8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
1/41
TUGAS PPIP
KALKULUS II
EMIL
093 2011 0023
JURUSAN TEKNIK PERTAMBANGAN
FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
UNIVERSITAS MUSLIM INDONESIA
MAKASSAR
2016
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
2/41
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Anti Tuun!n "Int#$!% T!&'t#ntu(Matematika mempunyai banyak pasangan operasi balikan: penambahan dan
pengurangan,perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar, serta
penarikan logaritmadan penghitungan logaritma.
D#)ini*i +
Fungsi F dikatakan anti turunan dari fungsi f pada selang I jika F’(x ! f(x
untuk semua x di I."otasi : F(x ! # f(x dxIntegral tak tentu adalah
$nti%In&ers%'ebalikan turunan.
ontoh :
Integral tak tentu adalah operator liner, yaitu bersifat :
a.
b.
1.) Int#$!% T#t#ntu
D#)ini*i +
Misal f(x suatu fungsi yang didefinisikan pada *a,b+, selanjutnya f(x
dikatakan terintegralkan (integrable pada *a,b+
jika ∑=→
∆n
iii
P x x f
1(lim ada.
-elanjutnya ∫ b
a
dx x f ( disebut Integral entu (Integral /iemann f(x dari a
ke b, dan didefinisikan
∫ b
a
dx x f ( , ∑=→
∆n
iii
P x x f
1(lim -
Kalkulus II “Integral” )
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
3/41
∫ b
a
dx x f ( menyatakan luas daerah yang ter0akup diantara kur&a
y ! f(x dan sumbu x dalam selang *a,b+, jika ∫ b
a
dx x f ( bertanda negatif
maka menyatakan luas daerah yang berada dibaah sumbu x.
D#)ini*i +
a. ∫ a
a
dx x f ( !
b. ∫ b
a
dx x f ( ! 2 ∫ a
b
dx x f ( , a 3 b
1.4 Si)!t'Si)!t Int#$!% T#ntu
!- -ifat 5enambahan -elang
eorema :
6ika f(x terintegralkan pada suatu selang yang memuat tiga titik a, b dan 0,
maka :
dx x f c
a∫ ( ! dx x f
b
a∫ ( 7 dx x f
c
b∫ ( bagaimanapun urutan a, b dan 0.
ontoh :
1. dx xdx xdx x ∫ ∫ ∫ +=)
1
)1
))
) ). dx xdx xdx x ∫ ∫ ∫ +=)
4
)4
))
)
4. dx xdx xdx x ∫ ∫ ∫ −
−+=
)
1
)1
))
)
.- -ifat -imetri
6ika f(x fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat
f(2x ! f(x , maka:
Kalkulus II “Integral” 4
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
4/41
dx x f a
a∫
−
( ! ) dx x f a
∫
( dan
6ika f(x fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat
f(2x ! 2 f(x, maka
dx x f a
a∫
−
( ! .
ontoh :
1. ∫ ∫ =
=
−
π π
π 8
0os)8
0os dx x
dx x
)88
1.
80os9
∫ =
π
dx x
). dx x
x
∫ − +
:
:)
:
8 !
-e0ara lebih umum, sifat2sifat integral tertentu adalah:
6ika f(x dan g(x kontinu pada inter&al *a,b+ dan k ∈/eal dan f(x, g(x
terintegralkan pada inter&al tersebut, maka:
1. ∫ ∫ =b
a
b
a
dx x f k dx xkf ((
). dx x g dx x f dx x g x f b
a
b
a
b
a
∫ ∫ ∫ +=+ ((+((*
4. ,((+((* dx x g dx x f dx x g x f b
a
b
a
b
a
∫ ∫ ∫ −=−
8. ( =∫ a
a
dx x f
. ∫ ∫ −=
a
b
b
a
dx x f dx x f ((
, jika b ; a
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
5/41
>. 6ika F(u ! ∫ b
a
dx x f ( , maka (( u f u F du
d =
1. ∫
b
adx x f ( ! (b2a ( o x f untuk paling sedikit x ! x o antara a dan b.
11. ∫ ∫ ≤b
a
b
a
dx x g dx x f (( jika dan hanya jika f(x ≤ g(x untuk setiap x ∈
*a,b+.
1). (( x f dt t f D x
a x
=
∫
1.8 T#/#! D!*! K!%&u%u*
eorema dasar 'alkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral
entu, berikut teorema tersebut :
Misal f(x kontinu pada *a,b+ dan F(x sebarang anti turunan f(x, maka
∫ b
a
dx x f ( , F".( F"!(
-elanjutnya ditulis F(b ? F(a ! ba x F +(*
ontoh :
5erlihatkan baha jika r ∈ @ dan r ≠ 21, maka
11
11
+−
+=
++∫
r
a
r
bdx x
r r b
a
r
6aab :
'arena F(x !1
1
+
+
r
xr suatu anti turunan dari f(x ! xr , maka menurut teorema
dasar 'alkulus 11((
11
+−+=−=
++
∫ r a
r
b
a F b F dx x
r r b
a
r
Kalkulus II “Integral”
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
6/41
Integral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat :
Misal f(x dan g(x terintegralkan pada *a,b+ dan k suatu konstanta, maka:
a. ∫ =b
a
dx xkf ( k ∫ b
a
dx x f (
b. dx x g x f b
a
+((*∫ + ! ∫ b
a
dx x f ( 7 ∫ b
a
dx x g (
ontoh :
Aitung dx x x
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
7/41
adalah: eknik -ubstitusi, Integral Fungsi rigonometri, eknik -ubstitusi Fungsi
rigonometri, Integral 5arsial, Integral Fungsi /asional, dan Integral Fungsi /asional
yang memuat fungsi rigonomteri.
Berikut ini penjelasan teknik2teknik dalam pengintegralan.
2-1 T#&ni& Su.*titu*i
Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan. eknik substitusi pada
umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus
dasar rumus integral tak tentu, yaituC
a. ∫ n x dx !
1
1
+
+
n
x n 7 , asalkan n ≠ 21 atau
b. [ ] dx x f x f n
(D(∫ ![ ]
1
( 1
+
+
n
x f n
7 , asalkan n ≠ 21
'arena rumus di atas adalah pedoman umum. maka integrannya
menyesuaikan dengan rumus di atas. 6ika belum sesuai atau menyimpang dari
bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Eengan demikian
setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan
mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu. $khirnya selesaiannya dapat
dilakukan dengan metode substitusi.
5erhatikan beberapa 0ontoh berikut:
1. ∫ − x1 dx
Misal u ! x−1
xu −=⇔ 1)
1(()
xd ud −=⇔
dxudu −=⇔ )
-ubstitusi bentuk terakhir ke ∫ − x1 dx, diperoleh
∫ − duuu )( ! 2) ∫ duu)
Eengan rumus dasar di dapat
∫ − x1 dx ! 2) ∫ duu)
! 2) C u
+
4
4
Kalkulus II “Integral” =
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
8/41
! 2 C x +− 41(4
)
). ∫ + dx x111)4(
Misal $ ! 4x 7 1)
d($ ! d(4x71)
d$ ! 4 dx
dx !4
dA
-ehingga ∫ + dx x111)4( ! ∫ 4
11 dA A
! ∫ dA A11
4
1
! C A
+1)
(4
1 1)
! C A +1)4<
1
! C x
++4<
1)4( 1)
2-2 Int#$!% Fun$*i Ti$/n/#ti
-ebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri se0ara lebih rin0i,
berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi a0uan untuk
menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk
dasar tersebut adalah:
1. ∫ xsin dx ! 20os x 7
). ∫ x0os dx ! sin x 7
4. ∫ tan x dx ! ln C x +se0
! 2ln C x +0os
8. ∫ 0ot x dx ! 2 ln C x +0s0
! ln C x +sin
. ∫ xse0 dx ! ln C x x ++ tanse0
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
9/41
Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus
bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya
adalah:
!- ∫ ,sin xdxm
dan ∫ xdxm0os dengan m bilangan ganjil atau genap positip
6ika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m21 7 1, atau m
digenapkan terdekat. -elanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan
identitas 10ossin )) =+ x x !t!u *in x) , 1 ' /* x) !t!u /* x) , 1 ' *in
x) -
$khirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran
dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.
ontoh:
1. ∫ xdx4sin
6aab :
∫ xdx4sin ! dx x∫ +− 114(sin
! x xsinsin )∫ dx
! ∫ −− 0os(0os1()
xd x
! ∫ ∫ +− (0os0os0os(1) xd xd
! 20os x 7 C x +40os4
1
). dx x∫ :0os
6aab :
dx x∫ :0os ! ∫
+− x11:(0os dx
! xdx x0os0os8∫
! ∫ − (sinsin1()) xd x
! (sinsinsin)1( 8) xd x x +−∫
! ∫ ∫ ∫ +− (sinsin(sinsin)(sin18) x xd x xd xd
! sin x 2 C x x ++ :4 sin:
1sin
4
)
.- ∫ xdx x nm 0ossin
Kalkulus II “Integral” >
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
10/41
6ika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang
bilangan, maka faktorkan sin x atau 0os x dengan menggunakan kesamaan
identintas 10ossin )) =+ x x dengan terlebih dahulu mengubah salah satu
bilangan ganjil. Misal m ganjil maka ubah m dengan m ! (m2171 , jika n
ganjil diubah menjadi (n2171. 6ika m dan n genap digunakan kesamaan
setengah sudut sin x) !)
)0os1 x− dan 0os
)
)0os1) x x += sehingga
diperoleh hasil pengintegralannya.
ontoh
1. ∫ xdx x)4 0ossin
6aab
'arena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas
∫ xdx x)4 0ossin ! dx x∫ +− )114( 0ossin
∫ dx x x)) 0ossinsin ! ∫ − xdx x x sin0os0os1(
))
! 0os(0os(0os 8) xd x x −−∫
! ∫ ∫ −−− 0os(0os0os(0os8) x xd x xd
! C x x ++− :4 0os:
10os4
1
! 0os C x x +− 4
10os
:
1(
)4
). xdx x 4) 0ossin∫
'arena n ganjil, maka ubah menjadi genap
xdx x 4) 0ossin∫ ! ∫ xdx x x 0os0ossin))
! ∫ −
(sinsin1(sin
))
xd x x
! ∫ ∫ − (sinsin(sinsin8) x xd x xd
! C x x +− :4 sin:
1sin
4
1
- ∫ ,tan xdxn dan dx xn∫ 0ot
Kalkulus II “Integral” 1
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
11/41
Ealam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas 1 7 x x )) se0tan =
dan 170ot x x )) 0s0= . 6ika n ganjil ubah menjadi (n2171 dan gunakan
kesamaan 1 7 x x )) se0tan = dan 170ot x x )) 0s0= .
5erhatikan 0ontoh berikut:
1. ∫ xdx4tan
'arena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah
satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 7
x x ))se0tan =
-ehingga diperoleh
∫ xdx4tan
! ∫ x)tan
tanx dx ! ∫ − 1(se0) x tan x dx
! ∫ x)se0 tan x dx 2 ∫ tan x dx
! ∫ tan x se0 x) dx ? ln xse0 7
! ∫ xtan d(tan x ? ln xse0 7
! C x x +− se0lntan)
1 )
). ∫ xdx80ot
'arena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas 170ot
x x ))0s0= , sehingga didapat
∫ xdx80ot ! dx x )) (0ot∫
! ∫ − dx x)) 1(0s0
! dx x x 10s0)(0s0 )8∫ +−
! ∫ +− dx x x x 10s0)0s0(0s0)))
! ∫ +−+ F10s0)0s00ot1( ))) dx x x x
! ∫ ∫ ∫ +−−−+ dx xd xd x 0ot()0ot(0ot1()
! C x x x x +++−− 0ot)0ot4
10ot( 4
! C x x x +++− 0ot0ot4
1 4
Kalkulus II “Integral” 11
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
12/41
- ∫ xdx x nm se0tan , dan ∫ xdx x
nm 0s00ot
Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n
sebarang. 6ika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 7 tan x x )) se0=
atau 1 7 0ot x) ! 0s0 x) .
ontoh
1. dx x x∫ 8: se0tan
'arena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan
kesamaan identitas 17tan x x )) se0= , sehingga diperoleh
dx x x∫ 8: se0tan ! dx x x x∫ )): se0se0tan
! dx x x x∫ +)): se0tan1(tan
! ∫ + tan(tan =: x x d(tgnx
! C x x ++ 9< tan9
1tan
<
1
). dx x x∫ 88 0s00ot
6aab :
dx x x∫ 88 0s00ot ! dx x x x∫ (0s0(0s00ot
))8
! 0ot(1(0ot0ot )8 xd x −−∫
! 0ot(0ot(0ot 8< xd x x −−∫
! C x x ++− := 0ot:
10ot
=
1
-edangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan
menggunakan substitusi kesamaan identitas 1 7 tan x x )) se0= atau 1 7 0ot
x) ! 0s0 x) .
ontoh:
1. ∫ xdx x44 se0tan ! ∫ xdx x x x se0se0tantan ))
! ∫ (se0se0tan )) xd x
! (se0se01(se0 )) xd x x∫ −
! (se0se0(se0)
8 xd x x∫ −
! C x x +− 4: se04
1se0:
1
Kalkulus II “Integral” 1)
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
13/41
). ∫ − xdx x )%14 se0tan ! ∫ x
)tan tan x se0 x)%4− se0 x dx
! ∫ x)(se0 21se0 x)%4− d(se0 x
! ∫ −
x
)%1
(se0 se0 )%4
x
−
d(se0x
! x x )%1)%4 se0)se04
) −+ 7
#- ∫ nxdxmx0ossin , ∫ ,sinsin nxdxmx ∫ nxdxmx0os0os
Integral bentuk ini juga sering mun0ul, untuk menyelesaikannya digunakan
rumus kesamaan hasil kali, yaitu:
sin mx 0os nx ! +sin(*sin()1
xnm xnm −++
sin mx sin nx ! +0os(*0os()
1 xnm xnm −−+−
0os mx 0os nx ! +0os(*0os()
1 xnm xnm −++
ontoh :
1. ∫ sin 4x 0os 8x dx ! ∫ −++ +84sin(84*sin()1
x x dx
! ∫ x=sin)1
7 sin (2x dx
! x=0os18
1− 2 0os)
1x 7
). ∫ x x )sin4sin dx ! ∫ −−+− +)40os()4*0os()1
x x dx
!
∫ −
)
1(0os x ? 0os x dx
! sin1
1− x 7 sin)
1x 7
4. ∫ 0os y 0os 8y dy ! ∫ + y81*0os()1
70os(128y+ dy
! ∫ −+ +40os(:*0os)1
y x dy
! C y y +− 4sin<1:sin
11
Kalkulus II “Integral” 14
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
14/41
2-3 T#&ni& Su.*titu*i Fun$*i Ti$/n/#ti
eknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral
jika integrannya memuat bentuk2bentuk:
a. )) xa − , a 3 , a ∈ /eal
b. )) a x + ! )) xa + , a 3 , a ∈ /eal
0. )) a x − , a 3 , a ∈ /eal
atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya
))) xba − ! ))
xb
a−
xba )) + ! ))
xb
a+
))) b xa − !)
)
−a
b x atau cbxax ++) yang dapat diubah menjadi bentuk
kuadrat sempurna.
Integrannya memuat )) xa − atau sejenisnya, Gunakan substitusi
x ! a sin t atau sin t ! a
x
x ! a sin t ⇔ dx ! a 0os t dt
dengan 2)
π
)
π ≤≤ t sehingga,
)) xa − ! )) sin( t aa −
! sin1( )) t a −
! a 0os t
4!t!t!n +
Gambar segitiga siku2siku di atas yang masing2masing sisinya diketahui
berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu 0os t, tan t,
0ot t, se0 t, dan 0s0 t. Aal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari
pengintegralan adalah fungsi2fungsi tersebut.
ontoh:
entukan hasil pengintegralan berikut ini:
1. ∫ )
8 x− dx6aab :
Kalkulus II “Integral” 18
t x a
)) xa −
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
15/41
-ubstitusi x ! ) sin t
⇔ sin t !)
x
dx ! ) 0os t dt )8 x− ! t t 0os)sin88 ) =−
-ehingga :
∫ )8 x− dx ! ∫ tdt t 0os).0os)
! ∫ tdt t 0os0os8
! 8 ∫ tdt )0os ! 8 ∫
+dt
t
)
)0os1(
! ) ∫ dt 7 ) ∫ t )0os dt
! )t 7 sin )t 7
! )t 7 ) sin t 0os t
! ) ar0 sin)
8
))
) x x x −+
7
$tau 8 ∫ tdt )0os ! 8 (
)
0ossin t t 7 C t +
)
1
! ) sint 0ost 7 )t 7
! )
)
x
)
8 ) x− 7 ) ar0 sin
)
x7
! C x x x
+
−
−)
ar0sin))
8 )
). ∫ − )8 x x
dx
6aab :
∫ − )8 x x
dx ! ∫
−− ))(8 xdx
-ubstitusi (x2) ! ) sin t,
dx ! ) 0os t dt
t x 0os))(8 ) =−− , sehingga
∫ −− ))(8 x
dx ! ∫ t
tdt
0os)
0os)
! ∫ dt
Kalkulus II “Integral” 1
t x
)
)8 x−
)− x
)8 x x −
)
t
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
16/41
! t 7
! ar0 sin
−
)
) x 7
2-5 Int#$!% P!*i!%
-e0ara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian integral
yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi u&, dimana u ! f(x dan & !
g(x.
'arena y ! u&, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y ! u&
diperoleh :dy ! d(u&
d(u& ! u d& 7 & du
Eengan mengintegralkan masing2masing bagian diperoleh
∫ ∫ ∫ += vduudvuvd (
⇔ ∫ ∫ ∫ −= vduuvd udv (
⇔ ∫ ∫ −= vduuvudv
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. 5rinsip yang digunakan
dalam integral parsial adalah integran yang berbentu u& di manipulasi menjadi u
d& dan dalam menentukan ud& tidak boleh memun0ulkan persoalan yang lebih
sulit dibandingkan dengan ∫ udv tersebut.
5erhatikan beberapa 0ontoh berikut ini.
entukan integral persial berikut ini
1 ∫ xdx x0os6aab :
Bentuk ∫ xdx x0os diubah menjadi ∫ ud&,
Misal u ! x , d& ! 1 dx
d& ! 0os x dx , & ! ∫ x0os dx ! sin x
$kibatnya ∫ xdx x0os ! ∫ x d(sin x.
Eengan rumus integral parsial
∫ ∫ −= vduuvudv , diperoleh
Kalkulus II “Integral” 1
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
17/41
∫ x d(sin x ! x sin x 2 ∫ xsin d(x
! x sin x 2 ∫ xsin dx
! x sin x 7 0os x 7 $khirnya diperoleh ∫ xdx x0os ! x sin x 7 0os x 7
) ∫ + x x 1 dx
5ilih u ! x , du ! dx
d& ! x+1 , & ! ∫ + x1 dx ! 4 14
) x+
-ehingga ∫ + x x 1 dx ! ∫ + 14)
( 4 x xd
Berdasarkan rumus integral parsial
∫ ∫ −= vduuvudv , diperoleh
∫ + x x 1 dx ! ∫ + 14)
( 4 x xd
! 4 114
) + x 2 ∫ + (14) 4 xd x
! 4 114
) + x 2 ∫ + dx x4 14)
! 4 114
) + x 2 C x ++4 81(8
)
2- Int#$!% Fun$*i R!*i/n!%-
Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x !
(
(
x g
x f , dimana f(x , g(x adalah fungsi pangkat banyak (polinom dan g(x ≠
.
Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan
f(x ! a o 7 a1 x 7 a ) x ) 7 a 4 x 4 7 H 7 a n x n , n ! 1, ), 4, H , sehingga
fungsi rasional adalah fungsi berbentuk(
(
x g
x f yang pembilang dan
penyebutnya polinom.
ontoh :
Kalkulus II “Integral” 1=
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
18/41
a. F(x !)4
1) +−
− x x
x(Fungsi /asional -ejati
b. F(x !88
8)
)
+−
−
x x
x(Fungsi /asional idak -ejati
0. F(x ! x x
x x x
:
1)4
4:
++−+
(Fungsi /asional idak -ejati
5ada 0ontoh di atas, (1 disebut fungsi rasional sejati, karena derajat
pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan () dan (4 disebut fungsi
rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan
derajat penyebut.
ntuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati,
maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian
panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. -ehingga:
F(x ! x x
x x x
:
1)4
4:
++−+
! x 4)− 7 x x
x
:
118(4 +
+
F(x !(
(
x g
x f , g(x ≠ .
Ealam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:
a. "yatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.
b. Faktorkan penyebut g(x dari fungsi rasional F(x !(
(
x g
x f sampai tidak
dapat difaktorkan lagi.
0. Ealam hal langkah nomor ) di atas, g(x dapat berupa kombinasi antara:
2 fungsi linear berbeda, g(x ! (x2a(x2bH.(x2t dstnya.
2 fungsi linear berulang, g(x ! (x2a n ! (x2a(x2a(x2a H (x2a
2 fungsi liner dan kuadrat, g(x ! (x2a(ax ) 7bx 7 0
2 fungsi kuadrat berbeda, g(x ! (ax () cbx ++ px ) 7 Jx 7 0
2 fungsi kuadrat berulang, g(x ! (ax ) cbx ++ n dan seterusnya.
d. "yatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n2pe0ahan parsial sehingga
integran dapat ditentukan antiturunannya,
Kalkulus II “Integral” 19
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
19/41
Misal : =(
(
x g
x f ...
(())
)
11
1 ++
++ bax
A
bax
A (5enyebut kombinasi liner
berbeda
...((((
(4
4
)
)1 ++
++
++
=bax
A
bax
A
bax
A
x g
x f (kombinasi lenear berulang
...(
(
))
)
)
))
11
)
1
11 +++
++
+++
=c xb xa
B x A
c xb xa
B x A
x g
x f (kombinasi kuadrat berbeda
e. Integralkan se0ara keseluruhan jumlah n2pe0ahan parsial tersebut yang
merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan
konstanta $1 , $ ) , H$ n dan B 1 , B ) , HB n .
ontoh :
1. entukan ∫ − dx x 1)
)
'arena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan
integran:
∫ − 1)
) x dx ! ∫ +−
dx x x 1(1(
)
! ∫ ++− dx x B
x
A
1(1(
! dx x x
x B x A∫ +−
−++1(1(
1(1(
! ∫ +−−++
dx x x
B A x B A
1(1(
((
Eiperoleh $ 7 B ! , $ ? B ! ) atau $ ! 1, B ! 21 sehingga:
∫ − 1)
) xdx ! ∫ +
−+−
dx x x 1(
1
1
1
! ∫ − dx x 11
2 ∫ + dx x 11
! ln C x x ++−− 1ln1
! ln C x
x+
+
−
1
1
). ∫ −+,
1
1dx
x
x integran fungsi rasional tidak sejati, maka:
Kalkulus II “Integral” 1>
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
20/41
∫ ∫ −+=−+
dx x
dx x
x
1
)1
1
1
! ∫ ∫ −
+ dx x
dx1
)
! x 7 ln (x21 ) 7
2-6 Int#$!% Fun$*i R!*i/n!% 7!n$ M#u!t Sin 8 !n 4/* 8
Fungsi F(x ! (,(,(
( x f x g
x g
x f ≠ dan g(x mememuat fungsi
trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja
tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Aal ini dikarenakan f(x ! sin x dan
f(x ! 0os x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi
polinomial. 5engintegralan jenis ini menggunakan MKLEK -B-I-I.
Berikut ini diberikan beberapa 0ontoh fungsi rasional yang pembilang dan
penyebutnya memuat f(x ! sin x atau g(x ! 0os x.
1. F(x ! x
x
0os
sin1 −
). F(x ! x
x
sin
0ossin)1 ++
4. F(x ! x
x
0os
)sin: +
8. F(x ! xsin)4
1
−
. F(x ! x x 0ossin1
)
−+
-ehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan
penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:
1. ∫ −+ x xdx
0ossin1
). ∫ + xdx
0os)
4. ∫ ++ x xdx
0ossin1
8. ∫ x
x
sin
0ossin)1 ++ dx
. ∫ xsin)4
1
− dx
Kalkulus II “Integral” )
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
21/41
-elesaian integral bentuk2bentuk di atas adalah menggunakan metode
substitusi x ! ) ar0 tan sehingga dx ! dz z )1)
+ .-elanjutnya sin x dan
0o0 x di substitusi ke bentuk &ariabel . 'arena x ! ) ar0 tan maka:
z x
=
⇔)
tan
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri
1 7 tan
)
) x ! se0
)
) x
⇔ 1 7
=)
se0)) x
)
)
1
1
)0os
z
x
+=
⇔
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain
sin 10os)) =+ x x
1
)
0os
)
sin )) =
+
⇔ x x
, sehingga didapat
sin ))
1
11
) z
x
+−=
!)
)
1 z
z
+
Eengan rumus jumlah 0osinus didapat:
0os )x ! 0os − x) sin ) x
+
=⇔
)sin
)0os0os
)) x x x
)
)
) 11
1
0os z
z
z x +−+=⇔
!)
)
1
1
z
z
+−
Eengan rumus jumlah sinus didapat:
sin )x ! ) sin x 0os x
⇔ sin x ! ) sin
)
x 0os
)
x
! )))
)
11
1 z z z
++
Kalkulus II “Integral” )1
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
22/41
!)
1
)
z
z
+
Eengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri
dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi
x ! ) ar0 tan , sin x !)
1
)
z
z
+, 0os x !
)
)
1
1
z
z
+−
ntuk lebih jelasnya perhatikan beberapa 0ontoh di baah ini.
entukan selesaian dari :
1. ∫ ++ x xdx
0ossin1
6aab :
∫ ++ x xdx
0ossin1 ! ∫
+
−+
++
+
)
)
)
)
1
1
1
)1
1
)
z
z
z
z
dz z
! ∫ +
−+
++
+
++
)
)
))
)
)
1
1
1
)
1
1
1
)
z
z
z
z
z
z
z
dz
! ∫ + z dz
))
)
! ∫ + z dz
1
! ln z +1 7
! ln C x ++)
tan1
). ∫ − x
dx
0os)
6aab : ∫ − xdx
0os) ! ∫
+−−
+
)
)
)
1
1)
1
)
z
z
z
dz
! ∫ +−
−++
+
)
)
)
)
)
1
1
1
1()
1
)
z
z
z
z
z
dz
Kalkulus II “Integral” ))
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
23/41
! ∫ + )41)
z
dz
!∫
+
)
)
414
)
z
dz
! 44
) ar0 tan
4%1
z 7
!4
) ar0 tan 4 7
!4
)ar0 tan 4 (tan x%) 7
BAB III
INTEGRAL TAK AJAR
3-1 P#n$#ti!n
Kalkulus II “Integral” )4
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
24/41
-ebelum membahas konsep tentang integral tak ajar, marilah kita ingat
kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.
Teorema:
Misal fx! adala" fungsi yang kontinu dan terintegralkan #ada $ % &a'b(' dan
Fx! sebarang antiturunan #ada $' maka
∫ b
a
dx x f ( % [ ] ((( a F b F x F ba −=
ontoh :
1.8
)
8
)
)
)
11(∫
−=− x xdx x
! (82 N .1
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
25/41
a. Integran f(x mempunyai sekurang2kurangnya satu titik yang tidak kontinu
(diskontinu di *a,b+, sehingga mengakibatkan f(x tidak terdefinisi di titik
tersebut.
5ada kasus ini teorema dasar kalkulus ∫ b
a
dx x f ( ! F(b ? F(a tidak berlaku
lagi.
ontoh :
1 ∫ −8
8 x
dx, f(x tidak kontinu di batas atas x ! 8 atau f(x kontinu di *,8
) ∫ −)
1 1 x
dx
, f(x tidak kontinu di batas baah x ! 1 atau f(x kontinu di
(1,)+
4 ∫ −
8
4
)
)( x
dx, f(x tidak kontinu di x ! ) ∈ *,8+ atau f(x kontinu di *,)
∪ (),8+
b. Batas integrasinya paling sedikit memuat *!tu tanda tak hingga
1 ∫ ∞
+
) 8 x
dx, integran f(x memuat batas atas di x ! ∞
) ∫ ∞−
,
) dxe x , integran f(x memuat batas baah di x ! 2∞
4 ∫ ∞
∞− +)81 x
dx, integran f(x memuat batas atas di x ! ∞ dan batasa baah
di x ! 2∞
5ada 0ontoh a (1,),4 adalah integral tak ajar dengan integran f(x tidak kontinu dalam batas2batas pengintegralan, sedangkan pada 0ontoh b (1, ), 4
adalah integral tak ajar integran f(x mempunyai batas di tak hingga (∞ .Integral tak ajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak ajar dengan
integran tidak kontinu Integral tak ajar dengan batas integrasi di tak hingga.
3-2 Int#$!% t!& ;!:! #n$!n int#$!n i*&/ntinu
!- )"8( &/ntinu i
Kalkulus II “Integral” )
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
26/41
'arena f(x tidak kontinu di x ! b, maka sesuai dengan syarat dan definsi
integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x ! b 2 ε ( →ε + ,
sehingga ∫ +→=b
a
dx x f
lim(ε
∫ −ε
b
a
dx x f (
'arena batas atas x ! b 2 ε ( x → b − , maka ∫ −→
=b
a bt
dx x f lim( ∫ t
a
dx x f (
5erhatikan beberapa 0ontoh di baah ini.
1 ∫ ∫ −
→ −=
− +ε
ε
8
8
8lim
8 x
dx
x
dx, f(x tidak kontinu di batas atas x ! 8,
sehingga
!ε
ε
−
→
−−
+
8
8)lim x
! 2) +→lim
ε
8(8(8 −−−− ε
! 2) ( 8lim,
−+→
ε ε
! 2)(2)
! 8
ara lain :
∫ ∫ −=− −→t
t x
dx
x
dx
8
8
8lim
8
! [ ]t
t
x 8
8)lim −−−→
! ,8)8)lim8
−+−−−→
t t
! 2)(7)()
! 8
) ∫ − −
)
))8 x
dx, f(x !
)8
1
x−
Fungsi di atas tidak kontinu di x ! ) dan x ! 2), sehingga:
maka =−∫ −)
))8 x
dx
) ∫ −)
)8 x
dx
Kalkulus II “Integral” )
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
27/41
! ) ∫ −)
)8 x
dx
! )
ε
ε
−
→
+
)
)ar0sin
x
)im
! ) ( )
−π
! π
.- )"8( &/ntinu i "!=.> !n ti!& &/ntinu i 8 , !
'arena f(x tidak kontinu di x ! a, maka sesuai dengan syarat dan definsi
integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x ! a 7 ε ( →ε
+ , sehingga ∫ +→=b
a
dx x f
lim(ε
∫ +
b
a
dx x f ε
(
'arena batas baah x ! a 7 ε ( x → a − maka dapat dinyatakan dalam
bentuk lain:
∫ +→=b
a at
dx x f lim( ∫ b
t
dx x f (
5erhatikan beberapa 0ontoh dibaah ini.
1 =−∫
8
4 4
4
x
dx∫ −+→8
4 4
4lim
t t x
dx
! [ ]8
44)(4lim t
t x −
+→
! 4
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
28/41
- )"8( &/ntinu i
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
29/41
!9
4
)
1
4
)
)
4lim
)
4lim
ε
ε
ε
ε
+→
−
−→
+
++
x x
! 2 <
)
4
+
!)
>
3-3 Int#$!% t!& ;!:! #n$!n .!t!* t!& ?in$$!
Bentuk integral tak ajar dengan batas tak hingga jika sekurang2kurangnya
batas2batas integrasinya memuat tak hingga. -elesaiannya berbeda dengan
integral tak ajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas
intergrasinya.
!- Int#$!% t!& ;!:! #n$!n .!t!* !t!* 8 , ∞ - -elesaiannya 0ukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang &ariable
dimana &ariable tersebut mendekati tak hingga. Eengan demikian integral tak
ajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.
∫ ∫ ∞→∞
=t
at
a
dx x f dx x f (lim(
5erhatikan 0ontoh berikut ini :
1 ∫ ∞
+
) 1 x
dx ! ∫ +∞→
t
t x
dx
)8
lim
!t
t
x
)ar0tan
)
1lim
→∞
!
−
∞→ar0tan
)
1
)ar0tan
)
1lim
t
t
! ( N .)
π
2 N .
!8
π
) ∫ ∞
1
) x
dx ! ∞→t
lim ∫ t
x
dx
1
)
!t
t x 1
1lim
−
∞→
!
t
t t 11
1
lim
+−∞→
Kalkulus II “Integral” )>
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
30/41
! 1
.- Int#$!% t!& ;!:! #n$!n .!t!* .!;!? i 8 , '∞ -elesaiannya 0ukup dengan mengganti batas baah dengan sebarang &ariable
dimana &ariable tersebut mendekati (negati&e tak hingga. Eengan demikian
integral tak ajar dengan batas baah tak hingga mempunyai selesaian:
∫ ∫ ∞−
−∞→=
a
t
a
t dx x f dx x f (lim(
5erhatikan 0ontoh berikut ini:
1. ∫ ∞−
,
) xe dx !
)
)
1lim
t
x
t e
−∞→
!
−
−∞→
t
t e)
)
11.)
1lim
! N 2
! N
). ∫ ∞− −
)8( x
dx!
8(
1lim
t t x
−−∞→
!
−+−−∞→ 8(1
8(
1
lim t t
! 78
1
! O
- Int#$!% t!& ;!:! .!t!* !t!* 8 , ∞ !n .!t!* .!;!? i 8 , '∞'husus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan
dua integral tak ajar dengan ∫ ∫ ∫ ∞
∞− ∞−
∞+=
a
a
dx x f dx x f x x f ((( , sehingga
bentuk penjumlahan integral tak ajar ini dapat diselesaikan dengan 0ara a
dan b tersebut di atas, atau diperoleh bentuk:
∫ ∫ ∫ ∞
∞− ∞−
∞
+=a
a
dx x f dx x f x x f (((
!
∫ ∫ ∞→−∞→+
t
a
a
t t t
dx x f dx x f (lim(lim
Kalkulus II “Integral” 4
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
31/41
5erhatikan beberapa 0ontoh dibaah ini:
1. ∫ ∞
∞− + )81 x
dx
! ∫ ∫ ∞−
∞
++
+
))8181 x
dx
x
dx
! [ ]
8limt
t xarctg
−∞→ 7 [ ]
t
t xarctg
8lim
∞→
!)
π
). ∫ ∞
∞− +1) x
x
e
dxe ! ∫
∞− +
) 1 x
x
e
dxe 7 ∫
∞
+
) 1 x
x
e
dxe
! −∞→t lim ∫ +
) 1t
x
x
e
dxe 7 F
lim∞→t ∫ +
t
x
x
e
dxe
) 1
! −∞→t lim
(ar0 tgn e x
t 7 ∞→t
lim(ar0 tgn e x t
! +−8)
π π
8−π !
)
π
BAB IV
RUMUS'RUMUS DASAR INTEGRAL
Misal u adalah suatu fungsi yang terintegralkan dan sebuah konstanta,
dengan memperhatikan sifat2sifat operasi $ljabar fungsi (penjumlahan,
pengurangan, perkalian dan pembagian dapat diperikan beberapa sifat Integral tak
tentu fungsi yang terintegralkan. -ifat2sifat berikut berlaku untuk syarat yangdiberikan.
1. ∫ nu du !
1
1
+
+
n
u n 7 , jika n ≠ 21
). [ ] [ ]
C n
xudx xu xu
nn
++
=+
∫ 1(
(D(1
, jika n ≠ 21
4. ∫ udu
! ln u 7 atau ∫ += C x f dx x f x f
(ln(
(D
8. ∫ eu du ! eu 7
Kalkulus II “Integral” 41
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
32/41
. ∫ au du !u
a u
ln7
. ∫ se0) u du ! tan u 7
1. ∫ 0s0) u du ! 2 0ot u 7
11. ∫ se0 u tan u du ! se0 u 7
1). ∫ 0s0 u 0ot u du ! 2 0s0 u 7
14. ∫ tan u du ! ln use0 7
18. ∫ 0ot u du ! ln usin 7
1. ∫ se0 u du ! ln uu tanse0 + 7
1. ∫ =− )) uadu
a)
1 ln
au
au
−
+ 7
). ∫ =− )) audu
a)
1 ln
au
au
+
− 7
)1. ∫ + )) au
du! ln (u 7 )) au + 7
)). ∫ − )) audu ! ln (u 7 )) au − 7
)4. ∫ )) ua − du ! N u −− )) au C a
ua +ar0sin
)
1 )
)8. ∫ )) auudu
− !
a
1 ar0 se0
a
u7
). ∫ −)) au du ! N u −− )) au ))) ln
)
1auua −+ 7
)
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
33/41
)=. ∫ sin) u du !)
1u ?8
1sin )u 7
)9. ∫ 0os) u du !)
1u 7 O sin )u 7
)>. ∫ tan) u du ! 2u 7 tan u 7
4. ∫ 0ot) u du ! 2 u ? 0ot u 7
41. ∫ sin4 u du ! 24
1( ) 7 sin) u 0os u 7
4). ∫ 0os4 u du !4
1( ) 7 0os) u sin u 7
44.
∫ tan4 u du !
)
1 tgn) u 7 ln u0os 7
48. ∫ 0ot4 u du ! 2)
1 0ot) u 2 ln usin 7
4. ∫ se04 u du !)
1 se0 u tan u 7
)
1 ln uu tanse0 + 7
4. ∫ sin au 0os bu du ! 2 ()0os(
ba
uba
−−
2()
0os(
ba
uba
++
7 , jika a) ≠ b)
8. ∫ sinnu du ! 2n
uun 0ossin 1− 7
n
n 1− ∫ sin n2) u du
81. ∫ 0osn u du !n
uun sin0os 1− 7
n
n 1− ∫ 0os n2) u du
8). ∫ tann u du !1
1
−n tan n21 u 2 ∫
−)tan n u du jika n ≠ 1
84. ∫ 0ot n u du ! 21
1
−n 0ot n21 u 2 ∫ −)0ot n gn u du jika n ≠ 1
88. ∫ se0 n u du !1
1
−n se0 n2) u tgn u 7
1
)
−−
n
n∫ se0 n2) u du, jika n ≠ 1
8. ∫ 0s0 n u du! 21
1
−n 0s0 n2) u 0ot u 7
1
)
−−
n
n∫ 0s0 n2) u du, n ≠ 1
Kalkulus II “Integral” 44
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
34/41
8. ∫ un sin u du ! 2un 0os u 7 n ∫ u n21 0os u du
. ∫ un 0os u du ! un sin u 7 n ∫ u n21 sin u du
1. ∫ sin u d(sin u !)
1sin ) u 7
). ∫ 0os u d(0os u ! )1 0os) u 7
4. ∫ tan u d(tan u !)
1tan ) u 7
8. ∫ 0ot u d(0ot u ! N 0ot) u 7
. ∫ se0 u d(se0 u ! N se0) u 7
. ∫ ))au
du
± ! ln )) auu ±+ 7
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
35/41
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
36/41
94. ∫ un ln u du !1
1
+
+
n
u n ln u 2 )
1
1( +
+
n
u n
7
98. ∫ eau sin bu du !)) ba
eau
+ (a sin bu ? b 0os bu 7
9. ∫ eau 0os bu du ! ))ba
eau
+ (a 0os bu 7 b sin bu 7
9. ∫ u ar0 sin u du ! O ()u) ? 1 ar0 sin u 7 8u )1 u− 7
>. ∫ u ar0 tan u du ! N (u) 7 1 ar0 tan u 2)
u 7
>1. ∫ u ar0 se0 u du !)
)uar0 se0 u ? N 1) −u 7
>). ∫ u ar0 sin u du !1
1
+
+
n
un
ar0 sin u 21
1
+n ∫ −+
)
1
1 u
u n
du 7 , jika n ≠ 21
>4. ∫ un ar0 tan u du ! 1
1
+
+
nu
n
ar0 tan u 21
1+n ∫ +
+
)
1
1 uu
n
du 7 , jika n ≠ 21
>8. ∫ un ar0 se0 u du !1
1
+
+
n
u n ar0 se0 u 2
1
1
+n ∫ −+
1)
1
u
u n
du 7 , jika n ≠ 21
>. ∫ sinh u du ! 0osh u 7
>=. ∫ tanh u du ! ln (0osh u 7
>9. ∫ 0oth u du ! lnusinh 7
>>. ∫ se0h u du ! ar0 tan usinh 7
1. ∫ 0s0h u du ! ln )tanh
u 7
11. ∫ sinh ) u du ! O sinh u 2)
u 7
1). ∫ 0osh ) u du ! O sinh u 7)
u 7
14. ∫ tanh ) u du ! u 2 tanh u 7
Kalkulus II “Integral” 4
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
37/41
18. ∫ 0oth ) u du ! u ? 0oth u 7
1. ∫ se0h ) u du ! tanh u 7
1. ∫ u(au7b21 du ! )a
b
a
u− ln bau + 7
11. ∫ u(au 7 b2) du !
+++
bau
bbau
aln
1) 7
111. ∫ u(au7bn du ! )1
(abau n+
+
+−++ 1) nb
nbau 7 , jika n ≠ 21, 2)
11). ∫ nuadu
( )) ± !
±
−+±− ∫ −− 1))1))) (1)((1()
1nn
ua
dun
ua
u
na7
, n ≠ 1
114. ∫ u bau + du ! C baubaua
++− )4
)()4(
1:
)
118. ∫ un bau + du !
+−++ ∫ − bauunbbauuna
nn 1)
4
(4)(
)
7
11. ∫ bau
udu
+! baubau
a+− )(
4
))
7
11. ∫ )) uau − ! arcn
auau
au )
))
)+−
− sin
a
au − 7
1). ∫ )) uaudu
− ! ar0 sin
a
au − 7
Kalkulus II “Integral” 4=
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
38/41
1)1. ∫ un )) uau − ! ++−−
)
)( )4
)1
n
uauun
)
1)(
++
n
an
∫ −− )1
) uauu
n
du
1)). ∫ )) uauduu n
− ! 2 )
1
) uaun
u n−
−
7 ∫ −n
an 1)()
1
) uau
duu n
−
−
7
1)4. ∫ u
uau )) − ! +− )) uau a ar0 sina
au − 7
1)8. ∫ n
u
uau )
) − ! +−
−n
aun
uau
)4(
)( )4
)
∫ −−
−−
duu
uau
an
nn 1
))
4)(
4
1). ∫ )(
)uauu
dun −
! ∫ −−
−+−
−− )1
)
)1)(
1
)1(
)
uuu
du
an
n
una
uaunn
1). uuu
du
)
1tan1ln
0ossin1+=
++∫ 7
14. ∫ + duuudu
)sin1
sin! )
8
1 ln
))4
)
tan
))4)
tan
)
)
++
−+
u
u
7
141. ∫ =− uuduu
0os1
0ossin 0os u 7 ln (120os u 7
14). ∫ sin u du ! 2 u) 0os u 7 ) sin u 7
144. ∫ − udu
sin)1 !
4))
tan
4))
tan
ln4
4
+−
−−
u
u
7
Kalkulus II “Integral” 49
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
39/41
148. ∫ + udu
sin)!
4
1)
)
4
) +
utgn
arctgn 7
14. ∫ + udu
sin:4 !
4)
tan
1)
tan4ln
8
1
+
+u
u
7
14.C
u
u
du+
+=
+∫ 48
)tan:
ar0tan4
)
sin8:
18. C u
u
du+
=
+∫ )tan44
ar0tan4
4)
0os)
181. ∫ C u
u
du+=
−
)tan:ar0tan(
:
:)
)4
18). C u
u
uu
udu ++=+∫ 0os
0os1ln
0os1(0os
sin )
)
184. ++=+
+∫ uu
uduutan1ln
tan1
se0tan)()
))
C u
+−
4
1tan)ar0tan
4
)
188. ∫ =
− )sin1 x
dx
)(tan C x x
++
)
se0
)
18. ∫ +−
=+
C x
x
x
dx
4sin4
40os1
40os1
18
9sin )
)
Kalkulus II “Integral” 4>
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
40/41
18>. ∫ + axdx
se01 ! x 7
a
1(0ot ax20s0 ax 7
1. C a
xadx
a
x
a
x+=∫ )) tan)
1tanse0
DAFTAR PUSTAKA
Eale Parberg., Kdin 6. 5ur0ell. )1. *alkulus +ilid $ edisi ,!. $lih Bahasa I
"yoman -usila. Batam: Interaksara.
Kalkulus II “Integral” 8
8/18/2019 PPIP KALKULUS 2
41/41
'oko Martono, 1>>4. *alkulus $ntegral $ . Bandung: $l&a Gra0ia
$0hsanul In’am, ). *alkulus $ . Malang: MM 5ress.