TAJUK 4KAMIRAN

4.1 Sinopsis

Topik ini memberi pendedahan kepada pelajar tentang dua konsep kamiran iaitu kamiran sebagai antiterbitan atau kamiran tak tentu dan kamiran sebagai hasil tambah ketakterhinggaan yang dikenali sebagai kamiran tentu. Seterusnya pelajar akan dapat memperlihatkan hubungan erat antara dua konsep tersebut dan beberapa teknik kamiran yang biasa digunakan.

4.2 Hasil Pembelajaran1.Menentukan kamiran tak tentu melalui antiterbitan.2.Mengira kamiran tentu dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus.3. Menentukan kamiran dengan pelbagai teknik

4.3 Kerangka Tajuk

Kamiran

Kamiran tak tentu dan Kamiran tentuAplikasi KamiranKonsep Antiterbitan

4.4 AntiterbitanOperasi untuk mencari suatu fungsi bila terbitannya diberi dinamakan antiterbitan. Ini ditunjukkan dalam takrif berikut:

Andaikata kita diberi suatu fungsi . Sekiranya kita boleh dapatkan satu fungsi sehinggakan = Maka tersebut dinamakan antiterbitan bagi .

Proses pencarian bagi fungsi ini disebut antiterbitan. Contoh:1. Jelaskan, 2. Jika , tentukan antiterbitannya.Penyelesaian :1. Maka dan , iaitu adalah antiterbitan kepada 2. Diberi

Ringkasnya,

Latihan :Tentukan fungsi antiterbitan bagi:1. = 4x3 6x2 + 5x + 72. = + + 3. = +

4.5 Kamiran Tak Tentu dan Kamiran Tentu4.5.1 Kamiran Tak TentuSet kesemua antiterbitan fungsi disebut kamiran tak tentu. Kamiran tak tentu disimbolkan denga notasi Dan dibaca sebagai kamiran (tak tentu) terhadap . Oleh itu sekiranya adalah antiterbitan, maka kita peroleh takrif berikut:

Takrif kamiran tak tentu bagi sebarang pemalar c, yang adalah antiterbitan

Jadual di bawah menunjukkan rumus kamiran fungsi piawaiRumus fungsi piawaiRumus fungsi piawai dengan pemalar

Contoh: Tentukan kamiran tak tentu bagi:1. 2. 3. 4. Penyelesaian: , dimana 2. 3. 4.

Latihan :Tentukan kamiran tak tentu berikut:1. 7. 2. 8. 3. 9. 4. 10. 5. 11. 6. 12.

4.5.1.1 Hukum Asas KamiranJika selanjar di dalam (a,b) dan adalah antiterbitan bagi fungsi dalam (a,b), maka dengan menggunakan takrif antiterbitan kita perolehi hukum kamiran berikut: 1. adalah pemalar 2. Hukum ini boleh dikembangkan untuk digunakan melebihi dua fungsi kamiranContoh :Cari kamiran tak tentu bagi fungsi berikut:1. 2. 3. Penyelesaian :1. 2. 3. Latihan:Cari kamiran tak tentu :1. 7. 2. 8.3. 9. 4. 10. 5. 11. 6.

4.5.1.2 Teknik KamiranPengamiran suatu fungsi tidak semestinya boleh terus didapati daripada fungsi-fungsi asas maka perlunya teknik-teknik berikut digunakan bagi menyelesaikan kamiran fungsi tertentu.

(a) Kaedah GantianKaedah ini menukarkan bentuk fungsi kepada bentuk piawai fungsi kamiran. Terdapat dua jenis gantian yang boleh digunakan samada gantian ungkapan algebra atau gantian fungsi trigonometri. Dengan menggantikan sebagai dan maka kita perolehi

Contoh:Kamirkan fungsi berikut:1. 2. Penyelesaian:1. Gantikan , maka Gantikan ke dalam 2. Gantikan , maka iaitu Seterusnya gantikan

Latihan :Dengan menggunakan kaedah gantian, tentukan nilai kamiran berikut:1. 5. 2. 6. 3. 7. 4. 8.

(b) Kaedah BerperingkatSekiranya dan adalah fungsi yang terbezakan, maka pembezaan hasil darab mengikut rumus ialah:

Dengan mengkamirkan kedua-dua belah persamaan, kite perolehi

iaitu Oleh itu, rumus kamiran berperingkat ialah:

Contoh: Kamirkan:1. 2. Penyelesaian :1. Ambil Maka Oleh itu ; 2. Gantikan, Ulangi kaedah ini untuk kamiran di sebelah kanan Oleh itu ;

Latihan :Dengan menggunakan kaedah berperingkat, dapatkan nilai kamiran berikut:1. 2. 3. 4.

(c) Kaedah Pecahan SeparaBerikutnya, lihat kamiran berbentukYang mana dan adalah fungsi polinomial, dan darjah kurang dari Syarat:Sekiranya darjah melebihi atau sama dengan , maka perlulah dibahagi dengan . Ini bergantung sama ada boleh diungkapkan sebagai hasil darab linear dan kuadratik.

Jenis polinomial dan pecahansepara

Kes 1:

Kes 2 :

Kes 3 :

Contoh :1. Tentukan , yang dan dalam bentuk pecahan separa dan kemudian tentukan antiterbitannyaPenyelesaian:

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan kita peroleh Bila , Bila Bila Oleh itu,

2. Tentukan nilai

Penyelesaian : Bila Bila

Untuk mendapatkan nilai andaikan lalu kita peroleh Oleh itu ; Sebab bila Dan bila Latihan: Dengan menggunakan kaedah pecahan separa, dapatkan nilai kamiran berikut:1. 3. 2. 4.

4.5.2 Kamiran TentuPertimbangkan fungsi selanjar dalam selang maka kamiran dalam selang ini disebut kamiran tentu dan notasi yang digunakan ialah , jika had ini wujudTeorem 4.1 (Teorem Asas Kalkulus)

Jika selanjar pada selang dan adalah antiterbitan bagi dalam selang tertutup , maka

Nilai dikatakan kamiran dan nilai adalah kamiran.Sifat-sifat Kamiran TentuJika dan adalah selanjar pada selang 1. jika 2. jika 3. jika suatu pemalar4. bagi sebarang pemalar 5. 6. Jika boleh dikamirkan dalam selang tertutup yang mengandungi dan , , jika 7. Teorem Nilai Min : Jika fungsi selanjar pada selang , maka wujud suatu nombor dalam supaya

Contoh ;

Nilaikan a) b)

Penyelesaian :

a) b) 4.6 Aplikasi Kamiran4.6.1 Luas Rantau

Jika selanjar dalam selang [a,b] dan pertimbangkan rantau R di bawah garis lengkung . Lukis satu garis menerusi rantau di sebarang titik , yang menyambungkan sempadan-sempadan bahagian atas dan bawah rantau. Garis ini di panggil keratan rentas. Garis ini di gerakkan ke kanan dan ke kiri (atau dari atas ke bawah) iaitu dari kedudukan terendah ke kedudukan tertinggi nilai (atau nilai ).

i) Jika , (graf berada di atas paksi x) maka luas graf y = f(x) dari kepada , di dalam kawasan dibendung oleh paksi ialah

Luas keratan

Pertimbangkan satu keratan rentas yang selari dengan paksi-y. Luas keratan rentas ini ialah di mana berada dalam selang .

Maka luas di bawah graf adalah hasil tambah keratan rentas iaitu

Luas =

ii) Jika , (graf berada di bawah paksi ), maka luas bagi graf y = f(x) dari kepada , di dalam kawasan dibendung oleh paksi ialah

Keratan rentas

Luas keratan rentas ialah

Maka luas di bawah graf ialah

Luas =

iii) Keratan rentasLuas yang dibendung di antara dua graf fungsi dan , bagi nilai kepada ialah

Luas keratan rentas ialah

Maka luas kawasan terbendung pada rajah di atas ialah

= Type equation here.

Kaedah yang sama boleh digunakan untuk keratan rentas yang selari dengan paksi dan diperolehi

Keratan rentas

Luas keratan rentas . Maka luas bagi kawasan yang terbendung dalam rajah di atas ialah

Luas =

Contoh:Dapatkan luas rantau yang disempadani oleh graf dan seperti pada rajah berikut

2

Penyelesaian:

Contoh:Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh graf , paksi- dan garis garis x = 2 dan x = 4 seperti pada rajah berikut :

Penyelesaian:

Kita akan dapat jawapan yang silap jika luas itu kita hitung kerana kamiran itu memberikan luas aljabar bukannya luas sebenar. Luas sebenar ialah

Sebab dalam selang sebenar [2,3] garis y = 0 adalah lebih besar dari lengkung y = x ( x 3 ) manakala yang sebaliknya berlaku dalam selang [3,4]. Oleh itu, luas sebenar ialah

Latihan:1.Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh setiap graf pada rajah di bawah.

)

)

))

f

2. Cari luas yang dibatasi oleh lengkung dan paksi x.3. Cari luas yang dibatasi oleg lengkung dan paksi dan garis .4. Cari luas yang dibatasi oleh lengkung yang diberikan :

4.6.2 Isipadu BongkahBab ini akan membincangkan bagaimana mendapatkan isi padu bongkah kisaran apabila satu rantau dalam koordinat kartesan dikisarkan. Selain itu kita juga ingin mencari isipadu satu bongkah yang keratan rentasnya tidak sekata (bukan berbentuk silinder}. Hirisan bongkah yang berserenjang dengan paksinya (samada paksi-x atau paksi-y) menjadi n keping hirisan dan isipadu bongkah adalah hasil tambah hirisan ini. Hasil tambah Riemann seterusnya digunakan untuk mendapatkan penghampiran tepat kepada isipadu bongkah.

(A) Isipadu Bongkah Hirisan

Contoh 1:Tapak satu bongkah adalah satu bulatan dengan jejari 4 unit. Keratan rentas bongkah berserenjang dengan paksi x memberntuk segi tiga sama dengan ketinggian 2 unit. Cari isi padu bongkah tersebut.

Keratan rentas berserenjang dengan paksi - xPenyelesaian:

Luas hirisan segi tiga sama ialah

Maka

Isi padu =

Gunakan kaedah kamiran gentian trigonometri kita perolehi

Perhatian :

Jika diberikan keratan rentas dengan paksi y adalah satu segi tiga maka gunakan rumus yang kedua iaitu:

Luas keratan rentas dimana .

Isipadu bongkah ialah

Jawapan yang diperoleh adalah berbeza kerana isipadu bongkah hirisan yang diberikan dalam rajah yang pertama adalah berbeza dengan isipadu bongkah hirisan yang diberikan olah rajah yang kedua.

CONTOH 2Satu bongkah mempunyai tapak berbentuk bulatan dengan jejari 4 unit. Cari isipadu bonglah tersebut jika keratan rentas yang berserenjang dengan diameter bulatan membentuk segi tiga sama dengan sisinya berada atas tapak bongah tersebut.

PENYELESAIAN:

Luas keratan rentas ialah

Maka isipadu bongkah ialah

LATIHAN

1. Tapak sebuah bongkah berbentuk separuh bulatan berjejari 4 unit. Keratan rentas berseranjang dengan diameter adalah merupakan segi tiga tepat bertapak sama. Cari isipadu bongkah ini.2. Tapak sebuah bongkah dibatasi oleh lengkung dan . Jika keratan rentas berserenjang dengan paksi y membentuk segi empat sama, cari isipadu bongkah ini.3. Tapak sebuah bongkah yang berbentuk bulatan . Setiap keratan rentasnya berbentuk segi tiga sama. Cari isi padu bongkah ini.

(B) ISIPADU KISARAN

Katakan selanjar dalam selang [ a, b ] dan positif. Jika kawasan R dikisarkan di sebarang garis maka satu bongkah akan terjana. Jika R dikisarkan pada paksi x (atau garis yang selari dengan paksi x ), isipadu kisarannya boleh ditentukan dengan cara berikut:Pertimbangkan satu segi empat tepat dalam rantau yang diberikan. Jika ialah sebarang nombor dalam subselang maka kita perolehi satu segi empat yang lebarnya ialah dan panjangnya .Apabila segi empat tepat ini dikisarkan pada paksi x maka terbentuk satu cakera membulat dengan jejari dan tebalnya . Hasil tambah semua isipadu cakera ini adalah Apabila makaIsipadu Garis di mana rantau dikisar dinamakan paksi kisaran.

(i) KAEDAH CAKERA

(a) Paksi x sebagai paksi kisaran

jejari

Isipadu cakera

Isipadu =

CONTOH 3Rantau yang dibatasi oleh , paksi x dan paksi y dikisarkan pada paksi x di antara x =0 hingga x = 2. Dapatkan isipadu bongkah yang terhasil.

PENYELESAIAN:

CONTOH 4 Dapatkan isipadu pepejal yang terjana apabila dikisarkan pada paksi x.

Isipadu PENYELESAIAN:

(b) Paksi y sebagai paksi kisaranCara yang sama jika rantau R dikisar pada paksi-y maka satu pepejal akan diperolehi.

Isipadu cakera

jejari

Maka isipadu rantau yang dikisarkan pada paksi y adalah

Isipadu

CONTOH 5

Dapatkan isipadu pepejal yang diperolehi apabila rantau yang terbendung oleh lengkung dikisarkan pada paksi-y.

PENYELESAIAN:

Isipadu

(ii) KAEDAH WASHER (CAKERA BERLUBANG)

Pertimbangkan dua fungsi dan selanjar dalam selang [a, b]. Jika rantau R yang dibatasi oleh dan dan (seperti rajah di bawah) dikisar pada paksi x atau garis selari dengan paksi x maka kita perolehi satu pepejal berbentuk cakera lubang.

R jejari luar , r jejari dalam

Isipadu cakera berlubang ini ialah .

Iaitu isipadu cakera besar yang ditolakkan dengan isipadu cakera yang kecil. Maka isipadu pepejal kisaran adalah

CONTOH 6Rantau di antara garis dan lengkung diputar pada garis . Dapatkan isipadu pepejal yang terhasil.

PENYELESAIAN:

Isipadu keratan rentas

Maka

CONOTH 7

Cari isipadu bongkah jika kawasan yang dibendung oleh dan pada paksi x sekeliling garis .

Isipadu kisaran

CONTOH 8

Cari Isipadu bongkah terjana apabila rantau yang dibatasi dan dikisarkan pada paksi y.

PENYELESAIAN:

Selesaikan persamaan untuk mendapatkan titik persilangan di antara graf terlebih dahulu

Maka titik persilanga ialah (1, -1) dan (4, 2)

(iii) KAEDAH PETALA SILINDER

Katakan selanjar pada selang [a, b] dan bagi semua x dalam selang. Rantau R lihat rajah dibawah yang dibatasi oleh lengkung , paksi x, garis tegak dan dikisarkan pada suatu garis, maka satu bongkah akan terjana. Bongkah ini berbentuk silinder membulat berlubang ( silinder tipis atau petala)

(a) Isipadu melibatkan satu lengkung

Pertimbangkan rantau R yang dibatsai lengkung seperti rajah dibawah dikisarkan pada paksi y. Diketahui isipadu hirisan satu silinder yang terbentuk mempunyai jejari dalam r dan jejari luar R dan tinggi h ialah

Isipadu =

Isipadu =

Perhatikan: adalah tinggi silinder terbentuk dan jejari petala silinder ialah yang diperolehi dari jarak keratan rentas dari paksi kisaran.

Cara yang sama jika rantau R bagi dikisarkan pada paksi-y, isipadu yang terjana ialah .

CONTOH 9

Rantau yang di batasi garis dan dikisarkan pada paksi y . Dapatkan isipadu yang terjana.

PENYELESAIAN:

Isipadu

Perhatikan sekiranya keratan rentas selari dengan paksi x diambil kaedah cakera berlubang perlu digunakan :

Isipadu =

Perhatikan :

Bagi soalan ini kaedah cakera lebih mudah perkiraannya kerana hanya melibatkan satu kamiran mudah sahaja.

(a) Isipadu melibatkan dua lengkung

Jika R dikisarkan pada paksi y (atau garis lain yang selari dengan paksi kisaran), isipadu kisaran ini ialah

CONTOH 10

Cari isipadu bongkah jika kawasan yang dibendung oleh dan dikisarkan sekeliling paksi y.

PENYELESAIAN:

Isipadu kisaran ialah

Perhatikan:

Kaedah cakera berlubang juga boleh digunakan jika keratan rentas selari dengan paksi x diambil :

CONTOH 11Kawasan yang terbatas di antara lengkung dan dikisarkan pada paksi y. Dapatkan isipadu pepejal yang terjana.

Cari titik persilangan dua graf ini dahulu:

Maka titik persilangan ialah (0,0) dan (-2,4).Gunakan keratan rentas selari dengan paksi y. Kaedah petala silinder digunakan :

Isipadu

Perhatikan: Kamiran menggunakan keratan rentas selari dengan paksi x lebih sukar jika digunakan. Kenapa?Latihan1. Tentukan nilai kamiran tertentu

a) b)

2. Lakar dan dapatkan luas rantau yang disempadani lengkung dan garis berikut:a) dan paksi-xb) dan paksi x

3. Lakarkan dan dapatkan luas rantau di antara lengkung dan garis berikut.a) dan b) dan

4. Cari isipadu bongkah terjana apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung yang dinyatakan dikisar pada paksi x.a) dan b) dan c) dan d) dan e) dan f) dan paksi x

5. Cari isipadu terjana apabila rantau yang dibatasi oleh parabola dan dikisarkan sekitar paksi y.6. Cari isipadu pepejal yang diterima jika rantau yang dibatasi oleh , paksi-x, dan dikisarkan pada garis

7. Dapatkan isipadu pepejal jika rantau yang terbatas oleh lengkung, paksi-x dan paksi-y dikisarkan pada paksi-x.

8. Dapatkan isipadu pepejal jika rantau yang terbatas pada rajah dalam soalan (7 (a) , 7 (b)) dikisarkan

(a) Paksi y(b) Garis x = 2(c) Garis y = 3

9. Cari isipadu pepejal yang terjana apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung dan dikisarkan sekitar paksi x.

10. Cari isipadu pepejal yang terjana apabila rantau dan dikisarkan sekitar paksi x.11. Lakarkan rantau yang dibatasi oleh lengkung dan Dapatkan

a) Luas rantau diantara lengkungb) Isipadu pepejal yang terjana apabila rantau dikisar sekitar paksi x. c) Isipadu pepejal yang terjana apabila rantau dikisarkan sekitar garis

12. Gunakan kaedah petala silinder untuk mendapatkan isipadu yang terjana apabila rantau yang dibatasi oleh dan paksi x, paksi y dikisarkan pada garis .13. Cari isipadu bongkah yang terjana apabila rantau dibatasi oleh lengkung dan garis dan paksi x dikisarkan pada garis berikut :a) b) c)