Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

download Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

of 30

Transcript of Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    1/30

    MODUL VI

    KALKULUS MEDANVEKTOR

    PRAYUDI

    MEDAN SKALAR Medan skalar adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada setiap titik di

    dalam suatu himpunan titik-titik di dalam ruang dan nilainya adalah

    bilangan real yang tergantung pada titik-titik asal, dan bulan pada sistem

    koordinat yang digunakan

    Daerah definisi D suatu fungsi dapat berupa sebuah interval, daerah pada

    ruang dimensi, permukaan atau benda dimensi tiga

    Sebuah fungsi f yang mengkaitkan setiap titik di dalam daerah asal D

    dengan suatu skalar, dikatakan sebagai medan skalar

    Contoh :Kerucut,

    22 yx)y,x(f

    y

    x

    z

    Daerah asal, 1 x2 + y24

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    2/30

    MEDAN VEKTOR

    Fungsi bernilai vector : fungsi yang terdefinisikan pada suatuhimpunan D didalam ruang yang menghubungkan setiap titik

    P(x,y,z) didalam D dengan sebuah vector F(p).

    Himpunan fungsi-fungsi F(p) yang menghubungkan setiap

    titik di D dengan sebuah vector F(p) disebut medan vector.

    Fungsi bernilai vector F(p), muncul dalam penerapan,

    mekanika fluida, medan elektro magnetic.

    Medan vektor di R3, daerah definisi suatu himpunan bagian

    di R3, fungsi medan vektornya adalah,

    F(x,y,z) = M(x,y,z)i+ N(x,y,z)j+ N(x,y,z)k

    dimana I,j,dan k adalah vektor satuan.Medan vektor dalam ruang dimensi dua, daerah definisinya

    adalah suatu himpunan bagian di R2, fungsi medan adalah

    ``F(x,y) = M(x,y)i+ N(x,y,j

    dimana I,j,dan k adalah vektor satuan.

    ContohFungsi bernilai vektor

    F(x,y)= yi+ xjVektor-vektor F(x,y) pada titik tertentu diberikan oleh tabel dan gambar

    berikut ini

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    3/30

    GRADIEN MEDAN SKALAR

    Andaikan f(x,y) fungsi dari x dan y, dan mempunyai turunan-

    turunan parsial pertama. Gradien f yang dinyatakan dengan

    f(x,y) = grad f (dibaca del f ) didefinisikan oleh,

    jijiy

    f

    x

    fyxf

    yxyxf

    ),(),(

    Andaikan f(x,y,z) fungsi dari x, y, dan z mempunyai turunan-

    turunan parsial pertama. Gradien f yang dinyatakan dengan

    f(x,y,z) = grad f (dibaca del f ) didefinisikan oleh,

    kjikjiz

    f

    y

    f

    x

    fzyxf

    zyxzyxf

    ),,(),,(

    Contoh :

    Jika f(x,y) = x2y xy3, hitunglah fungsi

    gradien medan skalar f, dan hitung

    nilai gradien f did titik (3,2)

    Jawab

    Dari fungsi f diperoleh hasil,

    22

    3

    3

    2

    xyxy

    f

    yxyx

    f

    Gradien f diberikan oleh,

    f(x,y) = (2xyy3)i+(x23xy2)j

    Gradien f dititik (3,2) diberikan oleh :

    f(3,2) = 4i 27 j

    Contoh :

    Jika,

    Hitunglah gradien f di titik (2,1,1)

    Jawab

    Dari fungsi f diperoleh hasil,

    )(2 22),,( zyexzyxf

    )(2

    )(2

    )(

    22

    22

    22

    2

    2

    2

    zy

    zy

    zy

    zexz

    f

    yexyf

    xex

    f

    Gradien f diberikan oleh

    )222( 22)(22

    kji zxyxxef zy

    Gradien f dititik (2,1,1) diberikan oleh :

    f(2,1,1) = 4i + 8j 8k

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    4/30

    DIVERGENSI MEDAN VEKTOR

    Andaikan, F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)jadalah medan vektor pada ruangdimensi dua, M dan N fungsi dari x dan y yang mempunyai turunan parsial.

    Divergensi medan vektor F ditulis div F didefinisikan oleh

    y

    yxN

    x

    yxM

    yxNyxMyx

    ),(),(

    ]),(),([

    jkjiFFdiv

    Andaikan, F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j+ R(x,y,z)kadalah medan

    vektor pada ruang dimensi tiga, M, N dan R fungsi dari x, y dan z yang

    mempunyai turunan parsial. Divergensi medan vektor F ditulis div F

    didefinisikan oleh

    z

    zyxR

    y

    zyxN

    x

    zyxM

    kzyxRzyxNzyxMzyx

    ),,(),,(),,(

    ]),,(),,(),,([

    jkkjiFFdiv

    CONTOH

    Hitung, div F, bila,

    Jawab :

    jiF byebyeyx axax sincos),(

    byeba

    bybey

    N

    byeyxN

    byaexM

    byeyxM

    ax

    ax

    ax

    ax

    ax

    cos)(

    cos

    sin),(

    cos

    cos),(

    Fdiv

    :maka

    CONTOH

    Hitung, div F, bila,

    Jawab :

    kjiF yzyzyz zeyexeyzzyx )(),,(

    yz

    yzyz

    yzyz

    yzyz

    eyz

    eyzz

    RzezyxR

    eyzy

    NyezyxN

    e

    x

    MxeyzzyxM

    )23(

    )1(),,(

    )1(),,(

    ),,(

    Fdiv

    :maka

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    5/30

    CURL MEDAN VEKTOR

    Andaikan, F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + R(x,y,z)k adalah medan vektor

    pada ruang dimensi tiga, dengan M, N, dan R adalah fungsi tiga variabel

    dari x, y dan z yang mempunyai turunan parsial. Curl medan vektor F

    ditulis curl F didefinisikan oleh :

    kj-i

    kji

    FFcurl

    y

    M

    x

    N

    z

    M

    x

    R

    z

    N

    y

    R

    RNMzyx

    Khusus untuk fungsi dua variabel, F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j, curl medan

    vektornya diberikan oleh,

    k

    kji

    FFcurl

    y

    M

    x

    N

    NMyx

    0

    0

    CONTOH

    Hitung, curl F, bila,

    Jawab :

    jiF byebyeyx axax sincos),(

    k

    k

    kji

    FFcurl

    byeba

    y

    bye

    x

    bye

    byebye

    yx

    ax

    axax

    axax

    sin)(

    cos()sin(

    0sincos

    0

    CONTOHHitung, curl F, bila,

    Jawab :kjiF yzyzyz zeyexeyzzyx )(),,(

    j-

    ji

    k

    j-

    i

    kji

    FFcurl

    yz

    yzyz

    yzyz

    yzyz

    yzyz

    yzyzyz

    exzz

    exyyeyz

    xeyzy

    yex

    xeyzz

    zex

    yez

    zey

    zeyexeyz

    zyx

    )(

    )()(

    )()(

    )()(

    )()(

    22

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    6/30

    SOAL-SOAL LATIHANHitunglah (1). div F = ( F),

    (2). curl F = ( F),(3). div(curl F) = ( F)

    untuk setiap fungsi medan vektor yang diberikan.

    1. F(x,y) = (y2+ e2xy)i + (e2xy+ x2)j

    2. F(x,y) = (cos by sin by) eaxi + (sin by + cos by)eaxj

    3. F(x,y) = (sin2x + cos2y)e2yi + (cos 2x + sin 2y) e2yj

    4. F(x,y) = (x2ln y + y)i + (2x + y2ln y)j

    5. F(x,y) = (x2ln x + 2y)i + (x+ y2ln x)j

    6. F(x,y,z) = (xz + yexz)i + (yz + exz)j + (yz + exz)k

    7. F(x,y,z) = (xy + zexy)i + (xz + yexy)j + (xy + ze2xy)k

    8. F(x,y,z) = xz cos y i + xz2siny j + x2z sin y k .

    9. F(x,y,z) = (y + z) cos x i + (y z) sin x j + (y2 z2)cos x k .

    10. F(x,y,z) = x2cos yz i + y2sin yz j + z2cos yz k .

    11. F(x,y,z) = xy sin xz i + yz sin xz j + xz cos xz k .

    MEDAN VEKTOR KONSERVATIF

    Andaikan f medan skalar, dan F

    medan vektor. Suatu medan vektor

    F yang didefinisikan oleh,

    F = f

    maka F disebut medan vektor

    gradien, dan f dikatakan fungsipotensial untuk medan vektor

    gradien F. Medan vektor,

    F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j

    dikatakan konservatif bilamana

    x

    N

    y

    M

    Bilamana Fmedan vektor konservatif,

    fungsi potensial f dan, F(x,y) =f ,

    maka fungsi potensial f(x,y) = c,

    diberikan oleh :

    dydxyxMy

    yxNyg

    yxNygdxyxMy

    yxNy

    f

    yg

    ygdxyxMyxf

    sehingga,

    :daridiperoleh

    ),(),()(

    ),()(),(

    ),(

    )(

    )(),(),(

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    7/30

    Misalkan diberikan fungsi medan vektor,

    F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + R(x,y,z)k

    Medan vektor F dikatakan konservatif(atau medan vektor gradien), jika

    hanya jika : x

    R

    z

    N

    x

    R

    z

    M

    x

    N

    y

    M

    ;

    Fungsi potensial f untuk F adalah fungsi tiga variabel f(x,y,z) = c,

    sedemikian rupa sehingga F(x,y,z) =f(x,y,z), dimana fungsi f adalah :

    )(),,(),,()(

    ),,(),(),,(

    ),,()(

    ),(),,(),,(

    zhdydxzyxMy

    zyxNyg

    zyxNzygdxzyxMy

    zyxNy

    fyg

    zygdxzyxMzyxf

    sehingga,

    :daridiperoleh

    ),,( zyxRz

    f

    CONTOHHitung fungsi f(x,y) bila,

    Jawab :jiF )()(),( xyxy xeyyexyx

    ceyxyxf

    exyx

    N

    y

    M

    exyx

    N

    xeyyxN

    exyy

    M

    yexyxM

    xy

    xy

    xy

    xy

    xy

    xy

    22

    2

    1

    2

    1),(

    )1(

    )1(

    ;),(

    )1(

    ;),(

    :maka

    :karenaf,konservatiF

    CONTOHHitung fungsi f(x,y,z) bila,

    Jawab : kjiF

    )(

    )()31(),,(

    322

    322

    z

    zx

    yexzyz

    exyzyexzyx

    cz

    zyyexxzyxf

    exyzy

    Ryex

    x

    R

    yexzyzzyxR

    exyzz

    Nex

    x

    N

    exyzzyxN

    yexz

    Mex

    y

    M

    yexzyxM

    z

    zz

    z

    zz

    z

    zz

    z

    32

    1

    3

    1),,(

    2;3

    ;),,(

    2;3

    ;),,(

    3;3

    )31(),,(

    32233

    32

    322

    32

    32

    22

    2

    :makaf,konservatiF

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    8/30

    SOAL-SOAL LATIHANSelidikilah apakah medan vektor yang diberikan konservatif. Jika

    konservatif tentukanlah fungsi potensial f untuk fungsi medan vektor

    ]j2[xe]iye[xy)8.F(x,

    y]j[xcos(xy)ycos(xy)]i[xy)F(x,7.

    )jxe(y)iye(xy)6.F(x,

    lny]j1)[ln(xi

    1x

    2xy2y)5.F(x,

    j1y

    21xi

    1x

    xy1y)4.F(x,

    j1y

    yx)ln(1i

    x1

    yxy)F(x,3.

    x)jcos3y(2ysin2x)iy(1y)F(x,2.

    j)sinx-(y)ie-(2xcosyy)F(x,.1

    x/yx/y2

    xy2xy

    22

    22

    2

    223

    2x

    y

    y

    9. F = (y2ex+ 2x ez)i

    + 2y(ex+ez)j

    + (x2+y2+z2)ezk

    10. F= (x2 y2)i + (yz22xy)j

    + (y2z + 3z2)ezk

    11. F= (2x sin y 2x ezz)i

    + (x2cosy + 2yz3)j

    + (3y2z2 x2ez)k

    12. F= (z2 ex+ 2x ey)i

    + (x2 z2)eyj

    + 2z(exey+ez)k

    13. F = (xz2+ 2xy3)i

    + (3x2y2+ 2z ey)j

    + (x2z + z2ey+ln z)k

    INTEGRAL GARISAndaikan F(x,y,z) adalah medan vektor

    yang diberikan oleh,

    F(x,y,z)= M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+R(x,y,z)k

    dengan M, N, dan R fungsi-fungsi dari

    x, y, dan z yang kontinu. Andaikan pulabahwa,

    r = xi + yj + zk

    adalah vektor posisi untuk titik P(x,y,z)

    pada kurva C. Integral garis medan

    vektor F sepanjang kurva C diberikan

    oleh,

    CcdzzyxRdyzyxNdxyxM ),,(),,(),,(drF

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    9/30

    CONTOH

    dari (-1,1) ke titik (2,4)

    dengan lintasan seperti

    tergambar :

    jiF

    biladrFHitung,

    )(),( 22 xyxyxyx

    C

    60

    71

    5

    8

    12

    5)(

    5

    8

    )(drF

    12

    5

    )(drF

    drFdrFdrF

    )4,2(

    )1,1(

    22

    )4,2(

    )0,0(

    22)4,2(

    )0,0(

    )0,0(

    )1,1(

    22)0,0(

    )1,1(

    )4,2()0,0(

    )0,0()1,1(

    dyxyxydxx

    dyxyxydxx

    dyxyxydxx

    C

    Lintasan 1

    4

    27)(

    darilurusgarisLintasan,

    )4,2(

    )1,1(

    22

    dyxyxydxx

    CONTOH

    dari (0,0) ke titik (2,4) dengan lintasan seperti tergambar :

    jiFbila,drFHitung, )4()2(),( 222 yxyxyxyxC

    Garis lurus, y=2x, dy = 2dx

    22

    4

    Parabola, y=x2, dy=2x dx

    2

    0

    32

    )4,2(

    )0,0(

    222

    3

    16)8218(

    )4()2(

    dxxxx

    dyyxydxxyx

    y=2x,

    2

    0

    532

    )4,2(

    )0,0(

    222

    3

    16)382(

    )4()2(

    dxxxx

    dyyxydxxyx

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    10/30

    CONTOH

    dari (0,0,0) ke titik (1,2,1). :

    kjiFbila,drFHitung, yzxzyxyzyxC

    2)(2),,( 2

    Garis lurus dari titik (0,0,0) ke titik

    (1,2,1). Persamaan

    parameternya adalah :

    x=t, dx=dt,

    y=2t, dy=2 dt dan

    z=t, dz = dt dengan 0

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    11/30

    Cydyxdxxxy

    222

    )(.1

    dari titik (0,0) ke titik (4,2), dan

    bilamana C lintasan (a) garis lurus,

    dan (b) parabola x = y2.

    SOAL-SOAL LATIHAN

    C

    dyyyxdxxxy )()(.2 3232

    dari titik (1,1) ke titik (2,4), dan

    bilamana C lintasan (a) garis lurus,

    dan (b) parabola y = x2.

    C

    ydyxdxxyx 332 )(.3

    dari titik (1,1) ke titik (2,8), dan

    bilamana C lintasan (a) garis lurus,

    dan (b) y = x3.

    C

    dyyyxdxxxy )43()2(.4 2223

    dari titik (1,1) ke titik (2,8), bila Clintasan (a) garis lurus, (b) y = x3.

    dzzyx

    dyzxydxzyxC

    )2(

    )2()2(.5

    22

    22

    dari titik (0,0,0) ke titik (1,2,2), dan

    bila C lintasan (a) garis lurus, dan (b)

    persamaan vektor,

    r(t)=t3i + 2t2j + 2tk, 0t1

    dzyxz

    dyzxydxzyxC

    )2(

    )()(.6

    22

    2222

    dari titik (0,0,0) ke titik (2,2,1), dan

    bilamana C lintasan (a) garis lurus,

    dan (b) persamaan vektor,

    r(t)=2ti + 2t2j + t3k, 0t1

    KEBEBASAN INTASAN

    ),(),( 1122 yxfyxfdC

    rF

    Rumus 1.

    Andaikan C adalah kurva yang menghubungkan titik A(x1,y1) ke titik

    B(x2,y2) pada bidang. Misalkan

    F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j

    adalahmedan vektor konservatif, dan f fungsi potensial untuk F. Maka

    integral garis F dr tidak tergantung pada lintasan C, dan diberikan oleh :

    Rumuss 2.

    Misalkan C adalah lintasan mulus sederhana sepotong-potong kontinu

    dari titikA(x1,y1,z1) ke titik B(x2,y2,z2) pada ruang. Misalkan :

    F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + R(x,y ,z)k

    medan vektor konservatif, dan f(x,y,z)adalah suatu fungsi potensial untuk

    F. Maka integral garis,

    )z,y,x(f)z,y,x(frdFC 111222

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    12/30

    CONTOH

    dari (0,0) ke titik (2,4) dengan rumus 1. :

    jiFbila,drFHitung, )4()2(),( 222 yxyxyxyxC

    xyx

    N

    y

    M

    xyx

    N

    yxyyxN

    xyy

    M

    xyxyxM

    2

    2

    4),(

    2

    ;2),(

    2

    2

    :karenaf,konservatiF

    ?fkonservatiF

    3

    16

    2

    12

    3

    2

    )4()2(

    2

    12

    3

    2),(

    )4,2(

    )0,0(

    2223

    24,2(

    )0,0(

    22

    2223

    yxyx

    dyyxydxxyx

    cyxyxyxf

    )

    garis,Integral

    ,pembangkitFungsi

    kjiFbila,drFHitung, )()2()4(),,( 2223 zyxzyxyxzyxC

    CONTOH

    dari (0,0,0) ke titik (1,1,2). Dengan rumus 2.

    :makaf,konservatiF

    yy

    R

    x

    R

    zyzyxR

    yz

    Nxy

    x

    N

    xzyzyxN

    z

    M

    xyy

    M

    xyxzyxM

    2;0

    ;),,(

    2;2

    )2(),,(

    0;2

    4),,(

    2

    2

    23

    2

    9

    2

    1

    2

    1

    )()2()4(

    2

    1

    2

    1),,(

    )2,1,1(

    )0,0,0(

    22224

    22)2,1,1(

    )0,0,0(

    23

    22224

    zzyyxx

    dzzydyxzydxxyx

    czzyyxxzyxf

    garis,Integral

    ,pembangkitFungsi

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    13/30

    SOAL-SOAL LATIHANTunjukkanlah bahwa integral garis berikut ini tidak tergantung pada lintasan

    C. Kemudian hitung nilai integral garisnya.

    dyyyx

    dxyxxx

    dyyxydxyxx

    dyyxydxyxx

    dyeyydxyex

    dyyxdxxxy

    dyyxydxyx

    e

    e

    e

    xx

    )cossec(

    )tan2ln(.6

    )ln()3(.5

    )23()ln(.4

    )3()(.3

    )()2(.2

    )2()(.1

    222

    )3/,(

    )6/,0(

    2

    ),2(

    )1,1(

    22

    )4,(

    )1,1(

    23

    )2,1(

    )1,0(

    2222

    )4,2(

    )1,1(

    222

    )4,2(

    )1,1(

    222

    dzzxyzdyxzy

    dxzyx

    dzyedyeye

    dxee

    dzyxzdyyzyx

    dxzxyx

    dzzxydyyxz

    dxyzx

    zyxz

    yx

    )122()82(

    )42(.10

    )1()(

    )21(.9

    )2()cos(

    )3sin2(.8

    )()(

    )(.7

    223

    )2,2,1(

    )1,1,1(

    32

    2222

    )2,2,1(

    )0,1,0(

    2

    2322

    )2,3/,1(

    )1,6/,1(

    22

    22

    )2,2,1(

    )1,0,1(

    2

    TEOREMA GREENAndaikan M dan N adalah fungsi-

    fungsi dua variabel dari x dan y yang

    kontinu dan mempunyai turunan-

    turunan parsial kontinu pada daerah R,

    dan batasnya C. Andaikan C adalah

    kurva mulus sepotong-sepotong

    tertutup sederhana yang batasnya

    membentuk daerah R dibidang.Bilamana

    F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j

    adalah medan vektor dan R daerah

    yang dibatasi oleh C, maka

    CR

    CdA

    y

    M

    x

    NdyyxNdxyxM drF ),(),(

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    14/30

    Periksalah kebenaran berlakunya teorema Green, untuk medan vektorF(x,y)= y2i + x2y j, dan jika C adalah kurva tertutup seperti gambar

    Jawab :

    Ruas kiri teorema Greens

    CONTOH

    dyyxdxy

    dyyxdxy

    C

    CC

    2

    1

    22

    22

    drF

    15

    16)22(

    )22(

    3

    16

    3

    80

    15

    416

    3

    80)44(

    15

    416)2(

    2

    0

    2

    22

    22

    0

    2

    32)0,0(

    )4,2(

    22

    2

    0

    24)4,2(

    )0,0(

    22

    2

    dydxyxy

    dAyxyydyxdxy

    ydyxdxy

    dxxxydyxdxy

    dxxxydyxdxy

    x

    x

    RC

    C

    GreensTeoremakananRuas

    Jadi,

    CONTOH

    dimana C adalah kurva tertutup seperti gambar.

    CCdrFHitung, dyyxdxxyx )2()3( 22

    3

    92

    )3()(

    )2()3(

    4

    0

    6

    22

    22

    dxdyxdAx

    dAxyxy

    yxx

    dyyxdxxyx

    y

    yR

    R

    Jawab

    C

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    15/30

    CONTOH

    dimana C adalah lingkaran seperti gambar.

    CC drFHitung, dyyyxydxyxe x )ln()( 222

    yyx 222

    2

    3

    )(

    )ln()ln(

    )ln()(

    0sin2

    0322

    22

    222

    drdrdydxyx

    dAyyxyy

    yyxyx

    dyyyxydxyxe

    R

    R

    x

    :Jawab

    C

    LUAS DAERAH

    Misalkan R adalah daerah

    pada bidang yang dibatasi

    oleh kurva mulus sederhana

    sepotong-sepotong dan

    tertutup sederhana. Dalam

    bentuk integral garis, luasdaerah R diberikan oleh,

    C

    RR

    ydxxdy

    dAy

    y

    x

    xdARA

    2

    1

    )()(

    2

    1)2(

    2

    1)(

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    16/30

    CONTOHHitunglah luas Ellips yang

    dibatasi oleh,

    Jawab :

    Sketsa gambar Ellips terlihat

    pada Gambar. Luas daerah

    diberikan oleh,

    122

    b

    y

    a

    x

    Dengan menggunakan transformasi, x = a cos t, y = b sin t, dx = a sint dt, dy = b cos dt, dan dari sektsa diperoleh pula 0 t 2. Jadi,

    CydxxdyRA

    2

    1)(

    abdtttab

    tdtatbtdtbtaRA

    2

    0

    22

    2

    0

    )sin(cos2

    1

    )sin)(sin()cos)(cos(2

    1)(

    TEOREMA DIVERGENSI GOUSS DI

    BIDANG

    Andaikan C adalah kurva tertutup,

    mulus sepotong-sepoting

    sederhana dalam bidang, dengan

    arah berlawanan arah jarum jam.

    Selanjutnya, misalkan

    persamaan vektor kurva C adalah,

    dAdAdAy

    N

    x

    M

    ds

    yxNyxMyx

    ds

    dx

    ds

    dysysxs

    C

    FFdiv

    nFFFluks

    jiF(

    j-in;jir

    RRR

    ),(),(),

    )()()(

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    17/30

    CONTOHDiberikan medan kecepatan fluida, F(x,y) = x

    3

    i + y3

    jTentukanlah laju aliran fluida keluar daerah R yang dibatasi oleh kurva C

    yang berbentuk lingkaran tertutup, x2+ y2= 2x.

    Jawab :

    x2+ y2= 2x.

    dAyxdAyy

    xx

    dAy

    N

    x

    MFFluks

    RRR

    )(3)()( 2233

    Dengan R berbentuk lingkaran

    seperti pada Gambar, dengan

    transformasi koor kutub maka :

    2

    9

    3

    )(3

    2/

    2/

    cos2

    0

    3

    22

    drdr

    dAyx FFluksR

    TEOREMA STOKES DI BIDANG

    F medan vektor

    Maka,

    Andaikan T vektor singgung satuan C di titik P

    jiTds

    dy

    ds

    dxs )(

    jiF ),(),(),( yxNyxMyx

    dA

    dAy

    M

    x

    N

    dyyxNdyyxMds

    R

    R

    CC

    kF

    TF

    )(

    ),(),(

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    18/30

    CONTOHSelidikilah kebenaran teorema Stokes, bila F(x,y) = x2yi + xy2j, dan

    C adalah lingkaran, x2+ y2= 4 dengan arah berlawanan arah jarum jam.

    CdsTFkiri,Ruas

    8

    )(

    )()(

    )(

    ,,

    )(

    2

    0

    2

    0

    322

    22

    22

    drdrdAyx

    dAyxy

    xyx

    dAy

    M

    x

    NdA

    xyNyxM

    dA

    R

    R

    RR

    R

    kF

    :makaKarena,

    kF:kananRuas

    Persamaan paramater lingkarannya

    adalah , x=2cos t y=2 sin t 0

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    19/30

    SOAL LATIHAN

    Gunakanlah teorema Green(pendekatan integral garis) untuk

    menghitung luas daerah R, yang

    dibatsi oleh kurva-kurva.

    1. y = x2, dan y = 2x,

    2. y = x2, dan x = y2,

    3. y = x3, dan x = y2,

    4. y = x2, dan x = y3,

    5. y = x2, x + y = 2, dan sumbu x

    6. x = y2, x + y = 2, dan sumbu y

    7. Lingkaran, x2+ y2= 2y

    8. Lingkaran, x2+ y2= 4x

    9. Ellips, 4x2+ 9y2= 36

    10. Ellips, 16x2+ 9y2= 144

    Selidikilah kebenaran berlakunyateorema divergensi Gauss dalam

    bidang, dam teorema Stokes di

    dalam bidang, untuk medan vektor

    dan lintasan berikut ini.

    1. F(x,y) = (x3 y3)i + (x3+ y3)j, dan

    C adalah lingkaran, x2+ y2= 2y

    2. F(x,y) = (x3 y3)i + (x3+ y3)j, dan

    C adalah lingkaran, x2+ y2= 4x.

    3. F(x,y) = (x3 x2y)i + (xy2+ y3)j, C

    adalah lingkaran, x2+ y2= 4.

    4. F(x,y) = (x2 y2)i + (x2+ y2)j, danC adalah lingkaran, x2+ y2= 4y.

    INTEGRAL PERMUKAANAndaikan S adalah suatu permukaan

    yang diberikan oleh persamaan,

    z = f(x,y)

    dengan proyeksinya pada bidang xy

    diberikan oleh daerah D. Andaikan,

    G(x,y,z) = G(x,y,f(x,y)) fungsi tiga

    variabel dari x, y, dan z yang konitnupada S, maka integral permukaan G

    atas S dinyatakan dengan,

    dAffyxfyxG

    dSzyxG

    R

    yx

    s

    1)),(,,(

    ),,(

    22

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    20/30

    dSyzS

    :Hitunglah

    CONTOH

    Bila S bagian permukaan bidang :

    2x + 2y + z = 4, yang dipotong oleh

    paraboloida, x = y2, dan bidang-bidang

    x = 0, dan z = 0.

    Jawab :

    Mengingat, z=f(x,y)=4 2x 2y dan

    20

    51

    3

    2)2(

    3

    )2(3

    3

    2)2(3

    ]2)24[(3

    )3()224(

    1

    0

    2/331

    0

    32

    1

    0

    22

    dxxxxx

    dxyyx

    dydxyyx

    dAyxydSyz

    x

    x

    RS

    x-2

    x

    dAdS 1)2()2( 22

    Z=4

    CONTOH

    Bila S bagian permukaan kerucut : z2=4( x2+ y2) yang dipotong

    oleh paraboloida, z=2, dzn z=4.

    Jawab :

    dSzx

    S

    :Hitunglah

    22

    dAdAyx

    y

    yx

    x

    yxz

    dS

    :makaMengingat,

    5144

    ,2

    22

    2

    22

    2

    22

    542

    cos54

    )(3[

    2

    0

    2

    1

    25

    22222

    drdr

    dAyxxdSzx

    RS

    5

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    21/30

    LUAS DAN MASSA PERMUKAAN

    BENDA PEJALPersamaan S yang diberikan oleh

    persamaan z = f(x,y) dan diatas

    daerah R pada bidang xy, dan

    kerapatan disembarang titik (x,y,z)

    pada permukaan S diberikan oleh

    (x,y,z). Maka luas permukaan A(S)

    dan massa permukaan S, m(S)

    diberikan oleh,

    dAffzyxSm

    dAffSA

    R

    yx

    R

    yx

    1),,()(

    1)(

    22

    22

    Jika persamaan permukaan S adalah

    y = g(x,z) dan daerah R pada bidang

    xz. dan kerapatan (x,y,z) , maka :

    dAggzyxSm

    dAggSA

    R

    zx

    R

    zx

    1),,()(

    1)(

    22

    22

    Jika persamaan permukaan S adalah

    x = h(y,z) dan daerah R pada bidang

    yz. dan kerapatan (x,y,z) , maka :

    dAhhzyxSm

    dAhhSA

    R

    zy

    R

    zy

    1),,()(

    1)(

    22

    22

    CONTOHHitunglah luas permukaan bidang, 2x+2y+z=12, yang dipotong

    oleh permukaan kerucut : y=x2, z=0 dan x=0.

    Jawab :

    Luas permukaan benda diberikan oleh,

    Mengingatm z=f(x,y)=12 2x 2y, maka :

    dAffSA

    R

    yx

    1)( 22

    223

    1)6(

    2

    13

    ])6[(3

    3

    31)2()2()(

    2

    0

    32

    2

    0

    2

    2

    0

    6

    22

    2

    xx

    dxxx

    dydx

    dAdASA

    x

    x

    RR

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    22/30

    CONTOHHitunglah massa permukaan bidang bola, x2+y2+z2=25, yang dipotong oleh

    bidang, z=3 dan z=4. kerapatannya, kz2.

    Jawab :

    Mass permukaan benda diberikan oleh,

    Mengingat.

    maka :

    dAffkzSm

    R

    yx

    1)( 222

    2225),( yxyxfz

    k

    drdrrk

    dydxyxk

    dAyx

    yxkSm

    R

    R

    3

    370

    255

    25(5

    ))25(

    )25(5)(

    2

    0

    4

    3

    2

    22

    22

    22

    Andaikan F adalah medan vektor,

    F(x,y,z) = M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+R(x,y,z)k

    Andaikan S permukaan S yang

    diberikan oleh, z =f(x,y) yang terletak

    diatas daerah R pada bidang xy, vektor

    normal nkearah atas. Lihat gambar.

    Fluks medan vektor F keluar S

    diberikan oleh,

    dARNfMf

    dS

    R

    yx

    S

    nFFFluks

    )(

    bawah)ke(nnFFFluks dARNfMfdS

    R

    yx

    S

    )(

    FLUKS MEDAN VEKTOR

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    23/30

    CONTOHMisalkan diberikan medan kecepatan panas,F(x,y,z) = 2yi + 3xj + 2zk

    dan S adalah bagian permukaan bidang, 2x + y + z = 6, yang dipotong

    bidang, y = x, x = 0. Hitunglah banyaknya panas yang keluar melalui

    permukaan S.

    Jawab :

    Karena, nke arah atas, maka :

    24

    )212(

    )212(

    )2)1)(3()2)(2[(

    )(

    2

    0

    26

    dydxyx

    dAyx

    dAzxy

    dARNfMfdS

    x

    x

    R

    R

    R

    yx

    S

    nFFFluks

    CONTOHMisalkan diberikan medan kecepatan panas,F(x,y,z) = y2i xyj+ z2k

    dan S bagian permukaan bola, x2+ y2+ z2= 8, yang dipotong bidang, z=2.

    Hitunglah banyaknya panas yang keluar melalui permukaan S.

    Jawab :

    Karena, nke arah atas, maka :

    24)8(

    )8(

    )(

    )(

    2

    0

    2

    0

    3

    22

    2

    22

    drdrr

    dAyx

    dAz

    dAzz

    yxy

    z

    xy

    dARNfMf

    R

    R

    R

    R

    yx

    FFluks

    228 yxz

    x2+ y2=4

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    24/30

    CONTOHMisalkan diberikan medan kecepatan panas,F(x,y,z) = 2xi+ 2yj+ zk

    dan S bagian permukaan kerucut, z2= x2+ y2, yang dipotong bidang, z=1,

    dan z=2. Hitunglah banyaknya panas yang keluar melalui permukaan S.

    Jawab :

    Karena, nke arah bawah, maka :

    3

    14

    22

    )(

    2

    0

    2

    1

    2

    22

    drdr

    dAyxdAz

    dAz

    z

    yy

    z

    xx

    dARNfMf

    dS

    RR

    R

    R

    yx

    S

    nFFFluks

    SOAL-SOAL LATIHAN

    Hitunglah integral permukaannya

    4x1R,diatasdan

    -yz:S,)2().4(

    3zdan1,zdipotong,dan

    ,xz:S,)().3(

    0,0,yxdipotong,dan

    82z2yx:S,)((2).

    0zdan0,xx,ydipotong,dan

    142z3y4x:S,)().1(

    22

    222

    22222

    2

    y

    xdSzx

    yzdSyx

    zy

    dSzy

    dSyx

    S

    S

    S

    S

    Hitunglah luas permukaan, benda S

    berikut ini

    (5). Bagian permukaan bidang, 3x +

    2y + 6z = 10 yang dipotong oleh

    bidang, y = x, x = 0, dan z = 0.

    (6). Bagian permukaan bidang, 2x + y

    + 2z = 8, dipotong, y = x2, x = 0,

    dan z = 0.

    (7). Bagian permukaan paraboloida, z

    = x2+ y2, yang dipotong oleh

    bidang z = 1 dan z = 9

    (8). Bagian permukaan kerucut,

    z2=x2+y2, yang dipotong oleh

    bidang z = 2 dan z = 3

    (9). Bagian permukaan bola,

    x2+y2+z2=4, dan didalam silinder,

    x2+y2= 2y, diatas bidang xy.

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    25/30

    SOAL-SOAL LATIHAN

    Hitunglah massa permukaan benda Sberikut ini

    (1). Masa bagian bidang, 2x+3y+z = 6,

    di oktan pertama, kerapatannya

    adalah (x,y,z) = x + 2z

    (2). Masa bagian silinder paraboloida,

    z = x2+ y2, yang dipotong bidang,

    z = 1 dan z = 4 jika kerapatannya

    adalah, (x,y,z) = k(x2+ y2)

    (3). Masa bagian kerucut, z2= x2+y2,

    yang dipotong bidang, z = 1 dan z

    = 2,kerapatan, (x,y,z) = k(x2+y2)

    (4). Masa bagian permukaan bola,

    x2+y2+ z2= 25, yang dipotong

    oleh z = 3 dan z = 4, dan

    kerapatannya (x,y,z) = k(x2+ y2)

    Hitunglah fluks medan vektor, dari :

    (1). F(x,y,z) = 2xi + 2yj + 5zk, dan Sadalah permukaan bola, x2+ y2+

    z2= 25 dan diatas, z = 3.

    (2). F(x,y,z) = 2x i + 3y j + z k, dan S

    adalah permukaan bidang, x + y

    + z = 2, yang dipotong oleh, y = x,

    x = 0, dan z = 0

    (3). F(x,y,z) = 2x i + y j + z k, dan S

    adalah bagian permukaan bidang,

    z = 2 + y, yang dipotong oleh, y =

    x2, y = 0, dan x = 2.

    (4). F(x,y,z) = 2x i + 3y j + 2z k, dan S

    adalah permukaan bidang, 2x +2y + z = 4, yang dipotong oleh,

    x=y3, x = 0, dan z = 0

    (5). F(x,y,z) = 2x i + 2y j + 3z k, dan S

    adalah permukaan paraboloida,

    z= 5(x2+ y2), z = 1 dan z = 4.

    TEOREMA DIVERGENSI GOUSS

    Andaikan B sebuah benda pejal tertutup

    dan terbatas dibatasi oleh permukaan

    tertutup dan sederhana dalam ruang

    dimensi tiga. Misalkan,

    F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j +

    R(x,y,z)k

    adalah medan vektor sedemikian rupa

    sehingga M(x,y,z), N(x,y,z), dan R(x,y,z)

    mempunyai turunan-turunan parsial

    pertama yang kontinu pada B, dan

    batasnya permukaan tertutup S.

    Bilamana n adalah vektor normal

    satuan keluar S, maka :

    BBs

    dVdVdS F)(FdivnF

    x

    R

    y

    N

    x

    M

    RNMxyx

    kjikji

    F

    Mengingat,

    )(

    B

    Bs

    dVz

    R

    y

    N

    x

    M

    dVdS

    F)(nF

    Maka,

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    26/30

    kjiFbiladSnFHitunglah, xyzyzyxyzzyx

    S

    23)(),,(, 2

    CONTOH

    bilamana S adalah permukaan tertutup benda pejal yang di oktan pertama

    dibatasi oleh bidang-bidang, 2x + y + z = 6, y = x, z = 0 dan x = 0

    Jawab

    zxyzz

    yzy

    yxyzx

    3)2()3()( 2

    FFdiv

    54

    332

    0

    26 26

    0

    x

    x

    yx

    B

    BS

    dzdydxzdVz

    dV

    F)(dSnF

    Maka

    CONTOH

    bilamana S adalah permukaan tertutup antara dua silindr lingkaran tegak,

    1 x2+y24, antara z=1 dan z=2.

    Jawab

    kjiFbiladSnFHitunglah, zxyzxyzyx

    S

    222 22),,(,

    222

    222

    )(2

    )2()()2(

    zyx

    zxz

    yzy

    xyx

    FFdiv

    22)2(

    ])(2[

    )(

    2

    0

    2

    1

    2

    1

    22

    222

    dzdrdrzr

    dVzyx

    dV

    B

    S

    FdSnF

    B

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    27/30

    kjiFbiladSnFHitunglah, 333),,(, zyxzyx

    S

    CONTOH

    bilamana S adalah permukaan tertutup yang terletak dibawah bola,

    x2+y2+z2= 2z, dan diatas kerucut, z2=x2+y2.

    Jawab

    Maka,

    FFdiv

    )(3

    )()()(

    222

    333

    zyx

    zz

    yy

    xx

    5

    28sin3

    )(2

    )(

    4/

    0

    2

    0

    cos2

    0

    4

    222

    ddrdr

    dVzyx

    dV

    B

    S

    FdSnF

    B

    TEOREMA STOKESMisalkan S permukaan dengan vektor

    satuan n bervariasi dan kontinu, dan

    batasnya S adalah C. (Lihat gambar)

    Andaikan,

    F(x,y,z) = M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+R(x,y,z)k,

    adalah medan vektor dimana turunan-turunan parsial pertama M N R kontinu

    pada S, dan batasnya S. Jika nvektor

    normal satuan dengan arah keatas pada

    S, dan jika Tadalah suatu vektor

    singgung pada C, maka

    dSds

    SC

    nFTF

    )(

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    28/30

    kjiFbiladsTFHitunglah,C

    22

    ),,(, yxyxzyx

    CONTOH

    bilamana C kurva perpotongan permukaan, z=4 x2, yang dipotong oleh

    bidang y=x, z=0 dan x=0, lihat gambar.

    Jawab.

    3

    4)424(

    )]2()0)(()2)(2([(

    ])2(2[

    )(

    2

    0 0

    2

    x

    R

    S

    SC

    dydxxxyx

    dAzxyxy

    dSzxyy

    dSds

    nkji

    nFTF

    CONTOH

    bilamana C adalah kurva perpotongan permukaan kerucut, z2=x2+y2, yang

    dipotong oleh bidang z=2.

    Jawab.

    kji),,(Fbila,dsTFHitunglah, 333

    C

    zxyzyx

    240

    )(300

    )(3

    )(

    2

    0

    2

    0

    3

    22

    22

    drdr

    dAyxz

    y

    z

    x

    dSyx

    dSds

    R

    S

    SC

    nk

    nFTF

    z2=x2+y2

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    29/30

    CONTOH

    bilamana C adalah kurva perpotongan permukaan, z2=10(x2+9y2), yang

    dipotong oleh bidang z=1.

    Jawab. Persamaan parameter kurva C, x=3 cos s, y=sin t, z=1, maka :

    T(s) = 3 sin s i + cos sj + 0k

    F(s)= sin si + 6 cos sj+ 3 cos s sin s k

    F T = - 3 sin2s + 6 cos2s= 6 9 sin2s

    Jadi,

    kjiFbiladSnF)(permukaan,integralHitung

    S

    xyxzyzzyx

    2),,(,

    3

    )sin96(

    )(

    2

    0

    2

    dss

    dsdS

    CS

    TFnF

    SOAL-SOAL LATIHAN

    Hitunglah fluks medan vektor

    F melalui permukaan S,

    (a) secara langsung

    (b) Teorema divergensi Gauss

    (1). F(x,y,z) = 3xyi + 2yzj + z2k, dan

    S permukaan balok dibatasi oleh,

    x = 0, x = 2, y = 1, y = 2, z = 1

    dan z = 3.

    (2). F(x,y,z) = y2i xy j + 2z2k, dan Spermukaan dibatasi bidang, x +

    2y + z = 2, x = 0, y = 0, dan z = 0

    (3). F(x,y,z) = xy i x2j + z2k, dan S

    adalah permukaan tertutup yang

    dibatasi oleh, z = 8 x2 y2, dan

    z = x2+ y2.

    (4). F(x,y,z) = 2xy2i + 2x2y j z3k,

    dengan S adalah permukaan

    tertutup yang dibatasi oleh bola,

    x2+ y2+ z2= 4.

    Hitunglah,

    S adalah permukaan tertutup dengan

    menggunakan teorema divergensi

    (1). F(x,y,z) = xz i + 2yz j + 3z2k,

    dengan S adalah permukaan

    tertutup : x+2y+z=6, y = x, y = 0,

    dan z = 0.

    (2). F(x,y,z) = x2yz i xy2z j + 2xyz2k,

    dengan S adalah permukaan

    tertutup, y2+ z2= 4, bidang y = x,

    x = 0, dan z = 0.

    (3). F(x,y,z) = x3i + y3j + z3k, S adalah

    permukaan tertutup, x2+ y2= 4y,

    antara z = 0, dan z = 2.

    (4). F(x,y,z) = xy2i + x2yj + (x2+y2)z k,

    dengan S adalah permukaan

    tertutup, bola, x2+ y2+ z2= 2z.

    dS

    S

    nF

  • 7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx

    30/30

    Periksalah kebenaran berlakunya teorema Stokes, untuk medan vektor F

    dan kurva C batas dari permukaan S berikut ini.

    (1). F(x,y,z) = 3z i + 2y j + 4z k, dan kurva C adalah batas dari permukaan

    S yang merupakan bagian dari permukaan paraboloida, z = 4 x2 y2,

    dan diatas bidang xy.

    (2).F(x,y,z) = 2xy i + 2x j + 3z k, dan kurva C adalah batas dari permukaan

    S yang merupakan bagian dari permukaan paraboloida, z = x2+ y2,

    dibawah bidang, z = 4.

    (3). F(x,y,z) = 3yz i + 2xz j + z k, dan kurva C adalah batas dari permukaan

    S yang merupakan bagian dari permukaan paraboloida, z = 10 x2

    y2, dan diatas bidang, z = 1.

    (4). F(x,y,z) = y3i + x3j + xyz k, dan kurva C adalah batas dari

    permukaan S yang merupakan bagian dari permukaan bola, x2+ y2+

    z2= 25 dan diatas bidang, z = 3.(5). F(x,y,z) = xy2i + 3x j + z2 k, dan kurva C adalah batas dari permukaan

    S yang merupakan, bagian dari permukaan kerucut, x2+ y2= z2dan

    dibawah bidang, z = 3.

    (6). F(x,y,z) = yx2i + xy2j + 3z3k, dan kurva C adalah batas dari

    permukaan S yang merupakan bagian dari permukaan bola, x2+ y2+

    z2= 25 dan diatas bidang, z = 4.

    SOAL-SOAL LATIHAN