&� ��������� ����

���������������� ���������������3� ����� ���������� ����������������������� � ��

����$�������$�������� �������������� ������ ��������������� �������������������

����������� �����#�#������������(� ������������� ����������������������

��������� ��,� ���� ����#�������#��� �� ������ �������������� �� � ��� �'� &�

������� x A∈ ���������� ������� �������� y B∈ ���������� ������������E�������,

�������������������� )� �� ���� �������������������� �� � ����������'��������� ��

����������������������� ���������#������������� A B× ��7����� ���������� #���

?� �����������������*����������� ����� ����

������ �� -�

/����������������������������������#�#��������� #����?� �������������

������������������������������������� � ����'�&��������� x A∈ ����

y B∈ ��(���������������#����

{ }( , ) | dan A B x y x A y B× = ∈ ∈

A �*����� ��� #����?� ��������������������������� �� �� .����� �������������

A B× ��� ������������� ���������#���;����� ������ �� � ������������� �������

;������ 0���� � ��$<%�8�%$������������>����� �����������,� ��)���

����� � -��

(��� ��������������;�T����%U�������;�T���U��5�������������� #����?� ��������� �����

�� A B× �� B A× )� A A×�����������

�� { }( , ) | dan A B x y x A y B× = ∈ ∈ ;�T�������������%���������������������%����U�

�� { }( , ) | dan B A x y x B y A× = ∈ ∈ ;�T������������������������������������%�������%�U�

)� { }( , ) | dan A A x y x A y A× = ∈ ∈ ;�T��������������%���������������������%����%������%������%�%�U�

(����)#��#�%������������������� ���!�����#�������������������� ��

�� ����#���� (� �� ��� ��������� �� ���� ������ ��>�� � #����?� ������� A B×���� ���3 2 6× = �����#���� ������������������%�������������������������%��������)� �����

�������� �������#��������������������������� �������#��������������������

������� �������#���� #����?� ������� A B× ������� m n× �����#���

���������;�'� �

3������ �������������� � #����?� ��������� �� ��������� ;� T�� �� %U�������

���������;�T���U������)#��#�%����������������� ����

A B× ;�T������������������������������������%�������%�U

Page 4: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������186

(� ��� #����?� ������� A B× ���������������������������� ������������������

����� ��

0��;�T����������������������������%�������%�U�

0��;�T��������������������%�������%�U�

0!�;�T������������%�U�

E��������������0���0

�������0

!� ����� ����������������������� ��� #���

?� ������� A B× �� ����� �������� �������� ������ ����� ���������� �� ��������� ��

����������(����������� ��� ���� ������ �����������������������������*��������

�� ����� ����

������ �� -�!

��������'� ������� �&�������� ��������������������������������� ���

���������������� ��� #����?� ����������E���

/����0������������� �������� �������������������������������������� � ��

�'�&������������#���0����������������'�&���'� ���������&����������'�0�&��5����������

����������'�&������������#���0����������������'� � ������&���'� ���������&���������

x R y ��2������������� ������0���0

�������0

!���������

0��;�T����������������������������%�������%�U�

���0��������0

��������0

��������0

��%���������0

��%����������� 1R ��

0��;�T��������������������%�������%�U�

���0��������0

��������0

��%��������0

��%����������� 2R �������� 2R ��

0!�;�T������������%�U�

���0!���������0

!�%��������� 3R ��� 3R ����� 3R �������� 3R %�

4��������0������������� �������� ����������������������� �������������������

{ }( , ) | dan R x y x A y B= ∈ ∈ ��E������� ����� # ������ �� ���� �� �� ��������

�� � ����'&��������������� �� �'����������������������������� RD ��E����������������

����� ���<��� ������������������������������ RK ��E������� �����# �����������

�� ������������� � ����'&��������������� � � �'���������������������������� RR �

��������)#��#���������;�T'�&�BU�������;�T������!U������0������� �������� ��������� ���

���� �����#���0�;�T�'������&�������B����U�������

� ��� ������� �������� RD ;�T'�&�BU

� ��� ����>��� �������� RK ;�T������!U

� ��� ������� �������� RR ;�T����U�

6������ { }( , ) | dan R x y x A y B= ∈ ∈ ������ ������ ���� ������� ���� )� ��� ����

������������������������������ ������������������&����������� �� �

����� � -��!

4�����������;�T���!��"��%��'U��������;�T���������!��"��$U�

�� /���� a A∈ ����� b B∈ ����������� ������0��� ��������� ������ ������� ��������!#�

�������

�� 5��������� ������0������������ �������

)� 5��������� ������0������� �*���?� �������

Page 5: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 187

�����������

�� 6������0�;�T���������"�������%��!����'��"�U

�� (��� �������������0������

������1���-������"���6�������6

)� A �*���?� ��������� ��0������

������1�(���8���,� ���#��������6

�� 4���������� ��������������� �� ����� ���>����� �������������� ;� T#�# �

����#��������������������������U��0������ ������������7��6�!�������� ����������

����������������������� �������

�� ,����������������������D��������������������� ��������#��� �������

������������������������������;�T�������!��"��$�U�

�� (���������� �������������� ������������7�7������ ���������

�� 5������� ������ ���� ����������������� �� � ���

!� ������� �������� ����������� �������� �����������;�T������!��"U����������

��;�T"�<���U��5����������� ����������� ����>����������� ������� ��

�� T����"�������<����"������"����U )� �T���������������"������"���U

�� T����<�������<����!������"����U �� T����"�������<����!������!����U

Latihan 6.1

!

"

%

'

!

"

$

������!�����"������$����%�����������'

!

"

$

&

'

Page 6: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������188

"� E������������������ � ����� �������������������������������

T�8����������"����!�%����$�'����&����U

5������������#���������������� �������������0������ ������ ������ ���

��������� ����������� ��������������������

$� ������ ������0����� �����#���

T�12 �'������"�����������"������'�

12 �U�

�� 5�������� ����#�������#����� �� ��������� �������� ����#�������#��

��������������D ������� ������ ������ ������������� �� ������

�� ��������������������

�� A��� ����� �*���?� ������� ������0������������������ ������ J�� ���

��������������������� �� ������0�

!�! 5��� �� ������������

(��� ���������������� �%�"������������ ������#�#�����"� #�&���� ��������

���>�����>�� ���� ��� ������� ��� ������ ��� ������� ����� ������� ���>�� �� �

���� ����������������� ������������������������������#�����������������������

���������������#�����

������1���-������"���6�������#�#�����"� #�&�

6�������� ��������� �������� �����*������� ����������������������� ���������������7

������*������ *# ��� ������ ������� �����

������ �� -�$

5��� ������������������ ����������������������������� ������ ���

����>�����������������#���������������������������#�����

������*������8� �������������������'�����#���������������&�����#���������

������#��������������

: ( )f x y f x→ =G��������)���H�8�����������'������&�I��&���������������&�2��������� ��'�#����8���������'��

���� ��8������'������������������� ��&�#���8�����������)#��#�������*�����

8����2 3 1x x x→ + −

����2( ) 3 1f x x x= + − ��D�����

2( ) 3 1f x x x= + − �������������� ����������� ��8�

� ���� ���������� �

3��

5��

D��

9��

4��

!%

!&

!'

!<

"�

"�

Page 7: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 189

!

"

7

%

!

8�

� � �

:

��� ���������������

$

(������*������8�����������������������������������'�&����������������������

�'�&������������������� � ���������8�

(� ����*���������������������������� ����������>������������� � ��������*�����

���� �����*�����>�������������#������� ����)������������������������� ���

����������������������� �� � ��� �� �������7��� �� ���� ����� �"���� ���� �"�<�� �����

���������)����� ������������������������������ �� � �������� *������

���������������� ������� ������ *������ �� �� ��������� ��� ��������� ����

���� ��� �������������� ���� �����E���������������������� �� �'�����������

������ �������������������� fD ��E���������������������� ���<���#��������"����������

fK ��E������������������������������������� � � �'�#�����"���������� fR ��2����

)#��#�*����������������*������ ��������H#�#�����"� #�&�I�������

� ��� ����������������;�T3����5����D����9����4��U�

� ��� ����>������������;�T�!%��!&��!'��!<��"���"�U�

� ��� ��������������T�!&��!'��!<��"�U�

����� � -�!�

(� �� ������ �������� �����#������� ��������� ����������� ����� ������

*�����-

������ 1�*

�����������

(� ������ ������ �� ������ ����� ������� *������ ������ ������ �����6������ ���� �����

*�������� ����������"����������� �����>�������������������$����� ������

��>���

2��������������������� ����#������ ��������� ���������������������������

����

����� � -�!�!

(��� �����*������ :f →� � �������� ����8�'��;�2 4 5x x− + �� x∈� �

�� 5���������8������8��"���8��%������ ( 1)f − �

�� 5����������������������������8�����;��&�

)� A��� ����� �*���*������&�+�8��'��;�2 4 5x x− + �������������?� �������

�� 5�������� ��� �� ����� �� 8�� ����� ��� �� ����� 8� ����������� �������

{ }| 1 5fD x x= ∈ ≤ <� �

Page 8: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������190

�����������

(� �� ���� �������������&�+�8�'��;�2 4 5x x− + �� x∈� ���������������������� ����'

���������������������� ����&� ���������� �������������2 4 5x x− + �

�� 2�����'�+��������2(0) 0 4(0) 5 5f = − + = �

������'�+�!������2(3) 3 4(3) 5 2f = − + = �

������'�+�$������2(5) 5 4(5) 5 10f = − + = �

������ 1x = − �����2( 1) ( 1) 4( 1) 5 10f − = − − − + = �

�� 2�����'�+������2( ) 4 5f a a a= − + ��3� �������������8����;��&����������� #��

�������

2 4 5 17a a− + = ⇔ 2 4 12 0a a− − =⇔ ( 6)( 2) 0a a− + =⇔ ���;�%��������;�8�

)� A �*���*������&�+�8�'��;�2 4 5x x− + ����� ����������������� �%�%��� ���������

������1�1���8���8#����� �;�*FP@�+�2 4 5x x− +

�� (� ������ �%�%����������� �������� { }| 1 4fD x x= ∈ ≤ <� ����� #������ ������

{ }| 1 10fR y y= ∈ ≤ <� �

/������� �������*������8� ���������������������������������� �������8�������

����� ������� ��������� ���� ����������� �������� ��� �� ����� �� �����

���������������� �����(�� ����������� ��������� ����������������� �� �'��'����

����� � -�!�$

5����������� �������������������������*�������� �����

���

1( )

3f x

x=

−���

2( ) 16f x x= − )��

2

1( )

5 6f x

x x=

− +

��

���������������������!���������"��������$���������%

'

%

"

(�� ������

(�� �������

Page 9: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 191

�����������

�� +������

1( )

3f x

x=

−��� ������ ��������������� ����� ����������������������E��

���� �������� �������� 3x ≠ �� /����� ��� �� ����� �����

1( )

3f x

x=

−� �����

{ }| 3fD x x= ∈ ≠� �

�� +������2( ) 16f x x= − ��� ������ ��������������������������>����������� ������

�� ������������*����������� �����������2 16 0x − ≥ �

2 16 0x − ≥ �⇔ � ( 4)( 4) 0x x− − ≥�⇔ � 4x ≤ − ������ 4x ≥

/�������� ������������2( ) 16f x x= − ������� { }| 4 atau 4fD x x x= ∈ ≤ − ≥� �

)� +������2

1( )

5 6f x

x x=

− +��� ������ ��������������� ����� ���������������������

����� �������� ��������� ��� ��>�� ������ ��� � �� ������ �#����*�� �������� � ��

2 5 6 0x x− + > �

2 5 6 0x x− + > ⇔ ( 2)( 3) 0x x− − >⇔ 2x ≤ ������ 3x ≥

/�������� ������������2

1( )

5 6f x

x x=

− +������� { }| 2 atau 3fD x x x= ∈ ≤ ≥� �

�� (����������;�T������!��"U�������;�T����%U�������� ������ �������� ����������� ����

� �������*�����-�/����������������-

�� 0��;�T���������!�������"��%�U )� 0

!�;�T�����������������!�������"����U

�� 0��;�T����%������������!��%����"��%�U �� 0

"�;�T�����������������!�������"��%�U

�� 5����������� ����������� ����>����������� �������������*������*����������

�#����## ���

!� (� �� ������ �������������������� ;� T��� ��� !�� "U���� ������������������ �

������� ������������� ����� �������*�����-

������ 1�2

Latihan 6.2

� � � � � �

!

"

!

"

!

"

!

"

!

"

!

"

��� ��� �)�

Page 10: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������192

"� 5����������� ����������� ����>����������� �������������*������*����������

�#����## �!�

$� (� �� ����������� � � ���������� ����������������?� ����������������

%�'�������� ����� �������������*�����-

������ 1�3

%� +������ :f →� � ������������#��� ( ) 2xf x = �

�� 5��������8������8������8��8����8�����

�� L����������� ����� �������������������� ��%"-

&� (��������*������ :f →� � ���������2( ) 3f x ax bx= + − �� x∈� ��8�����;�������

8��8!���;����

�� 5����������������������

�� E������8������8������8��$�������8��8���

)� A��� ������������ �*���*������ ( )y f x= �������������?� �������

�� 5����������� �������*������8���������� �������*������8��������������

�� �����

��� { }| 3 1fD x x= ∈ − ≤ ≤�

���� { }| 1 4fD x x= ∈ − ≤ ≤�

<� ,� ��������������)#��#�$�$����9��� ��#����!����������������� ���������� ��

����������� �������������������� ������ � ��

�� /�������� ��#����������'����� �������J#�����#������������*�������� ��'�

�� 5����������� �������*����������

��� 9������������#�������������## �������$����������� �����������#����������

������������������#������������������ �������� ���������� ��� ��� 8 15��)���������)� ���#�#�������������� ������� ���� ������ ������������

������� ����� ��

�� /������������ ����� ���� � ������ � �������#�#��� ������ '� ��)��� � ������

J#�����#������������*�������� ��'�

�� 5����������� �������*����������

��� ������ ����� ������� �� ��������� ����� �������������������� ���� � ���������

�"���

�� /����'���� ��� ����������������������������� �������� ����������������

��������� ��������������� ��� ��������������*�������� ��'�

�� ��������� �������*���������-

&

'

&

'

&

'

��� ��� �)�

Page 11: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 193

-�$ ��&������5�����= � �

0� ������������������������� ������ ����������*������ �������� ���)� ��)� �������

������ ��������� ��������������� ������5� ����� ������ *���������������� �� �����

*�������#�������*�����������������*����������� ��*���������� ����*������#�������*�����

��������*�����������������*������������

-�$�� 5��� �� =�� ���

+������8������������� ����� ����������������������'��������� ��������� ����

8��'��;�%���������%�����������#������

����� � -�$�

(��������*�������#������8��'��;�!�������������� x∈� �

�� ?� ����8������8��&���8��8��������8�����

�� ?� ������� ������� ��

)� A��� ���� �*��� ��

�����������

�� (� ����*������8��������� #��

8�����;�!����8��&��;�!���8��8���;�!�������8�����;�!�

����������������� ��������� ��>����������!�

�� (�� ������� �������� {3}fR = �

)� A �*��� �

������1�4���8���8#�����*�FP@�+�(

-�$�! 5��� �� ��������

+������8������������� ���������� �������������������'��������� ��������� ����

8��'��;�'��*������������ ���������#��������������

����� � -�$�!

2�����*�������������������'��+�'� x∈� �

�� ?� ������������&�����8�������������

�� ?� ������� ������� ��

)� A��� ���� �*��� ��

$

"

!

8!��������8����������8��������������������������������������������!

&

'

&�;�!

Page 12: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������194

�����������

�� (��������*��������

������;������&��;�&�����8���;�8��������������;���

�� (�� ������� �������� fR = � �

)� A �*��� �

�����������������������������������1��5���8���8#������!�� � ��

-�$�$ 5��� �� ������

+������8������������� ��'������������8���������� ���������������8�'��;��'�9���

�����������'��������� ������������������������#�������������� 0a ≠ ��A �*��

*����������� ��� ��������� ����� ���� �������� ����� ������&�+��'�9���

����� � -�$�$

(��������*������8��'��;�!'�:�%��� x∈� �

�� ?� ����8������8�����������8����9���� )� ?� ������� ������� ��

�� A��� ���� �*��� ��

�����������

�� (� ��8��'��;�!'�:�%��������� #��

8�����;�!���:�%�;�%� 8�����;�!���:�%�;����

���8����9����;�!���9����:�%�;�!��:�!��:�%

�� A �*��� �

��������������������������������1������8���8#�����*�FP@�+�(P�9�1

)� (� ��� �*�����������>����� ������� �������� fR = � �

&

'

'

%

!

��

��!���������������������������������������������������������������

&

'

$

"

!

��

��

�!

�"

�$

�$ �" �! �� �� � � ! " $

Page 13: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 195

-�$�� 5��� �� =������

/����*������8���������� ���������������8��'��;��'��:��'�9�%��������������P�����

��� �����������������������%��#���������� 0a ≠ ������*������8������������� �

���������A �*��� *���������� �������� ���� ������&�+� �'��9��'�9� %� ���

�� ��������� ��#����3����������������������� ��������������@����>��

�� A �*��� *������&�+� �'��9��'� 9� %� ����� ��� ��������������������## �����

( ),2 4b Da a− ���������

2 4D b ac= − �

�� /���� 0a > ���������� #���������������������/���� 0a < ���������� #��

������������������

)� ��������� �� �� ����� 2bx a= −

����� � -�$��

(��������2( ) 6f x x x= − + + ��� x∈� �

�� ?� ����8������8��!���8����������8����:����

�� A��� ���� �*��� ��

)� ?� ������� ������� ��

�����������

�� (� �� ����*������ �������� �����2( ) 6f x x x= − + + ���������

8�����;�%�

�������2(3) 3 3 6 0f = − + + = �

�������2( ) 6f a a a= − + + �

2 2( 2) ( 2) ( 2) 6 3 4f a a a a a+ = − + + + + = − − + �

�� 2������������ ����� �*��� �������������� ���������������� �����

��� 5������#�#���� �*���������������'�� �����������&�+�8��'��;���

�2( ) 0 6 0f x x x= ⇔ − + + =

��

2 6 0( 3)( 2) 0

3 atau 2

x x

x x

x x

+⇔ − + =

⇔ − − + =

⇔ = = −/������������#�#���� �*���������������'��������!���������8������

��� 5������#�#���� �*���������������&�� �����������'�;���

0 ( ) 6x f x= ⇒ =/������������#�#���� �*���������������&����������%��

�!� (� �� ����*������������� #���2 24 1 4( 1)(6) 25D b ac= − = − − = �

�������

1 12 2( 1) 2ba

− = − =−

�������

25 134 4( 1) 2Da

− = − =−

/����������������� ��������

1 13,

2 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 14: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������196

�"� ��������� ���

12 2b

xa

= − = �

�$� A �*���*������2( ) 6f x x x= − + + ������

������1������8���8#�����2( ) 6f x x x= − + +

)� (� ��� �*�����������>����� ������� �������� { }| 13 / 2fR y y= ∈ ≤� �

-�$�* 5��� ��,��'��� ����� 5��� ��,���'�

D��������'��� ���������'� ��� ��������#�������� a ������)����������������

����*����������������

, untuk 0 , untuk 0

a aa

a a

≥=

− <⎧⎨⎩

(��������*������������������������ ��

3 3= ���� 1 ( 1) 1− = − − = ���� 5 2 5 2 3− = − = ������ 2 5 (2 5) 3− = − − = �

+������ ���� ���� ������������������������������� �����'������������ �

����'� �

����� � -�$�*

(��������*������8��������������� ( )f x x=�� ?� ����8������8��8����8��$����8���

��������8��!'�:����

�� A��� ���� �*��� ��

)� ?� ������� ������� ��

�����������

�� (��������� ���������*������������������������� #��

�8���������;������8��8���;�8��8���;������8��$��;�$�

��8�������;��

������� ����

2 0a ≥ ��������������a∈� �

3 1 , untuk 3 1 0 3 1 , untuk 1/ 3(3 1)

(3 1) , untuk 3 1 0 3 1) , untuk 1/ 3x x x x

f xx x x x

+ + ≥ + ≥ −+ = =

− + + < − − < −⎧⎧

⎨ ⎨⎩ ⎩

&

'

%

"

��

�"

�%

�!����������������������������������������������!�������"

(�� ������

Page 15: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 197

�� A �*���*������ ( )f x x= ������

������1��(���8���8#����� ( )f x x=

)� (� ��� �*�����������>����� ������� �������� { }| 0fR y y= ∈ ≥� �

-�$�- 5��� �� )������ ����� 5��� ��3�'��� ��'��� )��&� ��

5��� �� ������� ����� ���� �� ��'��� &�'��� ���&� ��� ����*��������� �������

� �( )f x x= ������������������'��������� ������� ���D#������ �x �����)��I�����

�������� ���� �'I�����*���������������������������#�� � ������&��������6���%�������

�����!������'����������)#��#�

� �3 3= ���� ����!��������������������� ���� � �����������)������������������

!=

� �3,8 3= ���� ����!��������������������� ���� � �����������)������������������

!�'=

� �0,6 0= ���� �������������������������� ���� � �����������)������������������

��%=

� �1,8 2− = − ���� ����8���������������� ���� � �����������)������������������

8��'�

(��������������� ���������������� ���� '��� ��������� ������ ���� J��� ���

��������������������������������������������������� � �x ����������)#��#=

���������� J��� 0 2x≤ < ������� � 0x = �

���������� J��� 1 0x− ≤ < ������� � 1x = − �

���������� J��� 3 2x− ≤ < − ������� � 3x = − �

(��������������������������� �*���*����� � �( )f x x= ����������� �������� �����

�������?� ���������������������������� ������������ �%��"�

�!��������������������������������������������������������!

&

'

!

Page 16: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������198

������1������8���8#����� � �( )f x x=

5� ����� �����A��� � %��%� ��>�� ��� �� ����� *������ � �( )f x x= � �����

�����������������������4������-

-�$�>� � 5��� ��(����� ���� 5��� ��(����'

+������8������������������������ �����8�8'���;�8��'���+������8����������������'

������� �����8��8'@�;�88��'���/����8��8'�� ≠ �8��'������8��8'�� ≠ �88��'�������*������8

�����������������������������������

����� � -�$�-

���������*������*�������� ������������������������������������� ��

��4 2( ) 3f x x x= + + �� x∈�

�� ��'��;��'�:�����'��� x∈�

�� ��'��;��'�:����� x∈�

)� 6�'��;�)#��'� x∈�

�����������

�� ,� ���������>�

4 2( ) ( ) ( ) 3f x x x− = − + − + 4 2 3 ( )x x f x= + + =/������8�������*������������

�� (� ����*���*������������

( ) 2( ) sin( ) (2 sin ) ( )g x x x x x g x− = − + − = − + = −/��������������*�������������

)� (� ����*���*������)#������

( ) cos( ) cos ( )h x x x h x− = − = =/�����6�������*������������

�� /������'��;��'�:����������8'��;�8'�:����5�������>����������������*�����

����������������*�������������

'

&

�!��������������������������������������������������������!

!

��

��

Page 17: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 199

/����*������8��������8��'�9�&��;�8��'��:�8��&�������������������������������

0����������>��

�� 8���'��;��8��'� )� 8���K���;���K���8����

�� 8���'��;��8��'� �� �8���K���;���K���8����

�� A��� ����� �*��� ������� *�������� �����������������?� ��������������� �

������ �

�� ( ) 2f x = − ��2( ) 9f x x= −

�� ( ) 2f x x= ��2( ) 3f x x x= −

)� ( ) 3 2f x x= − *�2( ) 4 12f x x x= − −

�� (��������*������ ( ) ( 1)xf x = − ����������� �����������������������������

�� E�������� ( 3)f − �� ( 2)f − �� ( 1)f − �� (0)f �� (1)f � (2)f ������ (3)f �

�� A��� ����� �*���*������8��������������?� �������

)� 5����������� ������� ��

!� A��� ����� �*��� ������� *�������� �����������������?� ��������������� �

������ �

�� ( ) 3 1f x x= − �� ( )f x x x=

�� ( ) 1f x x= − �� � �( ) 1f x x= −

)�2( ) 3f x x x= − *� � �( )f x x x= −

"� 5����������� ��������� ���������*������������#����## �!�

$� ����������������������*�������� ������������������������������������ ��

��4 2( ) 2 3 1f x x x= − + )� ( )f x x=

��3( ) 5 4f x x x= + ��

1( )

1x

f xx−

=+

%� 5� ������*������ ��������������������������������+���������������-

&� 4�������� 8������� ���� ���� *������ �������� �����'������������ ������� ��

����8'�������� ��������������� ��������� �������0��������

�� ( ) ( )f x f x− − �������*�������������

�� ( ) ( )f x f x+ − �������*������������

)� � 8� � ���������������� ������� �������� ����� ������ *����������������� *�����

������

Tugas Mandiri

Latihan 6.3

Page 18: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������200

'� ,���� � �� ���� �� ����������� ����� ������ �#�� ��� ��������� *�����

2216 24x t t= − ���������'� ������ ���������������� ������������ �#�� ��

������������� ��/�����#�� �������������������'���������� ����

�� ,�������������������� �������-

�� 5�������������������-

<� E� ����� ���������������#����� �������������� ������ �������E� ����� ���

�����������#���*������2380p x= − ���������'�������������� ��������� ����

����"������ ������

�� 0� ������� ��� �� ���� �� ������ �������� ������� ������� ������ �'

�����

�� 0� ������ ������� ������� ������ ����� ����6���$�����

)� A��� ���� *������� ��� �� ������������������?� �������

�� ���������������*������"�� �������*�����������������*������������-

-�� +�����+����� 5��� �

5� ������ �������*������������� �� *������� �������������������� ��� ����� ���� �� ����

��������� ��������������� ����������� ���� ����

�� 5��� �� +����+���� #��������"

3������ ������������������ �������*�������� ��������������������

���� ���������

������ 1��*

3���������� ��������������*���������������*��������������*�����������������

���� �����*������>��������������������� ���� ������ �����������������

������ ������ ����������������5������������*�������)����������������� ������

����!�������������������� ��������%��+���������������������)�������������

���� �� ���� ���������������*�������)��������*����������������� ������*������ �

���� ������� �����

������ �� -��

+������8��� ��������������������������������� ���� ������������������

������������������ ,a b A∈ ��������� a b≠ ��� ����

( ) ( )f a f b≠

!

"

� � � � � �

!

"

!

%

!

%

!

%

!

��� �������� ��������)�

Page 19: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 201

L���J��������������*����������������*������8��� ���������������*���������������

�����������8����;�8�����������+���

����� � -���

(��������8��'@�;�'��� x∈� ��������8���� ������*���������������-

�����������

/����������������;�8���������;��������������� a b≠ ��5������

2 2( ) ( 2) 4 2 ( )f a f b= − = = =/�����8��������*����������������

-���! 5��� �� ���� #+��������� ���������"

3������ ������������������ �������*�������� ��������������������

���� �����

������ 1��1

3������ ��������������������*�������+���������������)���� ��*�����>�������

����������������������� ����>������ �������������� �� ������������

�� ����� ���������� +������ �������������������� ���� �������� 5�����������

*������������ ������������!��� ����� ����>����� �������������� �����>��

������ *������ ���� ��� ���� ������������� *������������������(�*������ �������� �

���� ������� ����� ����

������ �� -�*

(��� �����*������8��� �������������������������������������

����� �������������������� ���������������� ���������� b B∈ � �� �����

������ a A∈ ��������

8����;��

(�����������������*������8��� ���������� �������*�������������������� �

������� ��8��������������� ����>����� ��8�� ������8�����;���

����� � -���!

5�����������>��8�������������*���������������������*�����������������

��� :f →� � ��������2( ) 1f x x= +

��� :g →� � ��������3( )g x x=

� � � �

!

"

%

!

� �

!

"

%

!

!

"

%

� ��� ������� �������)�

Page 20: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������202

�����������

�� +������8�������*�������������� ������ ������ 1− ∈� ������������������ x∈�

�������� ( ) 1f x = − �

�� /���� ������� y∈� �� ���� �� ������

13x y= ∈� � �������

( )313( ) g x y y= = ��/��������*�����������

-���$ 5��� �� ��������� �����=��� ������ �� +���� ���

A��� � %��&� ���� ���������� ��������� �� *������ ������ *������ ����

���������� *������ ������������ �� ���������;� T� ��� ��� !�� "U� ������������ ;

T�"�<���U��+������ ����������������*������������������� ��&��������

������ 1��2

������ �� -�-

(��� �����*������8��� �����������������������������������&�������

��������� ������ �� ���� �����������8��� �������*�������������������

�����

(�*�������������������������>�������8�*�������������*��������������������

����������� ������������������������������������� ������ ��

����#��� ��������

����� � -���$

�� /����������������������������� ���������������������������� ��������

�� )���������� �������# ���#��������������������� ������������#��#�

���������������� )���� ����

�� ����������� ������ ��� ����� �����#������� ���5� �������# ���#������

�������������� ������������� ���������������� ����#������� ��

� �

!

"

V

Page 21: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 203

�� (� ��*������*�������� ������������ ����� �������*����������������������������������*�

������ 1��3

�� (� �� ������� *�������� ����������� ����� ������� *������ ����������� *�����

����������*�������������*����������� ������� ����;�T����%�!U��

�� �8�;�T������������!����%��$����!��%�U������������ ����>�����+�T������!��"��$��%U�

�� �8�;�T�����������������%��!����!����U������������ ����>�����+�T������!U�

)� 8�;�T����"�������!����%�������!����U������������ ����>�����+�T������!��"U�

�� 8�;�T�����������������%�������!�"�U������������ ����>�����+�T������!��"U�

!� 5���������������� ���������*������ �������� �������������������������������

�������*�

�� �8��'��;�$ ��

2( )

3f x

x=

+

�� 8��'@�;��'�:�! �� ( ) 2f x x= −)� �8��'��;�!�8�'

"� ���������*������8��������������������������������

2

2 1 , untuk 2( ) 4 , untuk 2 3

1 , untuk 3

x x

f x x xx x

− <

= − ≤ ≤+ >

⎧⎪⎨⎪⎩

Latihan 6.4

!

"

%

!

!

"

%

!

"

%

� ��� ���������� ����������)�

���� ���������� ����������*�

!

"

%

!

!

"

%

!

!

"

%

!

Page 22: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������204

$� 4�������� { | 1 1}A x x= ∈ − ≤ ≤� ���� : f A→ � �������������� ����>������

8��������*�������������� �����*�����������8������>������

�� 8��'��;�!'�:�' )�

2( )

3f x

x=

+

�� 8��'��;�'��:�� �� ( ) 2f x x= −

%� ?� ���� )#��#������������� ��� ��� �� ������ ������ ����� ������� *�����

����������������������������*�

&� (��� ��������������� ���������� ����#�� ������ ��������� �� ���������� ����#

������&������

4�����������������������������������������������������*������8������

���������� ���� ������ :f A→ � � ���������������������� �� � ���������� 8

*�������������*-

-�* �'��&��� 5��� �

3������������� ���������>������������*������*�������������������������

����� ������������ ���� �����#�� ���������� �������������� ���������������������

5������������ ��������������� ���������� ��������� ��*������*������ �������� �������

2����������������*������������� ����#�� ���������� ��� ��*������*������

������ �� -�>

4�������� fD ����� gD ��������������� ��������� �������8�����������

�� E��������������� �*������8������������� ���������� ��������������8��'��;��8�'��

���������� ������ kf fD D= �

�� /���� *������ 8����� *�������� ������ ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + �� ������

��� ������� f g f gD D D+ = ∩ �

!� �������*������8�����*�������������� ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x− = − ������������ �

����� f g f gD D D− = ∩ �

"� ,� �������*������8�����*�������������� ( )( ) ( ) ( )fg x f x g x= ������������ �

����� .f g f gD D D= ∩ �

$����,��������*������8�����*��������������

( )( )

( )f f x

xg g x

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������������ ������

fg

f gD D D= ∩����� ( ) 0g x ≠ �

)� �� ���� ���� ���! ���" ���$ ���% ���&

�����'�� ���$ ���� ���& ��!� ��!� ��!! ��!$

Page 23: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 205

����� � -�*�

4��������2( )f x x= ����� ( ) 2g x x= + ��5��������*������*�������� ������� ������ �

����� ��

�� "8 )� �8�

�� �8�9�� ��

fg

�����������

(�� �� ����� � 8� � ������ fD = � �� ���� ��� �� ������� ������ { }| 2gD x x= ∈ ≥ −� �

������-�(������(�*������%�&�������� #���

�� �"8���'��;�"8��'��;�"2x ������������ ������� 4 f fD D= = � �

��2( )( ) ( ) ( ) 2f g x f x g x x x+ = + = + + � ������� ��� �� ����� �����

f g f gD D D+ = ∩ = �{ }| 2x x∈ ≥ −� ��

)�2( )( ) ( ) ( ) 2fg x f x g x x x= = + � ������� ��� �� ����� fg f gD D D= ∩ =

{ }| 2x x∈ ≥ −� ��

�� �D����� ( ) 0g x ≠ ������������ ������� 2x > − ���������

( ) 2( )( ) ( ) 2xf f xxg g x x

= =+

����������� ������� fg

f gD D D= ∩ = �{ }| 2x x∈ > −� �

�� /����8��'��;�'�?�$���������'��;�'��8����5��������*������*�������� ������� ������ �

����� ��

�� !8 �� 8�

�� 8�9�� �� f g

)� �8�?�� *� �!8�:����

�� 2����������������*������ �������� ������������8�9����8������� f g �

�� ( )f x x= �������'��;�'��:��

��

1( )

1x

f xx+

=−

����� ( ) 1/g x x=

)� ( )f x x= ���� ( ) 3g x x= −

��

1( )

1f x

x=

+����� ( )

2x

g xx

=−

Latihan 6.5

Page 24: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������206

!� (��������#����������� ������� ������ � ������ ����������������� � �

�� �� ���� ��� ���� ���� ������ 9���� .� ��� ����� �� �� ���� � ������

2 3( )

2x

f x+

= �������..���� ������� ������ ������� �2( ) 5g x x= + �

�� 5��������*�������� ������������ ������ ��������#��������

�� /������ �� ���� ��� �������� ����� ������ � ���>����� �� ������ ������ � ���

����������#����������#���������� ������

)� 5��������*�������� ������ � ��������������#����������#���������� �����

�������� ��������� ������

"� (������������������ �������>����� �� ��������� ����� �����������)������

"���K���� ����� ��� ��������� ����>����� �� ����� ��� � �� ��� � ������

��)�������!���K����(��������������������������������������������

��������������������>����� ��������������������������)� ���� ���������

-� ��� �� ������� ����������>����� ������ � ����������������� ��

�� #�A#����������� ����������-� �����������������C� �C��������� �������� �B��

-�- =���� � �� 5��� �

4����� �������������;�T����!�"U����;�T��%!U������,�;�T"<U��4��������*������8��� ������

���������� �������,�����*������������� ������� ���� �����

������1���4

(� ������ *������ ������������ #��� *������ ���� �������������������������� ��

�������,����� ����� �����

������ 1��5

!

"

%

!

"

<

%

!

�� �� �� ��

→�8 � � →�� � ,

→ →� � ,

�� �� �,

!

"

%

!

"

<

Page 25: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 207

+������ ��������������������������,����������������������������*��������������

�������� �� �� ���������������� �����

�������������������1���

+������ ������������������ �������������������� ���� ������� � ���7�� ���� ���������

����� � ������������������*�������3#�#������� ��������8�����#�������� g f �

,� ���������>�� g f � �������� �������� �������� ������ 8� ����������� �� �

���� ������#������+������ g f ������)����������H*������������� ���8I�

(� ��)#��#����������������� #���

( )(1) ( )(3)( )(2) ( )(4)g f r g f p

g f r g f r

= =

= =

,���������������������������� #����� ��8������������ ����� ���������

( )(1) ( (1)) ( )( )(2) ( (2)) ( )( )(3) ( (3)) ( )( )(4) ( (4)) ( )

g f g f g a r

g f g f g c r

g f g f g b p

g f g f g a r

= = =

= = =

= = =

= = =

��)� ������#�#��������������� ��������������

( )( ) ( ( ))g f x g f x=

������1�����7�"7�����8#����

�� �,

!

"

"

<

→ �� 8 � �

�� �� �,

�'

�8F'@

��F8F'@@

Page 26: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������208

-�-� +2�������������� 5��� ��������������� � ����

/������������� ������� *������ 8�������� ������������ �� ������������

���#�#�������-�3������ �������)#��#��� ���������

�������������1��(

(� ������*������8��������������� #���8�����;�!�����������!�������������� ����!������

�������� ��,�

���� ������ �����������*�������� ���������

�������������1���

(� ������*������8������������������������������#�#����� ����� ����������

������� ����������#���8�� ��������������� ��,����� ����������

(� ������)#��#����������������������������� ����������>�� ���������

���� ������� *������ ������ ����������������#�#���������9���� ���������� �

)#��#�������������� ��������������� ���������

)������� -�

� � ���*������������8����������#�#�������������� g f �������������� �

������� ��8����������������������� ����� ��������� ����� ����

( ) gf A D⊆

!

"

%

!

�� ��

→�8 � �

�� ��

→�� , -

%

"

<

→�8 � � →�� , -

�� �� �, �-

'

&

B

%

!

%

!

"

<

Page 27: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 209

����� � -�-�

(��������*������8����������� �����#������� ��������� �����

������ 1��*

A��� ������� ��������� �� g f �

�����������

(� ������ ���������������������� #��

( )(1) ( (1)) ( )( )(2) ( (2)) ( )( )(3) ( (3)) ( )( )(4) ( (4)) ( )

g f g f g c r

g f g f g c r

g f g f g b q

g f g f g d q

= = =

= = =

= = == = =

(��� ������������� g f ������

��������������������1��1

����� � -�-�!

+������8��������� ��� ����� ��� �������#��

8��'���;�'�8�!���������'��;�'�

5�������� ���������� g f �

�����������

(��������� ����#�#�����

� g f ��'��;���8��'���;���'�8�!��;��'�8�!���;�'

��8�%'�:�<

��

��

!�

"

��

��

%�

!�

��

��

%�

!�

"�

<�

�� �� �� ,�

8���� �� ����� ,�

��

��

!�

"�

"�

<�

�� ,�

g f� ��� ,�

Page 28: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������210

����� � -�-�$

(�������8�������������������������������� � ������� �����

8��;�T������������!�������"�U

��;�T����!����!��"����"��%����$��&�U

5�������� g f ������ g f ������

�����������

(���������������������� ������

g f �;�T���!������"������%�U�

�������

� g f ������;���8������;���"��;�%�

(��������������������#�#�������������������������>��#�� ���

�#�#�����*�������� ��*�����#�����*�� �����������8�������6����� ������ ����

) ( )( f g h f g h=

-�-�! ,���������� =�������� 5��� �� ���&�'�� ������� =���� � ��2�

������ ��

0� ����� ���� ���������������� �� ���� ���� )#��#���������)� ���#�#���

*������ ���������#�#����� ������������, ���������� � �������������������

��*�������#�#�����*�������,� ��������)���������������>����������������������� ��

�����������������������

����� � -�-��

(��������*�������8������������� ����������'��;�'�8�$�

5��������*������8�������

�� ( )g f �'��;�"'�:��

��2( )( ) 3f g x x x= +

�����������

�� (� �� �����#�#�����*������������� #��

( )g f �'��;���8��'���;�"'�:���;��"'�:�%��8�$

/������8��'��;�"'�:�%�� x∈� �

�� (������� �������#�#�����*������������� #��

2 2( )( ) ( ( )) 3 ( 5) 13( 5) 40f g x f g x x x x x= = + = − + − +

/������2( ) 13 40f x x x= + + �� x∈� �

Tugas Mandiri

Page 29: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 211

(���������� ������� ���#�#������� ���������������� ���� nf � � �������

0 ( ) ( 1)f x x x= + �� 1 0n nf f f+ = ���������;��������������

�� (��������*������8��� A B→ ��������B C→ � ���������������#������� ���� �����

������ 1��2

�� 5�������� ( )( )g f a �� ( )( )g f b �� ( )( )g f c ����� ( )( )g f d �

�� 5����������� �������������� ��������� �� g f �

�� (����������;�T"�<���� U��*������8�������������� ���������������#���

8��;�T�"�<����<�������������"���� ��U

��;�T�"������<� �����<����������� �"�U

�� 5�������� ( )( )g f p �� ( )( )g f r � ( )( )g f s ������ ( )( )g f t �

�� 5����������� �������������� ��������� �� g f ���� f g �

!� (�������� ( ) 2f x x= − ��������'��;�'�:�&�������������������#�#�����*�������� ����

�� ������ ������� ��

�� f g )� f f

�� g f �� g g

"� /������*����������������h f g= ��������6��������*�����������-

$� /������*����������������� h f g= ��������6��������*������������-�0������������

8�������-�0�������������8������-

Tugas Kelompok

Latihan 6.6

%

!

"

<

'

&

B

�� �,��

Page 30: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������212

%� (��������8��'@�;�!'�8�"�������'��;��'�9����/���� g f f g= �������������������

&� (��������8��� →� � ���������� →� � ������������'��������

�� �8��'��;�'�8�������2( )( ) 3 2f g x x= +

��2( ) 5f x x= + �����

2( )( ) 2 6f g x x x= − +

'� (��������8��� →� � ���������� →� � ����������8��'��������

�� ��'@�;�'�:������2( )( ) 3 4f g x x x= +

�� ��'��;����8��'�����3( )( ) 1f g x x= +

)� ��P��;� ( ) 1 1/g x x= − �����

1( )( )

2x

f g xx+

=−

-�> ��1�� �5��� �

,� �������*������8���� ��������

������ 1��3

/����*������8������������������������������������� #��� �������� ���������

������ 1��4

6������0�����������1�� ����� ��8��6������0����������#���������������1f − ��������

1f −

� �������*�����-�5� � �����������������-

!

"

"

<

�� ��

→�8 � �

→�0 � �

�� ��

!

"

"

<

Page 31: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 213

���� ������ �������*����������� ��������

������ 1�(5

/����*�������������������������������������������� #��� ������1g−��� ���������

������ 1�(�

,� ���������>�� ������1g−�������*����������������������� �����J� ��*������ ���

� ������� *�������������� ���� �� ��1�� �� 0��� �������������� ����� *������ ��J� �

��������*��������������

(������ ���������� ��� ���� ���� ���� ��� ��� ���������� �������� ����� *�����

:f A B→ ���� ������� ����������������� �� � ��

{ }( , ) | dan f a b a A b B= ∈ ∈

������J� ��*�������8��������1 :f B A− → � ���������������#��

{ }1 ( , ) | dan f b a b B a A− = ∈ ∈(� ��)#��#�������������������������������>����J� ��*������ �!���6�#��� ������

*�������5������������1g−�������*������������������������ x A∈ �������� ����

1( )( ) ( )Ag g x x I x− = = ���������� AI �*�����������������������

����������������� x B∈ �������� ����

1( )( ) ( )Bg g x x I x− = = ��������� BI �*������������������������

� �

!

"

"

<

→�� � �

� �

"

<

!

"

− →�

�� � �

Page 32: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������214

3������ ��������������*������8����������������)#��#����������3������1f − ������

*������ �������1g−� *������� 6������

1f − � ������ *������ �� ���� ����<� �������� � ���

���� ���������>��� ������ ������!�����"������������E�������������������� ����8

*������ ���� ������ ����������� ����������1g−� ������ *������ �� ���� ������� ��������

����������� ����������������>�����������4����������������>����*�����

�������������)� �������������� �����*����� ����� ����

)������� -�!

4���������8��������*�������� ����������1f − �������*��������J� ���� ��8���� ������

������������� ��������8��*�������������*�����

1Af f I− = �����

1Bf f I− =

/���� *������ ��J� �� ����������� *������ ��J� �� �� ��������������)� ������������

)� ��

�� (�������������� �������*������������������������� ������� �����������

�� (������������������ ��������>���������&�+�8��'�������1( )x f y−= �

����� � -�>�

(��������*������8��'��;��'�:$�� x∈� �

�� 5�������� ����������1f − �

�� E��������1(0)f − ��

1(2)f − ������1(3)f − �

�����������

�� 4�����������&�;�8��'��

2 5y x= + � 2 5x y⇔ = −5

2y

x−

⇔ =

1 5( )

2y

f y− −⇔ =

/������ ����������1f − ������

1 5( )

2x

f x− −= �

�� (� ��1 5( )

2x

f x− −= ��������� #��

1 0 5 5(0)

2 2f −

−= = − ��

1 2 5 3(2)

2 2f −

−= = − �����

1 3 5( 3) 4

2f −

− −− = = − �

����� � -�>�!

(��������*������

3( )

2 4x

f xx+

=−

�������� 2x ≠ ��5�������� ����������1f − �

Page 33: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 215

�����������

4��������&�;�8��'��������� 2x ≠ �

�������������

32 4x

yx+

=−

3 2 4x xy y⇔ + = −� 2 3 4x xy y⇔ − = − −� (1 2 ) 3 4x y y⇔ − = − −

3 4 4 31 2 2 1

y yx

y y− − +

⇔ = =− −

/�����1 4 3( )

2 1x

f xx

− +=

−������� 1/ 2x ≠ �

(�������� ( )ax b

f xcx d+

=+

�������� 0ad bc− ≠ �

�� 5�������� ����������1f − �

�� ����� � ��� ����� ��1f − ����-

)� ����� � �������%������!���� �1f f− = �-

(��������������������#�#�������

�� (��������*������*�������� ����;�T'�&�B�U������;�T8�������U����������� �����

������ 1�(�

�� �8"�;�T�'�������&�������B����U

�� 8$�;�T�&��8�����B�������'����U

*� 8%�;�T�B��8������'��������&����U�

(� ���������*�������������������������J� �� ���3����������� ��������� ��

*��������J� �-

Latihan 6.7

Tugas Kelompok

'�

&�

B

'�

&�

B�

-��

���

���

'�

&�

B�

-��

���

���

-1

0

1

��� �� )�

��8 � �

��8 � �

!�8 � �

Page 34: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������216

�� �������������*�������� ��������� ���*��������J� �-�/�������� ���*�����

��J� ��� ��������� ��J� �� �� ������

�� �8��'@�;�$'�8�! �� 8��'��;� 2 6x −�� 8��'��;��8�'

��� 8��'��;�����'

)� 8��'��;��"�8�'�!

*� ( )f x x x= +

!� 5��������� ��>�� ������� *������ �� ��������� ��� *������ ��J� ��� ���

���� ����� �*���8�����1f − ������������������� ��������

�� 8��'��;�"'�8�! �� 8��'��;�'!�:�� �����)� ���

3 1( )

2 4x

f xx+

=+

"� 5��������� ��>�� ������� *������ �� ����� ���������� ��� *������ ��J� ��

������������������ ������� �������������� ���*������ ��J� ��

�� �8��'��;�'��:�" )� 8��'��;�

29 x−

�� 8��'��;��'��8�% ��

21( ) 162f x x= −$� 5���������������#������������������*������ ��������*���������#��

3( )

xf x

x k+

=+

������������*��������J� �� ��

%� 5�������� ����������1f − ��� ���������*������ �������� �����

��

1( )

3f x

x=

−)�

3( )

4 +1x

f xx−

=

��

2( )

5 3f x

x=

−��

5 3( )

3 +2x

f xx+

=

&� (�������� *������

3( 1)

2x

f xx+

+ =−

�� ������ 2x ≠ �� 5�������� ����������1f −

�� ������ ������� ��

'� (��������

2 3( )

4 5x

f xx+

=−

�������� 5 4x ≠ ��/����1f − �*��������J� ���� ��8����������

1( 1)f x− − �

<� (��������8��'��;��'�:�&�

�� 5��������1f − �

�� (� ��1f − �������������������

1 1( )f − −�

)� ���� ����������������������-

��� 5���������8�������

��1( ) 4f x x− = + )�

1 3( ) 1f x x− = +��

1( ) 3 1f x x− = −��� (������������*������

8��'��;��'9���� 0a ≠ �������'��;�%'9�!��� 0c ≠5�������������������� ������%�����!���������8��� �������*��������J� ���� ����

Page 35: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 217

-�? 5��� �� ��1�� ������5��� ��=���� � �

,� ����������� ��������� ����� ���

A B C

a b

g f�

1( )g f�

c

������ 1�((

,�������� ���������������*�������#�#����� g f ���������a A∈ ����c C∈ �����

*��������J� ���� �� g f �� �����1( )g f −

��������� c C∈ ����������� a A∈ �

����� �-�� ?�

(��������8��'��;�'!�������'��;��'�:���� x∈� ��5��������

1( )g f − �

�����������

(� ������� ������#�#�����*�����

�3 3( )( ) ( ( )) ( ) 2 1g f x g f x g x x= = = +

4����� ��1( ) ( )g f x y− = �����

3 2 1x y+ = �⇔ �32 1x y= −

�⇔ 3 12

yx

−=

���⇔ 31

2y

x−

=

/�����

1 3 1

( ) ( )2

xg f x− −

= �

����� � -�?�!

(��������8��'��;�'!�������'��;��'�:���� x∈� ��5��������

1 1f g− − �

�����������

4���������������������>�������8��'��;�'!��������'��;��'�:�������

1 3( )f x x− = ��������1 1( )

2x

g x− −=

Page 36: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������218

7����� ��������

1 1 1 1( )( ) ( (( ))f g x f g x− − − −=

�1 1( (( ))f g x− −=

1 12

xf −

−= ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

�3

12

x −=

(� ��)#��#�%�'�������)#��#�%�'������������������ #�����>�

1 1 1( )f g g f− − −=

�������������� ���� ����������� ������� ���� �������� *������ �������� ��

*������ ��J� �� -�G��� *# ���� ����������� ����������� ���� �������� *������ ���

���� ���*������ ��J� ��

)������� -�$

/����8�����������*������ �������� ���*��������J� �������#�#����������� �

����������� ����

1 1 1( )f g g f− − −=

�� �

2�����������������*����������� ���5�# ���%���)������������������

1 1( ) ( )f g g f I− − =

3������ ���������>�

�1 1 1 1( ) ( ) ( )f g g f f g g f− − − −= ��������*�����#�����*�

�1= f I f − ��

1g g I− = �

�1( )f I f −= ���*��� ��#�����*�

1f f −= � f I f= �

I=/������� ��������>��

1 1 1( )f g g f− − −= �

(��������������������#�#�������������������������>��

1 1 1 1( )f g h h g f− − − −=

Tugas Kelompok

Page 37: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 219

����� � -�?�$

(��������*������8������������� ����������'��;�'�8�!������ ( )( ) 3 5g f x x= − ��5�������

*������8�

�����������

(� �� *�������� �������� ������ ��������� ���1( ) 3g x x− = + ��(�� ����� ������ ����

���� ����������

1f g g f−=

������� ��

1

1

1

( ) ( ( ))( )

(( ))( )

(3 5) (3 5) 3

3 2 =

f x g g f x

g g f x

g x

x

x

=

=

= −

= − +

/������8�'��;�!'�8���

,�������������� ������������������������������ ��������>����������������� )#����

����� ��������������#���������

����� � -�?��

������� �������������� )#�������������������������� ����������.����������..�

9��� �� ������������ � #���� �� )#����� ����� ������� ������ ������� *�����

�� �������� ��� ��#������ �������� ������,���������.������������ ���'�#�������

���� ������>����������� ( ) 2f x x= + ����������������������..��� ������>����

2( ) 2 1g x x= − �

�� /���� ����� ���� �� �������������� )#����� ����� ��� ���#��� �� ���� ���� ����

�� )#����������������������������-

�� /����>����� �������� ������������������� )#�������������&��������� ����#�

����� �������� �����-

�����������

�� 4����������� ������������������ ���#�#���������*�������2������������������

�� )#��������������������>����� �������� �����������

2 2( )( ) ( ( )) 2( 2) 1 2 4 3g f x g f x x x x= = + − = + +

2�����'� ;� ����2( )(10) 2(10) 4(10) 3 243g f = + + = �� /�����>����� ������ �����

������������� )#���������������������� ������#���������"!������

�� �������� ��������� ����� ����������� ������� �� ��J� ���#�#���������*������

(� �� ( ) 2f x x= + �����2( ) 2 1g x x= − ��������� #��

1 2( )f xx− = − �����1 1( )

2x

g x− +=

Page 38: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������220

(��������� ������5�# ���%�!�

1 1 1 1 1 1( ) ( )( ) ( ( )) 2

2( ) x

g f f g x f g xx− − − − − += = = − ��

2�����'�;���&����� #���

1 127 1( ) (127) 2 6

2g f − +

= − = ��/�����������>�������&

������� )#����������� ���������������� ���%�#��

�� 5�������� ���� ������1( )f g −

� ����1( )g f −

�� �������� ( ) 2 3f x x= + � ���

( ) 2 3g x x= − ��������

�� ��)� �������� f g ����� g f �

�� �������������*���1 1 1( )g f f g− − −= �

�� (������5�# ���%�!�� ���������1( )f g −

� ����1( )g f −

� ������ � 8� ������� ���

���� �����

��

6( )

3f x

x=

+�����

2( )g x x= �������� 0x ≥ �

�� 8��'��;�!'�8��������2( ) 3g x x x= − + �������� 1 2x ≥ �

!� /����1( ) 3 1f x x− = − ����

1( )g x x− = � ������ 0x ≥ �� � ������1( ) (2)f g −

� ���

1( ) (2)g f − �

"� /����8��'��;��'�:��������1( )( ) ( )f g x f x−= �����������*���������

$� (��� ���������*������8������������� �����������*�������������

�� 8��'��;��'����� ( )( ) 6g f x x= + �

�� 8��'��;��'������ ( )( ) 1 1 2g f x x= − �

)� 8��'��;�'��:�$�����

2( )( ) 2 6f g x x x= + + �

%� /����

8( )

2f x

x=

+� ���� �

2( )g x x= � ������ 0x ≥ �� ������������ �� ����� �� �

1( )f g − �

&� ������ �� ������� ����� ������ � ��>�� ��� �� ������ ������� �����

�� #������'��� ���������

2( ) 10.000 0,001C x x= +�� /���� �� ���� ���� ��� #������ ����� ��� $���� �� ���� �#���� ��� �� ���

���� �����-

�� /���� �� ������ ��� �� ������ � ��� ����� ����� �� ���� ��� ��� �� ���� ���

���������-

Latihan 6.8

Page 39: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 221

'� ,���� ������ �� �������� ������ .�������� ����������������� ����

�����������������������..�������������������������������������������

3��� �������� .���������� *������ ( ) 2f x x= � ��������������� ..� ���� ��� �

��������� *������2( ) 3 5g x x= − ��������'� ��������� ������������� ���

�� ������

�� /�������������� ������ ������������� #����������� ���$����������� ���

������� ���� ����� �������������-

�� /����� #����� #���������������������"�&�������� ���������������� ������

���������� ����� �������������-

������/����������������������������������#�#��������� #����?� �������������

��������������������� { }( , ) | dan B x y x A y BA× = ∈ ∈ �

������������ ��������������������� ��������������������������������� ���

���������������� ��� #����?� ������� A B× �

!�� � +������ ����� �������� �� �� ��������� ��� ��������� ������ ������ ���

����>�����������������#���������������������������#������E����������������

��� ��������������� ����*��������#�������������� fD ��E�������������������� �

��>��� ��#�#������ �������� fK �� +����� : ( )f x y f x→ = �� &��������� ����

��� ��������� ��'�#����8�������������*������8������'���������� �������� ��&�#���8�

E����������������������������������� �������� ��������������� fR �

"�� � � 0��� ���� *������������� *�������#������� *������ ����������� *������ ����� �� *�����

���� ����*�����������������*������#�������*������������������*�����������������

�� ���� ��*�����������������*�������������

$�������*�����*���*�������*������������������������*���*������������#��#�������� �����*������

*���������������������������������*��

%����� � ���*������������8����������#�#�������������� g f �������������� ��������� �

8����������������������� ����� ��������� ����� ����� ( ) gf A D⊆ �

&�����4���������8��������*�������� ����������1f − �������*��������J� ���� ��8���� �������������

������ ��������8��*�������������*�����1

Af f I− = �����1

Bf f I− = �

'����/����8�����������*������ �������� ���*��������J� �������#�#����������� �

����������� �����1 1 1( )f g g f− − −=

Rangkuman

Page 40: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������222

,���������� ��# �� *������ �����#�# �� #��

��������>��� .������ ����� ��� ,� ��)���

9� �� ����� ������������������ ����������'�

3�������9#����?��) ������������������

9��� ����� �� ������ ����� �>��� ����� ����<�

9���� �������� ?��) � ����������������

����������� �� �������� *�������� ��������������

�#������� E����� �� ��� �� ��� ?��) � ���

�������� ������������ #��� ���

�������>��� /� ���� �����=��'� ) �����

@���� ��� �����(������5�������0 ����;�������

�� ���� �������������������������������������������������������������

����������� �!���� ������� ������������

�� (�� �������*������

2 5 6( )

2x x

f xx

+ −=

−�������M�

�� { }| 2x x∈ <� (� { }| 6 atau 1 2x x x∈ ≤ − ≤ <�

0� { }| 1 2x x∈ ≤ <� L� { }| 6 atau 1< 2x x x∈ ≤ − <�

?� { }| 6 atau 1 2x x x∈ ≤ − ≤ <�

�� /���

2

2 1 , untuk 0 1( )

1 , untuk yang lain

x xf x

x x

− < <=

+⎧⎨⎩

����12(2) ( 4) ( ) (3)f f f f− + =� �

�� ��� (� $$

0� ��$ L� $�

?� '$

������1�(�� ��������

�#���D��$$$��7>�� �%7�

Math Info

Uji Kompetensi

Page 41: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 223

!� /���� ( ) 2f x x= ����� ( ( )) 12x

f g x = − + ������ ( )g x =� ��

�� 12x− (�

1 ( 2)4 x −

0� 12x+ L�

1 ( 2)4 x− −

?�1 (2 )4 x−

"� /����

1( )

1x

f xx−

=+

�����

2

2

1( )

1x

g xx+

=−

������ ( ( ))f g x =M�

��2x (�

2

2

11

xx−+

0�2 1x + L�

2

211

xx+−

?�2 1x −

$� /���� ( ) 2f x x= + �����2( )( ) 2 4 1f g x x x= + + ������ (2 )g x =� �

��22 4 1x x− + (�

28 8 1x x+ +0�

22 12 1x x− + L�24 8 1x x− +

?�28 8 1x x− +

%� /���� ( ) 2xf x = ������ ( 2 )f a b c+ − =� �

�� ( ) 2 ( ) ( )f a f b f c+ − (�

2( ) ( )( )

f a f bf c+

0�

2 ( ) ( )( )

f a f bf c L� ( 2 ) ( )f a b f c+ −

?�

2( ) ( )( )

f a f bf c

&� /����2( )( ) 4 4g f x x x= + �����

2( ) 1g x x= − ������ ( 2)f x − =� �

�� 2 5x − (� 2 1x +0� 2 3x + L� 2 1x −?� 2 3x −

'� /����2( )( ) 4 8 3f g x x x= + − ����� ( ) 2 4g x x= + ������

1( )f x− =� �

�� 9x + (� 2 7x+ +0� 2 x+ L�

2 2 3x x− −?� 2 1x+ +

<� /����3( 2) 2 5f x x− = + �����

1(3) 4 1f a− = + ��������������;������

�� 8�" (� "

0� � L� �%

?� !

Page 42: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������224

��� /�����������!������� ������������ �*���*��������J� ��2( ) 2f x x x p= + + �����������

�"�;������

�� 8�$" ?� �$ L� $"

0� 8�$ (� �%

��� /���� ( ) 2 3f x x= + ��3( ) 1g x x= + �����

1 1( )( ) 2g f a− − = ��������������;������

�� <" ?� �$ L� ��

0� ��� (� �'

��� (�� ��������� ��*������

2 1( )

1x x

f xx+ +

=−

�������M��

�� { }| 1 atau 7y y y∈ ≤ − ≥�

0� { }| 7 atau 1y y y∈ ≤ − ≥�

?� { }| 1 7y y∈ − ≤ ≤�

(� { }| 1 atau 7y y y∈ ≤ ≥�

L� { }| 1 atau 7y y y∈ ≤ ≥ −�

�!� /����

2 1( ) 3

3,x

f x xx+

= ≠−

��/����1f − �������*��������J� ���� ��8������

1( 2)f x− − ;

�����

��

1, 2

2x

xx+

≠−

?�

2 2, 1

1x

xx−

≠ −+

L�

2 1, 3

3x

xx+

≠−

0�

2 3, 5

5x

xx−

≠−

(�

3 5, 4

4x

xx−

≠−

�"� /����

23( ) 2f x x= ������ 2

3( )g x x= ������

1( ) ( 2)g f − = � ��

�� �K� ?� � L� 2 2

0� 2 2 (� �

�$� /���� ( ) 4 2f x x= + ����� ( ) 3g x = ������ ( )( 2)g f − = � ��

�� 8�% ?� �! L� �"

0� 8�! (� �%

�� ���� �������������"��������������������#$�� ���� ������������� ������������

�%� (��������*������8����������� �����#���8��'��;�!�8��'���������'��;�'��:���

�����5�������� ( )(2)g f � �� /���� ( )( ) 2g f a = �������������

�&� 5����������� �������������� ��������� ��*������

2

22 1

( )16

x xf x

x− +

=−

�'� 4�������� ( )ax b

f xcx d+

=−

�� /����2 0a bc+ ≠ � ���� x a c≠ �� ��������� ��>�

( ( ))f f x x= ��3������������� ( ( ))f f x �������

3 1( )

2x

f xx+

=+

��� 2x ≠ − �

Page 43: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

������������7�"7�����/#�����!�����>���/#���� 225

�<� E������������ ����� ���� ������ �������������������� ������ ������������

�� �������-������� ���������������������*�����

229 3P D D= − +(��������������� ���������������������� ������������������������� ��

2D t= +�� D �����������������*�������� �� �� E������������� �;��$�

��� ���������������������������������#�������������� ������������������

� ���������������� ������������*������2( ) 256 4f x x= − ��������'������

�#����#���� ����� ����� ��� ������� ������� 8� �'�� ������ �������� ��������

� ���

�� 5����������� �������8�� �����������

�� 0� ����������������� ����������������� �����#�������������� �������� ��

%�� �-

)� /��������# ������������������������ ��������� �������� ������� ����#���

#�������������� ��� �������� ����-

�� ����������������� ���������������)�������������� ���������� � ������ �� ��

���� ����� ��������)�������%��)K������

�� D ������� �� ���� ����� �� ������ ���������������*������>�����

�� /������ ������ ����� ������ ��� ���� �������� *������ �� ���� ��� )� ���� A r ����

��*�� ���

�� ����������>����� ������������������)�������!$���K�����������������������

���������>������������������������� ��� ����������� �;���

�� D ������� �� ��������� �!� ���������� ���� ����������������>��

��������*������>�����

�� D ��������� ��������� ������>��������������� ��� ���������*�������� ��!�

)� A��������#�#������������� �����������������*�������� �� �

!� 6����5 ( 32)9C F= − ��������� 459,67F ≥ − ��� �����������?��)����,��������

*�������� �� ����+� ������/�� 5�������� ���������� *������ ��J� �� �����

�� ��������� � ������ ���������� �������*������ ��J� �� ���-

"� (������# �� �����J������������������� ���������������)�������>������

02 2

( )1

mm f v

v c= =

−������� 0m ��� �������������� ��������������%������)�� ����� ���������

5��������*��������J� ���� ��8���������������� ��� ��

$� /�����������#������������ ��������>��� ����������� �������������������������

!������������ ��� ������� ��������� � ��������

3( ) 100.2tn f t= = �

�� 5����������J� ���� ��*������������������������ ��� ��

�� 3������#��������������)�����$�����-��.������#������#�� �������������@��

Soal Analisis

Page 44: Komposisi Fungsi Dan Invers Fungsi_bab6

�� ��� �������������������������226

����1���

D�� ��MMMMMM�� 5������ ��MMMM�

3���� ��@. 4��� ��,#�#� ��3#�#�����*�����

��������J� ��*�����

����������������3��#�#� ��MMMMMM�� ������ ���������

3������� ��4������ ������������������� �������

5����� ��4��������� ���������� ��������?��)�����+� ������

��3��J��������6���

������'�������&� ���2�������������

�� 5� #��� �������?��)�����+� �������3��J��������6���

�� �L������������� �������

!� A����K>������ �������������� �������� ������������

"� ����� �����

$� 0���� )������

���������������

�� 0���������#�#�� ������ ����#������$����>��

�� 5���������������������� ��������������������������������� ������

!� 2�� � ������������������ ���������������������������������� �����

�� #��� � �� �������3�������)��������� ������������������>��

"� 9��������� )#�������������������������������#���

��������'� �

�� (����������� ����������� #�����������������������#�#������������

������ �����#�J� �������,��������/��,�����������,��������0��3������

������ ���� �����#�J� ��� ���������������

�� (������ ���� ����������� #�������������#

"� / ��� �����������������,

�������0-

!� 0� ����#

, ������# ��������������-�3�������� ������������� �����

�����/��������0�

"� (���� ������,���������*������/�������������J� ��*����������

Aktivitas Proyek

��������� ���2��+� �

������&��� ���'0�� �#%"������5� ��� ����#&"������=�'1���#!"������;������#'"

L������

�� �������