Kalkulus 2 · Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi...

Kalkulus 2Teknik Pengintegralan ke - 2

Tim Pengajar Kalkulus ITK

Institut Teknologi Kalimantan

Januari 2018

Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 24

Daftar Isi

1 Teknik Pengintegralan Ke-2Substitusi yang MerasionalkanIntegrasi dengan substitusi trigonometriLatihan Soal


Kemampuan yang diinginkan pada Bab Ini adalah mahasiswamemiliki kejelian melihat bentuk soal.

sehingga faktor latihan sangat penting

untuk memperoleh hasil yang diinginkan.Jadi BANYAK BERLATIH dengan soal-soal, maka anda akanInsyaAllah menuai kesuksesan.


Substitusi yang Merasionalkan

Bentuk akar dalam integran selalu menimbulkan kesulitan danbiasanya kita berusaha menghindarinya. Seringkali substitusi yangtepat akan mersionalkan integran tersebut.



Jika n√

ax + b muncul dalam suatu integral, substitusi u = n√

ax + bakan menghilangkan akar.

Contoh

Carilah∫ dx

x−√

x.

Misalkan u =√

x, sehingga u2 = x dan 2u du = dx. Maka∫ dxx−√

x=∫ 2u du

u2 − u= 2

∫ duu− 1

= 2 ln |u− 1|+ C

= 2 ln∣∣√x− 1

∣∣+ C



Contoh

Carilah∫

x√

x + 2 dx.

Misalkan u =√

x + 2, sehingga u2 = x + 2 dan 2u du = dx. Maka∫x√

x + 2 dx =∫ (

u2 − 2)

u · (2u du) = 2∫ (

u4 − 2u2)

du

= 2[

u5

5− 2

3u3]+ C

=25(x + 2)5/2 − 4

3(x + 2)3/2 + C



Contoh

Carilah∫

x 3√

x− 4 dx.

Misalkan u = 3√

x− 4, sehingga u3 = x− 4 dan 3u2 du = dx. Maka∫x 3√

x− 4 dx =∫ (

u3 + 4)

u ·(3u2 du

)= 3

∫ (u6 + 4u3) du

= 3[

u7

7+ u4

]+ C

=37(x− 4)7/3 + 3 (x− 4)4/3 + C


Integrasi dengan substitusi trigonometri

Integrasi yang melibatkan merasionalkan√

a2 − x2,√

a2 + x2, dan√x2 − a2 untuk tiga ekspresi ini, kita boleh mengasumsikan bahwa a

positif dan membuat substitusi trigonometri berikut.

Akar Substitusi Pembatasan pada t√a2 − x2 x = a sin t −π/2 ≤ t ≤ π/2√a2 + x2 x = a tan t −π/2 < t < π/2√x2 − a2 x = a sec t 0 ≤ t ≤ π, t 6= π/2




1√

a2 − x2 =√

a2 − a2 sin2 t =√

a2 cos2 t = |a cos t| = a cos t.2√

a2 + x2 =√

a2 + a2 tan2 t =√

a2 sec2 t = |a sec t| = a sec t.

3√

x2 − a2 =√

a2 sec2 t− a2 =√





1√

a2 − x2 =√

a2 − a2 sin2 t =√

a2 cos2 t = |a cos t| = a cos t.2√

a2 + x2 =√

a2 + a2 tan2 t =√

a2 sec2 t = |a sec t| = a sec t.3√

x2 − a2 =√

a2 sec2 t− a2 =√




Contoh

Carilah∫ √

4− x2 dx

Kita gunakan substitusi

x = 2 sin t dengan − π/2 ≤ t ≤ π/2

maka dx = 2 cos t dt dan√

4− x2 =√

4− 4 sin2 t = 2 cos t. Jadi,∫ √4− x2dx =

∫2 cos t · 2 cos t dt = 4

∫cos2 t dt

= 2∫

(1 + cos 2t) dt

= 2(

t +12

sin 2t)+ C

= 2t + 2 sin t cos t + C



Sekarang x = 2 sin t ekuivalen dengan x/2 = sin t, maka diperoleh

t = sin−1(x

2

)dengan menggunakan segitiga siku - siku


dengan a = 2 dan menggunakan segitiga siku-siku di samping maka

2 sin t cos t = 2(x

2

)(√4− x2

2

)=

x2

√4− x2

jadi ∫ √4− x2dx = 2 sin−1

(x2

)+

x2

√4− x2 + C



Contoh

Carilah∫ dx√

9 + x2

Misalkan x = 3 tan t, −π/2 ≤ t ≤ π/2. Maka dx = 3 sec2 t dt dan√9 + x2 =

√9 + 9 tan2 t = 3 sec t.∫ dx√

9 + x2=∫ 3 sec2 t dt

3 sec t=∫

sec t dt

= ln |sec t + tan t|+ C



karena tan t = x3


maka dapat ditarik kesimpulan bahwa sec t =√

9+x2

3 . Jadi,

∫ dx√9 + x2

= ln

∣∣∣∣∣√

9 + x2 + x3

∣∣∣∣∣+ C

= ln∣∣∣√9 + x2 + x

∣∣∣− ln 3 + C

= ln∣∣∣√9 + x2 + x

∣∣∣+ K



Contoh

Carilah∫ √x2 − 4

xdx.

Misalkan x = 2 sec t, di mana 0 ≤ t < π/2.Selanjutnya dx = 2 sec t tan tdt. Perhatikan√

x2 − 4 =√

4 sec2 t− 4 =√

4 tan2 t = 2 |tan t| = 2 tan t

sehingga

∫ √x2 − 4x

dx =∫ 2 tan t

2 sec t2 sec t tan t dt =

∫2 tan2 t dt

= 2∫ (

sec2 t− 1)

dt = 2 [tan t− t] + C



Dengan menggunakan segitiga dapat diperoleh bahwa

tan t =√

x2 − 42

dan t = tan−1

(√x2 − 4

2

). Maka

∫ √x2 − 4x

dx = 2 [tan t− t] + C

=√

x2 − 4− 2 tan−1

(√x2 − 4

2

)+ C



Melengkapi kuadrat. Apabila ekspresi kuadrat berjenis x2 + Bx + Cmuncul di bawah tanda akar dalam integran, metode melengkapikuadrat akan mempermudah dilakukannya substitusi trigonometri.

Contoh

Carilah∫ dx√

x2 + 2x + 26.

Penyelesaian : x2 + 2x + 26 = x2 + 2x + 1 + 25 = (x + 1)2 + 25.Misalkan u = x + 1 dan du = dx. Maka∫ dx√

x2 + 2x + 26=∫ du√

u2 + 25

Selanjutnya misalkan u = 5 tan t,−π/2 ≤ t ≤ π/2. Maka du = 5 sec2 tdt dan √

u2 + 25 =√

25(tan2 t + 1) = 5 sec t



sehingga, ∫ du√u2 + 25

=∫ 5 sec2 t dt

5 sec t=∫

sec t dt



Perhatikan gambar segitiga ini,



Jadi diperoleh,∫ du√u2 + 25


= ln

∣∣∣∣∣√

u2 + 255

+u5

∣∣∣∣∣+ C

= ln∣∣∣√u2 + 25 + u

∣∣∣− ln 5 + C

= ln∣∣∣√x2 + 2x + 26 + x + 1

∣∣∣+ K


Latihan Soal

Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telapdipelajari, cobalah beberapa soal di bawah iniLakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

1

∫x√

x + 1 dx

2

∫x 3√

x + π dx

3

∫ t dt√3t + 4

4

∫ x2 + 3x√x + 4

dx

5

2∫1

dt√t + e


Latihan Soal

1

∫ √4− x2

xdx

2

∫ x2 dx√16− x2

3

∫ dx

(x2 + 4)3/2

4

∫ dx√x2 + 2x + 5

5

∫ 2x− 1√x2 + 4x + 5

dx


Daftar Pustaka

Varberg, Purcell, Rigdon, ”Kalkulus Ninth Edition, 2”, 2007,Pearson Education, Inc.


Kalkulus 2 · Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi...

Documents

Transcript of Kalkulus 2 · Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi...