KALKULUS BAB 2

BAB 2. DIFERENSIAL (TURUNAN)

,

A. Aturan Pencarian Turunan

.

A. Aturan Pencarian Turunan (Cont.)

Teorema 5. Aturan Jumlah

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan . (f + g)’(x)= f’(x) + g’(x) D[f(x) + g(x) =Df(x)+Dg(x)⇨ Teorema 6. Aturan Selisih

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan

(f - g)(x)= f’(x) - g’(x) D[f(x) - g(x)] = Df(x) - Dg(x)⇨

Contoh soal Diferensial Teorema 1 - 6

.

Jawaban contoh soal Diferensial

.

Soal Latihan/Kuis/PR

.

Aturan Pencarian Turunan (Cont.)

.

Contoh soal Diferensial Teorema 7 – 8

•

Jawaban Contoh soal Diferensial Teorema 7 – 8

•

Soal Latihan/Kuis/PR Teorema 7 – 8

B. Persamaan Diferensial

.

Persamaan Diferensial (cont.)

•

Soal Latihan/kuis/PR Persamaan Diferensial

.

C. Persamaan Diferensial Orde 1

.

Contoh Soal Persamaan Diferensial Variabel Terpisah

.

Jawaban Soal Persamaan Diferensial Variabel Terpisah

.

Soal Latihan/Kuis/PR

.

2. Persamaan Diferensial Homogen Orde 1

- Suatu persamaan diferensial dengan bentuk :

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

dikatakan homogen bila kedua koefisien M dan N fungsi homogen

dengan derajat yang sama.

- Definisi fungsi homogen :

bila suatu fungsi f mempunyai bentuk :

f(tx,ty) = tn f(x,y)

untuk n ∈ R maka f dikatakan sebuah fungsi homogen derajat ke-n.

----- Cont.

*) Suatu persamaan diferensial dengan bentuk :

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

dikatakan homogen bila kedua koefisien M dan N fungsi homogen

dengan derajat yang sama.

**) Definisi fungsi homogen :

bila suatu fungsi f mempunyai bentuk :

f(tx,ty) = tn f(x,y)

untuk n R maka f dikatakan sebuah fungsi homogen derajat ∈ ke-n

Misalnya

.

Metode Penyelesaian

Suatu persamaan diferensial homogen

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Dapat diselesaikan dengan substitusi aljabar, dengan substutusi

y= ux atau x = vy, dimana u dan v adalah variabel baru yg dapat

menyederhanakan persamaan tersebut menjadi persamaan

diferensial terpisah orde 1.

Contoh Soal Persamaan Homogen Orde 1

1. Hitunglah (x2 + y2)dx + (x2 - xy) dy = 0

Jawaban Soal Diferensial Homogen Orde 1

.

3. Persamaan Diferensial Eksak

.

Contoh Soal Diferensial Eksak

.

Soal Latihan/kuis/PR

1. Selesaikan solusi PD : y dx + x dy = 0

2. Carilah solusi PD: (2x + 3y - 2)dx+(3x - 4y+1)dy= 0

Kerjakan dengan teliti dan benar !

BAB 3. BARISAN dan DERET ARITMETIKA

Sebelum membahas lebih jauh tentang Barisan, tinjau dulu Notasi Sigma. Karena Notasi Sigma merupakan dasar (pondasi) dari pembahasan Barisan dan Deret. » Pembahasan materi kuliah tentang Barisan dan Deret terbagi atas . 2 golongan besar : Barisan & Deret Aritmetika dan Barisan & . Deret Geometri. 1. NOTASI SIGMA

Penulisan penjumlahan dari bilangan adakalanya memiliki keteraturan tertentu, sehingga memudahkan utk menuliskan dalam bentuk yang paling sederhana. Cara penulisan seperti itu disebut notasi sigma.

Misalnya :

2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 , bisa dituliskan dalam bentuk

{3(1)-1} + {3(2)-1 + {3(3)-1}+{3(4)-1}+{3(5)-1}+{3(6)-1}

Berdasarkan keteraturan dan ke-terurutan : (3i – 1)

Jawaban Contoh soal Notasi Sigma

•

Soal Latihan/kuis/PR

.

Sifat-sifat Notasi Sigma

.

Contoh soal merubah batas bawah limit

.

Jawaban contoh soal merubah batas bawah

Soal Latihan/kuis/PR merubah batas bawah/atas

.

2. BARISAN ARITMETIKA

Definisi :

Suatu barisan dengan suku ke-n dinyatakan dalam bentuk Un : U1, U2, U3,… Un disebut barisan aritmetika bila memenuhi syarat :

U2 – U1 = U3 – U2 = …..= Un – Un-1 = konstan

Nilai konstan ini disebut beda dari barisan tersebut, dilambangkan

dengan huruf b

a. Suku ke-n dari barisan Aritmetika

Jika suku pertama barisan aritmetika dilambangkan a dan

bedanya b, maka suku ke-n dinyatakan :

a, a + b, a +2b, a +3b….a +(n – 1)b

Berdasarkan keteraturan itu, maka suku ke-n dapat dirumuskan : . Un = a + (n – 1)b

b. Suku tengah barisan Aritmetika

Contoh soal Barisan Aritmetika

1. Bila diketahui barisan aritmetika : 3, 7, 11, 15,…… . Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-30 ?

2. Barisan aritmetika : 3, 8, 13, …., 283. Carilah suku tengah barisan itu dan suku ke berapa suku tengahnya itu ?

3. Di antara bilangan 21 dan 117 disisipkan 11 buah bilangan, sehingga terbentuk barisan aritmetika. Tentukan beda dan suku ke-10 dari barisan itu ?

4. Barisan Aritmetika : 2, 7, 12, 17, 22, 27. Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-37 ?

5. Suatu Barisan Aritmetika, suku ke-12 sama dengan 29, sedangkan suku ke-21 sama dengan 56. Tentukan rumus suku ke-n barisan itu ?

Jawaban Contoh soal Barisan Aritmetika

Jawaban Contoh soal Barisan Aritmetika (cont.)

Soal Latihan/kuis/PR Barisan Aritmetika

1. Tentukan suku pertama, beda dan rumus suku ke-n serta suku ke-27,

dari barisan aritmetika : 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 …

2. Tentukan suku pertama, beda dan rumus suku ke-n serta suku ke-19 . dari barisan aritmetika : 50, 42, 34, 26, 18, ….

3. Diketahui barisan aritmetika, suku ke-27 adalah 46 dan suku

ke-43 adalah 88. Tentukan rumus dari suku ke-n dari barisan Aritmeti- . ka itu ?

4. Diketahui jumlah suku ke-tiga dan suku ke-tujuh dari suatu barisan . aritmetika adalah 34. Bila suku ke-10 adalah 42


3. DERET ARITMETIKA

Definisi Deret (cont.)

3. Jika a adalah suku pertama, Un dan Ut ,suku tengah, maka :

Sn = n .Ut

Contoh Soal Deret Aritmetika

1. Bila diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ke-4 = 11 dan . suku ke-11= 32, tentukan jumlah n suku pertamanya ?

2. Diketahui suatu data statistik: x1, x2, x3,….x20 mempunyai rata-rata . x0 = 31. Bila data itu diubah menjadi : (x1+55), (x2+52), (x3+49), . (x4 +46) .... dst. Carilah nilai rata-rata baru ?

3. Diberikan deret Aritmetika : 1 + 3 + 5 + 7 + …Tentukan jumlah 20 . suku pertama dari deret itu ?

4. Hitunglah jumlah semua bilangan asli kurang dari 100 yg habis . dibagi 5 ?

Jawaban Contoh Soal Deret Aritmetika

Jawaban Contoh Soal Deret Aritmetika (cont.)

Soal Latihan/kuis/PR Deret Aritmatika

1. Diketahui jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika adalah . Sn = 4n2 - 32n. Tentukan suku ke-n dari barisan itu ?

2. Diketahui barisan aritmetika : log2, log4, log8,…..

Carilah jumlah 19 suku pertamanya ?

3. Tentukan jumlah 20 suku pertama dari deret Aritmetika :

50 + 47 + 44 + 41 + ….

4. Diketahui deret Aritmetika dengan suku ke-5 sama dengan tiga kali . suku ke-3. Bila U9 + U10 + U11 + U12 = 68, tentukan jumlah 12 suku . pertamanya ?


BAB 4. BARISAN dan DERET GEOMETRI

Barisan Geometri (cont.)

Contoh soal Barisan Geometri

Jawaban Contoh soal Barisan Geometri

.

Jawaban Contoh soal Barisan Geometri (cont.)

.

Soal latihan/kuis/PR Barisan Geometri

2. Deret Geometri

.

Contoh soal Deret Geometri

1. Diketahui deret : 2, 6, 18, ….Un Tentukan rumus suku ke-n ?

2. Diberikan deret : 2, 6, 18, 54, 162, 486, …Un Tentukan jumlah n suku pertamanya dan hitung jumlah 9 suku pertamanya ?

3. Dalam suatu Deret Geometri diketahui U1 = 512 dan U4 = 64. Tentukan rasio dari deret geometri itu ?

4. Diberikan deret geometri dengan U4 = 64 dan U1 = 512. Hitunglah jumlah tujuh suku pertamanya ?

Jawaban Contoh soal Deret Geometri

.

Soal Latihan/kuis/PR Deret Geometri

1. Suku pertama dari suatu barisan adalah 64, sedangkan suku ke-empat besarnya 1. Tentukan rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertamanya ?

2. Jumlah n suku pertama dari Deret Geometri adalah Sn = 3.2n – 1. Tentukan rumus suku ke-n dan nilai dari suku ke-5 ?

3. Suku pertama dari Deret Geometri adalah 4 dan jumlah delapan suku pertamanya sama dengan tujuhbelas kali jumlah 4mpat suku pertamanya. Tentukan rasio deret geometri itu ?

4. Dalam suatu Deret Geometri diketahui U1 = 512 dan U4 = 64. Hitunglah jumlah delapan suku pertama dari deret itu ?

2. Deret Geometri Tak-hingga

Definisi

Bila suku suatu Deret Geometri tak dibatasi banyaknya sampai suku tertentu saja, maka deret geometri itu disebut deret geometri tak-hingga. Berdasarkan rasionya, deret geometri tak-hingga dibedakan atas :

1. Deret Geometri tak-hingga yang konvergen Jika rasio deret geometri tak-hingga itu memenuhi – 1 < r < 1 atau . | r | < 1.

2. Deret Geometri tak-hingga yang divergen Jikla rasio deret geometri tak-hingga itu memenuhi r ⩽ -1 atau r ⩾ 1.

Contoh soal Deret Geometri tak-hingga

Tentukan rasio dari deret geometri : uji konvergensi

1. 24, 12, 6, 3, ….

2. 36, -12, 4, …..

3. 6, 18, 54, ……

4. 3, 9, 27, ….

5. 16, 8, 4, …..

6. ½, 1, 2, 4, …..

Jawaban Contoh Soal Deret Geometri tak-hingga

.

Nilai Limit Deret Geometri tak-hingga

Contoh soal Nilai limit Deret Geometri tak-hingga

1. Tentukan batas-batas nilai dari x agar deret geometri berikut konvergen : 1 + x + x2 + x3 + x4 + ….

2. Tentukan nilai dari deret geometri berikut : 24 + 12 + 6 + ……

Jawaban Contoh soal Nilai limit Deret Geometri tak-hingga

.

Soal latihan/kuis/PR Nilai limit Deret Geometri tak-hingga

.

KALKULUS BAB 2

Documents

Transcript of KALKULUS BAB 2