88

BAB IV

DIFFERENSIASI

4.1 Garis singgung

Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.1. Akan tetapi jika terdapat dua buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 4.2.

Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x1,f(x1)) yang terletak pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih

A

l

Gambar 4.1

Gambar 4.2

A

B l

89

suatu titik B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l1 yang mempunyai kemiringan :

m1 = x - xf(x) - )x(f

1

1 ( 4.1 )

Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x1. Dalam bentuk limit hal tersebut dapat ditulis dalam bentuk :

xxf(x) - )x(f

limmlim1

1xx

1xx 11 -

=®®

( 4.2 )

Persaman (4.2) adalah kemiringan garis l1 jika x mendekati x1. Jika kita perhatikan Gambar 4.3 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l1 jika x mendekati x1 adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentuk limit dapat ditulis :

mxxf(x) - )x(f

limmlim1

1xx

1xx 11

=-

=®®

l1

A l

B

x x1

h

x 0

y

Gambar 4.3

Kemiringan garis l1 = m1 Kemiringan garis l = m

90

Jadi :

xxf(x) - )x(f

limm1

1xx 1 -

=®

( 4.3 )

Karena x1 – x = h, maka h

f(x) - )hx(flimm

0h

+=

® ( 4.4 )

Jika dimisalkan h = Dx, maka x

f(x) - )xx(flimm

0x DD+

=®D

( 4.5 )

Persamaan 4.3 s/d 4.5 adalah kemiringan garis l pada titik (x, f(x)) Contoh 4.1 Diketahui f(x) = 3x2 + 5 Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a2) Penyelesaian :

xf(x) - )xx(f

limm0x D

D+=

®D

x

5x35x)3(x x6 x3lim

x53x-5 )xx(3

lim222

0x

22

0x D--+D+D+

=D

-+D+=

®D®D

x6x3x6lim0x

=D+=®D

Jadi m = 6x (*) Persamaan garis singgung : y = mx + n (**) Karena garis singgung melalui titik (a,a2) maka : persamaan (*) menjadi :m = 6a persamaan (**) menjadi : a2 = 6a2 + n. Sehingga n = -5a2 Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a2

4.2 Turunan Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar 4.4 berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan f(x) menjadi turunan f(x) atau f’(x).

Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan 4.3 dan Gambar 4.3 maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk :

xx

)x(f)x(flim)x('f

1

1xx 1 -

-=

® , jika nilai limitnya ada ( 4.6 )

Jika persamaan 4.6 dapat dipenuhi berarti f(x) dapat didifferensiasikan (differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x.

Differensiasi f(x) f’(x)

Gambar 4.4

91

Contoh 4.2 Jika f(x) = 2x2 + 5x – 7, tentukan f’(x), f’(c) dan f’(3) Penyelesaian : f(x) = 2x2 + 5x – 7 f(x+Dx) = 2(x+Dx)2 + 5(x+Dx) – 7 = 2x2 + 4xDx +2(Dx)2 + 5x + 5Dx – 7 f(x+Dx) – f(x) = 4xDx + 2(Dx)2 + 5Dx

5x45x2x4limx

x5)x(2xx4lim

x)x(f)xx(f

lim)x('f0x

2

0x0x+=+D+=

DD+D+D

=D

-D+=

®D®D®DJadi : 5x4)x('f +=

5c4)c('f += 175)3(4)3('f =+=

4.3 Notasi turunan Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang f’ yaitu lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Perancis Louis Lagrange (1646 – 1716). Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double “d”. Jadi kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai dy/dx, dy/dz, … dimana x dan z adalah peubah-peubah bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut : Jika terdapat suatu persamaan y = f(x), maka : dy/dx = f’(x).

4.4 Differensiabilitas dan kontinuitas

Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x. Bukti : Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiable jika memenuhi persamaan 4.6, yaitu :

Jika :x

)x(f)xx(flim

0x D-D+

®D ada, maka

x)x(f)xx(f

lim)x('f0x D

-D+=

®D

f(x+Dx)-f(x)= xx

)x(f)xx(fD·

D-D+

xlim.x

)x(f)xx(flim))x(f)xx(f(lim

0x0x0xD

D-D+

=-D+®D®D®D

=f’(x) . 0 = 0

Sehingga : )x(flim)xx(flim0x0x ®D®D

=+D ® )x(f)x(flim0x

=®D

(terbukti)

Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatis f differensiable pada x.

4.5 Teorema-teorema

4.5.1 Turunan bilangan konstan Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai :

92

y = f(x) = c maka 0)x('fdxdy

== ( 4.7 )

Bukti : f(x) = c ; f(x+Dx) = c

x)x(f)xx(f

lim)x('f0xdx

dyD

-D+==

®D= 0

xcc

lim0x

=D-

®D (terbukti)

4.5.2 Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang

bilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai :

y = f(x) = kxn maka 1nknx)x('fdxdy -== ( 4.8 )

Bukti : f(x) = kxn f(x+Dx) = k(x+Dx)n

Dengan mengunakan teorema binomial didapat : k(x+Dx)n =

! nx! kn

! )1n(x! 1)-k(n

! 2

)x(x)1n(kn! 1

xknx! 0

kx n1-n22n1nn D+

-D

++D-

+D

+--

L

1n0x

knxx

)x(f)xx(flim)x('f

dxdy -

®D=

D-D+

== (terbukti)

Contoh 4.3 Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x7 Penyelesaian :

617 x35x)7)(5()x('fdxdy

=== -

4.5.3 Aturan penjumlahan Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :

y = h(x) = f(x) + g(x) maka )x('g)x('fdxdy

+= ( 4. 9 )

Bukti : h(x) = f(x) + g(x) h(x+Dx) = f(x+Dx) + g(x+Dx)

h’(x) =x

)x(g)x(f)xx(g)xx(flim

x)x(h)xx(h

lim0x0x D

--D++D+=

D-D+

®D®D

= )x('g)x('fx

)xx(glim

x)x(f)xx(f

lim0x0x

+=D

D++

D-D+

®D®D (terbukti)

Contoh 4.4 Diketahui y = 5x6 + 2x-3

93

Tentukan dxdy

Penyelesaian : f(x) = 5x6 g(x) = 2x-3

f’(x) = 30x5 g’(x) = -6x-4

=dxdy

f’(x) + g’(x) = 30x5 – 6x-4

4.5.4 Aturan perkalian

Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :

y = h(x) = f(x).g(x) maka )x('g)x(f)x(g)x('fdxdy

+= (4.10)

Bukti :

h’(x) = x

)x(g).x(f)xx(g).xx(flim

0x D-D+D+

®D

=x

)x(g).x(f)x(g).xx(f)x(g).xx(f)xx(g).xx(flim

0x D-D++D+-D+D+

®D

=x

)x(g)xx(g)xx(flim

0x D-D+

D+®D

+x

)x(f)xx(f)x(glim

0x D-D+

®D

= f(x).g’(x) + g(x).f’(x) (terbukti) Contoh 4.5 Diketahui y = (3x5 + 2x-2)(7x+3)

Tentukan dxdy

Penyelesaian : f(x) = 3x5 + 2x-2 g(x) = 7x+3

f’(x) = 15x4 – 4x-3 g’(x) = 7

dxdy

= f’(x).g(x) + g’(x).f(x) = (15x4-4x-3)(7x+3) + (3x5 + 2x-2)(7)

= 105x5-28x-2 +45x4 – 12x-3 +21x5 + 14x-2 = 126x5 + 45x4 - 14x-2 – 12x-3

4.5.5 Aturan pembagian Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :

y = h(x) = )x(g)x(f

maka [ ]2)x(g

)x('g)x(f)x(g)x('fdxdy -

= (4.11)

Bukti :

94

h(x) = )x(g)x(f

; h(x+Dx) = )xx(g)xx(f

D+D+

h’(x) = x

)x(g)x(f

)xx(g)xx(f

limx

)x(h)xx(hlim

0x0x D

-D+D+

=D

-D+

®D®D

= )x(g).xx(g.x

)x(f).xx(g)xx(f).x(glim

0x D+DD+-D+

®D

=)x(g).xx(g.x

)x(g).x(f)x(f).xx(g)x(g).x(f)xx(f).x(glim

0x D+D+D+--D+

®D

= )x(g).xx(g.x

)x(f)xx(f)x(glim

0x D+D-D+

®D -

)x(g).xx(g.x)x(g)xx(g

)x(flim0x D+D

-D+

®D

=

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

D+D

-D+

®D )x(g).xx(gx

)x(f)xx(f

)x(glim0x

-

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

D+D

-D+

®D )x(g).xx(gx

)x(g)xx(g

)x(flim0x

= [ ]2)x(g

)x(f).x('g)x('f).x(g - (terbukti)

Contoh 4.6

Tentukan h’(x) jika h(x) = 3

24

x4

x3x2 -

Penyelesaian : f(x) = 2x4 – 3x2 f’(x) = 8x3 – 6x g(x) = 4x3 g’(x) = 12x2

h’(x) = 23

22433

2 )x4(

)x12)(x3x2()x4)(x6x8(

)]x(g[

)x('g).x(f)x(g).x('f ---=

-

= 6

46

6

4646

16128

1636242432

xxx

xxxxx +

=+--

= 2

2

432

xx +

4.5.6 Turunan fungsi komposisi

Jika y = f(u) dan u = g(x) maka dxdu

dudy

dxdy

= (4.12)

Bukti : Jika y = f(u) dan u = g(x) maka y = f(g(x)). Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(x). u = g(x) Du= g(x+Dx) – g(x) ® g(x+Dx) = g(x) + Du = u + Du Jadi Du ® 0 maka Dx ® 0 y = f(g(x)) Dy = f(g(x+Dx)) – f(g(x))

95

x))x(g(f))xx(g(f

xy

D-D+

=DD

uu

x))x(g(f))xx(g(f

DD

D-D+

=

=DDxy

xu

u)u(f)uu(f

DD

D-D+

® =DD

®D xy

lim0x dx

dyxu

u)u(f)uu(f

lim0x

=DD

D-D+

®D

dxdu

dudy

xu

lim.u

)u(f)uu(flim

dxdy

0x0x=

DD

D-D+

=®D®D

(terbukti)

Persamaan 4.12 disebut aturan rantai Contoh 4.7

Tentukan dxdy

jika y = (4x3 + 5x2 – x + 4)3

Penyelesaian : Misal u = 4x3 + 5x2 – x + 4 y = u3

1x10x12dxdu 2 -+= 2u3

dudy

=

)1x10x12(u3dxdu

dudy

dxdy 22 -+==

2232 )4xx5x4)(1x10x12(3 +-+-+= Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut !

1. f(t) = at2 – bt + 7 6. f(x) = úû

ùêë

é+ú

û

ùêë

éx1

5x4

3x- x4

5

2. f(x) = 3x-5 + 3 2x5 7. g(t) = (at2+bt+c)2(3at–7)5

3. g(x) = úû

ùêë

é+

2x

x2

8. h(w) = cw

2awb+

-

4. h(x) = 2

x1

5x4

úû

ùêë

é+ 9. v(t) =

3)dct(

2)bt2at(

-

-

5. w(x) = 3

32x- x47

úû

ùêë

é+ 10. g(t) =

3 - t) 3 (2t

t2+

4.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri

Jika y = f(x) = sin x maka x cos)x('fdxdy

== (4.13)

Bukti :

xxsin)xxsin(

limx

)x(f)xx(flim)x('f

dxdy

0x0x D-D+

=D

-D+==

®D®D

96

x

xsinxsinxcosxcosxsinlim

0x D-D+D

=®D

x

xsinxcos)1x(cosxsinlim

0x DD+-D

=®D

úû

ùêë

éD

D+

D-D

®D=

xxsin

xcosx

)1x(cosxsin

0xlim

x

xsinlimxcos

x1xcos

limxsin0x0x D

D+

D-D

=®D®D

= (sinx)(0) + (cosx)(1) = cosx (terbukti)

Jika y = sin u dan u = f(x) maka dxdu

u cosdxdy

= (4.14)

Bukti :

y = sin u ucosdudy

=

u = f(x) )x('fdxdu

=

dxdu

ucosdxdu

dudy

dxdy

== (terbukti)

Jika y = f(x) = cos x maka x sin)x('fdxdy

-== (4.15)

Bukti :

xxcos)xxcos(

0xlim

x)x(f)xx(f

0xlim)x('f

dxdy

D-D+

®D=

D-D+

®D==

x

xcosxsinxsinxcosxcos

0xlim

D-D-D

®D=

x

xsinxsin)1x(cosxcos

0xlim

DD--D

®D=

úû

ùêë

éD

D-

D-D

®D=

xxsin

xsinx

)1x(cosxcos

0xlim

x

xsin

0xlimxsin

x1xcos

0xlimxcos

DD

®D-

D-D

®D=

= (cosx)(0) - (sinx)(1) = -sinx (terbukti)

Jika y = cos u dan u = f(x) maka dxdu

u sindxdy

-= (4.16)

Bukti :

y = cos u usindudy

-=

u = f(x) )x('fdxdu

=

97

dxdu

usindxdu

dudy

dxdy

-== (terbukti)

Contoh 4.8

Jika y = sin(p-2x), tentukan dxdy

Penyelesaian : Misal u = p - 2x y = sin u

2dxdu

-= u cosdudy

=

)x2cos(2)2)(u (cosdxdu

dudy

dxdy

-p-=-==

Contoh 4.9

Jika y = 2x

cos tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal u = 2x y = cos u

2/1dxdu

= u sindudy

-=

2x

sin21

-)21

)(u sin(dxdu

dudy

dxdy

=-==

Contoh 4.10

Jika y = sin2x cos3x, tentukan dxdy

Penyelesaian : Misal u = sin 2x v = cos 3x

x2cos2dxdu

= 3x sin3dxdv

-=

)x3sin3)(x2(sin)x3)(cosx2cos2(dxdv

uv.dxdu

dxdy

-+=+=

x3sin.x2sin3x3cos.x2cos2 -= Contoh 4.11

Jika y = x4cosx3sin , tentukan

dxdy

Penyelesaian : Misal u = sin 3x v = cos 4x

x3cos3dxdu

= 4x sin4dxdv

-=

2)x4(cos

)x4sin4)(x3(sin)x4)(cosx3cos3(2v

dxdv

.uv.dxdu

dxdy --

=-

=

x4cos

x4sin.x3sin4x4cos.x3cos32+

=

98

Jika y = f(x) = tan x maka x sec)x('fdxdy 2== (4.16)

Bukti :

y = tan x = xcosxsin

u = sin x v = cos x

xcosdxdu

= xsindxdv

-=

2v

dxdv

.uv.dxdu

dxdy -

= = 2)x(cos

)xsin)(x(sin)x)(cosx(cos --=

xcos

xsinxcos2

22 +

= xsecxcos

1 22

= (terbukti)

Jika y = tan u maka dxdu

u)(secdxdy 2= (4.17)

Bukti :

y = tan u usecdudy 2=

u = f(x) )x('fdxdu

=

dxdu

)u(secdxdu

dudy

dxdy 2== (terbukti)

Contoh 4.12

Jika y = 5 tan 3x, tentukan dxdy

Penyelesaian : Misal u = 3x y = 5 tan u

3dxdu

= usec5dudy 2=

x3sec15usec15)3)(usec5(dxdu

dudy

dxdy 222 ====

Jika y = f(x) = cot x maka x csc)x('fdxdy 2-== (4.18)

Bukti :

y = cot x = xsinxcos

u = cos x v = sin x

xsindxdu

-= xcosdxdv

=

99

2v

dxdv

.uv.dxdu

dxdy -

= = 2)x(sin

)x)(cosx(cos)x)(sinxsin( --=

xsin

)xcosx(sin2

22 +-

= xcscxsin

1 22

-=- (terbukti)

Jika y = cot u maka dxdu

u)csc(dxdy 2-= (4.19)

Bukti :

y = cot u ucscdudy 2-=

u = f(x) )x('fdxdu

=

dxdu

)ucsc(dxdu

dudy

dxdy 2-== (terbukti)

Contoh 4.13

Jika y = x31

cot21

, tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal u = x31 y = ucot

21

31

dxdu

= ucsc21

dudy 2-=

x31

csc61

ucsc61

)31

)(ucsc21

(dxdu

dudy

dxdy 222 -=-=-==

Jika y = f(x) = sec x maka tanx xsec)x('fdxdy

== (4.20)

Bukti :

y = sec x = xcos

1

u = 1 v = cos x

0dxdu

= xsindxdv

-=

2v

dxdv

.uv.dxdu

dxdy -

= = 2)x(cos

)xsin)(1()x)(cos0( --

= tanx xsecx2cos

xsin= (terbukti)

100

Jika y = sec u maka dxdu

tanu) u(secdxdy

= (4.21)

Bukti :

y = sec u tanu usecdudy

=

u = f(x) )x('fdxdu

=

dxdu

u) tan u (secdxdu

dudy

dxdy

== (terbukti)

Jika y = f(x) = csc x maka cotx xcsc)x('fdxdy

-== (4.22)

Bukti :

y = csc x = xsin

1

u = 1 v = sin x

0dxdu

= xcosdxdv

=

2v

dxdv

.uv.dxdu

dxdy -

= = 2)x(sin

)x)(cos1()x)(sin0( - = cotx xcsc

x2sin

xcos-=

- (terbukti)

Jika y = csc u maka dxdu

cotu) ucsc(dxdy

-= (4.23)

Bukti :

y = csc u cotu ucscdudy

-=

u = f(x) )x('fdxdu

=

dxdu

u) cot u csc(dxdu

dudy

dxdy

-== (terbukti)

Contoh 4.15

Jika y = )xcsc(31

-p , tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal u = p-x y = ucsc31

1dxdu

-= cotu ucsc31

dudy

-=

x)-cot( )xcsc(31

cotu ucsc31

)1)(cotu ucsc31

(dxdu

dudy

dxdy

p-p==--==

Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ! PR : 2, 5, 6 & 9

1. f(x) = )32

xsin(

p- 6. f(x) = )x

3(csc4 -

p

101

2. f(x) = cos )3x

2( -

p 7. g(t) = t cos t2sin

21

p

3. g(x) = tan3x 8. h(w) = )bwcos()awsin(

-pp-

4. h(x) = cot3x 9. v(t) = )tbcos(t2sinat2

--

5. w(x) = )32

x(sec5 p

- 10. g(t) = t3sin

cos2t tsin

4.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers

Jika y = f(x) = arcsin x maka 2x1

1)x('f

dxdy

-== (4.24)

Bukti :

y = arcsinx ® sin y = x ® 1dxdx

dxdy

ycos == ® ycos

1dxdy

=

Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! sin y = x

cos y = 2x1 -

2x1

1dxdy

-= (terbukti)

2x1 -

Jika y = arcsin u dan u = f(x) maka dxdu

u1

1dxdy

2-= (4.25)

Bukti :

y = arcsin u ® 2u1

1dudy

-=

dxdu

u1

1dxdu

.dudy

dxdy

2-== (terbukti)

Contoh 4.16

Jika y = )x31

arcsin(83

- , tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal u = x31

- y = uarcsin83

1 x

y

102

31

dxdu

-= 2u1

183

dudy

-=

22

x91

18

131

u1

183

dxdu

dudy

dxdy

-

-=úû

ùêë

é-

-==

Jika y = f(x) = arccos x maka 2x1

1)x('f

dxdy

--== (4.26)

Bukti :

y = arccosx ® cos y = x ® 1dxdx

dxdy

ysin ==- ® ysin

1dxdy

-=

Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! cos y = x

sin y = 2x1 -

2x1

1dxdy

--= (terbukti) 2x1 -

x

Jika y = arccos u dan u = f(x) maka dxdu

u1

1dxdy

2--= (4.27)

Bukti :

y = arccos u ® 2u1

1dudy

--=

dxdu

u1

1dxdu

.dudy

dxdy

2--== (terbukti)

Contoh 4.17

Jika y = 2x arccos3- , tentukan dxdy

Penyelesaian : Misal u = 2x y = u arccos3-

2dxdu

= 2u1

13

dudy

-=

22 x41

6)2(

u1

13

dxdu

dudy

dxdy

-=

-==

1

y

103

Jika y = f(x) = arctan x maka 2x1

1)x('f

dxdy

+== (4.28)

Bukti :

y = arctanx ® tan y = x ® sec2y 1dxdx

dxdy

== ® ysec

1dxdy

2=

Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! tan y = x

sec2 y = 2x1 -

2x1 + x

2x1

1dxdy

-= (terbukti)

1

Jika y = arctan u dan u = f(x) maka dxdu

u1

1dxdy

2+= (4.29)

Bukti : y = arctan u ® 2u1

1dudy

+=

dxdu

u1

1dxdu

.dudy

dxdy

2+== (terbukti)

Contoh 4.18

Jika y = x31

arctan53 , tentukan

dxdy

Penyelesaian :

Misal u = x31 y = uarctan

53

31

dxdu

= 2u1

153

dudy

+=

)x

91

1(5

131

u1

153

dxdu

dudy

dxdy

22+

=úû

ùêë

é

+==

Jika y = f(x) = arccot x maka 2x1

1)x('f

dxdy

+-== (4.30)

Bukti : y = arccotx ® cot y = x ® -csc2y 1dxdx

dxdy

== ® ycsc

1dxdy

2-=

Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! cot y = x csc2 y = 2x1 +

2x1 + 1

y

104

2x1

1dxdy

+-= (terbukti)

x

Jika y = arccot u dan u = f(x) maka dxdu

u1

1dxdy

2+-= (4.31)

Bukti : y = arccot u ® 2u1

1dudy

+-=

dxdu

u1

1dxdu

.dudy

dxdy

2+-== (terbukti)

Contoh 4.19

Jika y = 2 arccot 3x, tentukan dxdy

Penyelesaian : Misal u = 3x y = 2 arccot u

3dxdu

= 2u1

12

dudy

+-=

22 x91

6)3(

u1

12

dxdu

dudy

dxdy

+-=

+-==

Jika y = f(x) = arcsec x maka 1xx

1)x('f

dxdy

2 -== (4.32)

Bukti : y = arcsecx ® sec y = x ® secy tany 1dxdx

dxdy

== ® y tan ysec

1dxdy

-=

Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! sec y = x

sec y tan y = 1xx 2 -

x 1x2 -

1xx

1dxdy

2 --= (terbukti)

1

Jika y = arcsec u dan u = f(x) maka dxdu

1uu

1dxdy

2 -= (4.33)

Bukti : y = arcsec u ® 1uu

1dudy

2 -=

dxdu

1uu

1dxdu

.dudy

dxdy

2 -== (terbukti)

y

y

105

Contoh 4.20

Jika y = arcsec )x2

( -p , tentukan

dxdy

Penyelesaian :

Misal u = x2

-p y = arcsec u

1dxdu

-= 1uu

1dudy

2 -=

1)x

2()x

2(

1)1(

1uu

1dxdu

dudy

dxdy

22--

p-

p-=-

-==

Jika y = f(x) = arccsc x maka 1xx

1)x('f

dxdy

2 --== (4.34)

Bukti :

y = arccscx ® csc y = x ® -csc y cot y 1dxdx

dxdy

== ® y cot ycsc

1dxdy

-=

Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! csc y = x

csc y cot y = 1xx 2 - x 1

1xx

1dxdy

2 --= (terbukti)

1x2 -

Jika y = arcsec u dan u = f(x) maka dxdu

1uu

1dxdy

2 --= (4.35)

Bukti : y = arccsc u ® 1uu

1dudy

2 --=

dxdu

1uu

1dxdu

.dudy

dxdy

2 --== (terbukti)

Contoh 4.21

Jika y = arccsc )2

x(p

- , tentukan dxdy

Penyelesaian :

Misal u = 2

xp

- y = arccsc u

1dxdu

= 1uu

1dudy

2 --=

y

106

1)

2x()

2x(

1 )1(

1uu

1dxdu

dudy

dxdy

22-

p-

p-

-=-

-==

Soal-soal Carilah turunan pertama dari soal-soal berikut !

1. y = arcsin(p-x) 3. xarccos

x2cosy =

2. y = -3 arccos 4x 4. y = arctan x – sin 3x

4.8 Turunan fungsi Eksponen

Jika y = f(x) = ex maka == )x('fdxdy ex (4.36)

Bukti :

ex didefinisikan sebagai n

nx

1 n

lim úû

ùêë

é+

¥®

Dengan menggunakan teorema binomial didapat : n

nx

1

úû

ùêë

é+ = L

nx

3!

1).2n)(1n(nnx

!21).1n(n

nx

!1

1n1.nnx

!0

n1 33n22n10+ú

û

ùêë

é--+ú

û

ùêë

é-+ú

û

ùêë

é-+ú

û

ùêë

é --

n

nx

1

úû

ùêë

é+ = L x

3!)n/21)(n/11(

x !2

)n/11(x1 32 +

--+

-++

n

nx

1 n

lim

úû

ùêë

é+

¥®= ú

û

ùêë

é+

--+

-++

¥®L x

3!)n/21)(n/11(

x !2

)n/11(x1

nlim 32

ex = L 3x

! 2x

x132

++++ (4.37)

Sehingga : e = LL ++++=++++!3

1!2

111

31

! 21

1132

(4.38)

Jika y = f(x) = ex

Maka x

)1e(elim

xee

limx

)x(f)xx(flim)x('f

dxdy xx

0x

xxx

0x0x D-

=D

-=

D-D+

==D

®D

D+

®D®D

Karena ex = L 3x

! 2x

x132

++++ , maka eDx – 1 = L 3x

! 2x

x32

+D

+D

+D

Sehingga x

)1e(elim

xx

0x D-D

®D= x

2x

0xe

3x

! 2x

1 elim =úúû

ù

êêë

é+

D+

D+

®DL (terbukti)

Jika y = eu dan u = f(x) maka dxdu

edxdy u= (4.39)

Bukti : y = eu uedudy

=

u = f(x) )x('fdxdu

=

107

dxdu

edxdu

dudy

dxdy u== (terbukti)

Contoh 4.22

Jika y = bxae2 -- , tentukan dxdy

Penyelesaian : Misal : u = a – bx

dxdu = -b

bxabxa be)b)(e(dxdy -- -=-=

4.9 Turunan fungsi logaritma

Jika y = f(x) = ln x maka == )x('fdxdy

x1 (4.40)

Bukti : y = f(x) = ln x

x

xx

1lnlim

xxln)xxln(

limx

)x(f)xx(flim)x('f

dxdy

0x0x0x D

úû

ùêë

é D+

=D

-D+=

D-D+

==®D®D®D

=úû

ùêë

é D+

D=

®D xx

1lnx1

lim0x

=úû

ùêë

é D+

D=

®D xx

1lnxx

limx1

0x

xx

0x xx

1lnlimx1 D

®Dúû

ùêë

é D+=

Berdasarkan teorema binomial maka :

L+úû

ùêë

éDúû

ùêë

é-

Dúû

ùêë

éD

+úû

ùêë

éDúû

ùêë

éD

+=úû

ùêë

é D+

-D

-D

DD! 2

xx

11xx

xx

! 1xx

1xx

! 01

xx

1

22xx

1xx

xx

xx

Jadi :

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

+úû

ùêë

éDúû

ùêë

é-

Dúû

ùêë

éD

+úû

ùêë

éDúû

ùêë

éD

+=úû

ùêë

é D+

-D

-D

D

®D

D

®DL

! 2xx

11xx

xx

! 1xx

1xx

! 01

ln limx1

xx

1 lnlimx1

22xx

1xx

xx

0x

xx

0x

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

+úû

ùêë

é D-ú

û

ùêë

é D-

+úû

ùêë

é D-

++=úû

ùêë

é D+

®D

D

®DL

! 3xx2

1xx

1

! 2xx

111 ln lim

x1

xx

1 ln limx1

0x

xx

0x

( )x1

1x1

e ln x1

! 31

! 21

11 ln x1

===úû

ùêë

é++++= L (terbukti)

108

Jika y = ln u dan u = f(x) maka dxdu

u1

dxdy

= (4.41)

Bukti : y = ln u u1

dudy

=

u = f(x) )x('fdxdu

=

dxdu

u1

dxdu

dudy

dxdy

== (terbukti)

Contoh 4.23

Jika y = e2x ln x31 tentukan

dxdy

Penyelesaian : Misal : u = e2x v = ln x31

x2e2dxdu

= x1

dxdv

=

úû

ùêë

é+=+=+=

x1

x31

ln2ex1

ex31

lne2dxdv

.uv.dxdu

dxdy x2x2x2

Jika y = f(x) = alog x maka == )x('fdxdy

x )a(ln1 (4.42)

Bukti : y = alog x ® ay = x

y ln a = ln x ® y = xlnaln

1

x)a(ln

1dxdy

= (terbukti)

Jika y = alog u dan u = f(x) maka dxdu

u)a(ln1

dxdy

= (4.43)

Bukti :

y = alog u ® u)a(ln

1dudy

=

dxdu

.u)a(ln

1dxdu

.dudy

dxdy

== (terbukti)

Contoh 4.24

Jika y = 7log(3-5x) tentukan dxdy

Penyelesaian : Misal : u = 3 – 5x ® 5dxdu

-=

)x53)(7(ln

5dxdu

u )a(ln1

dxdy

--

==

109

Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut !

1. y = xe3x 4. y = x4

2

e

x3lnx 7. y = x4ln

ex

31

10. y = xlne

ex5lnxx

x-

2. y = x3e2

2x3-

5. y = x2

x

e

)ex4(lnx + 8. y = x23

5

e

)x1log( 3-

-

3. y = x3 ln2x 6. y = x65x3ln2

- 9. y =

x4log

ex3

bxa3 -

4.10 Turunan fungsi hiperbolik

Jika y = f(x) = sinhx maka == )x('fdxdy coshx (4.44)

Bukti :

y = f(x) = sinhx = )ee(21 xx --

)x('fdxdy

= = )ee(21 xx -+ = coshx (terbukti)

Jika y = sinh u dan u = f(x) maka =dxdy cosh u

dxdu (4.45)

Bukti :

y = sinh u ® u coshdudy

=

dxdu

u coshdxdu

.dudy

dxdy

== (terbukti)

Contoh 4.25

Jika y = 3 sinh x51 , tentukan

dxdy

Penyelesaian :

Misal : u = x51 y = 3 sinh u

51

dxdu

= u cosh3dudy

=

110

x31

cosh53

)51

u)( cosh3(dxdu

dudy

dxdy

===

Jika y = f(x) = coshx maka == )x('fdxdy sinhx (4.46)

Bukti :

y = f(x) = coshx = )ee(21 xx -+

)x('fdxdy

= = )ee(21 xx -- = sinhx (terbukti)

Jika y = cosh u dan u = f(x) maka =dxdy sinh u

dxdu (4.47)

Bukti :

y = cosh u ® u sinhdudy

=

dxdu

u sinhdxdu

.dudy

dxdy

== (terbukti)

Contoh 4.26

Jika y = cosh (1-2x), tentukan dxdy

Penyelesaian : Misal : u = 1-2x y = cosh u

2dxdu

-= u sinh=dudy

)21sinh(2)u)(-2 (sinh xdxdu

dudy

dxdy

--===

Jika y = f(x) = tanhx maka == )x('fdxdy sech2 x (4.48)

Bukti :

y = f(x) = tanhx = xcoshxsinh

)x('fdxdy

= = xcosh

xsinhxcosh

)x(cosh

)x)(sinhx(sinh)x)(coshx(cosh2

22

2-

=-

= xhsecxcosh

1 22

= (terbukti)

Jika y = tanh u dan u = f(x) maka =dxdy sech2 u

dxdu (4.49)

Bukti :

111

y = tanh u ® u hsecdudy 2=

dxdu

u hsecdxdu

.dudy

dxdy 2== (terbukti)

Contoh 4.27

Jika y = tanh (a+bx), tentukan dxdy

Penyelesaian : Misal : u = a+bx y = tanh u

bdxdu

= u hsecdudy 2=

)bxa( h sec b)u)(b h(secdxdu

dudy

dxdy 22 +===

Jika y = f(x) = cothx maka == )x('fdxdy -csch2 x (4.50)

Bukti :

y = f(x) = cothx = xsinhxcosh

)x('fdxdy

= = xsinh

xcoshxsinh

)x(sinh

)x)(coshx(cosh)x)(sinhx(sinh2

22

2-

=-

= xhcscxsinh

1 22

-=- (terbukti)

Jika y = coth u dan u = f(x) maka =dxdy - csch2 u

dxdu (4.51)

Bukti : y = tanh u ® u hcscdudy 2-=

dxdu

u hcscdxdu

.dudy

dxdy 2-== (terbukti)

Contoh 4.28

Jika y = coth (a+bt), tentukan dtdy

Penyelesaian : Misal : u = a+bt y = coth u

bdtdu

= u hcscdudy 2-=

)bta( hcscb)u)(b hcsc(dtdu

dudy

dtdy 22 +-=-==

Jika y = f(x) = sechx maka == )x('fdxdy -csch2 x (4.52)

Bukti : y = f(x) = sechx = xcosh

1

112

Misal u = 1 ® 0dxdu

=

V = coshx ® xsinhdxdv

=

2v

dxdv

.uv.dxdu

dxdy -

= = 2)x(cosh

)x)(sinh1()x)(cosh0( - = xcosh

xsinh2

-

= - tanhx sechx (terbukti)

Jika y = sech u dan u = f(x) maka =dxdy - tanhu sechu

dxdu (4.53)

Bukti : y = sech u ® u hsec u tanhdudy

-=

dxdu

u sech u tanh dxdu

.dudy

dxdy

-== (terbukti)

Contoh 4.29

Jika y = 2sech )x51

31

( - , tentukan dtdy

Penyelesaian :

Misal : u = x51

31

- y = 2 sech u

51

dxdu

-= sechu utanhdudy

-=

)x51

31

sech( )x51

31

tanh(52

)51

sechu)(- utanh2(dtdu

dudy

dtdy

--=-==

y = f(x) = cschx maka == )x('fdxdy -csch x cothx (4.54)

Bukti :

y = f(x) = sechx = xsinh

1

Misal u = 1 ® 0dxdu

=

V = sinhx ® xcoshdxdv

=

2v

dxdv

.uv.dxdu

dxdy -

= = 2)x(sinh

)x)(cosh1()x)(sinh0( - = xsinh

xcosh2

-

= - cothx cschx (terbukti)

Jika y = csch u dan u = f(x) maka =dxdy - cothu cschu

dxdu (4.55)

Bukti :

y = csch u ® u hcsc u cothdudy

-=

113

dxdu

u csch u coth dxdu

.dudy

dxdy

-== (terbukti)

Contoh 4.30

Jika y = -3csch )x21

51

( + , tentukan dtdy

Penyelesaian :

Misal : u = x21

51

+ y = -3 csch u

21

dxdu

= cschu ucoth3dudy

=

)x21

51

sech( )x21

51

coth(23

)21

cschu)( ucoth3(dtdu

dudy

dtdy

++===

Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut !

1. y = sinh(2-3x) 6. y = )x21coth(cbxax2

+++

2. y = cosh(a2x – b) 7. y = x2 hsec

e ax-

3. y = x2 sinh5x 8. y = )x54ln(

x3hsec-

4. y = emx cosh2x 9. y = 1)-csch(x x51 3

5. y = ln(2-x) tanh3x 10. y = bx)-csch(a ex

31

4.11 Turunan fungsi hiperbolik invers

Jika y = f(x) = sinh-1x maka == )x('fdxdy

1x

12 +

(4.56)

Bukti : y = f(x) = sinh-1x = )1xxln( 2 ++

1x

1

1xx

1.

1x

x1x

1xx

1x

x1

dxdy

222

2

2

2

+=

+++

++=

++

++

= (terbukti)

Jika y = sinh-1 u dan u = f(x) maka =dxdy

dxdu

1u

12 +

(4.57)

Bukti : y = sinh-1 u ® 1u

1dudy

2 +=

dxdu

1u

1dxdu

.dudy

dxdy

2 +== (terbukti)

114

Contoh 4.31

Jika y = -3sinh-1 x21 , tentukan

dtdy

Penyelesaian :

Misal : u = x21 y = -3 sinh-1u

21

dxdu

= 1

132 +

-=udu

dy

1412

3)21)(

113(

22

+

-=

+-==

xudtdu

dudy

dtdy

Jika y = f(x) = cosh-1x maka == )x('fdxdy

1x

12 -

, x > 1 (4.58)

Bukti : y = f(x) = cosh-1x = )1xxln( 2 -+

1x

1

1xx

1.

1x

x1x

1xx

1x

x1

dxdy

222

2

2

2

-=

-+-

+-=

-+

-+

= , x > 1 (terbukti)

Jika y = cosh-1 u dan u = f(x) maka =dxdy

dxdu

1u

12 -

, u > 1 (4.59)

Bukti : y = cosh-1 u ® 1u

1dudy

2 -=

dxdu

1u

1dxdu

.dudy

dxdy

2 -== , u > 1 (terbukti)

Contoh 4.32

Jika y = cosh-1 x43 , tentukan

dxdy

Penyelesaian :

Misal : u = x43 y = cosh-1u

43

dxdu

= 1u

1dudy

2 -=

1x

169

4

3)

43

)(1u

1(

dtdu

dudy

dtdy

22+

=-

==

Jika y = f(x) = tanh-1x maka == )x('fdxdy

2x1

1

-, 1x < (4.60)

Bukti : y = f(x) = tanh-1x = 1x ,x1x1

ln21

<-+

115

22 x1

1x1x1

.)x1(

221

dxdy

-=

+-

-= , 1x < (terbukti)

Jika y = tanh-1 u dan u = f(x) maka =dxdy

dxdu

u1

12-

, 1u <

(4.61)

Bukti : y = tanh-1 u ® 2u1

1dudy

-=

dxdu

u1

1dxdu

.dudy

dxdy

2-== , 1u < (terbukti)

Contoh 4.33

Jika y = tanh-1(2x-1), tentukan dxdy

Penyelesaian : Misal : u = 2x - 1 y = tanh-1u

2dxdu

= 2u1

1dudy

-=

22 )1x2(1

2)2)(

u1

1(

dxdu

dudy

dxdy

--=

-==

Jika y = f(x) = coth-1x maka == )x('fdxdy

2x1

1

-, 1x > (4.62)

Bukti : y = f(x) = tanh-1x = 1x ,1x1x

ln21

>-+

222 x1

1

1x

11x1x

.)1x(

221

dxdy

-=

--=

+-

-

-= , 1x > (terbukti)

Jika y = coth-1 u dan u = f(x) maka =dxdy

dxdu

u1

12-

, 1u > (4.63)

Bukti : y = tanh-1 u ® 2u1

1dudy

-=

dxdu

u1

1dxdu

.dudy

dxdy

2-== , 1u > (terbukti)

Contoh 4.34

Jika y = 3 coth-1(2-3x), tentukan dxdy

Penyelesaian : Misal : u = 2-3x y = 3 tanh-1u

3dxdu

-= 2u1

3dudy

-=

22 )x32(1

9)3)(

u1

3(

dxdu

dudy

dxdy

---=-

-==

116

Jika y = f(x) = sech-1x maka == )x('fdxdy

2x1x

1

-- , 1x0 << (4.64)

Bukti : y = f(x) = sech-1x = 1x0 ,x

x11ln

2<<

-+

2x1x

1dxdy

--= , 1x0 << (terbukti)

Jika y = sech-1 u dan u = f(x) maka =dxdy

dxdu

u1u

12-

- , 1u0 << (4.65)

Bukti : y = sech-1 u ® 2u1u

1

dudy

--=

dxdu

u1

1

dxdu

.dudy

dxdy

2--== , 1u0 << (terbukti)

Contoh 4.35

Jika y = -2 sech-1(1-x), tentukan dxdy

Penyelesaian : Misal : u = 1-x y = 2 sech-1u

1dxdu

-= 2u1u

2

dudy

--=

22 )x1(1)x1(

2)1)(

u1u

2 (

dxdu

dudy

dxdy

---=-

--==

Jika y = f(x) = csch-1x maka == )x('fdxdy

2x1x

1

+- (4.66)

Bukti : y = f(x) = csch-1x = x

x11ln

2++

2x1x

1dxdy

+-= (terbukti)

Jika y = csch-1 u dan u = f(x) maka =dxdy

dxdu

u1u

12+

- (4.67)

Bukti : y = csch-1 u ® 2u1u

1

dudy

+-=

dxdu

u1u

1

dxdu

.dudy

dxdy

2+-== (terbukti)

Contoh 4.36

117

Jika y = csch-1(sinx), tentukan dxdy

Penyelesaian : Misal : u = sinx y = csch-1u

xcosdxdu

= 2u1u

1

dudy

+-=

xsin1xsin

xcos )x)(cos

u1u

1 (

dxdu

dudy

dxdy

22 +-=

+-==

Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi : 1. y = sinh-1(cosx) 4. y = x2 coth-1x 2. y = cosh-1(sin2x) 5. y = sech-1(x sinx) 3. y = tanh-1(3x+p) 6. y = e-2x csch-1(1-2x)

4.12 Turunan tingkat tinggi Jika terdapat suatu fungsi f(x) yang differensiable, maka kita dapat mencari turunan pertamanya yaitu f’(x). Jika turunan pertama tersebut juga differensiable maka kita dapat menentukan turunan kedua dari fungsi tersebut. Secara umum jika turunan ke (n-1) differensiable maka kita dapat menentukan turunan ke n dari fungsi tersebut. Biasanya turunan kedua dan seterusnya dari suatu fungsi disebut turunan tingkat tinggi. Turunan pertama, kedua dan ketiga ditulis dengan lambang :

2

2

dx

yd ,

dxdy dan

3

3

dx

yd atau f’(x), f’’(x) dan f’’’(x). Sedangkan untuk turunan ke n,

dimana n ³4, maka kita gunakan lambang :n

n

dx

yd atau f(n)(x).

Contoh 4.37 Tentukan turunan pertama sampai dengan turunan keempat dari f(x) = (x2-4)3

Penyelesaian :

2222 )4x(x6)x2()4x(3)x('fdxdy

-=-==

)4x(x24)4x(6)4x)(x4(x6)4x(6)x(''fdx

yd 22222222

2-+-=-+-==

x288x120x48)4x(x48)4x(x24)x('''fdx

yd 33223

3-=+-+-==

288x360)x(fdx

yd 2)4(4

4-==

Soal-soal Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi :

1. f(x) = 2x e-x 2. f(x) = ln(a-bx) 3. f(x) = 1x

x2 +

118

4. f(x) = 2

2

x1

4x

-

+ 5. f(x) = sin2(a-bx) 6. f(x) = cos2 (mx+n)

4.13 Differensial Pada pembahasan mengenai masalah turunan kita telah menggunakan lambang dy/dx sebagai suatu kesatuan dan merupakan lambang dari turunan pertama suatu fungsi x. Pada pasal ini kita akan membahas pengertian dy dan dx secara terpisah. Misal terdapat suatu persamaan y = f(x). Dari Gambar 4.5

didapat : x xy

y Dúû

ùêë

éDD

=D (4.68)

Jika harga Dx sangat kecil, maka Dy menjadi sangat kecil juga. Sehingga persamaan 4.68 dapat ditulis menjadi :

dx )x(fdy ¢= (4.69)

Pada persamaan 4.69 diatas dx dan dy disebut differensial dari x dan y. Differensial y atau dy adalah perubahan kecil pada peubah y akibat adanya perubahan kecil pada peubah x atau dx. Contoh 4.38 Jika y = x2 - 2x – 3, tentukan differensial y Penyelesaian : f(x) = x2 - 2x – 3 f’(x) = 2x – 2 Sehingga : dy = (2x-2) dx = 2(x-1) dx Contoh 4.39

Dx = dx l1

f(x) l

f(x + Dx) f(x)

Dy

dy

y

x x+Dx x

0

Gambar 4.5

119

Volume sebuah silinder adalah V = pr2h. Jika jari-jari silinder tersebut membesar 1% dari jari-jari asal, tentukan perubahan volumenya. Penyelesaian : f(r) = pr2h f’(r) = 2prh dV = f’(r) dr = 2prh (0,01r) = 0,02 pr2h Jadi perubahan volume silinder adalah sebesar 0,02 pr2h Soal-soal 1. Sebuah bola mempunyai jari-jari 15 cm. Akibat meningkatnya temperatur

maka jari-jari bola tersebut meningkat menjadi 15,02 cm. Berapakah perubahan volume bola tersebut ?

2. Sebuah kolam renang berisi penuh dengan air.Ukuran kolam renang tsb

adalah sebagai berikut : panjang = 50 m, lebar = 20 meter dan kedalaman = 3 meter. Akibat adanya penguapan kedalaman air berkurang menjadi 2,98 m. Berapakah volume air yang menguap ?

Penjelasan : Kerjakan kedua soal tersebut diatas dengan metode differensial !

4.14 Turunan fungsi implisit Pada pasal-pasal sebelumnya kita telah mempelajari turunan fungsi-fungsi eksplisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk y =f(x). Akan tetapi tidak semua fungsi mempunyai bentuk eksplisit. Sebagian mempunyai bentuk implisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk F(x,y) = 0. Untuk mencari turunan fungsi implisit kita gunakan aturan sebagai berikut : 1. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku g(x), maka :

)x('g)x(gdxd

= (4.70)

2. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku h(y), maka :

dxdy

)y('h)y(hdxd

= (4.71)

3. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku u(x) dan v(y), maka :

[ ]dxdy

)y('v).x(u)y(v).x('u)y(v).x(udxd

+= (4.72)

= Contoh 4.40

Tentukan dxdy

dari : x2 – 3xy +y2 = 4

Penyelesaian : x2 – 3xy +y2 = 4 ® x2 – 3xy +y2 – 4 = 0

120

2x – 3y – 3xdxdy

+ 2ydxdy

- 0 = 0

( 2y – 3x )dxdy

= 3y - 2x ® xyxy

dxdy

3223

--

=

Contoh 4.41

Tentukan dxdy dari : x2y + xy2 = 6 pada titik (1,2)

Penyelesaian : x2y + xy2 = r2 ® x2y + xy2 - r2 = 0

2xy + x2dxdy

+ y2 + 2xydxdy

= 0

(x2 + 2xy)dxdy

= -(2xy + y2) ® )xy2x(

)yxy2(dxdy

2

2

+

+-= ®

58

dxdy

2y1x

-=

==

Soal-soal

1. Tentukan dxdy

dari :

i) x + y = sinxy ii) xy = cos (x+y)

iii) y = exy iv) y = ln(xy)

2. Tentukan nilai dxdy

pada titik (1,0) dari :

i) 3xy2 + ex+y = e ii) x2 + y2 + xy = 1

4.15 Turunan fungsi parameter Fungsi parameter adalah fungsi yang mempunyai bentuk : x = f(t) dan y = g(t) , dengan t adalah parameter (4.73)

Untuk menentukan turunan pertama atau dy/dx dari fungsi parameter, terlebih dahulu kita tentukan dx/dt dan dy/dt. Serlanjutnya dy/dx dicari dengan rumus:

dt/dxdt/dy

dxdy

= (4.74)

Soal-soal

Tentukan dxdy dari fungsi parameter berikut :

121

1. ïî

ïíì

-=

+=22

3

)4t(y

)3t(x 3.

îíì

=p-=

t2cosy)tsin(x

2. ïî

ïíì

-==

)7t5ln(yex t2

4.

ïïî

ïïí

ì

-=

++

=

tt1

y

1t1t

x

2

2