PPIP KALKULUS 2

8/18/2019 PPIP KALKULUS 2

1/41

TUGAS PPIP

KALKULUS II

EMIL

093 2011 0023

JURUSAN TEKNIK PERTAMBANGAN

FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI

UNIVERSITAS MUSLIM INDONESIA

MAKASSAR

2016


2/41

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Anti Tuun!n "Int#$!% T!&'t#ntu(Matematika mempunyai banyak pasangan operasi balikan: penambahan dan

pengurangan,perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar, serta

penarikan logaritmadan penghitungan logaritma.

D#)ini*i +

Fungsi F dikatakan anti turunan dari fungsi f pada selang I jika F’(x ! f(x

untuk semua x di I."otasi : F(x ! # f(x dxIntegral tak tentu adalah

$nti%In&ers%'ebalikan turunan.

ontoh :

Integral tak tentu adalah operator liner, yaitu bersifat :

a.

b.

1.) Int#$!% T#t#ntu

D#)ini*i +

Misal f(x suatu fungsi yang didefinisikan pada *a,b+, selanjutnya f(x

dikatakan terintegralkan (integrable pada *a,b+

jika ∑=→

∆n

iii

P x x f

1(lim ada.

-elanjutnya ∫ b

a

dx x f ( disebut Integral entu (Integral /iemann f(x dari a

ke b, dan didefinisikan

∫ b

a

dx x f ( , ∑=→

∆n

iii

P x x f

1(lim -

Kalkulus II “Integral” )


3/41

∫ b

a

dx x f ( menyatakan luas daerah yang ter0akup diantara kur&a

y ! f(x dan sumbu x dalam selang *a,b+, jika ∫ b

a

dx x f ( bertanda negatif

maka menyatakan luas daerah yang berada dibaah sumbu x.

D#)ini*i +

a. ∫ a

a

dx x f ( !

b. ∫ b

a

dx x f ( ! 2 ∫ a

b

dx x f ( , a 3 b

1.4 Si)!t'Si)!t Int#$!% T#ntu

!- -ifat 5enambahan -elang

eorema :

6ika f(x terintegralkan pada suatu selang yang memuat tiga titik a, b dan 0,

maka :

dx x f c

a∫ ( ! dx x f

b

a∫ ( 7 dx x f

c

b∫ ( bagaimanapun urutan a, b dan 0.

ontoh :

1. dx xdx xdx x ∫ ∫ ∫ +=)

1

)1

))

) ). dx xdx xdx x ∫ ∫ ∫ +=)

4

)4

))

)

4. dx xdx xdx x ∫ ∫ ∫ −

−+=

)

1

)1

))

)

.- -ifat -imetri

6ika f(x fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat

f(2x ! f(x , maka:

Kalkulus II “Integral” 4


4/41

dx x f a

a∫

−

( ! ) dx x f a

∫

( dan

6ika f(x fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat

f(2x ! 2 f(x, maka

dx x f a

a∫

−

( ! .

ontoh :

1. ∫ ∫ =

=

−

π π

π 8

0os)8

0os dx x

dx x

)88

1.

80os9

∫ =

π

dx x

). dx x

x

∫ − +

:

:)

:

8 !

-e0ara lebih umum, sifat2sifat integral tertentu adalah:

6ika f(x dan g(x kontinu pada inter&al *a,b+ dan k ∈/eal dan f(x, g(x

terintegralkan pada inter&al tersebut, maka:

1. ∫ ∫ =b

a

b

a

dx x f k dx xkf ((

). dx x g dx x f dx x g x f b

a

b

a

b

a

∫ ∫ ∫ +=+ ((+((*

4. ,((+((* dx x g dx x f dx x g x f b

a

b

a

b

a

∫ ∫ ∫ −=−

8. ( =∫ a

a

dx x f

. ∫ ∫ −=

a

b

b

a

dx x f dx x f ((

, jika b ; a


5/41

>. 6ika F(u ! ∫ b

a

dx x f ( , maka (( u f u F du

d =

1. ∫

b

adx x f ( ! (b2a ( o x f untuk paling sedikit x ! x o antara a dan b.

11. ∫ ∫ ≤b

a

b

a

dx x g dx x f (( jika dan hanya jika f(x ≤ g(x untuk setiap x ∈

*a,b+.

1). (( x f dt t f D x

a x

=

∫

1.8 T#/#! D!*! K!%&u%u*

eorema dasar 'alkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral

entu, berikut teorema tersebut :

Misal f(x kontinu pada *a,b+ dan F(x sebarang anti turunan f(x, maka

∫ b

a

dx x f ( , F".( F"!(

-elanjutnya ditulis F(b ? F(a ! ba x F +(*

ontoh :

5erlihatkan baha jika r ∈ @ dan r ≠ 21, maka

11

11

+−

+=

++∫

r

a

r

bdx x

r r b

a

r

6aab :

'arena F(x !1

1

+

+

r

xr suatu anti turunan dari f(x ! xr , maka menurut teorema

dasar 'alkulus 11((

11

+−+=−=

++

∫ r a

r

b

a F b F dx x

r r b

a

r

Kalkulus II “Integral”


6/41

Integral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat :

Misal f(x dan g(x terintegralkan pada *a,b+ dan k suatu konstanta, maka:

a. ∫ =b

a

dx xkf ( k ∫ b

a

dx x f (

b. dx x g x f b

a

+((*∫ + ! ∫ b

a

dx x f ( 7 ∫ b

a

dx x g (

ontoh :

Aitung dx x x


7/41

adalah: eknik -ubstitusi, Integral Fungsi rigonometri, eknik -ubstitusi Fungsi

rigonometri, Integral 5arsial, Integral Fungsi /asional, dan Integral Fungsi /asional

yang memuat fungsi rigonomteri.

Berikut ini penjelasan teknik2teknik dalam pengintegralan.

2-1 T#&ni& Su.*titu*i

Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan. eknik substitusi pada

umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus

dasar rumus integral tak tentu, yaituC

a. ∫ n x dx !

1

1

+

+

n

x n 7 , asalkan n ≠ 21 atau

b. [ ] dx x f x f n

(D(∫ ![ ]

1

( 1

+

+

n

x f n

7 , asalkan n ≠ 21

'arena rumus di atas adalah pedoman umum. maka integrannya

menyesuaikan dengan rumus di atas. 6ika belum sesuai atau menyimpang dari

bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Eengan demikian

setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan

mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu. $khirnya selesaiannya dapat

dilakukan dengan metode substitusi.

5erhatikan beberapa 0ontoh berikut:

1. ∫ − x1 dx

Misal u ! x−1

xu −=⇔ 1)

1(()

xd ud −=⇔

dxudu −=⇔ )

-ubstitusi bentuk terakhir ke ∫ − x1 dx, diperoleh

∫ − duuu )( ! 2) ∫ duu)

Eengan rumus dasar di dapat

∫ − x1 dx ! 2) ∫ duu)

! 2) C u

+

4

4

Kalkulus II “Integral” =


8/41

! 2 C x +− 41(4

)

). ∫ + dx x111)4(

Misal $ ! 4x 7 1)

d($ ! d(4x71)

d$ ! 4 dx

dx !4

dA

-ehingga ∫ + dx x111)4( ! ∫ 4

11 dA A

! ∫ dA A11

4

1

! C A

+1)

(4

1 1)

! C A +1)4<

1

! C x

++4<

1)4( 1)

2-2 Int#$!% Fun$*i Ti$/n/#ti

-ebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri se0ara lebih rin0i,

berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi a0uan untuk

menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk

dasar tersebut adalah:

1. ∫ xsin dx ! 20os x 7

). ∫ x0os dx ! sin x 7

4. ∫ tan x dx ! ln C x +se0

! 2ln C x +0os

8. ∫ 0ot x dx ! 2 ln C x +0s0

! ln C x +sin

. ∫ xse0 dx ! ln C x x ++ tanse0


9/41

Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus

bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya

adalah:

!- ∫ ,sin xdxm

dan ∫ xdxm0os dengan m bilangan ganjil atau genap positip

6ika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m21 7 1, atau m

digenapkan terdekat. -elanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan

identitas 10ossin )) =+ x x !t!u *in x) , 1 ' /* x) !t!u /* x) , 1 ' *in

x) -

$khirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran

dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.

ontoh:

1. ∫ xdx4sin

6aab :

∫ xdx4sin ! dx x∫ +− 114(sin

! x xsinsin )∫ dx

! ∫ −− 0os(0os1()

xd x

! ∫ ∫ +− (0os0os0os(1) xd xd

! 20os x 7 C x +40os4

1

). dx x∫ :0os

6aab :

dx x∫ :0os ! ∫

+− x11:(0os dx

! xdx x0os0os8∫

! ∫ − (sinsin1()) xd x

! (sinsinsin)1( 8) xd x x +−∫

! ∫ ∫ ∫ +− (sinsin(sinsin)(sin18) x xd x xd xd

! sin x 2 C x x ++ :4 sin:

1sin

4

)

.- ∫ xdx x nm 0ossin

Kalkulus II “Integral” >


10/41

6ika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang

bilangan, maka faktorkan sin x atau 0os x dengan menggunakan kesamaan

identintas 10ossin )) =+ x x dengan terlebih dahulu mengubah salah satu

bilangan ganjil. Misal m ganjil maka ubah m dengan m ! (m2171 , jika n

ganjil diubah menjadi (n2171. 6ika m dan n genap digunakan kesamaan

setengah sudut sin x) !)

)0os1 x− dan 0os

)

)0os1) x x += sehingga

diperoleh hasil pengintegralannya.

ontoh

1. ∫ xdx x)4 0ossin

6aab

'arena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas

∫ xdx x)4 0ossin ! dx x∫ +− )114( 0ossin

∫ dx x x)) 0ossinsin ! ∫ − xdx x x sin0os0os1(

))

! 0os(0os(0os 8) xd x x −−∫

! ∫ ∫ −−− 0os(0os0os(0os8) x xd x xd

! C x x ++− :4 0os:

10os4

1

! 0os C x x +− 4

10os

:

1(

)4

). xdx x 4) 0ossin∫

'arena n ganjil, maka ubah menjadi genap

xdx x 4) 0ossin∫ ! ∫ xdx x x 0os0ossin))

! ∫ −

(sinsin1(sin

))

xd x x

! ∫ ∫ − (sinsin(sinsin8) x xd x xd

! C x x +− :4 sin:

1sin

4

1

- ∫ ,tan xdxn dan dx xn∫ 0ot



11/41

Ealam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas 1 7 x x )) se0tan =

dan 170ot x x )) 0s0= . 6ika n ganjil ubah menjadi (n2171 dan gunakan

kesamaan 1 7 x x )) se0tan = dan 170ot x x )) 0s0= .

5erhatikan 0ontoh berikut:

1. ∫ xdx4tan

'arena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah

satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 7

x x ))se0tan =

-ehingga diperoleh

∫ xdx4tan

! ∫ x)tan

tanx dx ! ∫ − 1(se0) x tan x dx

! ∫ x)se0 tan x dx 2 ∫ tan x dx

! ∫ tan x se0 x) dx ? ln xse0 7

! ∫ xtan d(tan x ? ln xse0 7

! C x x +− se0lntan)

1 )

). ∫ xdx80ot

'arena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas 170ot

x x ))0s0= , sehingga didapat

∫ xdx80ot ! dx x )) (0ot∫

! ∫ − dx x)) 1(0s0

! dx x x 10s0)(0s0 )8∫ +−

! ∫ +− dx x x x 10s0)0s0(0s0)))

! ∫ +−+ F10s0)0s00ot1( ))) dx x x x

! ∫ ∫ ∫ +−−−+ dx xd xd x 0ot()0ot(0ot1()

! C x x x x +++−− 0ot)0ot4

10ot( 4

! C x x x +++− 0ot0ot4

1 4



12/41

- ∫ xdx x nm se0tan , dan ∫ xdx x

nm 0s00ot

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n

sebarang. 6ika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 7 tan x x )) se0=

atau 1 7 0ot x) ! 0s0 x) .

ontoh

1. dx x x∫ 8: se0tan

'arena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan

kesamaan identitas 17tan x x )) se0= , sehingga diperoleh

dx x x∫ 8: se0tan ! dx x x x∫ )): se0se0tan

! dx x x x∫ +)): se0tan1(tan

! ∫ + tan(tan =: x x d(tgnx

! C x x ++ 9< tan9

1tan

<

1

). dx x x∫ 88 0s00ot

6aab :

dx x x∫ 88 0s00ot ! dx x x x∫ (0s0(0s00ot

))8

! 0ot(1(0ot0ot )8 xd x −−∫

! 0ot(0ot(0ot 8< xd x x −−∫

! C x x ++− := 0ot:

10ot

=

1

-edangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan

menggunakan substitusi kesamaan identitas 1 7 tan x x )) se0= atau 1 7 0ot

x) ! 0s0 x) .

ontoh:

1. ∫ xdx x44 se0tan ! ∫ xdx x x x se0se0tantan ))

! ∫ (se0se0tan )) xd x

! (se0se01(se0 )) xd x x∫ −

! (se0se0(se0)

8 xd x x∫ −

! C x x +− 4: se04

1se0:

1

Kalkulus II “Integral” 1)


13/41

). ∫ − xdx x )%14 se0tan ! ∫ x

)tan tan x se0 x)%4− se0 x dx

! ∫ x)(se0 21se0 x)%4− d(se0 x

! ∫ −

x

)%1

(se0 se0 )%4

x

−

d(se0x

! x x )%1)%4 se0)se04

) −+ 7

#- ∫ nxdxmx0ossin , ∫ ,sinsin nxdxmx ∫ nxdxmx0os0os

Integral bentuk ini juga sering mun0ul, untuk menyelesaikannya digunakan

rumus kesamaan hasil kali, yaitu:

sin mx 0os nx ! +sin(*sin()1

xnm xnm −++

sin mx sin nx ! +0os(*0os()

1 xnm xnm −−+−

0os mx 0os nx ! +0os(*0os()

1 xnm xnm −++

ontoh :

1. ∫ sin 4x 0os 8x dx ! ∫ −++ +84sin(84*sin()1

x x dx

! ∫ x=sin)1

7 sin (2x dx

! x=0os18

1− 2 0os)

1x 7

). ∫ x x )sin4sin dx ! ∫ −−+− +)40os()4*0os()1

x x dx

!

∫ −

)

1(0os x ? 0os x dx

! sin1

1− x 7 sin)

1x 7

4. ∫ 0os y 0os 8y dy ! ∫ + y81*0os()1

70os(128y+ dy

! ∫ −+ +40os(:*0os)1

y x dy

! C y y +− 4sin<1:sin

11



14/41

2-3 T#&ni& Su.*titu*i Fun$*i Ti$/n/#ti

eknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral

jika integrannya memuat bentuk2bentuk:

a. )) xa − , a 3 , a ∈ /eal

b. )) a x + ! )) xa + , a 3 , a ∈ /eal

0. )) a x − , a 3 , a ∈ /eal

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya

))) xba − ! ))

xb

a−

xba )) + ! ))

xb

a+

))) b xa − !)

)

−a

b x atau cbxax ++) yang dapat diubah menjadi bentuk

kuadrat sempurna.

Integrannya memuat )) xa − atau sejenisnya, Gunakan substitusi

x ! a sin t atau sin t ! a

x

x ! a sin t ⇔ dx ! a 0os t dt

dengan 2)

π

)

π ≤≤ t sehingga,

)) xa − ! )) sin( t aa −

! sin1( )) t a −

! a 0os t

4!t!t!n +

Gambar segitiga siku2siku di atas yang masing2masing sisinya diketahui

berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu 0os t, tan t,

0ot t, se0 t, dan 0s0 t. Aal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari

pengintegralan adalah fungsi2fungsi tersebut.

ontoh:

entukan hasil pengintegralan berikut ini:

1. ∫ )

8 x− dx6aab :


t x a

)) xa −


15/41

-ubstitusi x ! ) sin t

⇔ sin t !)

x

dx ! ) 0os t dt )8 x− ! t t 0os)sin88 ) =−

-ehingga :

∫ )8 x− dx ! ∫ tdt t 0os).0os)

! ∫ tdt t 0os0os8

! 8 ∫ tdt )0os ! 8 ∫

+dt

t

)

)0os1(

! ) ∫ dt 7 ) ∫ t )0os dt

! )t 7 sin )t 7

! )t 7 ) sin t 0os t

! ) ar0 sin)

8

))

) x x x −+

7

$tau 8 ∫ tdt )0os ! 8 (

)

0ossin t t 7 C t +

)

1

! ) sint 0ost 7 )t 7

! )

)

x

)

8 ) x− 7 ) ar0 sin

)

x7

! C x x x

+

−

−)

ar0sin))

8 )

). ∫ − )8 x x

dx

6aab :

∫ − )8 x x

dx ! ∫

−− ))(8 xdx

-ubstitusi (x2) ! ) sin t,

dx ! ) 0os t dt

t x 0os))(8 ) =−− , sehingga

∫ −− ))(8 x

dx ! ∫ t

tdt

0os)

0os)

! ∫ dt


t x

)

)8 x−

)− x

)8 x x −

)

t


16/41

! t 7

! ar0 sin

−

)

) x 7

2-5 Int#$!% P!*i!%

-e0ara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian integral

yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi u&, dimana u ! f(x dan & !

g(x.

'arena y ! u&, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y ! u&

diperoleh :dy ! d(u&

d(u& ! u d& 7 & du

Eengan mengintegralkan masing2masing bagian diperoleh

∫ ∫ ∫ += vduudvuvd (

⇔ ∫ ∫ ∫ −= vduuvd udv (

⇔ ∫ ∫ −= vduuvudv

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. 5rinsip yang digunakan

dalam integral parsial adalah integran yang berbentu u& di manipulasi menjadi u

d& dan dalam menentukan ud& tidak boleh memun0ulkan persoalan yang lebih

sulit dibandingkan dengan ∫ udv tersebut.

5erhatikan beberapa 0ontoh berikut ini.

entukan integral persial berikut ini

1 ∫ xdx x0os6aab :

Bentuk ∫ xdx x0os diubah menjadi ∫ ud&,

Misal u ! x , d& ! 1 dx

d& ! 0os x dx , & ! ∫ x0os dx ! sin x

$kibatnya ∫ xdx x0os ! ∫ x d(sin x.

Eengan rumus integral parsial

∫ ∫ −= vduuvudv , diperoleh



17/41

∫ x d(sin x ! x sin x 2 ∫ xsin d(x

! x sin x 2 ∫ xsin dx

! x sin x 7 0os x 7 $khirnya diperoleh ∫ xdx x0os ! x sin x 7 0os x 7

) ∫ + x x 1 dx

5ilih u ! x , du ! dx

d& ! x+1 , & ! ∫ + x1 dx ! 4 14

) x+

-ehingga ∫ + x x 1 dx ! ∫ + 14)

( 4 x xd

Berdasarkan rumus integral parsial

∫ ∫ −= vduuvudv , diperoleh

∫ + x x 1 dx ! ∫ + 14)

( 4 x xd

! 4 114

) + x 2 ∫ + (14) 4 xd x

! 4 114

) + x 2 ∫ + dx x4 14)

! 4 114

) + x 2 C x ++4 81(8

)

2- Int#$!% Fun$*i R!*i/n!%-

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x !

(

(

x g

x f , dimana f(x , g(x adalah fungsi pangkat banyak (polinom dan g(x ≠

.

Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan

f(x ! a o 7 a1 x 7 a ) x ) 7 a 4 x 4 7 H 7 a n x n , n ! 1, ), 4, H , sehingga

fungsi rasional adalah fungsi berbentuk(

(

x g

x f yang pembilang dan

penyebutnya polinom.

ontoh :

Kalkulus II “Integral” 1=


18/41

a. F(x !)4

1) +−

− x x

x(Fungsi /asional -ejati

b. F(x !88

8)

)

+−

−

x x

x(Fungsi /asional idak -ejati

0. F(x ! x x

x x x

:

1)4

4:

++−+

(Fungsi /asional idak -ejati

5ada 0ontoh di atas, (1 disebut fungsi rasional sejati, karena derajat

pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan () dan (4 disebut fungsi

rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan

derajat penyebut.

ntuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati,

maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian

panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. -ehingga:

F(x ! x x

x x x

:

1)4

4:

++−+

! x 4)− 7 x x

x

:

118(4 +

+

F(x !(

(

x g

x f , g(x ≠ .

Ealam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

a. "yatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

b. Faktorkan penyebut g(x dari fungsi rasional F(x !(

(

x g

x f sampai tidak

dapat difaktorkan lagi.

0. Ealam hal langkah nomor ) di atas, g(x dapat berupa kombinasi antara:

2 fungsi linear berbeda, g(x ! (x2a(x2bH.(x2t dstnya.

2 fungsi linear berulang, g(x ! (x2a n ! (x2a(x2a(x2a H (x2a

2 fungsi liner dan kuadrat, g(x ! (x2a(ax ) 7bx 7 0

2 fungsi kuadrat berbeda, g(x ! (ax () cbx ++ px ) 7 Jx 7 0

2 fungsi kuadrat berulang, g(x ! (ax ) cbx ++ n dan seterusnya.

d. "yatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n2pe0ahan parsial sehingga

integran dapat ditentukan antiturunannya,



19/41

Misal : =(

(

x g

x f ...

(())

)

11

1 ++

++ bax

A

bax

A (5enyebut kombinasi liner

berbeda

...((((

(4

4

)

)1 ++

++

++

=bax

A

bax

A

bax

A

x g

x f (kombinasi lenear berulang

...(

(

))

)

)

))

11

)

1

11 +++

++

+++

=c xb xa

B x A

c xb xa

B x A

x g

x f (kombinasi kuadrat berbeda

e. Integralkan se0ara keseluruhan jumlah n2pe0ahan parsial tersebut yang

merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan

konstanta $1 , $ ) , H$ n dan B 1 , B ) , HB n .

ontoh :

1. entukan ∫ − dx x 1)

)

'arena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan

integran:

∫ − 1)

) x dx ! ∫ +−

dx x x 1(1(

)

! ∫ ++− dx x B

x

A

1(1(

! dx x x

x B x A∫ +−

−++1(1(

1(1(

! ∫ +−−++

dx x x

B A x B A

1(1(

((

Eiperoleh $ 7 B ! , $ ? B ! ) atau $ ! 1, B ! 21 sehingga:

∫ − 1)

) xdx ! ∫ +

−+−

dx x x 1(

1

1

1

! ∫ − dx x 11

2 ∫ + dx x 11

! ln C x x ++−− 1ln1

! ln C x

x+

+

−

1

1

). ∫ −+,

1

1dx

x

x integran fungsi rasional tidak sejati, maka:

Kalkulus II “Integral” 1>


20/41

∫ ∫ −+=−+

dx x

dx x

x

1

)1

1

1

! ∫ ∫ −

+ dx x

dx1

)

! x 7 ln (x21 ) 7

2-6 Int#$!% Fun$*i R!*i/n!% 7!n$ M#u!t Sin 8 !n 4/* 8

Fungsi F(x ! (,(,(

( x f x g

x g

x f ≠ dan g(x mememuat fungsi

trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja

tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Aal ini dikarenakan f(x ! sin x dan

f(x ! 0os x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi

polinomial. 5engintegralan jenis ini menggunakan MKLEK -B-I-I.

Berikut ini diberikan beberapa 0ontoh fungsi rasional yang pembilang dan

penyebutnya memuat f(x ! sin x atau g(x ! 0os x.

1. F(x ! x

x

0os

sin1 −

). F(x ! x

x

sin

0ossin)1 ++

4. F(x ! x

x

0os

)sin: +

8. F(x ! xsin)4

1

−

. F(x ! x x 0ossin1

)

−+

-ehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan

penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1. ∫ −+ x xdx

0ossin1

). ∫ + xdx

0os)

4. ∫ ++ x xdx

0ossin1

8. ∫ x

x

sin

0ossin)1 ++ dx

. ∫ xsin)4

1

− dx



21/41

-elesaian integral bentuk2bentuk di atas adalah menggunakan metode

substitusi x ! ) ar0 tan sehingga dx ! dz z )1)

+ .-elanjutnya sin x dan

0o0 x di substitusi ke bentuk &ariabel . 'arena x ! ) ar0 tan maka:

z x

=

⇔)

tan

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri

1 7 tan

)

) x ! se0

)

) x

⇔ 1 7

=)

se0)) x

)

)

1

1

)0os

z

x

+=

⇔

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain

sin 10os)) =+ x x

1

)

0os

)

sin )) =

+

⇔ x x

, sehingga didapat

sin ))

1

11

) z

x

+−=

!)

)

1 z

z

+

Eengan rumus jumlah 0osinus didapat:

0os )x ! 0os − x) sin ) x

+

=⇔

)sin

)0os0os

)) x x x

)

)

) 11

1

0os z

z

z x +−+=⇔

!)

)

1

1

z

z

+−

Eengan rumus jumlah sinus didapat:

sin )x ! ) sin x 0os x

⇔ sin x ! ) sin

)

x 0os

)

x

! )))

)

11

1 z z z

++

Kalkulus II “Integral” )1


22/41

!)

1

)

z

z

+

Eengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri

dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi

x ! ) ar0 tan , sin x !)

1

)

z

z

+, 0os x !

)

)

1

1

z

z

+−

ntuk lebih jelasnya perhatikan beberapa 0ontoh di baah ini.

entukan selesaian dari :

1. ∫ ++ x xdx

0ossin1

6aab :

∫ ++ x xdx

0ossin1 ! ∫

+

−+

++

+

)

)

)

)

1

1

1

)1

1

)

z

z

z

z

dz z

! ∫ +

−+

++

+

++

)

)

))

)

)

1

1

1

)

1

1

1

)

z

z

z

z

z

z

z

dz

! ∫ + z dz

))

)

! ∫ + z dz

1

! ln z +1 7

! ln C x ++)

tan1

). ∫ − x

dx

0os)

6aab : ∫ − xdx

0os) ! ∫

+−−

+

)

)

)

1

1)

1

)

z

z

z

dz

! ∫ +−

−++

+

)

)

)

)

)

1

1

1

1()

1

)

z

z

z

z

z

dz

Kalkulus II “Integral” ))


23/41

! ∫ + )41)

z

dz

!∫

+

)

)

414

)

z

dz

! 44

) ar0 tan

4%1

z 7

!4

) ar0 tan 4 7

!4

)ar0 tan 4 (tan x%) 7

BAB III

INTEGRAL TAK AJAR

3-1 P#n$#ti!n

Kalkulus II “Integral” )4


24/41

-ebelum membahas konsep tentang integral tak ajar, marilah kita ingat

kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.

Teorema:

Misal fx! adala" fungsi yang kontinu dan terintegralkan #ada $ % &a'b(' dan

Fx! sebarang antiturunan #ada $' maka

∫ b

a

dx x f ( % [ ] ((( a F b F x F ba −=

ontoh :

1.8

)

8

)

)

)

11(∫

−=− x xdx x

! (82 N .1


25/41

a. Integran f(x mempunyai sekurang2kurangnya satu titik yang tidak kontinu

(diskontinu di *a,b+, sehingga mengakibatkan f(x tidak terdefinisi di titik

tersebut.

5ada kasus ini teorema dasar kalkulus ∫ b

a

dx x f ( ! F(b ? F(a tidak berlaku

lagi.

ontoh :

1 ∫ −8

8 x

dx, f(x tidak kontinu di batas atas x ! 8 atau f(x kontinu di *,8

) ∫ −)

1 1 x

dx

, f(x tidak kontinu di batas baah x ! 1 atau f(x kontinu di

(1,)+

4 ∫ −

8

4

)

)( x

dx, f(x tidak kontinu di x ! ) ∈ *,8+ atau f(x kontinu di *,)

∪ (),8+

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat *!tu tanda tak hingga

1 ∫ ∞

+

) 8 x

dx, integran f(x memuat batas atas di x ! ∞

) ∫ ∞−

,

) dxe x , integran f(x memuat batas baah di x ! 2∞

4 ∫ ∞

∞− +)81 x

dx, integran f(x memuat batas atas di x ! ∞ dan batasa baah

di x ! 2∞

5ada 0ontoh a (1,),4 adalah integral tak ajar dengan integran f(x tidak kontinu dalam batas2batas pengintegralan, sedangkan pada 0ontoh b (1, ), 4

adalah integral tak ajar integran f(x mempunyai batas di tak hingga (∞ .Integral tak ajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak ajar dengan

integran tidak kontinu Integral tak ajar dengan batas integrasi di tak hingga.

3-2 Int#$!% t!& ;!:! #n$!n int#$!n i*&/ntinu

!- )"8( &/ntinu i



26/41

'arena f(x tidak kontinu di x ! b, maka sesuai dengan syarat dan definsi

integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x ! b 2 ε ( →ε + ,

sehingga ∫ +→=b

a

dx x f

lim(ε

∫ −ε

b

a

dx x f (

'arena batas atas x ! b 2 ε ( x → b − , maka ∫ −→

=b

a bt

dx x f lim( ∫ t

a

dx x f (

5erhatikan beberapa 0ontoh di baah ini.

1 ∫ ∫ −

→ −=

− +ε

ε

8

8

8lim

8 x

dx

x

dx, f(x tidak kontinu di batas atas x ! 8,

sehingga

!ε

ε

−

→

−−

+

8

8)lim x

! 2) +→lim

ε

8(8(8 −−−− ε

! 2) ( 8lim,

−+→

ε ε

! 2)(2)

! 8

ara lain :

∫ ∫ −=− −→t

t x

dx

x

dx

8

8

8lim

8

! [ ]t

t

x 8

8)lim −−−→

! ,8)8)lim8

−+−−−→

t t

! 2)(7)()

! 8

) ∫ − −

)

))8 x

dx, f(x !

)8

1

x−

Fungsi di atas tidak kontinu di x ! ) dan x ! 2), sehingga:

maka =−∫ −)

))8 x

dx

) ∫ −)

)8 x

dx



27/41

! ) ∫ −)

)8 x

dx

! )

ε

ε

−

→

+

)

)ar0sin

x

)im

! ) ( )

−π

! π

.- )"8( &/ntinu i "!=.> !n ti!& &/ntinu i 8 , !

'arena f(x tidak kontinu di x ! a, maka sesuai dengan syarat dan definsi

integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x ! a 7 ε ( →ε

+ , sehingga ∫ +→=b

a

dx x f

lim(ε

∫ +

b

a

dx x f ε

(

'arena batas baah x ! a 7 ε ( x → a − maka dapat dinyatakan dalam

bentuk lain:

∫ +→=b

a at

dx x f lim( ∫ b

t

dx x f (

5erhatikan beberapa 0ontoh dibaah ini.

1 =−∫

8

4 4

4

x

dx∫ −+→8

4 4

4lim

t t x

dx

! [ ]8

44)(4lim t

t x −

+→

! 4


28/41

- )"8( &/ntinu i


29/41

!9

4

)

1

4

)

)

4lim

)

4lim

ε

ε

ε

ε

+→

−

−→

+

++

x x

! 2 <

)

4

+

!)

>

3-3 Int#$!% t!& ;!:! #n$!n .!t!* t!& ?in$$!

Bentuk integral tak ajar dengan batas tak hingga jika sekurang2kurangnya

batas2batas integrasinya memuat tak hingga. -elesaiannya berbeda dengan

integral tak ajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas

intergrasinya.

!- Int#$!% t!& ;!:! #n$!n .!t!* !t!* 8 , ∞ - -elesaiannya 0ukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang &ariable

dimana &ariable tersebut mendekati tak hingga. Eengan demikian integral tak

ajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.

∫ ∫ ∞→∞

=t

at

a

dx x f dx x f (lim(

5erhatikan 0ontoh berikut ini :

1 ∫ ∞

+

) 1 x

dx ! ∫ +∞→

t

t x

dx

)8

lim

!t

t

x

)ar0tan

)

1lim

→∞

!

−

∞→ar0tan

)

1

)ar0tan

)

1lim

t

t

! ( N .)

π

2 N .

!8

π

) ∫ ∞

1

) x

dx ! ∞→t

lim ∫ t

x

dx

1

)

!t

t x 1

1lim

−

∞→

!

t

t t 11

1

lim

+−∞→

Kalkulus II “Integral” )>


30/41

! 1

.- Int#$!% t!& ;!:! #n$!n .!t!* .!;!? i 8 , '∞ -elesaiannya 0ukup dengan mengganti batas baah dengan sebarang &ariable

dimana &ariable tersebut mendekati (negati&e tak hingga. Eengan demikian

integral tak ajar dengan batas baah tak hingga mempunyai selesaian:

∫ ∫ ∞−

−∞→=

a

t

a

t dx x f dx x f (lim(

5erhatikan 0ontoh berikut ini:

1. ∫ ∞−

,

) xe dx !

)

)

1lim

t

x

t e

−∞→

!

−

−∞→

t

t e)

)

11.)

1lim

! N 2

! N

). ∫ ∞− −

)8( x

dx!

8(

1lim

t t x

−−∞→

!

−+−−∞→ 8(1

8(

1

lim t t

! 78

1

! O

- Int#$!% t!& ;!:! .!t!* !t!* 8 , ∞ !n .!t!* .!;!? i 8 , '∞'husus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan

dua integral tak ajar dengan ∫ ∫ ∫ ∞

∞− ∞−

∞+=

a

a

dx x f dx x f x x f ((( , sehingga

bentuk penjumlahan integral tak ajar ini dapat diselesaikan dengan 0ara a

dan b tersebut di atas, atau diperoleh bentuk:

∫ ∫ ∫ ∞

∞− ∞−

∞

+=a

a

dx x f dx x f x x f (((

!

∫ ∫ ∞→−∞→+

t

a

a

t t t

dx x f dx x f (lim(lim



31/41

5erhatikan beberapa 0ontoh dibaah ini:

1. ∫ ∞

∞− + )81 x

dx

! ∫ ∫ ∞−

∞

++

+

))8181 x

dx

x

dx

! [ ]

8limt

t xarctg

−∞→ 7 [ ]

t

t xarctg

8lim

∞→

!)

π

). ∫ ∞

∞− +1) x

x

e

dxe ! ∫

∞− +

) 1 x

x

e

dxe 7 ∫

∞

+

) 1 x

x

e

dxe

! −∞→t lim ∫ +

) 1t

x

x

e

dxe 7 F

lim∞→t ∫ +

t

x

x

e

dxe

) 1

! −∞→t lim

(ar0 tgn e x

t 7 ∞→t

lim(ar0 tgn e x t

! +−8)

π π

8−π !

)

π

BAB IV

RUMUS'RUMUS DASAR INTEGRAL

Misal u adalah suatu fungsi yang terintegralkan dan sebuah konstanta,

dengan memperhatikan sifat2sifat operasi $ljabar fungsi (penjumlahan,

pengurangan, perkalian dan pembagian dapat diperikan beberapa sifat Integral tak

tentu fungsi yang terintegralkan. -ifat2sifat berikut berlaku untuk syarat yangdiberikan.

1. ∫ nu du !

1

1

+

+

n

u n 7 , jika n ≠ 21

). [ ] [ ]

C n

xudx xu xu

nn

++

=+

∫ 1(

(D(1

, jika n ≠ 21

4. ∫ udu

! ln u 7 atau ∫ += C x f dx x f x f

(ln(

(D

8. ∫ eu du ! eu 7



32/41

. ∫ au du !u

a u

ln7

. ∫ se0) u du ! tan u 7

1. ∫ 0s0) u du ! 2 0ot u 7

11. ∫ se0 u tan u du ! se0 u 7

1). ∫ 0s0 u 0ot u du ! 2 0s0 u 7

14. ∫ tan u du ! ln use0 7

18. ∫ 0ot u du ! ln usin 7

1. ∫ se0 u du ! ln uu tanse0 + 7

1. ∫ =− )) uadu

a)

1 ln

au

au

−

+ 7

). ∫ =− )) audu

a)

1 ln

au

au

+

− 7

)1. ∫ + )) au

du! ln (u 7 )) au + 7

)). ∫ − )) audu ! ln (u 7 )) au − 7

)4. ∫ )) ua − du ! N u −− )) au C a

ua +ar0sin

)

1 )

)8. ∫ )) auudu

− !

a

1 ar0 se0

a

u7

). ∫ −)) au du ! N u −− )) au ))) ln

)

1auua −+ 7

)


33/41

)=. ∫ sin) u du !)

1u ?8

1sin )u 7

)9. ∫ 0os) u du !)

1u 7 O sin )u 7

)>. ∫ tan) u du ! 2u 7 tan u 7

4. ∫ 0ot) u du ! 2 u ? 0ot u 7

41. ∫ sin4 u du ! 24

1( ) 7 sin) u 0os u 7

4). ∫ 0os4 u du !4

1( ) 7 0os) u sin u 7

44.

∫ tan4 u du !

)

1 tgn) u 7 ln u0os 7

48. ∫ 0ot4 u du ! 2)

1 0ot) u 2 ln usin 7

4. ∫ se04 u du !)

1 se0 u tan u 7

)

1 ln uu tanse0 + 7

4. ∫ sin au 0os bu du ! 2 ()0os(

ba

uba

−−

2()

0os(

ba

uba

++

7 , jika a) ≠ b)

8. ∫ sinnu du ! 2n

uun 0ossin 1− 7

n

n 1− ∫ sin n2) u du

81. ∫ 0osn u du !n

uun sin0os 1− 7

n

n 1− ∫ 0os n2) u du

8). ∫ tann u du !1

1

−n tan n21 u 2 ∫

−)tan n u du jika n ≠ 1

84. ∫ 0ot n u du ! 21

1

−n 0ot n21 u 2 ∫ −)0ot n gn u du jika n ≠ 1

88. ∫ se0 n u du !1

1

−n se0 n2) u tgn u 7

1

)

−−

n

n∫ se0 n2) u du, jika n ≠ 1

8. ∫ 0s0 n u du! 21

1

−n 0s0 n2) u 0ot u 7

1

)

−−

n

n∫ 0s0 n2) u du, n ≠ 1



34/41

8. ∫ un sin u du ! 2un 0os u 7 n ∫ u n21 0os u du

. ∫ un 0os u du ! un sin u 7 n ∫ u n21 sin u du

1. ∫ sin u d(sin u !)

1sin ) u 7

). ∫ 0os u d(0os u ! )1 0os) u 7

4. ∫ tan u d(tan u !)

1tan ) u 7

8. ∫ 0ot u d(0ot u ! N 0ot) u 7

. ∫ se0 u d(se0 u ! N se0) u 7

. ∫ ))au

du

± ! ln )) auu ±+ 7


35/41


36/41

94. ∫ un ln u du !1

1

+

+

n

u n ln u 2 )

1

1( +

+

n

u n

7

98. ∫ eau sin bu du !)) ba

eau

+ (a sin bu ? b 0os bu 7

9. ∫ eau 0os bu du ! ))ba

eau

+ (a 0os bu 7 b sin bu 7

9. ∫ u ar0 sin u du ! O ()u) ? 1 ar0 sin u 7 8u )1 u− 7

>. ∫ u ar0 tan u du ! N (u) 7 1 ar0 tan u 2)

u 7

>1. ∫ u ar0 se0 u du !)

)uar0 se0 u ? N 1) −u 7

>). ∫ u ar0 sin u du !1

1

+

+

n

un

ar0 sin u 21

1

+n ∫ −+

)

1

1 u

u n

du 7 , jika n ≠ 21

>4. ∫ un ar0 tan u du ! 1

1

+

+

nu

n

ar0 tan u 21

1+n ∫ +

+

)

1

1 uu

n

du 7 , jika n ≠ 21

>8. ∫ un ar0 se0 u du !1

1

+

+

n

u n ar0 se0 u 2

1

1

+n ∫ −+

1)

1

u

u n

du 7 , jika n ≠ 21

>. ∫ sinh u du ! 0osh u 7

>=. ∫ tanh u du ! ln (0osh u 7

>9. ∫ 0oth u du ! lnusinh 7

>>. ∫ se0h u du ! ar0 tan usinh 7

1. ∫ 0s0h u du ! ln )tanh

u 7

11. ∫ sinh ) u du ! O sinh u 2)

u 7

1). ∫ 0osh ) u du ! O sinh u 7)

u 7

14. ∫ tanh ) u du ! u 2 tanh u 7



37/41

18. ∫ 0oth ) u du ! u ? 0oth u 7

1. ∫ se0h ) u du ! tanh u 7

1. ∫ u(au7b21 du ! )a

b

a

u− ln bau + 7

11. ∫ u(au 7 b2) du !

+++

bau

bbau

aln

1) 7

111. ∫ u(au7bn du ! )1

(abau n+

+

+−++ 1) nb

nbau 7 , jika n ≠ 21, 2)

11). ∫ nuadu

( )) ± !

±

−+±− ∫ −− 1))1))) (1)((1()

1nn

ua

dun

ua

u

na7

, n ≠ 1

114. ∫ u bau + du ! C baubaua

++− )4

)()4(

1:

)

118. ∫ un bau + du !

+−++ ∫ − bauunbbauuna

nn 1)

4

(4)(

)

7

11. ∫ bau

udu

+! baubau

a+− )(

4

))

7

11. ∫ )) uau − ! arcn

auau

au )

))

)+−

− sin

a

au − 7

1). ∫ )) uaudu

− ! ar0 sin

a

au − 7

Kalkulus II “Integral” 4=


38/41

1)1. ∫ un )) uau − ! ++−−

)

)( )4

)1

n

uauun

)

1)(

++

n

an

∫ −− )1

) uauu

n

du

1)). ∫ )) uauduu n

− ! 2 )

1

) uaun

u n−

−

7 ∫ −n

an 1)()

1

) uau

duu n

−

−

7

1)4. ∫ u

uau )) − ! +− )) uau a ar0 sina

au − 7

1)8. ∫ n

u

uau )

) − ! +−

−n

aun

uau

)4(

)( )4

)

∫ −−

−−

duu

uau

an

nn 1

))

4)(

4

1). ∫ )(

)uauu

dun −

! ∫ −−

−+−

−− )1

)

)1)(

1

)1(

)

uuu

du

an

n

una

uaunn

1). uuu

du

)

1tan1ln

0ossin1+=

++∫ 7

14. ∫ + duuudu

)sin1

sin! )

8

1 ln

))4

)

tan

))4)

tan

)

)

++

−+

u

u

7

141. ∫ =− uuduu

0os1

0ossin 0os u 7 ln (120os u 7

14). ∫ sin u du ! 2 u) 0os u 7 ) sin u 7

144. ∫ − udu

sin)1 !

4))

tan

4))

tan

ln4

4

+−

−−

u

u

7



39/41

148. ∫ + udu

sin)!

4

1)

)

4

) +

utgn

arctgn 7

14. ∫ + udu

sin:4 !

4)

tan

1)

tan4ln

8

1

+

+u

u

7

14.C

u

u

du+

+=

+∫ 48

)tan:

ar0tan4

)

sin8:

18. C u

u

du+

=

+∫ )tan44

ar0tan4

4)

0os)

181. ∫ C u

u

du+=

−

)tan:ar0tan(

:

:)

)4

18). C u

u

uu

udu ++=+∫ 0os

0os1ln

0os1(0os

sin )

)

184. ++=+

+∫ uu

uduutan1ln

tan1

se0tan)()

))

C u

+−

4

1tan)ar0tan

4

)

188. ∫ =

− )sin1 x

dx

)(tan C x x

++

)

se0

)

18. ∫ +−

=+

C x

x

x

dx

4sin4

40os1

40os1

18

9sin )

)

Kalkulus II “Integral” 4>


40/41

18>. ∫ + axdx

se01 ! x 7

a

1(0ot ax20s0 ax 7

1. C a

xadx

a

x

a

x+=∫ )) tan)

1tanse0

DAFTAR PUSTAKA

Eale Parberg., Kdin 6. 5ur0ell. )1. *alkulus +ilid $ edisi ,!. $lih Bahasa I

"yoman -usila. Batam: Interaksara.



41/41

'oko Martono, 1>>4. *alkulus $ntegral $ . Bandung: $l&a Gra0ia

$0hsanul In’am, ). *alkulus $ . Malang: MM 5ress.

PPIP KALKULUS 2

Documents

Transcript of PPIP KALKULUS 2