INTEGRALMATERI

A. Pengertian integral

Integral adalah kebalikan atau invers dari pendiferensial

Jika

d F( x )dx = f (x), maka ∫f(x) dx = F (x) + c

B. Integral tak tentu

Notasi integral tak tentu : ∫ f(x) dx = F (x) + c

C. Intergal fungsi Trigonometri

Rumus-rumus integral fungsi trigonometri

a. ∫sin x dx = -cos x + c

b. ∫ sin (ax + b) dx = -

1a cos (ax + b) + c

c. ∫ cos x dx = sin x + c

d. ∫cos (ax + b) dx =

1a sin (ax + b) + c

e. ∫sec2x dx =

1a tan x + c

f. ∫sec2 (ax + b) dx =

1a tan (ax + b) b + c

g. ∫ cosec2 x dx =

1a cot x + c

h. ∫ cosec2 (ax + b) dx = -

1a cot (ax + b) b + c

y

ba0y

∆x1

y

ba0y

∆x1

y = f(x)

D. Luas suatu daerah tertutup gambar berikut dirumuskan dengan :

L = lim

h

∑ ¿¿f(x) dx

∆x 0 x = a

= ∫abf ( x )dx

E. Luas daerah antara kurva y = f(x), sumbu x, garis x = a dan x = b

Luas daerah arsiran = L = ∫abf ( x )dx

F. Integral Tertentu

∫abf ( x )dx

= [ F(x)]ab

= F (b) – F (a)

F (x) adalah antidifernsial dari f(x), a disebut batas bawah dan b batas atas

G. Sifat-sifat integral tertentu

a. ∫ab

k . f ( x ) dx = k∫a

bf ( x )dx

, k konstan

b. ∫abf ( x )± g (x ) dx +∫a

bf ( x )dx±∫a

bg( x )dx

c. ∫abf ( x ) dx +∫a

bf ( x )dx=∫a

bf ( x )dx

d. ∫ab

k . f ( x ) dx =∫a

bf ( t )dt

H. Pengintegralan dengan substitusi

Ciri-ciri integral yang dapat dikerjakan dengan cara substitusi :

a. ∫ xn (axm+b ) pdx , m – n = 1

y

Y = f(x)

0 a bx

Misal :∫ x ( x2+1 )3

b. ∫ f 1 ( x ) . ( f (x ) )ndx, f’(x) turunkan pertama f(x) atau kelipatannya

Misal :∫(2x + 2)( x2 + 2x - 1 ) dx

c. ∫sin ax(cos ax)n dx

Misal :∫sin ax (cos ax )n dx

d. ∫ f'( x ) F ( f ( x )) dx, maka F = fungsi trigonometri

Misal :∫ x cos2 x dx

I. Integral parsial

Yang diintegrasikan berbentuk perkalian, misalnya ∫ f ( x ) .g(x) dx dan tidak

dapat dikerjakan dengan integral substitusi

Rumus integral parsial

∫ udv = u . v Int {vdu ¿

J. Beberapa penggunaan integral

1. Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan sumbu x

a. Luas arsiran = ∫abf (x ) dx

y

Y = f(x)

0

b

x

a

a b

y1 = f(x)

y2 = g(x)

x

y

y1 = f(x)

y2 = g(x)

a by

x

y

y = f(x)

ba0y

b.

Luas arsiran = -∫aBf ( x ) dx

2. Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva, y1 = f(x), y2 = g(x)

a.

b.

K. Menghitung volume benda putar yang dibatasi sebuah kurva

a. Diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600

Volume arsiran = π ∫abf 2 ( x ) dx

yy = g(x)

ba0y

y1 = f(x)

y2 = g(x)

a bx

y

0

x1 = g(x) X2 = f(x)

x

y

0

b. Diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600

Volume arsiran = π ∫abg2 ( y ) dy

c. Diputar mengelilingi sumbu x

d. Diputar mengelilingi sumbu y

SOAL UN

UN 2010/2011

20. Hasil dari ∫cos4 2x sin 2xdx =

21. Hasil 2 x+3

√3 x2+9x−1

32. Luas daerah yang dibatasi kurva 2 y 4x ,y x 2, dan 0 x 2adalah …

35. Hasil ∫2

4

(−x2 +6 x−8¿¿dx =

36. Hasil ∫0

π

(sin 3 x+cos x )dx =

37. Volume benda putar yang dabatasi oleh y = x2 dan y = 2x diputar mengelilingi sumbu x adalah…

UN 2009/2010

32. Nilai dari ∫0

2

x2 ( x+2 )dx =

33. Hasil dari ∫sin 3 x cos2 xdx=¿¿

34. Nilai dari∫π3

π2

( 4 cos2 x−3 sin 3 x )dx=…

36. Daerah yang dibatasi oleh y = 4 -x2 dan, sumbu Y, sumbu X, dan x = 1. Kemudian diputr\ar mengelilingi sumbu X, maka volumenya adalah…

UN 2008/2009

31. Hasil dari. ∫ ( 6 x2−4 x )√x3−x2−1dx=…

32. Hasil ∫sin 3 x cos x dx=¿¿ . . .

33. Diketahui ∫1

p

( x−1 )2dx =2 23

. Nilai p yang memenuhi adalah . . .

34. Luas daerah yang diarsir adalah…

35. bila y = √ x dan benda memutar terhadap

sumbu Ymaka Volume benda putar yang

terjadi adalah

UN 2007/2008

35. Hasil ∫1

42x √x

dx =

36. Hasil dari ∫cos2 x sin x dx adalah . .

37. Luas daerah yang dibatasi oleh y = -x2+4 x, sumbu X, x= 1 dan x= 3 adalah….

UN 2006/2007

25. ∫1

p

3 x2+2x dx=78berapakah p yang memenuhi persamaan ?

27. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan y = 5x – 4 adalah…

28. Volume benda putar yang terjadi jika daerah ayng dibatasi oleh garis y = 2x dan y = x2diputar mengelilingi sumbu X adalah…

UN 2005/2006

18. Nilai ∫0

π

sin 2 x cos xdx=…

PEMBAHASAN

UN 2010/2011

20. Hasil dari ∫cos4 2x sin 2xdx =

Misalkan : u = cos2 x, maka

du = −2 sin 2xdx

sin 2 xdx = −12

du

Sehingga : ∫cos4 2x sin 2x dx = ∫ u4 .−12du

= −12.15u5+c

= −110

cos52 x+c Jawaban : (B)

21. Hasil 2 x+3

√3 x2+9x−1

Misalkan 3x2 9x 1t , maka berlaku:

(6x 9)dxdt32x 3dx dt

x + 3)dx = 13dt

Apabila nilai t disubstitusikan pada soal, diperoleh:

2 x+3

√3 x2+9 x−1dx=¿

13

√tdt=

13

t−12 dt=1

2.2 . t

12 +C Jawaban : (C)

32. y1= y2

4 - x2= x❑+2

0 = x2 - x❑−2

Luas daerah

= |∫0

2

x2−x−2dx|= |[ 1

3x3−

12x2−2 x ]

0

2|=|1

323−1

222−2 (2 )−0|

= 103

Jawaban = (B)

35. ∫−2

4

(−x2+6 x−8 ) dx=…

= [−13x3+3 x2−8 x ]

−2

4

= −13

(4 )3+3 (42 )−8 ( 4 )−{−13

(−2)3+3 (−2)2−8(−2)}=

−13

(64)+3 (16 )−32+ 13

(8) – 3(4) +8(2)

= −56

3 + 36 – 16

= 43

Jawaban : (E)

36. ∫0

π

(sin 3 x¿+cos x)dx=…¿

= [−13

cos3 x+sin x ]0

π

= −13

cos3 π+sin π−(−cos0+sin 0 )

= −13

cos3 π+sin 180+ 13

cos 0+sin 0

= −13

(−1)+0+ 13(1)+0

= 23

Jawaban : (D)

37. V = π∫a

b

y12− y2

2dx

= π∫0

2

(2 x)2−(x¿¿2)2dx¿

= π∫0

2

4 x2−x4❑dx

= π [ 43x3−1

5x5]

0

2

= π(43(2)3−1

5(2 )5−0)

= π ( 43

(8 )−15

(32 ))= π ( 160−96

15 )¿ 64

15π Jawaban : (D)

UN 2009/2010

32. ∫0

2

x2 ( x+2 )dx

= ∫0

2

x3+2 x2dx

= [ 14x 4+ 2

3x3]

0

2

= 14

¿

= 164

+ 163

= 4 + 163

= 913

Jawaban : (D)

33. ∫sin 3 x cos2 xdx = …

= ∫ 12

sin 5 x+12

sin x dx

= −110

cos5 x−12

cos x+C Jawaban: (B)

34. ∫π3

π2

( 4 cos2 x−3 sin 3 x )dx=…

= [ 42

sin 2x+cos3 x ]π3

π2

= 2 sin π+cos3π2

−(2 sin23π+cos

3π3 )

= 0 + 0 – 2. √32

+1

= 1 −√3 Jawaban : (A)

35.

36. V = π∫0

1

y12− y2

2dx

V = π∫0

1

(4−x2 )2−0dx

V = π [16 x−83x3+1

5x5]

0

1

V = π (16(1)−83

13+ 15

15−0¿

V = π ( 20315 )

V = 138

15π Jawaban : (C)

UN 2008/2009

31. ∫ ( 6 x2−4 x )√x3−x2−1dx=…

Misalkan u = x3−x2−1

Maka dx = du

3x2−2 x

=∫ ( 6 x2−4 x )√u du

3 x2−2x

= ∫2√udu

= 2(2)

3u

32+C

= 43

√ (x3−x2−1 )3 + C Jawaban : (C)

32. ∫sin 3 x cos x dx

= ∫ 12

sin 4 x+ 12

sin2 x dx

= −12 ( 4 )

cos4 x− 12 (2 )

cos 2x+C

= −18

cos 4 x−14

cos2 x+C Jawaban : (A)

33. ∫1

P

( x−1 )2dx=223

[ 11(2+1)

(x−1)2+1]1

p

=223

13

( p−1 )3−0=83

( p−1)3=8

( p−1 )3=23

( p−1 )=2

p=3 Jawaban : (C)

34. Berdasarkan gambar, maka

y1=x +3dany2= x2

L=∫0

2

y1− y2dx

L ¿∫0

2

( x+3 )dx−∫0

2

x2dx Jawaban : (B)

35. Berdasarkan gambar, x= y2

V ¿ π∫0

2

(x¿¿2)dy ¿

¿ π∫0

2

y4dy

¿ π [15y5]

0

2

¿ π ( 15

(32 )−15

(0 ))¿6

25π satuan volume Jawaban : (A)

UN 2007/2008

35. ∫1

42x √x

= ∫1

4

2 x−23

= [2 (−2 ) x−12 ]1

4

= −4 (4 )−12 +4 (1 )

−12

= 2 Jawaban : (D)

36. misalkancos x=u

Maka, dudx

=sin x

∫u2sin xdu

sin x

¿∫u2du

¿−13

cos3 x+C Jawaban : (B)

37. ∫1

3

(−x2+4 x )dx

¿ [−13x3+2x2]

1

3

¿−13

(27 )+2 (9 )+ 13

(1 )−2 (1 )

¿713

Jawaban : (C)

38.

UN 2006/2007

25. ∫1

p

3 x2+2x dx=78

¿ [x3+ 23x2]

1

P

=78

¿ p3+ p2−¿

p3+ p2=80

p3+ p2−80=0

Akar-akar yang memenuhi adalah

p = 4 atau p = 52

Jadi, -2p = -8 atau -2p = -5Jawaban : (E)

27. y1= y2

x2=5 x−4

x2−5 x+4=0

D=b2−4ac

¿52−4 (1 ) (4 )

¿9

Luas ¿ D√D6x2

¿ 9 .√96 .1

¿ 92

Jawaban : (C)

28. Titik potong y1dengan y2

y1 ¿ y2

x2=2 x

x=2atau x=0

Jadi, V = π∫0

2

y12 – y2

2dx

V = π∫0

2

(2 x)2−(x¿¿2)2dx¿

V = π [ 43x3−1

5x5]

0

2

V = π ( 43

23−15

25−0)V =

6415π Jawaban : (B)

UN 2005/2006

18. ∫0

π

sin 2 x .cos x dx

= ∫0

π12

sin 3 x+12

sin xdx

¿ [−16

cos3 x−12

cos x]0

π

¿ 16+ 1

2−(−1

6−1

2 )=

43

Jawaban : (E)