Interpolasi Dan Regresi

METODE NUMERIK (C12040203) INTERPOLASI & REGRESI

| S1 TEKNIK MESIN |

SEMESTER GANJIL 2015/2016

Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016

Pengantar

Para rekayasawan dan ahli ilmu alam sering bekerja dengan sejumlah data diskrit.

Masalah yang cukup sering muncul dengan data tabel adalah menentukan nilai di antara titik-titik diskrit tersebut (tanpa harus melakukan pengukuran lagi).


Sebagai ilustrasi, sebuah pengukuran fisika telah dilakukan untuk menentukan hubungan antara tegangan yang diberikan kepada baja tahan-karat dan waktu yang diperlukan hingga baja tersebut patah.

rekayasawan ingin mengetahui waktu patah (y) jika tegangan (x) yang diberikan kepada baja adalah 12 kg/mm2.


Delapan nilai tegangan yang berbeda dicobakan, dan data yang dihasilkan adalah:


Masalah ini tidak bisa langsung dijawab karena fungsi yang menghubungkan peubah y dengan peubah x tidak diketahui.

Salah satu solusinya adalah mencari fungsi yang mencocokkan (fit) titik-titik data di dalam tabel tabel.

Pendekatan seperti ini di dalam metode numerik dinamakan pencocokan kurva (curve fitting).


Pencocokkan kurva adalah sebuah metode yang mencocokkan titik data dengan sebuah kurva (curve fitting) fungsi. Pencocokan kurva dibedakan atas dua metode:

1. Regresi

2. Interpolasi


Regresi digunakan jika data hasil pengukuran umumnya mengandung derau (noise) atau galat yang cukup berarti.

Karena data ini tidak teliti, maka kurva yang mencocokkan titik data itu tidak perlu melalui semua titik.

Kurva tersebut cukup hanya mewakili kecenderungan (trend) titik data, yakni kurva mengikuti pola titik sebagai suatu kelompok.


Bila data diketahui mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, maka kurva cocokannya dibuat melalui setiap titik.

Kita katakan di sini bahwa kita menginterpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi.

Bila fungsi cocokan yang digunakan berbentuk polinom, maka dinamakan polinom interpolasi.

Pekerjaan menginterpolasi titik data dengan sebuah polinom disebut interpolasi polinom.


Diberikan n+1 buah titik berbeda, (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn).

Tentukan polinom pn(x) yang menginterpolasi (melewati) semua titik-titik tersebut sedemikian rupa sehingga:

yi= pn (xi) untuk i= 0, 1, 2, ,n


Nilai yi dapat berasal dari fungsi f(x) sedemikian sehingga yi=f(xi), atau, yi berasal dari nilai empiris yang diperoleh melalui percobaan atau pengamatan.

pn(x) disebut fungsi hampiran terhadap f(x).


Setelah polinom interpolasi pn(x) ditemukan, pn(x) dapat digunakan untuk menghitung perkiraan nilai y di x=a, yaitu y=pn(a).

Bergantung pada letaknya, nilai x=a mungkin terletak di dalam rentang titik-titik data (x0

Jika x0

Kita dapat menginterpolasi titik data dengan: polinom lanjar, polinom kuadratik, polinom kubik, atau polinom dari derajat yang lebih tinggi, bergantung pada jumlah titik data yang tersedia.


Contoh Soal

Kecepatan suatu roket diberikan dalam tabel berikut ini:

Tentukan kecepatan roket pada saat t=16 s

time

(s)

v(t)

(m/s)

0 0

10 227.04

15 362.78

20 517.35

22.5 602.97

30 901.67


Interpolasi Polinom Linear (Direct Method)

taatv 10

78.3621515 10 aav

35.5172020 10 aav

Solusi dua persamaan tersebut adalah,

93.1000 a 914.301 a

.2015,914.3093.100 tttv

m/s 7.39316914.3093.10016 v

00, yx xf1

11, yx

x

y


2210 tataatv

04.227101010 2210 aaav

78.362151515 2210 aaav

35.517202020 2210 aaav

Solusi tiga persamaan tersebut adalah:

05.120 a 733.171 a 3766.02 a

00 , yx

11, yx 22 , yx

xf2

y

x


Interpolasi Polinom Kuadratik (Direct Method)

2010,3766.0733.1705.12 2 ttttv

2163766.016733.1705.1216 v

m/s 19.392

Nilai |a| yang didapat berdasarkan polinom linear dan kuadratik adalah:

%38410.0

10019.392

70.39319.392

a


332

210 tatataatv

332

210 10101004.22710 aaaav

332

210 15151578.36215 aaaav

332

210 20202035.51720 aaaav

332

210 5.225.225.2297.6025.22 aaaav

2540.40 a 266.211 a 13204.02 a 0054347.03 a

y

x

xf3

33, yx

22 , yx

11, yx

00 , yx


Interpolasi Polinom Kubik (Direct Method)

5.2210,0054347.013204.0266.212540.4 32 tttttv

m/s 06.392

160054347.01613204.016266.212540.41632

v

Nilai |a| yang didapat berdasarkan polinom kuadratik dan kubik adalah:

%033269.0

10006.392

19.39206.392

a


Penghitungan Jarak

Hitung jarak yang ditempuh pada t=11s sampai t=16s ?

m 1605

40054347.0

313204.0

2266.212540.4

0054347.013204.0266.212540.4

1116

16

11

432

16

11

32

16

11

tttt

dtttt

dttvss


5.2210,0054347.013204.0266.212540.4 32 tttttv

Penghitungan Percepatan

5.2210,0054347.013204.0266.212540.4 32 ttttt Hitung percepatan pada saat t=16s

5.2210 ,016382.026130.0266.21

0054347.013204.0266.212540.4

2

32

ttt

tttdt

d

tvdt

dta

2

2

m/s 665.29

16016304.01626408.0266.2116

a


Newtons Divided Difference Method (NDDP)

Interpolasi Linear: Diketahui

dimana:

),,( 00 yx ),,( 11 yx

)()( 0101 xxbbxf

)( 00 xfb

01

01

1

)()(

xx

xfxfb


10 12 14 16 18 20 22 24350

400

450

500

550517.35

362.78

y s

f range( )

f x de sire d

x s1

10x s0

10 x s range x de sire d

,150 t 78.362)( 0 tv

,201 t 35.517)( 1 tv

)( 00 tvb 78.362

01

01

1

)()(

tt

tvtvb

914.30

)()( 010 ttbbtv


10 12 14 16 18 20 22 24350

400

450

500

550517.35

362.78

y s

f range( )

f x de sire d

x s1

10x s0


)()( 010 ttbbtv

),15(914.3078.362 t 2015 t

At 16t

)1516(914.3078.362)16( v

69.393 m/s Metode Numerik - Semester Ganjil

2015/2016

Diketahui ),,( 00 yx ),,( 11 yx and ),,( 22 yx

))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf

)( 00 xfb

01

01

1

)()(

xx

xfxfb

02

01

01

12

12

2

)()()()(

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

b


Interpolasi Polinom Kuadratik (NDDP)

10 12 14 16 18 20200

250

300

350

400

450

500

550517.35

227.04

y s

f range( )

f x de sire d


,100 t 04.227)( 0 tv

,151 t 78.362)( 1 tv

,202 t 35.517)( 2 tv Metode Numerik - Semester Ganjil

2015/2016

)( 00 tvb

04.227

01

01

1

)()(

tt

tvtvb

1015

04.22778.362

148.27

02

01

01

12

12

2

)()()()(

tt

tt

tvtv

tt

tvtv

b

1020

1015

04.22778.362

1520

78.36235.517

10

148.27914.30

37660.0 Metode Numerik - Semester Ganjil 2015/2016

))(()()( 102010 ttttbttbbtv

),15)(10(37660.0)10(148.2704.227 ttt 2010 t

At ,16t

)1516)(1016(37660.0)1016(148.2704.227)16( v 19.392 m/s


Bentuk Umum NDDP

))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf

dimana:

Dapat dijabarkan menjadi:

))(](,,[)](,[][)( 1001200102 xxxxxxxfxxxxfxfxf

)(][ 000 xfxfb

01

01

011

)()(],[

xx

xfxfxxfb

02

01

01

12

12

02

0112

0122

)()()()(

],[],[],,[

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

xx

xxfxxfxxxfb


Diketahui )1( n jumlah titik data, nnnn yxyxyxyx ,,,,......,,,, 111100 sehingga

))...()((....)()( 110010 nnn xxxxxxbxxbbxf

dimana:

][ 00 xfb

],[ 011 xxfb

],,[ 0122 xxxfb

],....,,[ 0211 xxxfb nnn

],....,,[ 01 xxxfb nnn


Polinom orde ke-3, jika diketahui ),,( 00 yx ),,( 11 yx ),,( 22 yx ),,( 33 yx adalah

))()(](,,,[

))(](,,[)](,[][)(

2100123

1001200103

xxxxxxxxxxf

xxxxxxxfxxxxfxfxf

0b

0x )( 0xf 1b

],[ 01 xxf 2b

1x )( 1xf ],,[ 012 xxxf 3b

],[ 12 xxf ],,,[ 0123 xxxxf

2x )( 2xf ],,[ 123 xxxf

],[ 23 xxf

3x )( 3xf


))()(())(()()( 2103102010 ttttttbttttbttbbtv

Harus diketahui 4 (empat) titik data yang berdekatan dengan 16t

,100 t 04.227)( 0 tv

,151 t 78.362)( 1 tv

,202 t 35.517)( 2 tv

,5.223 t 97.602)( 3 tv

Hasil yang didapatkan dari perhitungan:

b0 = 227.04; b1 = 27.148; b2 = 0.37660; b3 = 5.4347103


b0 = 227.04; b1 = 27.148; b2 = 0.37660; b3 = 5.4347103

0b

100 t 04.227 1b

148.27 2b

,151 t 78.362 37660.0 3b

914.30 3104347.5

,202 t 35.517 44453.0

248.34

,5.223 t 97.602


))()(())(()()( 2103102010 ttttttbttttbttbbtv

)20)(15)(10(105347.5

)15)(10(37660.0)10(148.2704.227

3

ttt

ttt

,16t

)2016)(1516)(1016(105347.5

)1516)(1016(37660.0)1016(148.2704.227)16(

3

v

m/s 06.392


Kelebihan NDDP

Karena polinom Newton dibentuk dengan menambahkan satu suku tunggal dengan polinom derajat yang lebih rendah, maka ini memudahkan perhitungan polinom derajat yang lebih tinggi dalam program yang sama. Karena alasan itu, polinom Newton sering digunakan khususnya pada kasus yang derajat polinomnya tidak diketahui terlebih dahulu.

Penambahan suku-suku polinom secara beruntun dapat dijadikan kriteria untuk menentukan tercapainya titik berhenti, yaitu apakah penambahan suku-suku yang lebih tinggi tidak lagi secara berarti memperbaiki nilai interpolasi, atau malahan menjadi lebih buruk.

Tabel selisih terbagi dapat dipakai berulang-ulang untuk memperkirakan nilai fungsi pada nilai x yang berlainan.


Polinom Lagrange

Interpolasi polinom menggunakan metode Lagrange adalah sebagai berikut:

dimana:

adalah fungsi bobot yang merupakan perkalian hingga suku n 1 dengan menghilangkan j = i.

n

i

iin xfxLxf0

)()()(

n

ijj ji

j

ixx

xxxL

0

)(

)(xLi


10 12 14 16 18 20 22 24350

400

450

500

550517.35

362.78

y s

f range( )

f x de sire d

x s1

10x s0


)()()(1

0ii

i

tvtLtv

)()()()( 1100 tvtLtvtL

78.362,15 00 tt

35.517,20 11 tt


Interpolasi Polinom Linear (Metode Lagrange)

1

00 0

0 )(

jj j

j

tt

tttL

10

1

tt

tt

1

10 1

1 )(

jj j

j

tt

tttL

01

0

tt

tt

)()()( 101

0

0

10

1 tvtt

tttv

tt

tttv

)35.517(

1520

15)78.362(

2015

20

tt

)35.517(1520

1516)78.362(

2015

2016)16(

v

)35.517(2.0)78.362(8.0

7.393 m/s.


Untuk interpolasi polinom kuadrat menggunakan metode Lagrange, fungsi kecepatan adalah:

2

0

)()()(i

ii tvtLtv

)()()()()()( 221100 tvtLtvtLtvtL


Interpolasi Polinom Kuadratik (Metode Lagrange)

10 12 14 16 18 20200

250

300

350

400

450

500

550517.35

227.04

y s

f range( )

f x de sire d


,100 t 04.227)( 0 tv

,151 t 78.362)( 1 tv

,202 t 35.517)( 2 tv

2

00 0

0 )(

jj j

j

tt

tttL

20

2

10

1

tt

tt

tt

tt

2

10 1

1 )(

jj j

j

tt

tttL

21

2

01

0

tt

tt

tt

tt

2

20 2

2 )(

jj j

j

tt

tttL

12

1

02

0

tt

tt

tt

tt


m/s19.392

35.52712.078.36296.004.22708.0

35.5171520

1516

1020

101678.362

2015

2016

1015

101604.227

2010

2016

1510

151616

2

12

1

02

01

21

2

01

00

20

2

10

1

v

tvtt

tt

tt

tttv

tt

tt

tt

tttv

tt

tt

tt

tttv

%38410.0

10019.392

70.39319.392

a


REGRESI LINIER Hampiran metode kuadrat terkecil yang paling sederhana adalah pencocokan garis lurus terhadap sekumpulan pasangan data (x1,y1) (x2,y2),,(xn,yn). Persamaan matematis yang digunakan adalah ; y=a0 + a1x + e Dengan metode kuadrat terkecil, a0 dan a1 diberikan oleh :

2r

10

221

)yy(S

xaya

x)(xn

xyxyna

Pengukuran Galat (1) Deviasi standart : yang menandai

kesalahan untuk harga y yang bersesuaian dengan harga x tertentu

(2) Koefisien determinasi (r2) dan koefisien korelasi, r yang diberikan oleh :

(3) Model dianggap baik, jika :

n

)y)(x(xyS

)S(aSS ,2n

SS

xy

xy1trr2

x/y

n

)y(yS,

S

S1r

22

tt

r2

1n

SS,SS t2yyx/y

CONTOH KASUS Hubungan antara harga jual, dan jumlah produk diberikan oleh data berikut :

Berdasarkan data-data diatas diperoleh :

2,295

)53(591

n

)x(xS

1545

)250)(53(2496

n

yxxyS

505

250

n

yy;6,10

5

53

n

xx

2222

x

xy

Dengan demikian : Kesalahan estimasi

x 274,5904,105 y

liniernya, regresi Persamaan

904,105 )6,10)(274,5(50a

274,52,29

154a

0

1

no x y x2 xy y2

1 8 80 64 640 6400

2 9 55 81 495 3025

3 10 44 100 440 1936

4 11 36 121 396 1296

5 15 35 225 525 1225

Jml 53 250 591 2496 13882

7666,0r

;5877,01382

808,5961r

588,1815

1382S

782,1325

808,569S

808.569

)154)(274.5(1382S

13825

)250(13882S

2

y

x/y

r

2

t

TERAPAN REGRESI LINIER : MODEL EKSPONENSIAL

Model ekponensial ini, diberikan oleh persamaan, Model ini misalnya pertumbuhan populsi atau peluluhan radiaktif. Perilaku model eksponensaial lihat gambar. Dengan mengambil logaritma aslinya diperoleh ; In z= ln b0 + b1x ln e = ln b0 + b1x Andaikan, y=ln z, dan a0=ln b0, a1=b1 maka persamaan regresinya y=a0 + a1x

xb0

1ebz

xb0

1ebz

Gambar : Model eksponensial

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12

CONTOH : MODEL PERTUMBUHAN EKSPONENSIAL

Cocokan model pertumbuhan eskponensial dengan data-data sebagai berikut : Berdasarkan data-2 diatas diperoleh hasil :

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 2 4 6 8 10

No x z y=lnz X2 XY Y2 1 2 55 4.01 4 8.01 8.01 2 3 75 4.32 9 12.95 12.95 3 4 105 4.65 16 18.62 18.62 4 5 140 4.94 25 24.71 24.71 5 6 200 5.30 36 31.79 31.79 6 7 270 5.60 49 39.19 39.19 7 8 375 5.93 64 47.42 47.42

Jml 35 1220 34.74 203 182.69 182.69 Rata2 5 174.29 4.96

Sxy= 8.965 a1= 0.320 b1= 0.320

Sx= 28.000 a0= 3.363 b0= 28.863

St= 10.235 sr= 7.365 sy/x= 1.214

r2= 0.280 r= 0.530 sy= 1.306

Persamaan model eksponensialnya adalah :

x 320.0e 863,28z

MODEL PANGKAT SEDERHANA MODEL LAJU PERTUMBUHAN JENUH

Model persamaannya : Lihat gambar

1b0tbz

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 2 4 6 8 10 12

Model regresi liniernya, y=a0 + a1x dimana : y=ln z, a0=ln b0, x=ln t

1b0tbz

Model linier

Model persamaannya : Lihat gambar

tb

tbz

1

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 10 20 30 40 50

Model regresi liniernya, y=a0 + a1x dimana :

t

1x,

b

ba,

b

1a,

z

1y

0

11

00

CONTOH : Data berikut digunakan untuk menghitung konstanta model laju pertumbuhan junuh kinetika kuman, yaitu :

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0 25 50 75 100 125 150 175

fk k x=1/fk y=1/k

7 0.29 0.143 3.448

9 0.37 0.111 2.703

15 0.48 0.067 2.083

25 0.65 0.040 1.538

40 0.80 0.025 1.250

75 0.97 0.013 1.031

100 0.99 0.010 1.010

150 1.07 0.007 0.935

Sxy= 0.327 a1= 18.036 b1= 22.193

Sx= 0.018 a0= 0.813 b0= 1.230

St= 5.927 sr= 0.022 sy/x= 0.061

r2= 0.996 r= 0.998 sy= 0.920

Berdasarkan data diatas diperoleh hasil sebagai berikut :

x193.22

x230.1y

x193.22

x230.1y

REGRESI POLINOMIAL

Prosedur metode kuadrat terkecil dapat diperluas untuk mencocokan kurva polinomial orde-n yaitu : Konstanta a0, a1, a2, ,am diperoleh dari sistem persamaan linier yang berbentuk :

exa...xaxaay mm2

210

yx

...

yx

xy

y

a

...

a

a

a

x...xxx

...............

x...xxx

x...xxx

x...xxn

m

2

m

2

1

0

m22m1mm

2m432

1m32

m2

Seperti hanya regresi linier, galat error untuk regresi polinomial dapat diukur dengan error simpangan baku dan koefisien korelasi yaitu :

t

rt2rx/y

2r

S

SSr dan ;

)1m(n

SS ;)yy(S

CONTOH : Tentukan polinomial orde dua untuk data-data berikut ini :

x y

2 55

3 75

4 105

5 140

6 200

7 270

8 375

7 35 203 a0 1220

35 203 1295 a1 7545

203 1295 8771 a2 50505

0

50

100

150

200

250

300

350

400

2 3 4 5 6 7 8

Bentuk SPL kasus diatas adalah : Dengan metode invers solusinya adalah : a0=85, a1= 28,75 dan a2=8.0375

Error dan koefisien regresinya adalah

9989.0r ,9978.0r

5937,115S ;80171S

6143.6)12(7

175S

2

yt

x/y

2x 0375.8x 75.2885y

CONTOH : Tentukan polinomial orde tiga untuk data-data berikut ini :

Bentuk SPL kasus diatas adalah : Dengan metode invers solusinya adalah a0= 16.3405; a1=20.2357 a2= 7.7257 ; a3=0.8222 Error dan koef korelasinya adalah :

32 x 8222.0x 7257.7

x 2357.203405.16y

8589.0r ,7377.0r

9598,8S ;5.722S

6202.5)13(10

522.189S

2

yt

x/y

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7

n x

1 1.1

2 1.6

3 2.2

4 2.9

5 3.5

6 4.1

7 4.6

8 5.3

9 5.9

10 6.7

10 37.9 175 905 a0 -5

37.9 175 905 4998 a1 43.1

175 905 4998 28845 a2 542.7

905 4998 28845 171593 a3 4591

REGRESI LINIER BERGANDA

Regresi Linier Berganda untuk kasus umum dirumuskan oleh Dengan metode kuadrat terkecil, koefisien-koefisien ditentukan dengan cara menyelesaikan secara simultan sistem persamaan linier :

exa...xaxaay mm22110

yx

...

yx

yx

y

a

...

a

a

a

x...xxxxx

...............

xx...xxxx

xx...xxxx

x...xxn

m

2

1

m

2

1

0

2m2m1mm

m222122

m121211

m21

t

rt2rx/y

2r

S

SSr dan ;

)1m(n

SS ;)yy(S

Seperti hanya regresi linier biasa, galat error untuk regresi linier berganda l dapat diukur dengan error simpangan baku dan koefisien korelasi yaitu :

CONTOH : Tentukan prediksi penjualan Q, berdasarkan biya promosi A, dan pangsa pasar X berdasarkan data berikut ini

No x1=A x2=X Y=Q

1 4.3 26.2 10.8

2 3.9 32.2 12.6

3 4.1 17.3 8.3

4 4.6 16.7 9.2

5 5.5 18.9 11.1

6 4.5 13.2 10.9

7 4.3 14.4 7.9

8 2.8 27.1 11.6

9 2.6 20.8 8.2

10 3.1 20.2 9.1

Bentuk SPL kasus diatas adalah : Dengan metode invers solusinya adalah a0= 1.9689 ; a1=0.8538 a2= 0.2228 Persamaan garis regresi liniernya adalah Y=1.9689 +0.8538 A + 0.2228 X Error dan koef korelasinya adalah :

10 39.7 207 a0 99.7

39.7 164.9 803.8 a1 398.0

207 803.8 4615.4 a2 2122.1

Sr = 9.096 Sy = 1.632

Sy/x = 1.231 r2 = 0.620

St = 23.961 r = 0.788

CONTOH : Hubungan antara diameter pipa-D, kemiringan-S dan aliran-Q , diberikan oleh persamaan : Dengan data berikut tentukan persamaan pangkat dimaksud

21 aa0 SDaQ

n D S Q

1 1 0.001 1.4

2 2 0.001 8.3

3 3 0.001 24.2

4 1 0.01 4.7

5 2 0.01 28.9

6 3 0.01 84.1

7 1 0.05 11.2

8 2 0.05 69.3

9 3 0.05 200.2

Dengan mengambil nilai logaritma persamaan pangkat, dihasilkan : Konstanta b0, a1, dan a2 diperoleh dari : Dengan metode invers solusi SPL adalah : b0=1.7517, a0=56.45 a1=2,6138, a2=0,5379 Persamaan pangkatnya adalah Q=56,45 D2,614 S0,538

22110

210

xaxaby

SlogaDlogaalogQlog

9 2.334 -18.903 a0 11.698

2.334 0.955 -4.903 a1 3.947

-18.903 -4.903 44.078 a2 -22.217

Interpolasi Dan Regresi

Documents

Transcript of Interpolasi Dan Regresi