Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

118

Click here to load reader

Transcript of Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Page 1: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

LOGO

Matematika-wajib Kelas XI MIA/ IIS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI

INVERS

Oleh: Any Herawati, M.Pd.

Page 2: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

3.2 Memahami konsep fungsi dan menerapkan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) pada fungsi

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

3.3 Menganalisis konsep dan sifat suatu fungsi dan melakukan manipulasi aljabar dalam menentukan invers fungsi dan fungsi invers.

MATERI

KOMPETENSI DASAR

Page 3: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

4.2 Mengolah data masalah nyata dengan menerapkan aturan operasi dua fungsi atau lebih dan menafsirkan nilai variabel yang digunakan untuk memecahkan masalah.

3.4 Memahami dan menganalisis sifat suatu fungsi sebagai hasil operasi dua atau lebih fungsi yang lain.

4.3 Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata terkait fungsi invers dan invers fungsi.

KOMPETENSI DASAR

KOMPETENSI DASAR

3.5 Memahami konsep komposisi fungsi dengan menggunakan konteks sehari-hari dan menerapkannya.

4.4 Merancang dan mengajukan masalah dunia nyata yang berkaitan dengan komposisi fungsi dan menerapkan berbagai aturan dalam menyelesaikannya.

Page 4: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

MATERI YANG DIPELAJARI

Sifat-sifat fungsi

Aljabar fungsi

Macam-macam fungsi khusus

Fungsi komposisi

Fungsi invers

Fungsi invers dari fungsi komposisi

Pengertian Relasi dan Fungsi

Page 5: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Jika A dan B masing-masing menyatakan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan dan , ditulis

Ax By

}dan ),{( ByAxyxBA

PRODUK CARTESIUS

Page 6: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

{1,2}Bdan },,{ cbaA

)},2(),,2(),,2(),,1(),,1(),,1{(

)}2,(),1,(),2,(),1,(),2,(),1,{(

cbacbaAB

ccbbaaBA

Misalkan maka:

Page 7: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

RELASI

RELASI

Page 8: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari

A B.

Notasi: R (A B).

a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungkan dengan b oleh R

a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.

Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Page 9: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

FUNGSI

FUNGSI

Page 10: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Fungsi Misalkan A dan B himpunan.

Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan

f : A B

yang artinya f memetakan A ke B.

A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.

Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A

dihubungkan dengan elemen b di dalam B.

Page 11: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

J ik a f(a ) = b , m ak a b d in am ak an b a y a n g a n ( im a g e ) d a ri a d an a d in am ak an p ra -b a y a n g a n (p re -im a g e ) d a ri b .

H im p u n an yan g b eris i sem u a n ila i p em etaan f d iseb u t je la ja h

(ra n g e ) d a ri f. P erh a tik an b ah w a je la jah d ari f ad a lah h im p u n an b ag ian (m u n g k in p ro p er su b se t) d a ri B .

a b

A B

f

Page 12: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Fungsi adalah relasi yang khusus: 1. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh

prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f. 2. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B”

berarti bahwa jika (a, b) f dan (a, c) f, maka b = c.

Page 13: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Materi

Notasi FungsiSuatu fungsi atau pemetaan

umumnya dinotasikan denganhuruf kecil.

Misal, f adalah fungsi dari A ke Bditulis f: A → B

A disebut domainB disebut kodomain

Page 14: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Materi

Range atau Daerah HasilJika f memetakan

x A ke y Bdikatakan y adalah peta dari x

ditulis f: x → y atau y = f(x).Himpunan y B

yang merupakan peta dari x Adisebut range atau daerah hasil

Page 15: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Materi

contoh 1Perhatikan gambar pemetaan 1 f : A → B

a 2 domain adalah

b 3 A = {a, b, c, d}

c 4 kodomain adalah

d 5 B = {1, 2, 3, 4, 5}

A B range adalah

R = {2, 3, 4, 5}

Page 16: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Vertical Line Test: Suatu relasi adalah fungsi jika suatu garis vertikal digambar melalui grafik tersebut berpotongan hanya di satu titik.

Contoh: manakah dari kedua grafik tersebut yang merupakan fungsi?

Berpotongan hanya di satu titik

Berpotongan di dua titik

Grafik tersebut adalah fungsi

Grafik tersebut bukan fungsi

Page 17: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Dari Grafik dibawah ini, manakah yang merupakan fungsi?

x 2 + y 2 = 1 y = x 2

Bukan Fungsi Fungsi

y 2 = x

a) b) c)

Bukan Fungsi

Page 18: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

d)e)

x = | y – 2|

Bukan Fungsi FungsiBukan Fungsi

f)x=1

y=1

Page 19: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Apakah diagram berikut merupakan fungsi atau bukan?

Gambar 1

1234

abcd

A B

1234

abcd

A B

Gambar 2

Gambar 1 bukan fungsi karena ada anggota A yang tidak memiliki pasangan di B

Gambar 2 adalah fungsi karena setiap anggota A memiliki pasangan tepat satu di B

Page 20: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

LANJUTAN

Gambar 3

1234

abcd

A B

Gambar 4

1234

abc

d

A B

Gambar 3 bukan fungsi karena ada anggota A yang tidak memiliki pasangan di B dan ada anggota A memiliki pasangan lebih dari satu

Gambar 4 bukan fungsi ada anggota A memiliki pasangan lebih dari satu di B

Page 21: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

LANJUTAN

Gambar 5

1234

abcd

A B

Gambar 6

1234

abcd

A B

Gambar 5 bukan fungsi, karena ada anggota A memiliki pasangan lebih dari satu di B

Gambar 6 adalah fungsi karena setiap anggota A memiliki pasangan tepat satu di B

Page 22: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

SIFAT-SIFAT

FUNGSI

SIFAT-SIFAT

FUNGSI

Page 23: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

SIFAT – SIFAT FUNGSI ITU

APA SAJA YA ??

Page 24: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

a. Fungsi Injektif (Fungsi satu-satu)adalah fungsi yang setiap elemen yang berbeda pada daerah asal dipetakan dengan elemen yang berbeda pada daerah kawan atau didefinisikan “untuk setiap a1, a2 ε A dan a1≠ a2 berlaku f(a1) ≠ f(a2)

Contoh DiagramFungsi Injektif

Sifat-sifat Fungsi

Page 25: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Terminology

F adalah fungsi satu-satu (atau Injektif) jika dan hanya jika x1,x2 X , F(x1) = F(x2) x1=x2

atau x1,x2 X x1≠x2 F(x1) ≠ F(x2)

F bukan fungsi satu-satu jika dan hanya jika

x1,x2X, (F(x1) = F(x2)) (x1 ≠ x2)

Page 26: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Teorema: Horizontal Line TestJika garis horizontal memotong grafik fungsi f hanya di satu titik, maka f adalah fungsi satu-satu (injektif).

Page 27: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Gunakan sketsa grafik untuk menentukan apakah fungsiadalah fungsi satu-satu (injektif)

Bukan fungsi injektif

Page 28: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Gunakan sketsa grafik untuk menunjukkan fungsi adalah fungsi injektif.

Fungsi injektif

Page 29: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

b. Fungsi Surjektif (Fungsi Onto atau Fungsi Kepada)adalah fungsi yang daerah hasilnya sama dengan daerah kawan. Jika suatu fungsi dengan daerah hasil merupakan himpunan bagian murni dari himpunan B, maka disebut fungsi into atau fungsi kedalam.

Af

B

d

bc

1

23

d4

a

e

Af

B

d

ab

123

c4

Contoh DiagramFungsi Into

Contoh DiagramFungsi Onto

Page 30: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Terminology

F adalah fungsi Onto (atau Surjektif) jika dan hanya jika

y Y xX, F(x) = y

F adalah fungsi Into jika dan hanya jika

yY x X, F(x) y

Page 31: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

c. Fungsi Bijektifadalah fungsi yang bersifat injektif sekaligus bersifat surjektif, biasa dinamakan korespondensi satu-satu

Contoh DiagramFungsi Bijektif

Af

B

d

a

b1

2

3 c

Page 32: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

RANGKUMAN SIFAT FUNGSI

Surjektif(kepada)

Into(ke dalam)

Injektif(satu-satu)

Bijektif(pasangan)

Tiap elemen di Bpunya

pasangan di A

Ada elemen di Byg tidak punya pasangan di A

Tiap elemen di Bpunya pasangan

tepat satu di A

Tiap elemen di Bberpasangan

satu-satu dgn A

A B

abc

ef

abc

efg

abc

efgi

abc

efg

Page 33: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

LATIHAN

Diketahui himpunan A = {a, b, c, d, e}, B = {0, 2, 4, 6} yang didefinisikan oleh f : A → B.

Manakah yang merupakan fungsi surjektif?

a. {(a,0), (b,0), (c,2), (d,4), (e,6)}

b. {(a,0), (b,0), (c,0), (d,2), (e,4)}

c. {(a,0), (b,2), (c,4), (d,6), (e,6)}

d. {(a,2), (b,2), (c,2), (d,4), (e,6)}

Page 34: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

PENYELESAIAN

a. b.

Surjektif Into

c. d.

Surjektif Into

abcde

0246

abcde

0246

abcde

0246

abcde

0246

Page 35: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Manakah yang merupakan fungsi, fungsi injektif, surjektif atau pun bijektif ?

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

– 2

– 2

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

– 2

– 2

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

y

x

2

2

– 2

– 2

2

2

4

4

– 2

– 2

– 4

– 4

Page 36: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

DOMAIN ASAL ALAMI

DOMAIN ASAL ALAMI

Page 37: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

NO BENTUK SYARAT TERDEFINISI

1

2

3

MENENTUKAN DOMAIN ALAMI

)(xfy

)(

1

xfy

)(

1

xfy

0)( xf

0)( xf

0)( xf

Selain 3 bentuk di atas, }R|{D xxf

Page 38: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

CONTOH 1

Tentukan DOMAIN ALAMI dari

5.1 xy7

1.2

xy

Syarat terdefinisi :

05 x

5x

Jadi, Domain Alami :

}5|{DA xx

Syarat terdefinisi :

07 x

7x

Jadi, Domain Alami :

}7|{DA xx

Page 39: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

CONTOH 2: TENTUKAN DOMAIN ALAMI

9.3 2 xy6

1.4

2

xxy

Syarat terdefinisi :

092 x0)3)(3( xx

Jadi, Domain Alami :

}3atau 3|{DA xxx

Syarat terdefinisi :

0)3)(2( xx

Jadi, Domain Alami :

-3 3

+ - +

062 xx

+ - +

-2 3

}3atau 2|{DA xxx

Page 40: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

LATIHAN

Tentukan DOMAIN ALAMI dari masing-masing fungsi berikut:

2.1 xy

12.2 xy

3

1.3

xy

62

1.4

xy

4.5 2 xy

xy 3.6

xy 24.7

xy

2

1.8

43

1.9

xy

23.10 2 xxy

Page 41: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

ALJABAR FUNGSIALJABAR FUNGSI

Page 42: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

ALJABAR FUNGSI

Definisi:

Misalkan fungsi f(x) dan fungsi g(x) masing-masing dengan daerah asal D dan D maka:

jumlah fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah (f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan daerah asal D = D D ,

selisih fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah (f g)(x) = f(x) g(x) dengan daerah asal D = D D ,

perkalian fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah (f g)(x) = f(x) g(x) dengan daerah asal D = D D ,

pembagian fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah dengan daerah asal D - = D D dan g(x) 0.

f + g

gf

f g

f gf g

f gf g

fg

=fg

f(x)g(x)

(x)

fg

Page 43: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan Tentukan nilai fungsi-fungsi berikut, kemudian tentukan domain alaminya.a.(f + g) (x)b.(f – g) (x)c.(f x g) (x) d.(f/g)(x)e.f3 (x)

CONTOH

1x2 xg

Page 44: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan a.(f + g) (x) =

Domain asal alami Df+g = {x|x ≥ ½, x ε R}

PEMBAHASAN

1x2 xg

1x2102 x

Page 45: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan b. (f – g) (x) =

Domain asal alami Df-g = {x|x ≥ ½, x ε R}

PEMBAHASAN

1x2 xg

1x2102 x

Page 46: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan c. (f x g) (x) =

Domain asal alami Dfxg = {x|x ≥ ½, x ε R}

PEMBAHASAN

1x2 xg

1x2102 x

Page 47: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan d. (f/g) (x) =

Domain asal alami Df/g = {x|x > ½, x ε R}

PEMBAHASAN

1x2 xg

1x2

102

x

Page 48: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan e. f3 (x) =

Domain asal alami Df³ = {x|x ε R}

PEMBAHASAN

1x2 xg

10008001608102 233 xxxx

Page 49: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

MACAM-MACAM FUNGSI KHUSUS

MACAM-MACAM FUNGSI KHUSUS

Page 50: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Notasinya : f(x) = k Apabila terdapat fungsi f : AB, Fungsi f disebut

fungsi konstan jika setiap anggota A dipetakan ke satu anggota B yang sama

Misalkan : f(x) = 2 dan x bil real Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar

sumbu x

FUNGSI KONSTAN

Page 51: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

FUNGSI IDENTITAS

F(x) = xContoh f(x) = 1

Page 52: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

FUNGSI LINIER Notasinya : f(x) = mx+n Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan

gradien m dan melalui titik (0,n)

Page 53: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

GRAFIK FUNGSI LINEARDiketahui :

f(x) = x+1 dimana domain dan kodomain berupa bil realMenuliskan fungsi dalam tabel

Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius

Page 54: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

GRAFIK FUNGSI LINEAR

Diketahui :f(x) = 2x dimana domain dan kodomain berupa bil riilMenuliskan fungsi dalam tabel

Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius

Page 55: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

LATIHAN SOALDiketahui :

1. f(x) = 2x-12. f(x) = -2x - 2 dimana domain { x | -3 ≤ x ≤ 3, x R }

Ditanya : 1. Tuliskan fungsi dalam bentuk tabel2. Tuliskan fungsi dalam grafik kartesius

Page 56: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

FUNGSI KUADRAT

Page 57: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Diketahui :f(x) = 2x² dimana domain dan kodomain berupa bil riil

Menuliskan fungsi dalam tabel

Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius :

x -2 -1 0 1 2

f(x) 8 2 0 2 8

Page 58: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

FUNGSI KUBIKFungsi kubik: .

0,)( 3012

23

3 aaxaxaxaxf

Page 59: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

FUNGSI PECAH

Page 60: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

FUNGSI IRASIONAL

Page 61: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

1. y = 2x

x -2 -1 0 1 2

y 1/4 1/2 1 2 4

2. y = 2x–1 + 4

Nilai dari 2x tidak mungkin nol atau negatif. Artinya 2x > 0.

Grafik y = 2x–1 bisa di gambar dulu lalu sumbu x di geser vertikal ke bawah 4 satuan untuk mendapatkan grafik y = 2x–1 + 4

½ 4,5

x -2 -1 0 1 2

2x–1 1/8 1/4 1/2 1 2

FUNGSI EKSPONEN

Page 62: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

1. Fungsi floor (floor = lantai) : f(x) = x

x = menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari x

2. Fungsi ceiling (ceiling = langit-langit) : f(x) = x x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x

x

x

x

x

FUNGSI FLOOR DAN FUNGSI CEILING

Page 63: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Fungsi Genap dan Ganjil

Fungsi, y = f(x) dikatakan:Genap, jika f(-x)=f(x)Ganjil, jika f(-x) = - f(x)

Contoh:Fungsi Genap

Grafik fungsi genap y = f(x) simetris terhadap sumbu y

Page 64: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Fungsi Genap dan Ganjil

Fungsi GanjilGrafik fungsi ganjil y = f(x) simetris

terhadap titik asal.

Page 65: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

INVERS SUATU

FUNGSI

INVERS SUATU

FUNGSI

Page 66: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Fungsi Invers dan Invers Fungsi

a b

f

g

Jika ada fungsi g sedemikian hingga a = g(b) maka fungsi f mempunyai fungsi invers. f -1(x) = g(x).

Invers suatu fungsi hasilnya tidak selalu merupakan fungsi. Jika merupakan fungsi maka invers fungsi tersebut disebut FUNGSI INVERS.

Page 67: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

FUNGSI INVERS

Suatu fungsi f : A → B mempunyai fungsi invers f-1 : B → A,jika dan hanya jika merupakan fungsi bijektif ( berkorespondensi satu-satu)

a.b.c.d.

.1

.2

.3

.4

.a

.b

.c

.d

1.2.3.4.

A B AB

Page 68: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

INVERS FUNGSI Misalkan f : A →B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang

mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana

f -1 : B → A. dengan kata lain,y = f(x) ↔x = f -1 (y)

Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.

A B

b=f(a)

f(a)

f -1(b)

f -1(b)=a

Page 69: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

a.b.c.

CONTOH

Diketahui fungsi ƒ sebagai berikut: A B

Ditanyakan:1. Apakah ƒ-1 ada? Mengapa?2. Carilah (ƒ-1○ƒ)(a), dan (ƒ-1○ƒ)(b)3. Apakah ƒ-1○ƒ = I?Mengapa?

.1

.2

.3

Page 70: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

1. CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibeldengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a.

2. CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2. Apakah f invertibel.PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektifmaka ia tidak invertibel. Jadi inversnya tidak ada.

Page 71: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Contoh

Jawab

Selidiki apakah g(x) = merupakan fungsi invers bagi f(x) = .

2x +1 x

1x 2

(g f)(x) = g(f(x)) = g = 1

x 2 1

x 2

1

x 22 + 1

=2 + x 1

x 2

1

x 2

= x = I(x)

(f g)(x) = f (g(x)) = g = 2x +1 x

1

2x +1

x

21=

2x +1 2 x

x

= x = I(x)

(g f)(x) = (f g)(x) = x = I(x), maka g(x) = 2x +1

xadalah fungsi invers dari

f(x) = 1

x 2

Page 72: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Menentukan Rumus Fungsi Invers

1. Ubahlah persamaan y = f(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y.

2. Bentuk x sebagai fungsi y pada langkah 1 dinamai dengan f-1(y).

3. Gantilah y pada f-1(y) dengan x untuk mendapatkan f-

1(x)

f-1(x) adalah rumus fungsi invers dari fungsi f(x).

Page 73: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

ContohTentukan fungsi invers dari f(x) = 3x + 6

1

3 f 1(x) = g(x) = (x 6).

y = f(x) = 3x + 6, maka x= (y 6) 1

3

x = f 1(y) = g(y) = (y 6) 1

3

y = f 1(x) = g(x) = (y 6) 1

3

Catatan:

Untuk memeriksa kebanaran bahwa f 1(x) yang diperoleh adalah fungsi invers dari f(x), maka cukup ditunjukkan bahwa (f f)(x) = (f f 1)(x) = x = I(x).

Jawab

Page 74: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

GRAFIK FUNGSI INVERS

GRAFIK FUNGSI INVERS

Page 75: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Grafik fungsi invers

Tidak semua fungsi memiliki invers. Ada juga fungsi yang dapat memiliki invers jika terpenuhi syarat tertentu. Grafik fungsi invers dapat digambarkan dengan cara :a.dengan menentukan fungsi inversnya

terlebih dahulu,b.melalui pencerminan terhadap fungsi

identitas I(x) = x, cara ini didasarkan pada sifat fungsi identitas yang memiliki invers tetap.

Page 76: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Contoh Gambarlah grafik fungsi 1)( 2 xxf

Untuk semua nilai x, fungsi ini tidak memiliki invers, maka diberikan syarat dengan domain yang terbatas :

Pembahasan

RxxxD f ,0

1 2

2

4

Page 77: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

1)(

:

1

1

1

2

xxf

berarti

yx

xy

Fungsi invers untuk domain ini memenuhi :

1 2

2

4

4

12 xy

1 xy

Page 78: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

FUNGSI KOMPOSI

SI

FUNGSI KOMPOSI

SI

Page 79: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Pengertian Fungsi Komposisi

Fungsi g memetakan x menjadi g(x), kemudian fungsi f mengolah g(x) menjadi f(g(x)). Fungsi f(g(x)) ini adalah komposisi fungsi g dan fungsi f disebut sebagai fungsi komposisi yang dilambangkan oleh (f g)(x) dengan (f g)(x) = f(g(x)).

mesin l mesin ll x g(x) f(g(x))

FUNGSI KOMPOSISI

Page 80: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Definisi:

Misalkan diketahui fungsi-fungsi:g : A B ditentukan dengan rumus g(x)f : B C ditentukan dengan rumus f(x)maka komposisi dari fungsi g dan fungsi f ditentukan oleh rumus fungsi komposisi

(f g)(x) = f(g(x))Catatan:

Fungsi komposisi atau fungsi majemuk (f g)(x) = f(g(x)) seringkali juga disebut sebagai “fungsi bersusun” atau “fungsi dari fungsi”.

Page 81: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

x

Mesin f

f(x)

Mesin g

g(f(x))

misal :mesin fungsi f adalah f : x 2x – 4 mesin fungsi g adalah g : x x2 + 1Jika nilai x = 3 maka : mesin f akan memproses 3 sebagai f : 3 2(3) – 4 = 2 mesin g akan memproses 2 sebagai g : 2 22 + 1 = 5

Proses 2 mesin dapat diringkas menjadi proses satu mesin sebagai berikut :(g ○ f)(x) = g(f(x)) = g(2x–4) = (2x–4)2+1 = 4x2–16x+17, maka (g ○ f)(2) = g(f(3)) = 4.(3)2 – 16(3) + 17 = 5

Hal yang sama berlaku untuk lebih dari dua mesin.Perhatikan bahwa urutan proses mesin diperhatikan, artinya tidak komutatif.

f ○ g ≠ g ○ f

lebih jelasnya…..

Page 82: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Definisi:

Misalkan diketahui fungsi-fungsi:f : A B ditentukan dengan rumus f(x)g : B C ditentukan dengan rumus g(x)maka komposisi dari fungsi g dan fungsi f ditentukan oleh rumus fungsi komposisi

(g f)(x) = g(f(x))Catatan:1. Nilai fungsi komposisi (f g)(x) dan (g f)(x) untuk x = a

ditentukan dengan aturan• (f g)(a) = f(g(a))• (g f)(a) = g(f(a))

2. Fungsi komposisi (f g)(x) dan (g f)(x) disebut fungsi komposisi diri, yaitu fungsi komposisi yang disusun dari dua buah fungsi yang sama.

Page 83: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

KOMPOSISI FUNGSI Misalkan g: A B dan f: B C. Komposisi

fungsi f dan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A C dengan (f ◦ g)(x) = f(g(x)).

Bila f: A B dan g: D E maka fungsi komposisi f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) D.

A B C

g f

f◦g

Page 84: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

x A dipetakan oleh f ke y Bditulis f : x → y atau y = f(x)

y B dipetakan oleh g ke z Cditulis g : y → z atau z = g(y)

atau z = g(f(x))

A

x

C

z

B

yf g

KOMPOSISI FUNGSI

Page 85: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

A B C

x zyf g

g o f

maka fungsi yang memetakanx A ke z C

adalah komposisi fungsi f dan gditulis (g o f)(x) = g(f(x))

KOMPOSISI FUNGSI

Page 86: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

contoh 1

Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).

Jika f(x) = 2x + p dan

g(x) = 3x + 120

maka nilai p = … .

Page 87: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Jawab:f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120

g(f(x)) = f(g(x))

g(2x+ p) = f(3x + 120)

3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p

6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p

3p – p = 240 – 120

2p = 120 p = 60

Page 88: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

Tidak komutatif

Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif f : A→ B dan g : B→ C, maka fog ≠ gof

Page 89: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

CONTOH SOAL

Diketahui: ƒ(x)=2x + 1 dan g(x)=x2-3. Periksalah apakah (g○ƒ)(x)=(ƒ○g)(x)

Jawab:

(g○ƒ)(x) =g(ƒ(x) =g(2x+1) =(2x+1)2-3 =4x2 +4x –

2

(ƒ○g) (x) = ƒ(g(x)) = ƒ (x2-3) =2(x2-3) +

1 = 2x2 – 6 +

1 = 2x2 – 5

Dari contoh di atas ditunjukkan bahwa (g○ƒ) ≠ (ƒ○g) (x)

Page 90: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

Assosiatif

Komposisi Fungsi bersifat asosiatif,yaitu

jika f : A → B dan g : B → C, dan h :C → D, maka h ○(g○f)=(h○g)○f

Page 91: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

CONTOHFungsi ƒ,g,dan h didefinisikan sebagai

berikut : ƒ (x) =x + 2, g (x) =3x, dan h (x)=x. Tentukan :h○(g○ƒ) dan (h○g)○ƒ (x)

Page 92: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

PENYELESAIAN

(g○ƒ) (x) =g(ƒ(x)) =g(x + 2) =3(x +2) =3x + 6 h ○(g○ƒ) (x) =h(3x + 6) =(3x + 6)2

=9x2 + 36x +36 ….1)

Page 93: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

LANJUTAN …

(h ○ g) (x) = h(g(x))

= h(3x) =(3x)2

=9x2

(h○g)○ƒ (x) =(h ○ g)(ƒ(x)) =(h ○ g)(x +2) =9(x + 2)2

=9(x2 +4x+4) =9x2 +36x +36 ….2)

Dari persamaan 1) dan 2) disimpulkan bahwa: h○(g○ƒ) (x) = ((h○g)○ƒ) (x)

Page 94: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

Sifat IdentitasJika I (x)=x, dan f (x) adalah suatu

fungsi, maka I ○f = f○I = f

Contoh : Diketahui :I(x) = x dan f(x) = x2

+ 1. Carilah:a.(I ○f)(x)b.(f○I) (x)c.Kesimpulan apakah yang dapat

kamu kemukakan?

Page 95: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

PENYELESAIAN

a. (I○f)(x) =I(f(x) =I(x2 + 1) = x2 + 1b. (f○I)(x) =f(I(x)) =f(x) =x2 + 1c. I○f = f○I = f untuk setiap f

Page 96: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

xg(x)

x g(x)f(g(x))

g f

f(g)

Domain dari g

Domain dari f

Range dari g Range dari f

Range dari f(g)

Perhatikan diagram berikut:

Page 97: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Syarat fungsi f dan g dapat dikomposisikan

untuk fog

Rg Df ≠ { }

D(fog) Dg

R(fog) Rf

Page 98: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Next …

untuk gof

Rf Dg ≠ { }

D(gof) Df

R(gof) Rg

Page 99: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Contoh

Misalkan fungsi f: R R dan g : R R di tentukan dengan aturan: f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x,Tentukan : a. (fog)(x) b. (gof)(x)

Page 100: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

.

a. Jika di tentukan f(x) = dan g(x) = 2x ,Maka dengan rumus (fog)(x) = f(g(x)) didapat

3x – 1 2x

(fog)(x) = f(g(x))=f( )=f ( )2x

= .3 - 1

(fog)(x) = 6x - 1

Penyelesaian

Page 101: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Jawab:

Jika di tentukan f(x) = dan g(x) = 2x ,Maka dengan rumus (gof)(x) = g(f(x)) didapat

a. (gof)(x) = g(f(x))

3x – 1

=g3x – 1

)(=g (

2x

2 =

.(gof)(x) = 6x - 2

b. 3x – 1

)

.

3x – 1

( )

Page 102: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

MENENTUKAN FUNGSI

JIKA FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI

LAIN DIKETAHUI

MENENTUKAN FUNGSI

JIKA FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI

LAIN DIKETAHUI

Page 103: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui

f(x) dan g(x)(f g)(x) atau(g f)(x)

f (x) dan (f g)(x) f (x) dan (g f)(x) g (x) dan (f g)(x) g(x) dan (g f)(x)

g (x)

g (x)

f (x)

f (x)

DIKETAHUI DAPAT DITENTUKAN

DIKETAHUI DAPAT DITENTUKAN

ContohFungsi komposisi (f g)(x) = 2x +3 dan fungsi f(x) = 4x – 1. Jawab

f (g(x) = (f g)(x) 4 g(x) – 1 = 2x + 3 sebab f(x) = 4x – 1

4 g(x) = 2x + 4

g(x) = 2x + 44

= 12

x + 1

Page 104: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Contoh

Misalkan fungsi Komposisi (fog)(x)= 4x - 5dan f(x) = 2x + 1,Carilah fungsi g(x)

Page 105: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

PENYELESAIANFungsi komposisi (fog)(x) = dan f(x) = 2x + 1,Maka dengan rumus (fog)(x) = f(g(x)) didapat

(fog)(x) = 4x - 5f(g(x))

= 4x - 5

f(g(x)) = 4x - 5

2 + 1 = 4x - 5

2 g(x) + 1 = 4x – 5 -

2 = 4x - 6

g(x) = 4x - 6

g(x) = 2x - 3

2 g(x)

Page 106: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Misalkan fungsi Komposisi (fog)(x)= 4 - 2x

dan g(x) = 6x + 1,

Carilah fungsi f(x)

Contoh soal:

Page 107: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

PENYELESAIAN(f o g)(x) = 4 – 2x dan g(x) = 6x + 1

(f o g)(x) = 4 – 2x

↔ f(g(x)) = -2x + 4

↔ f(6x + 1) = -2x + 4

↔ f(6x + 1) = (-⅓(6x + 1) + ⅓) + 4

↔ f(6x + 1) = - ⅓(6x + 1) + 4⅓

karena f(6x + 1) = - ⅓(6x + 1) + 4⅓ maka

f(x) = - ⅓x + 4⅓

Jadi, fungsi f(x) =- ⅓x + 4⅓

Page 108: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

CONTOH

Diketahui fungsi (f o g)(x) = x2 – 6x + 3 dan g(x) = x - 1. Tentukan fungsi f(x)

Page 109: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

PENYELESAIAN

(f o g)(x) = x2 – 6x + 3 dan f(x) = x – 1

(f o g)(x) = x2 – 6x + 3 ↔ f(x - 1) = x2 – 6x + 3 Untuk menentukan fungsi f(x)

ada dua cara

Page 110: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Cara 1Dari relasi f(x - 1) = x2 – 6x + 3 Ruas kiri dapat diubah menjadi

f(x - 1) = {(x – 1)2 – 2x - 1} – 6x + 3↔ f(x - 1) = (x – 1)2 – 4x + 2↔ f(x - 1) = (x – 1)2 – {4(x – 1) + 4} + 2↔ f(x - 1) = (x – 1)2 – 4(x – 1) – 2Karena f(x - 1) = (x – 1)2 – 4(x – 1) – 2 maka f(x) = x2 – 4x - 2 Sehingga, f(x) = x2 – 4x - 2

Page 111: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Cara 2

Dari relasi (x - 1) = x2 – 6x + 3 Misalkan p = x – 1 → x = p + 1Ruas kanan kita ganti variabel x dengan x = p + 1, diperoleh:f(p) = (p + 1)2 – 6(p + 1) + 3 ↔ f(p) = p2 + 2p + 1– 6p – 6 + 3↔ f(p) = p2 – 4p - 2 Jadi, f(x) = x2 – 4x - 2

Page 112: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

FUNGSI INVERS

DARI FUNGSI

KOMPOSISI

FUNGSI INVERS

DARI FUNGSI

KOMPOSISI

Page 113: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

(f g) 1Berdasarkan gambar maka dapat dinyatakan sebagai komposisi dari f 1(x) (bertindak sebagai pemetaan pertama) dan g 1(x) (bertindak sebagai pemetaan kedua).

Dengan demikian, diperoleh hubungan:

Fungsi invers dari fungsi komposisi ditentukan oleh

(f g)1(x) = (g1 f 1(x)

(g f)1(x) = (f1 g 1(x)

x y z

g f

(f g)

x y z

g 1

(f g) 1

f 1

FUNGSI INVERS DARI FUNGSI KOMPOSISI

Page 114: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Invers dari Fungsi Komposisi

(g○ƒ)-1 (x)= (ƒ-1○ g-1)(x)

(ƒ○ g)-1 (x)= (g-1○ ƒ-1)(x)

Page 115: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa fungsi invers dari komposisi fungsinya yaituDapat pula diperoleh dengan cara menentukan fungsi komposisi dan sehingga berlaku hubungan :

)()( 1 xfg

)(1 xg )(1 xf

Contoh 1,

1

1)(

x

xxfDiketahui dan 2)( xxg

)()( 1 xfg Tentukan .

)()( 1111 gffgh

Page 116: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

Pembahasan

))(()( xfgxh

1,1

32

21

1

1

1

xx

x

x

xg

2

3

3)2(

321

32

y

yx

yyx

xyyxx

xy

)()()( 1 xfgxh

Page 117: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

2,2

3)(1

xx

xxhberarti

Jika ditentukan terlebih dahulu masing – masing dan didapatkan :

)(1 xf

)(1 xg

x

xxf

y

yx

yyxx

y

xxf

1)(

1

11

11

1)(

1

2)(

2

2

2)(

1

xxg

yx

xy

xxg

Page 118: Fungsi  komposisi dan fungsi invers xi mat wajib

LOGO

Don’t forget to review today’s topic at home …