Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]
-
Upload
089697859631 -
Category
Technology
-
view
129 -
download
5
Transcript of Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]
Kalkulus 1
Sandy Eka Permana, ST - 1 - STMIK IKMI Cirebon
BAB I
BILANGAN RIIL
1. Himpunan Bilangan Riil
Himpunan bilangan riil sering dinyatakan R . Bilangan riil adalah sekumpulan
bilangan rasional dan irrasional. Bilangan rasional sebagai bilangan yang dapat dinyatakan
dalam bentuk b
a, dengan a dan b adalah bilangan bulat dan 0b . Dengan demikian
bilangan rasional dapat berupa bilangan bulat, bilangan yang dapat dinyatakan dengan
pecahan atau bentuk desimal, dan campurannya.
Yang termasuk dalam bilangan riil adalah :
a. N = Himpunan bilangan asli : 1, 2, 3, ……
b. Z = Himpunan bilangan bulat : ……, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ……
c. Q = Himpunan bilangan rasional : b
a, dengan a dan b adalah bilangan bulat, dan
0b
d. Ir = Himpunan bilangan irrasional : 4142,12 dan 14159,3
2. Sifat – Sifat Medan Bilangan Riil
Jika x , y dan z adalah bilangan riil, maka :
a. Sifat komutatif (pertukaran). xyyx dan yxxy .
b. Sifat asosiatif (pengelompokan). zyxzyx dan zxyyzx .
c. Sifat distributif (penyebaran). xzxyzyx , yaitu sifat penyebaran dari perkalian
terhadap penjumlahan.
d. Adanya unsur identitas (satuan). Terdapat bilangan riil berlainan 0 dan 1, sehingga
xx 0 dan xx 1 .
e. Adanya negatif atau invers terhadap penjumlahan. Untuk setiap bilangan riil x , ada
suatu bilangan riil yang dinamakan negatif dari x , dinyatakan dengan x sehingga
0 xx .
Kalkulus 1
Sandy Eka Permana, ST - 2 - STMIK IKMI Cirebon
f. Adanya kebalikan atau invers terhadap perkalian. Untuk setiap bilangan riil x , kecuali
0 ada suatu bilangan riil yang dinamakan kebalikan dari x , dinyatakan dengan 1x
atau x
1 sehingga 1
1
xx .
3. Sifat – Sifat Urutan Bilangan Riil
Jika x , y dan z adalah bilangan riil, maka :
a. Sifat trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan riil, maka pasti berlaku salah satu
yx , atau yx , atau yx .
b. Transitif. Jika yx dan zy , maka zx .
c. Penambahan. Jika yx , maka zyzx .
d. Perkalian. Jika z positif dan berlaku yx , maka yzxz . Dan jika z negatif dan
berlaku yx , maka yzxz .
4. Garis Bilangan
Bilangan riil dapat dinyatakan dalam suatu garis bilangan. Bilangan riil yang
bersesuaian dengan titik pada garis disebut koordinat pada garis tersebut.
Notasi selang di bawah ini akan sering dipakai :
Selang berhingga :
a. bxaRxba |, , (selang terbuka)
b. bxaRxba |, , (selang tertutup)
c. bxaRxba |, , (selang terbuka kanan)
d. bxaRxba |, , (selang terbuka kiri)
Selang tak hingga :
e. bxRxb |,
f. bxRxb |,
g. axRxa |,
h. axRxa |,
i. R ,
Kalkulus 1
Sandy Eka Permana, ST - 3 - STMIK IKMI Cirebon
Latihan :
Jelaskan dan gambarkan selang – selang berikut :
1. 53 x
2. 62 x
3. 04 x
4. 05 x
5. 32 x
6. 5x
7. 2x
8. 0x
9. 1x
10. 3x
5. Nilai Mutlak
Lambang x menyatakan nilai mutlak bilangan x , yang didefinisikan sebagai :
a. xx , jika 0x
b. 0x , jika 0x
c. xx , jika 0x
d. Atau bisa juga ditulis
0,
0,
jika
jika
x
x
x
xx atau
0;
,
,
a
abx
abx
bax
baxbax
Secara geometris nilai mutlak dari x adalah jarak antara x terhadap titik 0 pada garis
bilangan, sehingga nilai mutlak dari setiap bilangan selalu bernilai positif. Sebagai contoh
333 , 23553 dan axax jika ax dan xaax jika ax .
Sifat – sifat nilai mutlak :
a. 2xx ; 22 yxyx
b. axaax
c. axaxax atau
d. xyyx ; yxxy ; y
x
y
x , 0y
e. yxyx ; yxyx
f. yxyx ; yxyx
Kalkulus 1
Sandy Eka Permana, ST - 4 - STMIK IKMI Cirebon
6. Akar Kuadrat
Misalkan 0x , maka akar kuadrat dari x , ditulis x , adalah bilangan riil non
negatif a , sehingga xa 2 . Secara umum bila Rb , maka bb 2 . Sebagai contoh
39 dan 442
7. Sistem Koordinat Cartesius
Sistem koordinat kartesius dipelopori oleh Pierre de Fermat (1629) dan Renè
Descartes (1637). Sumbu horizontal dinamakan sumbu x (absis) dan sumbu vertikal
dinamakan sumbu y (ordinat). Setiap pasangan terurut bilangan ba, dapat digambarkan
sebagai sebuah titik pada koordinat tersebut dan sebaliknya, setiap titik pada bidang koordinat
kartesius berkorespondensi dengan satu buah pasangan bilangan ba, .
Misalkan pp yxP , dan qq yxQ , adalah dua titik pada bidang cartesius, maka jarak
antar dua buah titik tersebut adalah 22),( pqpq yyxxQPd .
x
y
1 2 3 4-1-2-3-4 0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
x
y
III
IVIII
Q (xq, y q)
P (xp, y p)
d (P, Q
)yq -
yp
xq - xp
Contoh 1 :
Gambarkan grafiknya dan hitunglah jarak antara titik P – Q. Jika P(3, –2) dan Q(–4, 6).
Jawab :
Perhatikan gambar berikut :
Kalkulus 1
Sandy Eka Permana, ST - 5 - STMIK IKMI Cirebon
x
y
2 4-2-4 0
2
4
-2
-4
6-6
6
P (3, -2)
Q (-4, 6)
1032634),(2222 pqpq yyxxQPd
Latihan :
Gambarkan grafiknya dan hitunglah jarak antara titik P – Q, P – R, P – S, Q – R, Q – S, dan R
– S. Jika :
1. P(4, –1); Q(–3, 7); R(2, 5); S(–5, –3)
2. P(1, –3); Q(–2, 1); R(5, 4); S(–6, –5)
3. P(1, 3); Q(–3, 5); R(–3, –3); S(5, –2)
4. P(–2, –4); Q(4, –8); R(1, 0); S(0, –1)
8. Garis Lurus
Bentuk umum garis lurus adalah 0 CByAx , dengan A , B dan C adalah
konstanta bilangan riil. Grafik dari fungsi tersebut berupa garis lurus yang melalui dua buah
pasangan titik yx, yang memenuhi persamaan tersebut.
Sifat – sifat garis lurus :
a. Jika 0A , maka persamaannya berbentuk B
Cy
dan grafiknya sejajar sumbu x .
b. Jika 0B , maka persamaannya berbentuk A
Cx
dan grafiknya sejajar sumbu y .
c. Jika 0A dan 0B , grafiknya berupa garis miring dengan kemiringan B
A dan
C adalah perpotongan garis dengan sumbu y . Untuk persamaan garis bmxy ,
kemiringannya adalah m dan perpotongan garis dengan sumbu y adalah b .
Kalkulus 1
Sandy Eka Permana, ST - 6 - STMIK IKMI Cirebon
x
y
(x1, y 1)
(x2, y 2)
Ax + By + C = 0
Persamaan garis lurus yang melalui dua titik 11, yx dan 22 , yx adalah
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
dengan kemiringan
12
12
xx
yym
. Sedangkan persamaan garis lurus dengan
kemiringan m dan melalui titik 11, yx adalah 11 xxmyy .
Jika ada dua buah garis lurus 1 dan 2 dengan kemiringan 1m dan 2m , maka :
a. Kedua garis tersebut sejajar jika 21 mm .
b. Kedua garis tersebut saling tegak lurus jika 121 mm .
Contoh 1 :
Tentukan persamaan garis lurus dengan kemiringan 3 dan melewati titik (2, 1).
Jawab :
5323111 xyxyxxmyy
Contoh 2 :
Tentukan persamaan garis lurus yang melewati titik (–5, –13) dan (5, 17).
Jawab :
2355
5
1317
13
12
1
12
1
xy
xy
xx
xx
yy
yy
Contoh 3 :
Tentukan persamaan garis lurus yang tegak lurus garis 231 xy dan melewati titik (–3, –
7).
Jawab :
31
1 m , karena kedua garis tegak lurus, maka 311 2231
21 mmmm
23337222 xyxyxxmyy
Contoh 4 :
Tentukan persamaan garis lurus yang sejajar garis 085 yx dan melewati titik (0, 5).
Kalkulus 1
Sandy Eka Permana, ST - 7 - STMIK IKMI Cirebon
Jawab :
585 1 mxy , karena kedua garis sejajar, maka 5221 mmm
55055222 xyxyxxmyy
Latihan :
Tentukan persamaan garis lurus berikut :
1. Melewati titik (–4, 0) dan (0, –2)
2. Melewati titik (0, –2) dan (2, –3)
3. Melewati titik (4, 3) dan (6, 2)
4. Sejajar garis 073 yx dan melewati titik (–1, –1)
5. Sejajar garis 584 yx dan melewati titik (2, –3)
6. Sejajar garis yxyx 664 dan melewati titik (2, 4)
7. Sejajar garis yyx 2812 dan melewati titik (–1, 6)
8. Tegak lurus garis 52 yx dan melewati titik (4, –4)
9. Tegak lurus garis 724 yx dan melewati titik (6, 2)
10. Tegak lurus garis 26 yx dan melewati titik (2, –12)
9. Polinomial / Suku Banyak
Bentuk umum adalah 01
2
2
1
1 axaxaxaxaxpy n
n
n
n
, dengan
Nn , 011 ,,,, aaaa nn adalah konstanta bilangan riil (disebut koefisien dari polinom) dan
x adalah bilangan riil yang belum ditentukan (variabel). Derajat polinom adalah nilai n
terbesar yang koefisiennya tidak nol. Bilangan riil t disebut akar dari polinom xp bila
0tp .
Polinom linear/derajat satu : baxxpy , 0a . Akarnya adalah a
bx
.
Sedangkan polinom kuadrat/derajat dua : cbxaxxpy 2 , 0a . Akar – akarnya
adalah a
Dbx
21
dan
a
Dbx
22
dengan acbD 42 .
Disini ada tiga kemungkinan akar, yaitu :
a. 0D , maka ada dua akar riil yang berbeda 21 xx .
b. 0D , maka ada dua akar riil kembar 21 xx .
Kalkulus 1
Sandy Eka Permana, ST - 8 - STMIK IKMI Cirebon
c. 0D , maka tidak ada akar riil.
Koefisien a menentukan kecekungan grafiknya. Bila 0a grafik cekung ke atas
(membuka ke atas) sebaliknya bila 0a grafik cekung ke bawah. Bila 0D dan 0a ,
maka polinom disebut definit positif (grafik di atas sumbu x ) dan bila 0D dan 0a ,
maka polinom disebut definit negatif (grafik di bawah sumbu x ).
x
ya < 0, D > 0
x
ya < 0, D = 0
x
ya < 0, D < 0
x
ya > 0, D > 0
x
ya > 0, D = 0
x
ya > 0, D < 0
Contoh 1 :
Tentukan akar dari 22 xy .
Kalkulus 1
Sandy Eka Permana, ST - 9 - STMIK IKMI Cirebon
Jawab :
Derajat polinom adalah 1 dan akarnya adalah
12
20220
a
bxxy
Contoh 2 :
Tentukan akar dari 322 xxy .
Jawab :
Derajat polinom adalah 2 dan akar – akarnya adalah :
0320 2 xxy
21
2
162
12
31422
2
422
2,1
a
acbbx
31 x dan 12 x
Contoh 3 :
Tentukan akar dari 863 23 xxxy .
Jawab :
Derajat polinom adalah 3 dan akar – akarnya adalah :
08630 23 xxxy
Kita akan mencoba nilai 1x , kemudian substisusikan nilai 1x ke dalam persamaan,
sehingga menjadi 1081613123
. Karena hasilnya tidak sama dengan 0, maka
nilai 1x tersebut bukan akar yang dimaksud.
Kita akan mencoba nilai 1x , kemudian substisusikan nilai 1x ke dalam persamaan,
sehingga menjadi 081613123
. Karena hasilnya sama dengan 0, maka nilai
11 xx tersebut adalah salah satu akar yang dimaksud, dan persamaan di atas dapat
kita tulis menjadi 01 2 baxxx .
Selanjutnya kita gunakan synthetic division untuk mencari faktor – faktor yang lain.
Sebelumnya, kita ambil koefisien dari persamaan awal yaitu 1, –3, –6 dan 8. Nilai tersebut
dan 1x ditulis di tabel pada baris pertama seperti berikut :
1 –3 –6 8 1x
Kemudian, angka 1 pada baris pertama kolom pertama diturunkan ke baris ketiga kolom
pertama. Lalu, angka 1 tersebut kita kalikan dengan 1x dan hasilnya dituliskan di baris
Kalkulus 1
Sandy Eka Permana, ST - 10 - STMIK IKMI Cirebon
kedua kolom kedua. Langkah selanjutnya, baris pertama kolom kedua ditambah baris kedua
kolom kedua dan hasilnya ditulis di baris ketiga kolom kedua. Begitu seterusnya hingga baris
ketiga kolom keempat terisi. Perhatikan tabel berikut :
1 –3 –6 8 1x
1 –2 –8
1 –2 –8 0
Jadi, persamaannya menjadi 0821 2 xxx . Persamaan 822 xx kita cari akar –
akarnya menggunakan rumus abc , dan didapat 2x dan 4x . Sehingga persamaan
08630 23 xxxy jika difaktorkan menjadi 0421 xxx dan akar –
akarnya adalah 1x , 2x dan 4x .
Latihan :
Tentukan derajat polinom dan akar – akar dari fungsi – fungsi berikut :
1. 3 xy
2. 93 xy
3. 322 xxy
4. 522 xxy
5. 673 xxy
6. 2425 23 xxxy
7. xxxxy 2425 234
8. 12872 234 xxxxy
9. 1241553 2345 xxxxxy
10. 487620158 2345 xxxxxy
10. Pertidaksamaan
Kita sering kali menghadapi suatu pertidaksamaan (dalam x ) dan menyelesaikan
suatu pertidaksamaan dalam x berarti menentukan himpunan semua nilai x yang memenuhi
pertidaksamaan itu (yang membuat pertidaksamaan menjadi suatu pertidaksamaan yang
benar). Himpunan semua nilai x yang memenuhi suatu pertidaksamaan disebut sebagai
himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Bentuk umum pertidaksamaan adalah
xBxA , dimana xA dan xB adalah fungsi polinom dan tanda < dapat juga berupa ≤,
> dan ≥. Sedangkan untuk pertidaksamaan rasional bentuk umumnya adalah
xD
xC
xB
xA ,
dimana xA , xB , xC dan xD adalah fungsi polinom dan tanda < dapat juga berupa ≤,
> dan ≥.
Langkah – langkah menyelesaikan pertidaksamaan rasional :
a. Tentukan daerah definisi dari pertidaksamaan tersebut.
Kalkulus 1
Sandy Eka Permana, ST - 11 - STMIK IKMI Cirebon
b. Tambahkan kedua ruas dengan xD
xC sehingga diperoleh bentuk
0xQ
xP.
c. Faktorkan xP dan xQ atas faktor – faktor linear dan kuadrat definit.
d. Gambarkan garis bilangan riil dan tandai akar – akar dari xP dan xQ .
e. Pada setiap subinterval yang terbentuk, ambil satu buah titik dan periksa tanda dari
xQ
xP.
- + - +
f. Simpulkan solusi dari pertidaksamaan tersebut.
Contoh 1 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 62 xx .
Jawab :
1) Tambahkan kedua ruas dengan –6, sehingga menjadi :
062 xx
2) Untuk sementara tanda < kita abaikan, kemudian faktorkan 062 xx , menjadi :
2,3023 21 xxxx
3) Gambarkan garis bilangan :
-3 2
4) Perhatikan interval 3x , 23 x dan 2x :
Untuk 3x , misal 4x , maka 6442
(tidak memenuhi)
Untuk 23 x , misal 0x , maka 6002
(memenuhi)
Untuk 2x , misal 3x , maka 6332
(tidak memenuhi)
-3 2
+ + ++++
5) Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan 62 xx adalah 23| xRx .
Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 32
1
x
x
x
x.
Kalkulus 1
Sandy Eka Permana, ST - 12 - STMIK IKMI Cirebon
Jawab :
1) Tambahkan kedua ruas dengan 3
x
x, sehingga menjadi :
06
3220
32
12
2
xx
xx
x
x
x
x
2) Untuk sementara tanda ≥ kita abaikan, kemudian faktorkan pembilang dan penyebut.
Untuk 0322 2 xx , karena 0D dan 0a , polinom disebut definit positif berarti
kurva berada di atas sumbu x .
Untuk 3,203206 21
2 xxxxxx
3) Gambarkan garis bilangan :
-3 2
4) Perhatikan interval 3x , 23 x dan 2x :
Interval yang terbentuk adalah interval terbuka, karena jika interval tertutup maka akan
menghasilkan penyebut nol (tidak terdefinisikan).
Untuk 3x , misal 4x , maka
7
4
6
3
34
4
42
14
(tidak memenuhi)
Untuk 23 x , misal 0x , maka
3
0
2
1
30
0
02
10
(memenuhi)
Untuk 2x , misal 3x , maka
6
3
1
4
33
3
32
13
(tidak memenuhi)
-3 2
+ + +
5) Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan 32
1
x
x
x
x adalah 23| xRx .
Contoh 3 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 372 x .
Jawab :
1) Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak, usahakan
menghilangkan nilai mutlaknya terlebih dahulu sehingga pertidaksamaannya menjadi
372 x dan 372372 xx .
2) Setelah nilai mutlaknya hilang, kemudian kita selesaikan satu per satu. Setelah itu, cari
irisan dari HP kedua pertidaksamaan tersebut.
Kalkulus 1
Sandy Eka Permana, ST - 13 - STMIK IKMI Cirebon
3) Untuk pertidaksamaan 042372 xx :
2042 xx
2
Perhatikan selang 2x dan 2x .
Untuk 2x , misal 1x , maka 3712 (tidak memenuhi)
Untuk 2x , misal 3x , maka 3732 (memenuhi)
2
+ ++
HP 2| xRx
4) Untuk pertidaksamaan 0102372 xx :
50102 xx
5
Perhatikan selang 5x dan 5x .
Untuk 5x , misal 4x , maka 3742 (memenuhi)
Untuk 5x , misal 6x , maka 3762 (tidak memenuhi)
5
+ ++
HP 5| xRx
5) Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan 372 x adalah 52| xRx
5
2
Latihan :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :
1. 1532 xx
2. xx 2
3. 01323 xxx
4. 62 2 xx
5. 4625 x
6. 332 xx
7. 1055 x
8. 11 x
9. 34
2
x
x
10. 4
1215
3
23
xx