Interpolasi Cubic Spline

Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc

Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia

email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com

December 13, 2006

Figure 1: Fungsif(x) dengan sejumlah titik data

Diketahui suatu fungsif(x) (Figure 1) yang dibatasi oleh intervala danb, dan memiliki se-

jumlah titik dataa = x0 < x1 < ... < xn = b. Interpolasi cubic splineS(x) adalah sebuah

potongan fungsi polinomial kecil-kecil (Figure 2) berderajat tiga (cubic) yang menghubungkan

dua titik data yang bersebelahan dengan ketentuan sebagai berikut:

1. Sj(x) adalah potongan fungsi yang berada pada sub-interval darixj hinggaxj+1 untuk

nilai j = 0, 1, ..., n − 1;

2. S(xj) = f(xj), artinya pada setiap titik data (xj), nilai f(xj) bersesuaian denganS(xj)

dimanaj = 0, 1, ..., n;

1

Figure 2: Pendekatan dengan polinomial cubic spline

3. Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1). Perhatikan titikxj+1 pada Figure 2. Ya.. tentu saja jika fungsi

itu kontinyu, maka titikxj+1 menjadi titik sambungan antaraSj danSj+1.

4. S ′

j+1(xj+1) = S ′

j(xj+1), artinya kontinyuitas menuntut turunan pertama dariSj danSj+1

pada titikxj+1 harus bersesuaian.

5. S ′′

j+1(xj+1) = S ′′

j (xj+1), artinya kontinyuitas menuntut turunan kedua dariSj danSj+1

pada titikxj+1 harus bersesuaian juga.

6. Salah satu syarat batas diantara 2 syarat batasx0 danxn berikut ini mesti terpenuhi:

• S ′′(x0) = S ′′(xn) = 0 ini disebutnatural boundary

• S ′(x0) = f ′(x0) danS ′(xn) = f ′(xn) ini disebutclamped boundary

Polinomial cubic splineS (polinomial pangkat 3) untuk suatu fungsif berdasarkan ketentuan

di atas adalah

Sj(x) = aj + bj(x − xj) + cj(x − xj)2 + dj(x − xj)

3 (1)

dimanaj = 0, 1, ..., n − 1. Maka ketikax = xj

Sj(xj) = aj + bj(xj − xj) + cj(xj − xj)2 + dj(xj − xj)

3

Sj(xj) = aj = f(xj)

Itu artinya,aj selalu jadi pasangan titik data darixj. Dengan pola ini maka pasangan titik data

xj+1 adalahaj+1, konsekuensinyaS(xj+1) = aj+1. Berdasarkan ketentuan (3), yaitu ketika

2

x = xj+1 dimasukan ke persamaan (1)

aj+1 = Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) = aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)

3

dimanaj = 0, 1, ..., n − 2. Sekarang, kita nyatakanhj = xj+1 − xj, sehingga

aj+1 = aj + bjhj + cjh2

j + djh3

j (2)

Kemudian, turunan pertama dari persamaan (1) adalah

S ′

j(x) = bj + 2cj(x − xj) + 3dj(x − xj)2

ketikax = xj,

S ′

j(xj) = bj + 2cj(xj − xj) + 3dj(xj − xj)2 = bj

dan ketikax = xj+1,

bj+1 = S ′

j(xj+1) = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2

Ini dapat dinyatakan sebagai

bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2

dan dinyatakan dalamhj

bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2

j (3)

Berikutnya, kita hitung turunan kedua dari persamaan (1)

S ′′

j (x) = 2cj + 6dj(x − xj) (4)

tapi dengan ketentuan tambahan yaituS ′′(x)/2, sehingga persamaan ini dimodifikasi menjadi

S ′′

j (x) = cj + 3dj(x − xj)

dengan cara yang sama, ketikax = xj

S ′′

j (xj) = cj + 3dj(xj − xj) = cj

dan ketikax = xj+1

cj+1 = S ′′

j (xj+1) = cj + 3dj(xj+1 − xj)

cj+1 = cj + 3djhj (5)

3

dandj bisa dinyatakan

dj =1

3hj

(cj+1 − cj)

dari sini, persamaan (2) dapat ditulis kembali

aj+1 = aj + bjhj + cjh2

j + djh3

j

= aj + bjhj + cjh2

j +h2

j

3(cj+1 − cj)

= aj + bjhj +h2

j

3(2cj + cj+1) (6)

sementara persamaan (3) menjadi

bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2

j

= bj + 2cjhj + hj(cj+1 − cj)

= bj + hj(cj + cj+1) (7)

Sampai sini masih bisa diikuti, bukan? Selanjutnya, kita coba mendapatkanbj dari persamaan

(6)

bj =1

hj

(aj+1 − aj) −hj

3(2cj + cj+1) (8)

dan untukbj−1

bj−1 =1

hj−1

(aj − aj−1) −hj−1

3(2cj−1 + cj) (9)

Langkah berikutnya adalah mensubtitusikan persamaan (8) dan persamaan (9) kedalam per-

samaan (7),

hj−1cj−1 + 2(hj−1 + hj)cj + hjcj+1 =3

hj

(aj+1 − aj) −3

hj−1

(aj − aj−1) (10)

dimanaj = 1, 2, ..., n − 1. Dalam sistem persamaan ini, nilai{hj}n−1

j=0 dan nilai{aj}nj=0 sudah

diketahui, sementara nilai{cj}nj=0 belum diketahui dan memang nilai inilah yang akan dihitung

dari persamaan ini.

Sekarang coba perhatikan ketentuan nomor (6), ketikaS ′′(x0) = S ′′(xn) = 0, berapakah nilai

c0 dancn? Nah, kita bisa evaluasi persamaan (4)

S ′′(x0) = 2c0 + 6d0(x0 − x0) = 0

jelas sekalic0 harus berharga nol. Demikian halnya dengancn harganya harus nol. Jadi untuk

natural boundary, nilai c0 = cn = 0.

4

Persamaan (10) dapat dihitung dengan operasi matrikAx = b dimana

A =

1 0 0 . . . . . . . . . 0

h0 2(h0 + h1) h1 0 . . . . . . 0

0 h1 2(h1 + h2) h2 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−1

0 . . . . . . . . . 0 0 1

x =

c0

c1

...

cn

b =

03

h1

(a2 − a1) −3

h0

(a1 − a0)...

3

hn−1

(an − an−1) −3

hn−2

(an−1 − an−2)

0

Sekarang kita beralih keclamped boundarydimanaS ′(a) = f ′(a) danS ′(b) = f ′(b). Nah, kita

bisa evaluasi persamaan (8) denganj = 0, dimanaf ′(a) = S ′(a) = S ′(x0) = b0, sehingga

f ′(a) =1

h0

(a1 − a0) −h0

3(2c0 + c1)

konsekuensinya,

2h0c0 + h0c1 =3

h0

(a1 − a0) − 3f ′(a) (11)

Sementara padaxn = bn dengan persamaan (7)

f ′(b) = bn = bn−1 + hn−1(cn−1 + cn)

sedangkanbn−1 bisa didapat dari persamaan (9) denganj = n − 1

bn−1 =1

hn−1

(an − an−1) −hn−1

3(2cn−1j + cn)

Jadi

f ′(b) =1

hn−1

(an − an−1) −hn−1

3(2cn−1j + cn) + hn−1(cn−1 + cn)

=1

hn−1

(an − an−1 +hn−1

3(cn−1j + 2cn)

5

dan akhirnya kita peroleh

hn−1cn−1 + 2hn−1Cn = 3f ′(b) −3

hn−1

(an − an−1) (12)

Persamaan (11) dan persamaan (12) ditambah persamaan (10 membentuk operasi matrikAx =

b dimana

A =

2h0 h0 0 . . . . . . . . . 0

h0 2(h0 + h1) h1 0 . . . . . . 0

0 h1 2(h1 + h2) h2 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−1

0 . . . . . . . . . 0 hn−1 2hn−1

x =

c0

c1

...

cn

b =

3

h0

(a1 − a0) − 3f ′(a)3

h1

(a2 − a1) −3

h0

(a1 − a0)...

3

hn−1

(an − an−1) −3

hn−2

(an−1 − an−2)

3f ′(b) − 3

hn−1

(an − an−1)

6

Figure 3: Profil suatu object

Figure 4: Sampling titik data

7

Figure 5: Hasil interpolasi cubic spline

8

Figure 6: Hasil interpolasi lagrange

9

j xj aj bj cj dj

0 0,9 1,3 5,4 0,00 -0,25

1 1,3 1,5 0,42 -0,30 0,95

2 1,9 1,85 1,09 1,41 -2,96

3 2,1 2,1 1,29 -0,37 -0,45

4 2,6 2,6 0,59 -1,04 0,45

5 3,0 2,7 -0,02 -0,50 0,17

6 3,9 2,4 -0,5 -0,03 0,08

7 4,4 2,15 -0,48 0,08 1,31

8 4,7 2,05 -0,07 1,27 -1,58

9 5,0 2,1 0,26 -0,16 0,04

10 6,0 2,25 0,08 -0,03 0,00

11 7,0 2,3 0,01 -0,04 -0,02

12 8,0 2,25 -0,14 -0,11 0,02

13 9,2 1,95 -0,34 -0,05 -0,01

14 10,5 1,4 -0,53 -0,1 -0,02

15 11,3 0,9 -0,73 -0,15 1,21

16 11,6 0,7 -0,49 0,94 -0,84

17 12,0 0,6 -0,14 -0,06 0,04

18 12,6 0,5 -0,18 0 -0,45

19 13,0 0,4 -0,39 -0,54 0,60

20 13,3 0,25

10