Integral

Nama KelompokMira Sandrana

Kiki Andani

fitri

Asrul

Steven Febranzio

Integral Tak Tentu

Lihatlah gedung-gedung pencakar langit yang ada di Jakarta, atau Petronas di Kuala Lumpur.

Semakin tinggi bangunan semakin kuat angin yang menghantamnya. Karenanya bagian atas bangunan harus dirancang berbeda dengan bagian bawah. Untuk menentukan rancangan yang tepat, digunakan perhitungan integral.

Menggunakankonsep integral dalampemecahanmasalah

Menemukan konsep integral dariturunan

Menentukan integral dengankondisi awal

Menentukan integral tak tentufungsi aljabar dan trigonometri

Memahamikonsep integral tak tentu danintegral tentu

PENGERTIAN INTEGRAL

Notasi Integral dan Integral tak Tentu adalah

Dibaca: integral dari f(x) terhadap variabel x

Integral merupakan kebalikan dari turunan (diferensial). Integral disebut juga sebagai anti diferensial.

• Secara umum himpunan semua anti difrensial dari fungsi f(x) dirumuskan sebagai :

f(x) = integranF(x) = fungsi integral atau fungsi primitifx = variabelc = konstanta integrasi

cxFdxxf )()(

RUMUS-RUMUS INTEGRAL

n∫

nndxx =

1

+1

+1+ c , dengan n≠ -1x

n∫

nndxax =

a

+1+1

+ c , dengan n≠ -1x

∫ dxa = + ca x

SIFAT-SIFAT INTEGRAL

a.

b.

c.

d.

e.

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

dxxfadxxfa )()(

cxx

dxdx

x ln

1

cxdx

CONTOH : 1

Tentukan nilai integral tak tentu berikut:

1.

Jawab:

2.

Jawab:

ctctdttdtt 31222

12

1.333

dxxxx

2

5

2

3

7

8

3

2

14

dtt23

dxxxx 2

5

2

3

7

8

3

2

14

dxxdxxdxx 2

5

2

3

7

8

3

2

14

=

=

=

Dengan

dxxdxxdxx 2

5

2

3

7

8

3

2

14

32

3

22

5

1

8

12

5

1

8

3

12

3

1

2

1

17

14 cxcxcx

cxxx

2

3

2

5

8

4

1

5

1

2

1

321 cccc

du9u

menjadi dx )32()539(x Maka

dx 3)(2x du

32xdx

du

53x xu Misalkan : Jawab

dx )32()539(x :Carilah

8

82

2

82

xx

xx

c) 5 3x (x

c u c9

9u

92

99

dx 73x :h Tentukanla

du.u3

1

3

du.u

3

du.u dx 73x maka

3

du dx

3 dx

du 73x u :Misalkan

21

21

c73)73(9

2

cu.3

2.

3

1

cu

3

1

23

23

23

xx

cθ) 2Cos-4(8

1

cu 8

1 cu

4

1.

2

1

duu2

1

θsin2

duθ.sinu

dθ θsin )θ 2Cos-(4

θsin2

du dθ

θsin2dθ

du maka

θ 2Cos-4 u Misalkan : Jawab

dθ θsin )θ 2Cos-(4 :Carilah

4

44

33

3

3

cθ) 2Cos-4(8

1

cu 8

1 cu

4

1.

2

1

duu2

1

θsin2

duθ.sinu

dθ θsin )θ 2Cos-(4

θsin2

du dθ

θsin2dθ

du maka

θ 2Cos-4 u Misalkan : Jawab

dθ θsin )θ 2Cos-(4 :Carilah

4

44

33

3

3

lanjutannya

516

80 )181(

16

1

)1(316

1

u16

1

44

3

1

4

nextLUAS DAERAH DIBATASI OLEH SEBUAH KURVA

1.Luas Daerah yang dibatasi kurva y = f(x)

dan sumbu X pada interval tertutup [ a , b ]

Perhatikan gambar di bawah !

X

Y

O

Y = f(x)

a b

next

Seperti yang telah

dijelaskan pada materi

sebelum nya , luas daerah

seperti pada gambar di

samping dapat ditentukan

dengan integral tertentu .

Yaitu : next

LUAS (L) = f(x) dx

a

b

Apabila daerah yang diarsir terletak di bawah

sumbu x , maka luasnya adalah :

LUAS (L) = – f(x) dx

a

b

next

a.

Hitunglah luas daerah yang diarsir

Jawab :

nextLUAS DAERAH ANTARA 2 BUAH KURVA

Perhatikan gambar di bawah ini !

X

Y

O

Y1

= f(x)

ab

Y2

= g(x)

next

Jika L adalah luas daerah

antara kurva y1

= f(x) dan

y2

= g(x) dengan f(x) ≥ g(x)

(baca f(x) di atas g(x) )

pada interval tertutup [a,b],

maka L dapat dihitung sbb :

next

1. luas daerah antara kurva y1

= f(x)

dengan sumbu X pada interval tertutup

[a,b], adalah :

L1

= f(x) dx

a

b

2. luas daerah antara kurva y2

= g(x)

dengan sumbu X pada interval tertutup

[a,b], adalah :

L2

= g(x) dx

a

b

next

Sehingga L = l1

+ l2

= f(x) dx +

a

b

g(x) dx =

a

b

(f(x) – g(x) ) dx

a

b

Jadi : L = (f(x) – g(x) ) dx

a

b

next

Menghitung luas daerah antara kurva f(x) dengan g(x) pada interval [a,b] seperti pada gambar berikut :

Luas daerah antara kurva y1 = f(x) dengan sumbu x pada interval [a,b]

Luas daerah antara kurva y2 = g(x) dengan sumbu x pada interval [a,b]

Menghitung luas daerah antara kurva f(x) dengan g(x) pada interval [a,b] seperti pada gambar berikut :

Luas daerah antara kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x) pada interval [a,b]

Luas ABCD = Luas EFCD – Luas EFBA

Luas ABCD =

Mengapa Bisa ……

T