Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]

13
Kalkulus 1 Sandy Eka Permana, ST - 1 - STMIK IKMI Cirebon BAB I BILANGAN RIIL 1. Himpunan Bilangan Riil Himpunan bilangan riil sering dinyatakan R . Bilangan riil adalah sekumpulan bilangan rasional dan irrasional. Bilangan rasional sebagai bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk b a , dengan a dan b adalah bilangan bulat dan 0 b . Dengan demikian bilangan rasional dapat berupa bilangan bulat, bilangan yang dapat dinyatakan dengan pecahan atau bentuk desimal, dan campurannya. Yang termasuk dalam bilangan riil adalah : a. N = Himpunan bilangan asli : 1, 2, 3, …… b. Z = Himpunan bilangan bulat : ……, –3, 2, –1, 0, 1, 2, 3, …… c. Q = Himpunan bilangan rasional : b a , dengan a dan b adalah bilangan bulat, dan 0 b d. Ir = Himpunan bilangan irrasional : 4142 , 1 2 dan 14159 , 3 2. Sifat Sifat Medan Bilangan Riil Jika x , y dan z adalah bilangan riil, maka : a. Sifat komutatif (pertukaran). x y y x dan yx xy . b. Sifat asosiatif (pengelompokan). z y x z y x dan z xy yz x . c. Sifat distributif (penyebaran). xz xy z y x , yaitu sifat penyebaran dari perkalian terhadap penjumlahan. d. Adanya unsur identitas (satuan). Terdapat bilangan riil berlainan 0 dan 1, sehingga x x 0 dan x x 1 . e. Adanya negatif atau invers terhadap penjumlahan. Untuk setiap bilangan riil x , ada suatu bilangan riil yang dinamakan negatif dari x , dinyatakan dengan x sehingga 0 x x .

Transcript of Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]

Page 1: Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]

Kalkulus 1

Sandy Eka Permana, ST - 1 - STMIK IKMI Cirebon

BAB I

BILANGAN RIIL

1. Himpunan Bilangan Riil

Himpunan bilangan riil sering dinyatakan R . Bilangan riil adalah sekumpulan

bilangan rasional dan irrasional. Bilangan rasional sebagai bilangan yang dapat dinyatakan

dalam bentuk b

a, dengan a dan b adalah bilangan bulat dan 0b . Dengan demikian

bilangan rasional dapat berupa bilangan bulat, bilangan yang dapat dinyatakan dengan

pecahan atau bentuk desimal, dan campurannya.

Yang termasuk dalam bilangan riil adalah :

a. N = Himpunan bilangan asli : 1, 2, 3, ……

b. Z = Himpunan bilangan bulat : ……, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ……

c. Q = Himpunan bilangan rasional : b

a, dengan a dan b adalah bilangan bulat, dan

0b

d. Ir = Himpunan bilangan irrasional : 4142,12 dan 14159,3

2. Sifat – Sifat Medan Bilangan Riil

Jika x , y dan z adalah bilangan riil, maka :

a. Sifat komutatif (pertukaran). xyyx dan yxxy .

b. Sifat asosiatif (pengelompokan). zyxzyx dan zxyyzx .

c. Sifat distributif (penyebaran). xzxyzyx , yaitu sifat penyebaran dari perkalian

terhadap penjumlahan.

d. Adanya unsur identitas (satuan). Terdapat bilangan riil berlainan 0 dan 1, sehingga

xx 0 dan xx 1 .

e. Adanya negatif atau invers terhadap penjumlahan. Untuk setiap bilangan riil x , ada

suatu bilangan riil yang dinamakan negatif dari x , dinyatakan dengan x sehingga

0 xx .

Page 2: Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]

Kalkulus 1

Sandy Eka Permana, ST - 2 - STMIK IKMI Cirebon

f. Adanya kebalikan atau invers terhadap perkalian. Untuk setiap bilangan riil x , kecuali

0 ada suatu bilangan riil yang dinamakan kebalikan dari x , dinyatakan dengan 1x

atau x

1 sehingga 1

1

xx .

3. Sifat – Sifat Urutan Bilangan Riil

Jika x , y dan z adalah bilangan riil, maka :

a. Sifat trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan riil, maka pasti berlaku salah satu

yx , atau yx , atau yx .

b. Transitif. Jika yx dan zy , maka zx .

c. Penambahan. Jika yx , maka zyzx .

d. Perkalian. Jika z positif dan berlaku yx , maka yzxz . Dan jika z negatif dan

berlaku yx , maka yzxz .

4. Garis Bilangan

Bilangan riil dapat dinyatakan dalam suatu garis bilangan. Bilangan riil yang

bersesuaian dengan titik pada garis disebut koordinat pada garis tersebut.

Notasi selang di bawah ini akan sering dipakai :

Selang berhingga :

a. bxaRxba |, , (selang terbuka)

b. bxaRxba |, , (selang tertutup)

c. bxaRxba |, , (selang terbuka kanan)

d. bxaRxba |, , (selang terbuka kiri)

Selang tak hingga :

e. bxRxb |,

f. bxRxb |,

g. axRxa |,

h. axRxa |,

i. R ,

Page 3: Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]

Kalkulus 1

Sandy Eka Permana, ST - 3 - STMIK IKMI Cirebon

Latihan :

Jelaskan dan gambarkan selang – selang berikut :

1. 53 x

2. 62 x

3. 04 x

4. 05 x

5. 32 x

6. 5x

7. 2x

8. 0x

9. 1x

10. 3x

5. Nilai Mutlak

Lambang x menyatakan nilai mutlak bilangan x , yang didefinisikan sebagai :

a. xx , jika 0x

b. 0x , jika 0x

c. xx , jika 0x

d. Atau bisa juga ditulis

0,

0,

jika

jika

x

x

x

xx atau

0;

,

,

a

abx

abx

bax

baxbax

Secara geometris nilai mutlak dari x adalah jarak antara x terhadap titik 0 pada garis

bilangan, sehingga nilai mutlak dari setiap bilangan selalu bernilai positif. Sebagai contoh

333 , 23553 dan axax jika ax dan xaax jika ax .

Sifat – sifat nilai mutlak :

a. 2xx ; 22 yxyx

b. axaax

c. axaxax atau

d. xyyx ; yxxy ; y

x

y

x , 0y

e. yxyx ; yxyx

f. yxyx ; yxyx

Page 4: Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]

Kalkulus 1

Sandy Eka Permana, ST - 4 - STMIK IKMI Cirebon

6. Akar Kuadrat

Misalkan 0x , maka akar kuadrat dari x , ditulis x , adalah bilangan riil non

negatif a , sehingga xa 2 . Secara umum bila Rb , maka bb 2 . Sebagai contoh

39 dan 442

7. Sistem Koordinat Cartesius

Sistem koordinat kartesius dipelopori oleh Pierre de Fermat (1629) dan Renè

Descartes (1637). Sumbu horizontal dinamakan sumbu x (absis) dan sumbu vertikal

dinamakan sumbu y (ordinat). Setiap pasangan terurut bilangan ba, dapat digambarkan

sebagai sebuah titik pada koordinat tersebut dan sebaliknya, setiap titik pada bidang koordinat

kartesius berkorespondensi dengan satu buah pasangan bilangan ba, .

Misalkan pp yxP , dan qq yxQ , adalah dua titik pada bidang cartesius, maka jarak

antar dua buah titik tersebut adalah 22),( pqpq yyxxQPd .

x

y

1 2 3 4-1-2-3-4 0

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

x

y

III

IVIII

Q (xq, y q)

P (xp, y p)

d (P, Q

)yq -

yp

xq - xp

Contoh 1 :

Gambarkan grafiknya dan hitunglah jarak antara titik P – Q. Jika P(3, –2) dan Q(–4, 6).

Jawab :

Perhatikan gambar berikut :

Page 5: Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]

Kalkulus 1

Sandy Eka Permana, ST - 5 - STMIK IKMI Cirebon

x

y

2 4-2-4 0

2

4

-2

-4

6-6

6

P (3, -2)

Q (-4, 6)

1032634),(2222 pqpq yyxxQPd

Latihan :

Gambarkan grafiknya dan hitunglah jarak antara titik P – Q, P – R, P – S, Q – R, Q – S, dan R

– S. Jika :

1. P(4, –1); Q(–3, 7); R(2, 5); S(–5, –3)

2. P(1, –3); Q(–2, 1); R(5, 4); S(–6, –5)

3. P(1, 3); Q(–3, 5); R(–3, –3); S(5, –2)

4. P(–2, –4); Q(4, –8); R(1, 0); S(0, –1)

8. Garis Lurus

Bentuk umum garis lurus adalah 0 CByAx , dengan A , B dan C adalah

konstanta bilangan riil. Grafik dari fungsi tersebut berupa garis lurus yang melalui dua buah

pasangan titik yx, yang memenuhi persamaan tersebut.

Sifat – sifat garis lurus :

a. Jika 0A , maka persamaannya berbentuk B

Cy

dan grafiknya sejajar sumbu x .

b. Jika 0B , maka persamaannya berbentuk A

Cx

dan grafiknya sejajar sumbu y .

c. Jika 0A dan 0B , grafiknya berupa garis miring dengan kemiringan B

A dan

C adalah perpotongan garis dengan sumbu y . Untuk persamaan garis bmxy ,

kemiringannya adalah m dan perpotongan garis dengan sumbu y adalah b .

Page 6: Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]

Kalkulus 1

Sandy Eka Permana, ST - 6 - STMIK IKMI Cirebon

x

y

(x1, y 1)

(x2, y 2)

Ax + By + C = 0

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik 11, yx dan 22 , yx adalah

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

dengan kemiringan

12

12

xx

yym

. Sedangkan persamaan garis lurus dengan

kemiringan m dan melalui titik 11, yx adalah 11 xxmyy .

Jika ada dua buah garis lurus 1 dan 2 dengan kemiringan 1m dan 2m , maka :

a. Kedua garis tersebut sejajar jika 21 mm .

b. Kedua garis tersebut saling tegak lurus jika 121 mm .

Contoh 1 :

Tentukan persamaan garis lurus dengan kemiringan 3 dan melewati titik (2, 1).

Jawab :

5323111 xyxyxxmyy

Contoh 2 :

Tentukan persamaan garis lurus yang melewati titik (–5, –13) dan (5, 17).

Jawab :

2355

5

1317

13

12

1

12

1

xy

xy

xx

xx

yy

yy

Contoh 3 :

Tentukan persamaan garis lurus yang tegak lurus garis 231 xy dan melewati titik (–3, –

7).

Jawab :

31

1 m , karena kedua garis tegak lurus, maka 311 2231

21 mmmm

23337222 xyxyxxmyy

Contoh 4 :

Tentukan persamaan garis lurus yang sejajar garis 085 yx dan melewati titik (0, 5).

Page 7: Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]

Kalkulus 1

Sandy Eka Permana, ST - 7 - STMIK IKMI Cirebon

Jawab :

585 1 mxy , karena kedua garis sejajar, maka 5221 mmm

55055222 xyxyxxmyy

Latihan :

Tentukan persamaan garis lurus berikut :

1. Melewati titik (–4, 0) dan (0, –2)

2. Melewati titik (0, –2) dan (2, –3)

3. Melewati titik (4, 3) dan (6, 2)

4. Sejajar garis 073 yx dan melewati titik (–1, –1)

5. Sejajar garis 584 yx dan melewati titik (2, –3)

6. Sejajar garis yxyx 664 dan melewati titik (2, 4)

7. Sejajar garis yyx 2812 dan melewati titik (–1, 6)

8. Tegak lurus garis 52 yx dan melewati titik (4, –4)

9. Tegak lurus garis 724 yx dan melewati titik (6, 2)

10. Tegak lurus garis 26 yx dan melewati titik (2, –12)

9. Polinomial / Suku Banyak

Bentuk umum adalah 01

2

2

1

1 axaxaxaxaxpy n

n

n

n

, dengan

Nn , 011 ,,,, aaaa nn adalah konstanta bilangan riil (disebut koefisien dari polinom) dan

x adalah bilangan riil yang belum ditentukan (variabel). Derajat polinom adalah nilai n

terbesar yang koefisiennya tidak nol. Bilangan riil t disebut akar dari polinom xp bila

0tp .

Polinom linear/derajat satu : baxxpy , 0a . Akarnya adalah a

bx

.

Sedangkan polinom kuadrat/derajat dua : cbxaxxpy 2 , 0a . Akar – akarnya

adalah a

Dbx

21

dan

a

Dbx

22

dengan acbD 42 .

Disini ada tiga kemungkinan akar, yaitu :

a. 0D , maka ada dua akar riil yang berbeda 21 xx .

b. 0D , maka ada dua akar riil kembar 21 xx .

Page 8: Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]

Kalkulus 1

Sandy Eka Permana, ST - 8 - STMIK IKMI Cirebon

c. 0D , maka tidak ada akar riil.

Koefisien a menentukan kecekungan grafiknya. Bila 0a grafik cekung ke atas

(membuka ke atas) sebaliknya bila 0a grafik cekung ke bawah. Bila 0D dan 0a ,

maka polinom disebut definit positif (grafik di atas sumbu x ) dan bila 0D dan 0a ,

maka polinom disebut definit negatif (grafik di bawah sumbu x ).

x

ya < 0, D > 0

x

ya < 0, D = 0

x

ya < 0, D < 0

x

ya > 0, D > 0

x

ya > 0, D = 0

x

ya > 0, D < 0

Contoh 1 :

Tentukan akar dari 22 xy .

Page 9: Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]

Kalkulus 1

Sandy Eka Permana, ST - 9 - STMIK IKMI Cirebon

Jawab :

Derajat polinom adalah 1 dan akarnya adalah

12

20220

a

bxxy

Contoh 2 :

Tentukan akar dari 322 xxy .

Jawab :

Derajat polinom adalah 2 dan akar – akarnya adalah :

0320 2 xxy

21

2

162

12

31422

2

422

2,1

a

acbbx

31 x dan 12 x

Contoh 3 :

Tentukan akar dari 863 23 xxxy .

Jawab :

Derajat polinom adalah 3 dan akar – akarnya adalah :

08630 23 xxxy

Kita akan mencoba nilai 1x , kemudian substisusikan nilai 1x ke dalam persamaan,

sehingga menjadi 1081613123

. Karena hasilnya tidak sama dengan 0, maka

nilai 1x tersebut bukan akar yang dimaksud.

Kita akan mencoba nilai 1x , kemudian substisusikan nilai 1x ke dalam persamaan,

sehingga menjadi 081613123

. Karena hasilnya sama dengan 0, maka nilai

11 xx tersebut adalah salah satu akar yang dimaksud, dan persamaan di atas dapat

kita tulis menjadi 01 2 baxxx .

Selanjutnya kita gunakan synthetic division untuk mencari faktor – faktor yang lain.

Sebelumnya, kita ambil koefisien dari persamaan awal yaitu 1, –3, –6 dan 8. Nilai tersebut

dan 1x ditulis di tabel pada baris pertama seperti berikut :

1 –3 –6 8 1x

Kemudian, angka 1 pada baris pertama kolom pertama diturunkan ke baris ketiga kolom

pertama. Lalu, angka 1 tersebut kita kalikan dengan 1x dan hasilnya dituliskan di baris

Page 10: Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]

Kalkulus 1

Sandy Eka Permana, ST - 10 - STMIK IKMI Cirebon

kedua kolom kedua. Langkah selanjutnya, baris pertama kolom kedua ditambah baris kedua

kolom kedua dan hasilnya ditulis di baris ketiga kolom kedua. Begitu seterusnya hingga baris

ketiga kolom keempat terisi. Perhatikan tabel berikut :

1 –3 –6 8 1x

1 –2 –8

1 –2 –8 0

Jadi, persamaannya menjadi 0821 2 xxx . Persamaan 822 xx kita cari akar –

akarnya menggunakan rumus abc , dan didapat 2x dan 4x . Sehingga persamaan

08630 23 xxxy jika difaktorkan menjadi 0421 xxx dan akar –

akarnya adalah 1x , 2x dan 4x .

Latihan :

Tentukan derajat polinom dan akar – akar dari fungsi – fungsi berikut :

1. 3 xy

2. 93 xy

3. 322 xxy

4. 522 xxy

5. 673 xxy

6. 2425 23 xxxy

7. xxxxy 2425 234

8. 12872 234 xxxxy

9. 1241553 2345 xxxxxy

10. 487620158 2345 xxxxxy

10. Pertidaksamaan

Kita sering kali menghadapi suatu pertidaksamaan (dalam x ) dan menyelesaikan

suatu pertidaksamaan dalam x berarti menentukan himpunan semua nilai x yang memenuhi

pertidaksamaan itu (yang membuat pertidaksamaan menjadi suatu pertidaksamaan yang

benar). Himpunan semua nilai x yang memenuhi suatu pertidaksamaan disebut sebagai

himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Bentuk umum pertidaksamaan adalah

xBxA , dimana xA dan xB adalah fungsi polinom dan tanda < dapat juga berupa ≤,

> dan ≥. Sedangkan untuk pertidaksamaan rasional bentuk umumnya adalah

xD

xC

xB

xA ,

dimana xA , xB , xC dan xD adalah fungsi polinom dan tanda < dapat juga berupa ≤,

> dan ≥.

Langkah – langkah menyelesaikan pertidaksamaan rasional :

a. Tentukan daerah definisi dari pertidaksamaan tersebut.

Page 11: Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]

Kalkulus 1

Sandy Eka Permana, ST - 11 - STMIK IKMI Cirebon

b. Tambahkan kedua ruas dengan xD

xC sehingga diperoleh bentuk

0xQ

xP.

c. Faktorkan xP dan xQ atas faktor – faktor linear dan kuadrat definit.

d. Gambarkan garis bilangan riil dan tandai akar – akar dari xP dan xQ .

e. Pada setiap subinterval yang terbentuk, ambil satu buah titik dan periksa tanda dari

xQ

xP.

- + - +

f. Simpulkan solusi dari pertidaksamaan tersebut.

Contoh 1 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 62 xx .

Jawab :

1) Tambahkan kedua ruas dengan –6, sehingga menjadi :

062 xx

2) Untuk sementara tanda < kita abaikan, kemudian faktorkan 062 xx , menjadi :

2,3023 21 xxxx

3) Gambarkan garis bilangan :

-3 2

4) Perhatikan interval 3x , 23 x dan 2x :

Untuk 3x , misal 4x , maka 6442

(tidak memenuhi)

Untuk 23 x , misal 0x , maka 6002

(memenuhi)

Untuk 2x , misal 3x , maka 6332

(tidak memenuhi)

-3 2

+ + ++++

5) Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan 62 xx adalah 23| xRx .

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 32

1

x

x

x

x.

Page 12: Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]

Kalkulus 1

Sandy Eka Permana, ST - 12 - STMIK IKMI Cirebon

Jawab :

1) Tambahkan kedua ruas dengan 3

x

x, sehingga menjadi :

06

3220

32

12

2

xx

xx

x

x

x

x

2) Untuk sementara tanda ≥ kita abaikan, kemudian faktorkan pembilang dan penyebut.

Untuk 0322 2 xx , karena 0D dan 0a , polinom disebut definit positif berarti

kurva berada di atas sumbu x .

Untuk 3,203206 21

2 xxxxxx

3) Gambarkan garis bilangan :

-3 2

4) Perhatikan interval 3x , 23 x dan 2x :

Interval yang terbentuk adalah interval terbuka, karena jika interval tertutup maka akan

menghasilkan penyebut nol (tidak terdefinisikan).

Untuk 3x , misal 4x , maka

7

4

6

3

34

4

42

14

(tidak memenuhi)

Untuk 23 x , misal 0x , maka

3

0

2

1

30

0

02

10

(memenuhi)

Untuk 2x , misal 3x , maka

6

3

1

4

33

3

32

13

(tidak memenuhi)

-3 2

+ + +

5) Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan 32

1

x

x

x

x adalah 23| xRx .

Contoh 3 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 372 x .

Jawab :

1) Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak, usahakan

menghilangkan nilai mutlaknya terlebih dahulu sehingga pertidaksamaannya menjadi

372 x dan 372372 xx .

2) Setelah nilai mutlaknya hilang, kemudian kita selesaikan satu per satu. Setelah itu, cari

irisan dari HP kedua pertidaksamaan tersebut.

Page 13: Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]

Kalkulus 1

Sandy Eka Permana, ST - 13 - STMIK IKMI Cirebon

3) Untuk pertidaksamaan 042372 xx :

2042 xx

2

Perhatikan selang 2x dan 2x .

Untuk 2x , misal 1x , maka 3712 (tidak memenuhi)

Untuk 2x , misal 3x , maka 3732 (memenuhi)

2

+ ++

HP 2| xRx

4) Untuk pertidaksamaan 0102372 xx :

50102 xx

5

Perhatikan selang 5x dan 5x .

Untuk 5x , misal 4x , maka 3742 (memenuhi)

Untuk 5x , misal 6x , maka 3762 (tidak memenuhi)

5

+ ++

HP 5| xRx

5) Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan 372 x adalah 52| xRx

5

2

Latihan :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :

1. 1532 xx

2. xx 2

3. 01323 xxx

4. 62 2 xx

5. 4625 x

6. 332 xx

7. 1055 x

8. 11 x

9. 34

2

x

x

10. 4

1215

3

23

xx