Persamaan Diferensial Untuk Teknik Lingkungan

1. Pengantar Persamaan diferensial adalah salah satu perkakas matematika yang dapat dipakai untuk menjelaskan permasalahan lapangan yang bersifat fisik, kimiawi maupun sosial yang berkaitan dengan sesuatu yang sifatnya dinamik. Masalah masalah tersebut dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial. Persamaan diferensial adalah salah satu cara untuk memandag suatu masalah dimana hanya perubahannya saja yang dapat diamati, atau dengan kata lain pengamatan terhadap perubahan perubahan yang saling berkaitan. Misalnya kita dalam mengamati pertumbuhan mikroba dalam suatu reaktor pengolahan air limbah dimana yang diamati adalah tingkat pertumbuhannya yang dikaitkan dengan jumlah mikroba itu sendiri, atau pengamatan terhadap kecepatan difusi zat kimia terntentu dalam suatu air baku dalam suatu proses. Dalam modul ini akan dipeajari persamaan deferensial yang lebih sederhana yaitu persamaan defereensial orde satu, dimana akan dipelajari tipe tipe persamaannya dan bagaimana penyelesaiannya. 2. Tujuan Instruksional Umum Setelah mempelajari modul ini diharapkan Dapat memformulasikan menggunakan permasalahan lapangan model persamaan deferensial. Dapat dipahaminya metoda penyelesaian persamaan deferensial orde satu dan trampil menggunakan untuk menyeesaikan persamaan orde satu. 3. Tujuan Instruksional Khusus Setelah mempelajari modul ini mahasiswa dapat : Mengenal tipe tipe persamaan deferensial orde satu yang dapat disesuaikan Memilih metoda dan menggunakanna untuk menyelesaikan persamaan deferensial orde satu. Memberikan contoh dan permasalahan lapangan konkrit yang dapt dirmuskan dalam bentuk persamaan deferensial orde satu serta dapat menyelesaikannya dengan tuntas.

4. Kegiatan Belajar 1 Pengertian Persamaan Deferensial Orde Satu dan Solusinya 4.1. Uraian dan Contoh

Suatu persamaan ddferensial orde satu mempunyai bentuk umum (secara implisit), F ( x, y , dy ) = 0...................(4.1) dx

Atau

F ( x, y, y ') = 0...................(4.2)

Contoh : Contoh persamaan deferensial orde 1 : 1. x. y + y 2 + x 2 + 1 = 0 (implisit) 2. y 2 y + e x = 0 (implisit) 3. y = 2 y + e x (eksplisit) 4. y = x. y + x 2 (ekspisit) 4.2. Definisi solusi suatu persamaan diferensial : Persamaan deferensial adalah suatu fungsi yang memuat satu variabel bebas (x) dan satu variabel bebas (y) beserta turunan pertamanya (y) yang dikaitkan secara eksplisit atau imlisit. Solusi umum persamaan deferensial adalah fungsi yang memuat konstanta C dan memenuhi persamaan deferensial tersebut. Solusi khusus adalah solusi yang diperoleh Contoh : Diketahui persamaan diferensial y + 2 sinx = 0 f(x) = 2 cos x + C merupakan solusi persamaan diferensial diatas, dimana C adalah konstanta yang bergantung pada syarat awal persamaan diferensial tersebut.

4.3. Permasalahan Permasalahan Deferensial Orde satu 4.3.1. Permasalahan Difusi Sosial

Sosiolog mengenali fenomena yang disebut difusi sosial, yang merupakan penyebaran sepotong informasi, inovasi teknologi, atau sebuah trend budaya antar populasi. Anggota populasi dapat dibagi menjadi dua kelas: mereka yang memiliki informasi dan mereka yang tidak. Dalam populasi tetap yang ukurannya diketahui, sangat masuk akal untuk mengasumsikan bahwa tingkat difusi adalah sebanding dengan jumlah yang memiliki kali informasi nomor belum menerimanya. Jika X(t) menunjukkan jumlah individu yang memiliki informasi pada waktu t dalam populasi orang N, maka model matematika untuk difusi sosial diberikan oleh : dX (t ) = kX ( N X ) dimana k adalah positif dt

4.3.2. Permasalahan Alat Ukur Thompson Sebuah weir/pelimpah kotak dengan lebar L tinggi limpasan adalah h, bila kecepatan aliran diatas weir adalah :

v=Dimana :

2.g .h

o v = kecepatan aliran (m/dt) o .h = tinggi air diatas weir (m) o .g= percepatan gravitasi 9.8 m/dt2

Debit air yang melewati weir dapat dapat diformulasikan

Apabila dQ = v.dA A = L.h dA = L.dh dQ = v.L.dh dQ = L. 2 gh .dh Maka Q= Q=

dQ = L. 2 gh .dh L. 2. h .dh1/2

2 3 Q = L. 2. h 2 + C 3

Apabila h=0 maka Q=0 sehingga C=0 Maka persamaan debit yang melewati weir adalah: 2 3 Q = L. 2. h 2 3 4.3.3. Permasalahan Pertumbuhan Penduduk Pertumbuhan penduduk dapat dapat dikatakan sebanding dengan jumlah peduduk ditambah dengan migrasi. Hal ini dapat diformulasikan sebagai berikut: dP = k .P + m dt Dimana dP = Pertumbuhan Penduduk Sesaat dt P = Jumlah Penduduk .k= konstanta .m = migrasi Solusi dari persamaan deferensial adalah :

dP = k .dt . d (kP + m) Bila u = (k .P + m) du = d (k .P + m) du = kdP du dP = k Maka dP du = = dt d (kP + m) k.u Atau du = k .dt u Solusi dari persamaan ini menjadi du = k dt u ln u = k .t + C

u = e ( k .t + C ) k .P + m = e( k .t + C ) P= e( k .t + C ) m k

Apabila k=0.01 migrasi adalah 1000 Pada tahin 0 jumlah penduduk 100.000 berapa penduduk tahun 20? e( k .t + C ) m k e ( k .0+ C ) 1000 100000 = 0.01 P= maka

1000 = eC 1000 ln 2000 = C C=7.6 Sehingga e( k .t + 7.6) m k (0.01.20 + 7.6) e 1000 P= 0.01 P = 144, 060.20 P= Jadi penduduk 20 tahun adalah 144000 jiwa

5. 6. 7. 8. 9.

Kegiatan Belajar 2 Kegiatan Belajar 3 Kegiatan Belajar 4 Kunci Jawaban Referensi