SMA - 1

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

Integral

A. Integral Tak Tentu 1. Rumus Integral Fungsi Aljabar

1. ∫ k x n dx = 1+n

k x 1+n + c ; n ≠ -1

2. ∫ + nbax )( dx = )1(

1+na

(ax+b) 1+n + c ; a ≠ 0 dan n ≠ -1

3. ∫ x1 dx = ln|x| + c

4. ∫ ± ))()(( dxxgdxxf = ∫ dxxf )( ± ∫ dxxg )( 2. Rumus Integral Fungsi Trigonometri 1. ∫ xsin dx = - cos x dx + c 2. ∫ xcos dx = sin x dx + c

3. ∫ xtan dx = ∫ xx

cossin dx = ∫

−

x

xdxd

cos

cos dx = - ln |cos x| + c ( ∫ x

dx = ln|x| +c )

4. ∫ ctgx dx = ∫ xx

sincos dx = ∫ x

xdxd

sin

sin dx = ln |sin x| + c

5. ∫ + )sin( bax dx = - a1 cos (ax+b) + c

6. ∫ + )cos( bax dx = a1 sin (ax+b) + c

7. ∫ + )tan( bax dx = - a1 ln|cos(ax+b)| + c

8. ∫ + )( baxctg dx = a1 ln|sin(ax+b)| + c

9. ∫ nsin (ax+b) cos(ax+b) dx = )1(

1+na

sin 1+n (ax+b) +c

SMA - 2

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

10. ∫ ncos (ax+b) sin(ax+b) dx = )1(

1+na

cos 1+n (ax+b) +c

11. ∫ axsin2 cos bx dx = xba∫

+2

)(sin dx + ∫− xba2

)(sin dx

12. ∫ 2sec x dx = tan x + c

13. ∫ 2sec (ax+b)dx = a1 tan (ax+b)+ c

14. ∫ 2secc x dx = - ctg x + c

15. ∫ 2secc (ax+b)dx = -a1 ctg (ax+b)+ c

16. ∫ xtan secx dx = sec x + c 17. ∫ xc tan csecx dx = -csec x + c 3. Rumus-rumus Integral yang lain

1. ∫ − 22 xa dx = 21 a 2 arc sin (

ax ) +

21 x 22 xa − + c ( x = a sin θ ; sin θ =

ax ;

θ = arc sin (ax ) )

2. ∫ + 22 xa dx = 21 a 2 ln |x + 22 xa + | +

21 x 22 xa + + c

3. ∫ − 22 ax dx = - 21 a 2 ln |x + 22 ax − | +

21 x 22 ax − + c

4. ∫− 22 xa

dx = arc sin (ax ) + c

5. ∫+ 22 xa

dx = ln |x + 22 xa + | + c

SMA - 3

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

6. ∫− 22 ax

dx = ln |x + 22 ax − | + c

7. ∫ − 22 xadx =

a21 ln |

axax

−+ | +c

8. ∫ + 22 xadx =

a1 arc tan|

ax | + c

4. Integral Parsial ∫u dv = uv - ∫v du Didapat dari : y = u.v dimana u = g(x) dan v = h(x) y’ = u’ v + u v’ = v u’ + u v’

dxdy = v.

dxdu + u .

dxdv (dikalikan dx)

dy = v du + u dv d (u.v) = v du + u dv ∫ ).( vud = ∫v du + ∫u dv u.v = ∫v du + ∫u dv

∫u dv = uv - ∫v du B. Integral Tertentu

∫b

a

xf )( dx = F(x)b

a| = F(b) – F(a)

1. Luas Daerah Antara Kurva dan Sumbu-Sumbu Koordinat Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x dan garis-garis x = a dan x = b serta x = g(y), sumbu y dan garis-garis y = a dan y = b dapat dibedakan sbb :

SMA - 4

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

a. Jika f(x) > 0 (Kurva di atas sumbu x)

L = ∫b

a

xf )( dx

b. Jika f(x) < 0 (Kurva di bawah sumbu x)

L = - ∫b

a

xf )( dx = ∫a

b

xf )( dx

c. Jika f(x) > 0 dan f(x) < 0 (Kurva sebagian berada di bawah sumbu x dan sebagian lainnya berada di atas sumbu x)

L = - ∫c

a

xf )( dx + ∫b

c

xf )( dx

= ∫a

c

xf )( dx + ∫b

c

xf )( dx

SMA - 5

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

d. jika g(y) > 0 (kurva berada di sebelah kanan sumbu y)

L = ∫b

a

yg )( dy

e. jika g(y) < 0 (kurva berada di sebelah kiri sumbu y)

L = - ∫b

a

yg )( dy = ∫a

b

yg )( dy

f. jika g(y) < 0 dan g(y) > 0 (kurva sebagian berada di sebelah kiri sumbu y dan sebagian lainnya

SMA - 6

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

berada di sebelah kanan sumbu y)

L = - ∫c

a

yg )( dy + ∫b

c

yg )( dy

= ∫a

c

yg )( dy + ∫b

c

yg )( dy

2. Luas Daerah Antara Dua Kurva a. Di atas sumbu x

L = ∫b

a

y2 dx - ∫b

a

y1dx = ∫ −b

a

yy )12( dx

SMA - 7

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

b. Di bawah sumbu x

L = - ∫b

a

y2 dx - { - ∫b

a

y1dx } = ∫b

a

y1dx - ∫b

a

y2 dx = ∫ −b

a

yy )21( dx

c. Di sebelah kanan sumbu y

L = ∫b

a

x2 dy - ∫b

a

x1dy = ∫ −b

a

xx )12( dy

SMA - 8

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

3. Volume Benda Putar a. Diputar terhadap sumbu x maka,

V= π dxyb

a∫ 2

b. Diputar terhadap sumbu y maka,

V= π dyxb

a∫ 2