Kalkulus 2 · Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi...

download Kalkulus 2 · Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan)

If you can't read please download the document

  • date post

    18-Apr-2018
  • Category

    Documents

  • view

    229
  • download

    6

Embed Size (px)

Transcript of Kalkulus 2 · Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi...

  • Kalkulus 2Teknik Pengintegralan ke - 2

    Tim Pengajar Kalkulus ITK

    Institut Teknologi Kalimantan

    Januari 2018

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 24

  • Daftar Isi

    1 Teknik Pengintegralan Ke-2Substitusi yang MerasionalkanIntegrasi dengan substitusi trigonometriLatihan Soal

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 2 / 24

  • Kemampuan yang diinginkan pada Bab Ini adalah mahasiswamemiliki kejelian melihat bentuk soal.

    sehingga faktor latihan sangat penting

    untuk memperoleh hasil yang diinginkan.Jadi BANYAK BERLATIH dengan soal-soal, maka anda akanInsyaAllah menuai kesuksesan.

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 3 / 24

  • Substitusi yang Merasionalkan

    Bentuk akar dalam integran selalu menimbulkan kesulitan danbiasanya kita berusaha menghindarinya. Seringkali substitusi yangtepat akan mersionalkan integran tersebut.

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 4 / 24

  • Substitusi yang Merasionalkan

    Jika n

    ax + b muncul dalam suatu integral, substitusi u = n

    ax + bakan menghilangkan akar.

    Contoh

    Carilah dx

    x

    x.

    Misalkan u =

    x, sehingga u2 = x dan 2u du = dx. Maka dxx

    x= 2u du

    u2 u = 2 du

    u 1= 2 ln |u 1|+ C= 2 ln

    x 1+ CTim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 5 / 24

  • Substitusi yang Merasionalkan

    Contoh

    Carilah

    x

    x + 2 dx.

    Misalkan u =

    x + 2, sehingga u2 = x + 2 dan 2u du = dx. Makax

    x + 2 dx = (

    u2 2)

    u (2u du) = 2 (

    u4 2u2)

    du

    = 2[

    u5

    5 2

    3u3]+ C

    =25(x + 2)5/2 4

    3(x + 2)3/2 + C

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 6 / 24

  • Substitusi yang Merasionalkan

    Contoh

    Carilah

    x 3

    x 4 dx.

    Misalkan u = 3

    x 4, sehingga u3 = x 4 dan 3u2 du = dx. Makax 3

    x 4 dx = (

    u3 + 4)

    u (3u2 du

    )= 3

    (u6 + 4u3

    )du

    = 3[

    u7

    7+ u4

    ]+ C

    =37(x 4)7/3 + 3 (x 4)4/3 + C

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 7 / 24

  • Integrasi dengan substitusi trigonometri

    Integrasi yang melibatkan merasionalkan

    a2 x2,

    a2 + x2, danx2 a2 untuk tiga ekspresi ini, kita boleh mengasumsikan bahwa a

    positif dan membuat substitusi trigonometri berikut.

    Akar Substitusi Pembatasan pada ta2 x2 x = a sin t /2 t /2a2 + x2 x = a tan t /2 < t < /2x2 a2 x = a sec t 0 t , t 6= /2

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 8 / 24

  • Integrasi dengan substitusi trigonometri

    Sekarang perhatikan penyederhanaan yang diperoleh dari substitusiini.

    1

    a2 x2 =

    a2 a2 sin2 t =

    a2 cos2 t = |a cos t| = a cos t.

    2

    a2 + x2 =

    a2 + a2 tan2 t =

    a2 sec2 t = |a sec t| = a sec t.3

    x2 a2 =

    a2 sec2 t a2 =

    a2 tan2 t = |a tan t| = a tan t.

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 9 / 24

  • Integrasi dengan substitusi trigonometri

    Sekarang perhatikan penyederhanaan yang diperoleh dari substitusiini.

    1

    a2 x2 =

    a2 a2 sin2 t =

    a2 cos2 t = |a cos t| = a cos t.2

    a2 + x2 =

    a2 + a2 tan2 t =

    a2 sec2 t = |a sec t| = a sec t.

    3

    x2 a2 =

    a2 sec2 t a2 =

    a2 tan2 t = |a tan t| = a tan t.

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 9 / 24

  • Integrasi dengan substitusi trigonometri

    Sekarang perhatikan penyederhanaan yang diperoleh dari substitusiini.

    1

    a2 x2 =

    a2 a2 sin2 t =

    a2 cos2 t = |a cos t| = a cos t.2

    a2 + x2 =

    a2 + a2 tan2 t =

    a2 sec2 t = |a sec t| = a sec t.3

    x2 a2 =

    a2 sec2 t a2 =

    a2 tan2 t = |a tan t| = a tan t.

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 9 / 24

  • Integrasi dengan substitusi trigonometri

    Contoh

    Carilah

    4 x2 dx

    Kita gunakan substitusi

    x = 2 sin t dengan /2 t /2

    maka dx = 2 cos t dt dan

    4 x2 =

    4 4 sin2 t = 2 cos t. Jadi, 4 x2dx =

    2 cos t 2 cos t dt = 4

    cos2 t dt

    = 2

    (1 + cos 2t) dt

    = 2(

    t +12

    sin 2t)+ C

    = 2t + 2 sin t cos t + C

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 10 / 24

  • Integrasi dengan substitusi trigonometri

    Sekarang x = 2 sin t ekuivalen dengan x/2 = sin t, maka diperoleh

    t = sin1(x

    2

    )dengan menggunakan segitiga siku - siku

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 11 / 24

  • dengan a = 2 dan menggunakan segitiga siku-siku di samping maka

    2 sin t cos t = 2(x

    2

    )(4 x22

    )=

    x2

    4 x2

    jadi 4 x2dx = 2 sin1

    (x2

    )+

    x2

    4 x2 + C

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 12 / 24

  • Integrasi dengan substitusi trigonometri

    Contoh

    Carilah dx

    9 + x2

    Misalkan x = 3 tan t, /2 t /2. Maka dx = 3 sec2 t dt dan9 + x2 =

    9 + 9 tan2 t = 3 sec t. dx

    9 + x2= 3 sec2 t dt

    3 sec t=

    sec t dt

    = ln |sec t + tan t|+ C

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 13 / 24

  • Integrasi dengan substitusi trigonometri

    karena tan t = x3

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 14 / 24

  • maka dapat ditarik kesimpulan bahwa sec t =

    9+x23 . Jadi, dx

    9 + x2= ln

    9 + x2 + x3

    + C= ln

    9 + x2 + x ln 3 + C= ln

    9 + x2 + x+ K

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 15 / 24

  • Integrasi dengan substitusi trigonometri

    Contoh

    Carilah x2 4

    xdx.

    Misalkan x = 2 sec t, di mana 0 t < /2.Selanjutnya dx = 2 sec t tan tdt. Perhatikan

    x2 4 =

    4 sec2 t 4 =

    4 tan2 t = 2 |tan t| = 2 tan t

    sehingga

    x2 4x

    dx = 2 tan t

    2 sec t2 sec t tan t dt =

    2 tan2 t dt

    = 2 (

    sec2 t 1)

    dt = 2 [tan t t] + C

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 16 / 24

  • Integrasi dengan substitusi trigonometri

    Dengan menggunakan segitiga dapat diperoleh bahwa

    tan t =

    x2 42

    dan t = tan1(

    x2 42

    ). Maka

    x2 4x

    dx = 2 [tan t t] + C

    =

    x2 4 2 tan1(

    x2 42

    )+ C

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 17 / 24

  • Integrasi dengan substitusi trigonometri

    Melengkapi kuadrat. Apabila ekspresi kuadrat berjenis x2 + Bx + Cmuncul di bawah tanda akar dalam integran, metode melengkapikuadrat akan mempermudah dilakukannya substitusi trigonometri.

    Contoh

    Carilah dx

    x2 + 2x + 26.

    Penyelesaian : x2 + 2x + 26 = x2 + 2x + 1 + 25 = (x + 1)2 + 25.Misalkan u = x + 1 dan du = dx. Maka dx

    x2 + 2x + 26= du

    u2 + 25

    Selanjutnya misalkan u = 5 tan t,/2 t /2. Maka du = 5 sec2 tdt dan

    u2 + 25 =

    25(tan2 t + 1) = 5 sec t

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 18 / 24

  • Integrasi dengan substitusi trigonometri

    sehingga, duu2 + 25

    = 5 sec2 t dt

    5 sec t=

    sec t dt

    = ln |sec t + tan t|+ C

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 19 / 24

  • Perhatikan gambar segitiga ini,

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 20 / 24

  • Integrasi dengan substitusi trigonometri

    Jadi diperoleh, duu2 + 25

    = ln |sec t + tan t|+ C

    = ln

    u2 + 255

    +u5

    + C= ln

    u2 + 25 + u ln 5 + C= ln

    x2 + 2x + 26 + x + 1+ K

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 21 / 24

  • Latihan Soal

    Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telapdipelajari, cobalah beberapa soal di bawah iniLakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

    1

    x

    x + 1 dx

    2

    x 3

    x + dx

    3

    t dt3t + 4

    4

    x2 + 3xx + 4

    dx

    5

    21

    dtt + e

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24

  • Latihan Soal

    Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telapdipelajari, cobalah beberapa soal di bawah iniLakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

    1

    x

    x + 1 dx

    2

    x 3

    x + dx

    3

    t dt3t + 4

    4

    x2 + 3xx + 4

    dx

    5

    21

    dtt + e

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24

  • Latihan Soal

    Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telapdipelajari, cobalah beberapa soal di bawah iniLakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

    1

    x

    x + 1 dx

    2

    x 3

    x + dx

    3

    t dt3t + 4

    4

    x2 + 3xx + 4

    dx

    5

    21

    dtt + e

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24

  • Latihan Soal

    Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telapdipelajari, cobalah beberapa soal di bawah iniLakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

    1

    x

    x + 1 dx

    2

    x 3

    x + dx

    3

    t dt3t + 4

    4

    x2 + 3xx + 4

    dx

    5

    21

    dtt + e

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24

  • Latihan Soal

    Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telapdipelajari, cobalah beberapa soal di bawah iniLakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.

    1

    x

    x + 1 dx

    2

    x 3

    x + dx

    3

    t dt3t + 4

    4

    x2 + 3xx + 4

    dx

    5

    21

    dtt + e

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24

  • Latihan Soal

    1

    4 x2x

    dx

    2

    x2 dx16 x2

    3

    dx(x2 + 4)3/2

    4

    dxx2 + 2x + 5

    5

    2x 1x2 + 4x + 5

    dx

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24

  • Latihan Soal

    1

    4 x2x

    dx

    2

    x2 dx16 x2

    3

    dx(x2 + 4)3/2

    4

    dxx2 + 2x + 5

    5

    2x 1x2 + 4x + 5

    dx

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24

  • Latihan Soal

    1

    4 x2x

    dx

    2

    x2 dx16 x2

    3

    dx(x2 + 4)3/2

    4

    dxx2 + 2x + 5

    5

    2x 1x2 + 4x + 5

    dx

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24

  • Latihan Soal

    1

    4 x2x

    dx

    2

    x2 dx16 x2

    3

    dx(x2 + 4)3/2

    4

    dxx2 + 2x + 5

    5

    2x 1x2 + 4x + 5

    dx

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24

  • Latihan Soal

    1

    4 x2x

    dx

    2

    x2 dx16 x2

    3

    dx(x2 + 4)3/2

    4

    dxx2 + 2x + 5

    5

    2x 1x2 + 4x + 5

    dx

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24

  • Daftar Pustaka

    Varberg, Purcell, Rigdon, Kalkulus Ninth Edition, 2, 2007,Pearson Education, Inc.

    Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 24 / 24

    Teknik Pengintegralan Ke-2Substitusi yang MerasionalkanIntegrasi dengan substitusi trigonometriLatihan Soal