integral 2.doc

Modul MatematikaRustamin, S.Pd MODUL 1

INTEGRAL TAK TENTU

Pendahuluan

Modul ini berisi bahasan tentang konsep integral tak tentu dan teknik pengintegralan tak tentu. Pokok bahasan di dalamnya ada tiga macam, yaitu : (1) Pengertian integral tak tentu atau anti turunan, (2) Sifat - sifat integral tak tentu dan (3) Integral tak tentu fungsi aljabar. Dengan menguasai isi modul diharapkan kalian mampu menentukan integral tak tentu dari fungsi aljabar, dan dapat menggunakan pengintegralan tak tentu untuk menyelesaikan soal - soal yang berkaitan.

Kompetensi dasar yang kalian harus kuasai adalah Konsep integral tak tentu dan integral tentu

Dengan kemampuan minimal yang diharapkan :1. Mengenal arti integral tak tentu2. Dapat menentukan sifat-sifat integral tak tentu 3. Dapat menentukan integral tak tentu dari fungsi Aljabar

SMA Negeri 1 Plumbon 1

Modul Matematika

Integral Tak Tentu

A. Alat Peraga Transformasi Bidang

Ilustrasi “Jika saya mengenakan sepatu , kemudian saya melepasnya lagi ”. Operasi yang kedua menghapuskan yang pertama, mengembalikan sepatu pada posisinya yang semula. Kita katakan dua operasi tersebut adalah operasi balikan ( invers ). Matematika mempunyai banyak pasangan operasi balikan : penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar, serta penarikan logaritma dan penghitungan logaritma. Kalian pada waktu kelas XI telah mempelajari pendiferensialan ( penurunan ); balikannya disebut anti pendiferensialan. ( integral taktentu ).

Kalian ingat kembali pada waktu di kelas XI, saat belajar tentang suatu benda yang bergerak lurus, jika persamaan gerak diketahui, maka kecepatan sesaatnya dapat dicari, demikian pula percepataan sesaatnya.

Andaikan persamaan gerak itu St = f ( t ), maka kecepatan sesaat adalahVt = f’ ( t ), dan percepatan sesaat adalah at = f’’ ( t ). Sebagai contoh , jika persamaan gerak lurus adalah St = t3 + 2t2 + 5t, maka kecepatan sesaatnya adalah Vt = 3t2 + 4t + 5 dan Percepatan sesaatnya adalah at = 6t + 4.SMA Negeri 1 Plumbon

KEGIATAN BELAJAR1

Modul Matematika

Sebaliknya , jika diketahui rumus percepatan sesaat atau kecepatan sesaat dari suatu gerak lurus, bagaimanakah cara menentukan persamaan gerak itu ? Persoalan ini adalah persoalan mencari f ( t ) jika diketahui f’’ ( t ) atau f’ ( t ), atau mencari suatu fungsi yang diketahui turunannya atau derivatifnya. Dari contoh tadi dapat ditebak bahwa St = t3 + 2t2 + 5t jika Vt = 3t2 + 4t + 5, dan dapat pula ditebak bahwa St = t3 + 2t2 + 5t jika at = 6t + 4.

Tetapi akan segera kita ketahui bahwa St tebakan kita itu hanyalah salah satu dari banyak kemungkinan untuk St.

Marilah kita perhatikan contoh - contoh berikut :f1 ( t ) = t3 + 2t2 + 5t → f1’ ( t ) = 3t2 + 4t + 5f2 ( t ) = t3 + 2t2 + 5t + 7 → f2’ ( t ) = 3t2 + 4t + 5 f3 ( t ) = t3 + 2t2 + 5t + 9 → f3’ ( t ) = 3t2 + 4t + 5 f4 ( t ) = t3 + 2t2 + 5t + 9 → f4’ ( t ) = 3t2 + 4t + 5

Tampak bahwa f’ ( t ) = 3t2 + 4t + 5 menentukan lebih dari satu f ( t ).

Jadi jika ditentukan bahwa pada suatu gerak lurus, kecepatan sesaatnya pada sebarang saat t adalah Vt = 3t2 + 4t + 5, maka persamaan geraknya belum tertentu; salah satu persamaan geraknya yang mungkin adalah St = t3 + 2t2 + 5t, kemungkinan lain masih banyak.

Karena persoalan kita sekarang adalah persoalan mencari suatu fungsi yang ditentukan turunannya, maka kita perlu memberikan nama kepada fungsi F yang turunannya f. Untuk lengkapnya disini diberikan secara terpisah definisi antiturunan.

SMA Negeri 1 Plumbon

2

Modul Matematika

Definisi ( 1.1 )Antiturunan atau antiderivatif dari fungsi f ialah F yang

bersifat bahwa F’ = f

Jika f ialah fungsi dari variable x maka yang disebut anti turunan atau antiderivatif dari f ( x ) ialah F ( x ) yang bersifat bahwa F’ ( x ) = f ( x ).

Proses penentuan turunan suatu fungsi atau proses penentuan f’ dari f atau penentuan f’ ( x ) dari f ( x ) disebut pendeferensialan atau diferensiasi.

Hasil pendiferensialan disebut derivative atau hasil bagi diferensial. Sebaliknya , penentuan antiturunan suatu fungsi, yaitu penentuan f disebut juga pengintegralan atau integrasi . Hasil pengintegralan suatu fungsi lazim disebut integral fungsi itu

B. Sifat - Sifat Integral Tak Tentu

Untuk memahami sifat - sifat dasar integral, marilah kita perhatikan tinjauan berikut ini. Kita gunakan lambang untuk menyatakan selang terbuka antara a dan b, dan lambang untuk menyatakan selang tertutup antara a dan b dengan pengertian bahwa a < b.

Sifat ( 1.2 )Jika f’ ( x ) = 0 untuk setiap x anggota x , maka ada

konstanta c yang bersifat bahwa f ( x ) = c untuk setiap x . Untuk fungsi f, g, h, yang bersifat bahwa f ( x ) = g ( x ) - h ( x ), apabila ketiga fungsi itu dapat diturunkan, maka f ‘ ( x ) = g ‘ ( x ) - SMA Negeri 1 Plumbon

3

4

Modul Matematikah ‘ ( x ). Berdasarkan sifat ( 1.2 ) jika g’ ( x ) = h’ ( x ) untuk setiap x dalam selang maka ada konstanta c sedemikian sehingga g ( x ) - h ( x ) = c untuk setiap x . Hasil ini sangat penting sehingga lazim ditetapkan sebagai dalil atau teorema, yang dapat dirumuskan sebagai berikut.

Teorema ( 1.3 )Apabila g dan h adalah fungsi yang bersifat bahwa g’ ( x ) =

h’ ( x ) untuk setiap x , maka ada konstanta c sedemikian sehingga g ( x ) = h ( x ) + c untuk setiap x .

Teorema ( 1.3 ) tersebut menunjukan bahwa suatu fungsi mempunyai tak berhingga banyaknya antiturunan, yang satu sama lain hanya berbeda suku konstanta. Hal ini sesuai dengan contoh - contoh dimuka. Berdasarkan teorema ( 1.3 ) itu dapatlah disimpulkan bahwa antiturunan dari suatu fungsi selalu berbentuk F ( x ) + c, dengan pengertian bahwa suku c menyatakan konstanta sebarang.

Teorema Akibat ( 1.4 )Jika F ( x ) merupakan suatu antiturunan dari f ( x ), maka

bentuk umum antiturunan atau bentuk umum integral f ( x ) adalahF ( x ) + c dengan ketentuan bahwa c adalah konstanta. Bentuk umum antiturunan dari f ( x ) dinyatakan dengan ∫ f ( x ) dx Jika fungsi f adalah turunan dari F, maka ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c, dengan pengertian bahwa c menyatakan konstanta sebarang, ∫ f ( x ) dx disebut juga integral tak tentu dari f ( x )

Contoh :1.2.

3.SMA Negeri 1 Plumbon 5

Modul Matematika

C. Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Teorema (1.5) ( Aturan Pangkat )Jika n adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka

Teorema ( 1.6 ) ( Kelinearan dari ∫ . . . dx ).Andaikan f dan g mempunyai anti turunan ( Integral Tak

Tentu ) dan andaikan k suatu konstanta, maka :(i) ∫k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx(ii) ; dan akibatnya(iii)

Contoh :Integralkan :

1. 6 2. x2 3. 8x3 4.

Penyelesaian

1. Teorema ( 1.5 )

2. Teorema ( 1.5 )

3. Teorema ( 1.6 ) (i)

=8. Teorema ( 1.5 )

=2x4 + c


cnxdxxn

n

1

1

6

Modul Matematika

4. dari pangkat positif diubah ke dalam

pangkat negatif

teorema ( 1.6 ) ( i )

= -6.

=

= pangkat negatif diubah kedalam pangkat positif

Contoh ( lanjutan )

Tentukan

1. 2.

Penyelesaian

1. Teorema (1.6) (iii) =4x - 4 Teorema (1.6) (i)

= 4x - 4.

= 4x - x4 + c

2. = Pangkat positif diubah pada pangkat

negatif

= Sifat distributif = Teorema (1.6) (ii)

= x +

= x -


Modul MatematikaLatihan 1

Dengan mempelajari uraian dimuka, Kalian diharapkan memperoleh pengertian yang baik tentang konsep integral tak tentu. Kerjakan soal - soal ini secara individual, apabila ada masalah, kerjakan dengan kelompok belajarnya, Selanjutnya kalian dipersilahkan mengerjakan latihan berikut ini.

Pilihlah salah satu jawaban yang kalian anggap paling tepat1. Hasil dari = . . .

A. x + c B. 3x + c C. D. E. x3 + c

2. Hasil dari = . . .

A. B. C.

D. E.

3. Hasil dari = . . .

A. B. C.

D. E.

4. Hasil dari . . .

A. B. C.

D. E.

5. Hasil dari . . .A. B. C. D. E. 2

6. Hasil dari . . .


8

Modul MatematikaA. 4x2 - x3 + c B. 2x2 - x3 + c C. 2x2 - 3x3 + c D. x4 - x3 + c E. 2x4 - 2x3 + c

7. Hasil dari . . .A. x4 - 3x3 + 3x2 - x + c B. x4 - x3 + 3x2 - x + c C. 4x4 - x3 + 6x2 - x + c D. 4x 4 - x3 + 3x2 - x +

cE. x4 - 3x3 + 6x2 - x + c

8. Hasil dari . . .

A. B.

C. D.

E.

9. Hasil dari . . .

A. B. C.

D. E.

10.Hasil dari . . .

A. B.

C. D.

E.

Untuk mengetahui apakah jawaban kalian benar, silahkan kalian cocokan dengan kunci latihan 1 di bawah iniSMA Negeri 1 Plumbon

9

Modul Matematika

1. C 2. D 3. A 4. A 5. A6. B 7. B 8. C 9. A 10. C

Mudah - mudahan jawaban kalian sesuai dengan kunci jawaban diatas

Petunjuk singkat penyelesaian


NomorSoal

Penyelesaian

1 Gunakan teorema (1.6) ( i )2 Ubah kedalam pangkat negatif, kemudian di integralkan3 -4 , silahkan kalian lanjutkan5 Gunakan teorema (1.6) (ii)6 Gunakan teorema (1.6) (iii)7 -8 -9 , silahkan kalian lanjutkan

10 , gunakan sifat distributif dan silahkan kalian lanjutkan

10

Modul Matematika

RANGKUMANOperasi balikan (invers) dari turunan adalah integral tak tentu a. Lambang integral dinotasikan dengan ∫ , lambang tersebut

pertama kalinya diperkenalkan oleh Leibnizb. ∫ f ( x ) dx dibaca “ Integral f ( x ) dx “ atau “ integral dari f ( x )

terhadap x “

Rumus - Rumus

1. ∫ xn dx = , rasional dan

2. , k adalah konstanta3. , k adalah konstanta4.

5.

FORMATIF 1Pilihlah salah satu jawaban yang menurut kalian paling tepat


11

Modul Matematika1. Hasil dari . . .

A. B. x + c C. 3x + c

D. E.

2. Hasil dari . . .

A. B. C.

D. E.

3. Hasil dari . . .

A. B. C.

D. E.

4. Hasil dari . . .

A. B. C.

D. E.

5. Hasil dari . . .

A. B. C.

D. E.

6. Hasil dari . . .A. B. C. D. E.

7. Hasil dari . . .

A. B. C.

D. E.


12

Modul Matematika

8. Hasil dari

A. B. C.

D. E.

9. Hasil dari . . .

A. B. C.

D. E.

10.Hasil dari . . .

A. B. C.

D. E.

Cocokkanlah jawaban kalian dengan kunci jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk menghitung jumlah jawaban kalian yang benar dalam materi Kegiatan Belajar 1

KRITERIA KEBERHASILAN

Rumus :SMA Negeri 1 Plumbon

13

Jumlah jawaban kalian yang benar10

Modul MatematikaTingkat penguasaan = x

100%

Arti tingkat penguasaan :90 % - 100 % = baik sekali80 % - 89 % = baik70 % - 79 % = cukup < 70 % = kurang

Apabila tingkat penguasaan kalian mencapai KKM, kalian berhasil dan akan lebih mudah untuk mengikuti pembelajaran berikutnya, Ok ! Tetapi apabila tingkat penguasaan di bawah KKM, kalian masih harus mengulang kembali kegiatan belajar 1, selamat !

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF


14

Modul MatematikaTes Formatif 1

1. B 2. D 3. D 4. D 5. D6. B 7. E 8. D 9. E 10. A

Petunjuk singkat penyelesaian untuk kunci jawaban

DAFTAR PUSTAKA


15

NomorSoal

Penyelesaian

1 -2 -3 -4 -5 -6 -

7 , silahkan lanjutkan8 Seperti nomor 7

9 ,gunakan sifat distributif, lanjutkan dan kalian bisa !

10

atau

, silahkan kalian lanjutkan.Inilah lebihnya Kalkulus, kalian tidak akan bisa menyelesaikan dengan sempurna soal - soalnya, apabila kalian lemah dalam Aljabar dan Trigonometri

Modul MatematikaKodir ,M.A.. dkk.. 1981. Matematika 10 untuk SMAJakarta : Departemen Pendidikan dan Kebudayaan

Purcell, E.J. 1990. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid 1. ( edisi ke 4 ) ( Terjemahan I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita, & Rawuh ).Jakarta : Erlangga

Soemartojo, N. dkk.. 1992. Kalkulus IIJakarta : Departemen Pendidikan dan Kebudayaan

Setiawan, T. dkk.. 2007. Seri Integral 1000 Bank Soal SMA/MABandung : Yrama Widya

Rustamin, S.Pd MODUL 2

INTEGRAL TAK TENTU


16

Modul MatematikaPendahuluan

Modul ini berisi bahasan tentang konsep integral tak tentu dan teknik pengintegralan tak tentu. Pokok bahasan di dalamnya ada dua macam, yaitu : (1) Pengertian integral tak tentu fungsi trigonometri, (2) Penerapan dari integral tak tentu. Dengan menguasai isi modul diharapkan kalian mampu menentukan integral tak tentu dari fungsi trigonometri, dan dapat menggunakan pengintegralan tak tentu untuk menyelesaikan soal - soal yang berkaitan.


Dengan kemampuan minimal yang diharapkan :1. Dapat menentukan integral tak tentu fungsi Trigonometri2. Dapat menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan

integral tak tentu

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri


17

KEGIATAN BELAJAR1

Modul MatematikaPada waktu kalian duduk di Kelas XI, kalian telah belajar

mengenai turunan fungsi trigonometri, untuk mempermudah cara memahami integral tak tentu fungsi trigonometri, alangkah baiknya kalian ingat - ingat kembali materi pelajaran tersebut.

Jika f ( x ) = sin x → f ’ ( x ) = cos xJika f ’ ( x ) = cos x → f ( x ) = sin x + c, kenapa ?sebab anti turunan itu operasi balikan ( invers ) dari turunan, teorema akibat ( 1.4 ), sehingga anti turunan dari cos x dapat ditulis dengan

∫ cos x dx = sin x + c

Dengan cara yang sama, untuk mendapatkan anti turunan atau integral tak tentu dari sin x adalah sebagai berikut ;

Jika f ( x ) = cos x → f ‘ ( x ) = - sin xJika f ‘ ( x ) = sin x → f ( x ) = - cos x + c

dengan demikian anti turunan dari sin x dapat ditulis ∫ sin x dx = - cos x + c

Dengan cara yang sama pula dapat ditentukan anti turunan untuk sec2x

∫ sec2x dx = tan x + c

Untuk lebih jelasnya silahkan kalian ikuti dan pelajari contoh - contoh soal berikut ini

Contoh ;Integralkanlah

1. cos x 2. 2cos x 3. 1 + cos x4. sin x 5. 4sin s 6. 4 - sin x

Penyelesaian


18

Modul Matematika1. 2. 3. 4. 5. 6.

Latihan 1

Dengan mempelajari uraian dimuka, Kalian diharapkan memperoleh pengertian yang baik tentang konsep integral tak tentu fungsi trigonometri. Kerjakan soal - soal ini secara individual, apabila ada masalah, kerjakan dengan kelompok belajarnya. Selanjutnya kalian dipersilahkan mengerjakan latihan berikut ini.

Pilihlah salah satu jawaban yang kalian anggap benar

1. Hasi l dari . . .

A. B. 3cos x C.

D. -3cos x + c E.

2. Hasil dari . . .

A. - cos x + c B. cos x + c C.

D. E.

3. Hasil dari . . .

A. 3sin x + c B. 3cos x + c C.

D. -3sinx + c E. -3cos x + c4. Hasil dari . . .

A. cos x + c B. x - xsinx + c C. x - xcosx + c

D. x + cos x + c E. cos x + c


19

Modul Matematika5. Hasil dari . . .

A. -sin x + c B. x - cos x + c C. x + x cos x + c

D. x - sin x + c D. x + x sin x + c6. Jika f ( x ) = 4cos x - 1, maka . . .

A. 4sin x - 1 + c B. 4sin x - x + c C.

D. E. -4sin x - 1 + c

7. Hasil dari . . .A. 4sin x - 3cos x + c B. -4sin x + 3cos x +

cC. 4sin x + 3cos x + c D. -4sin x - 3cos x + cE. -4sin x + 4cos x + c

8. Hasil dari . . .

A. sin x + c B. cos x + c C. -sin x + cD. -cos x + c E. 2cos x + c

9. Hasil dari . . .A. 2cos x + c B. 2sin x + c C. sin x + cos x +

cD. 2sin x cos x + c E. x + c

10. . . .A. 2cos x + c B. -2cos x + c C. 2sinx cos x +

cD. 2sin x + c E. sin x + c

Untuk mengetahui apakah jawaban kalian benar, silahkan kalian cocokan dengan kunci latihan 1 di bawah ini

1. D 2. B 3. A 4. D 5. D6. B 7. C 8. D 9. E 10. DSMA Negeri 1 Plumbon

20

Modul Matematika

Petunjuk singkat penyelesaian soal

Mudah -mudahan jawaban kalian sesuai dengan kunci dan memahami penjelasan di atas.

RANGKUMANSMA Negeri 1 Plumbon

Nomor Penyelesaian1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 Ingat rumus sin 2 = 2sin cos

sehingga 2sin cos = sin x

9 Ingat rumus , sehingga

10 artinya turunan dari sinx dikali 2, kemudian hasilnya di integralkan sehinggahasil akhirnya adalah fungsi semula yaitu2sinx + c

21

Modul Matematika

Rumus - Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri1.2.3.

Sifat - Sifat kelinearannya integral tak tentu fungsi trigonometri sama dengan integral tak tentu fungsi aljabar, yaitu ;

1. , dengan k adalah konstanta2.3.dengan f ( x ) dan g ( x ) adalah fungsi trigonometri

Rumus - Rumus kesamaan trigonometri ;1.2.3.

Untuk Rumus - Rumus kesamaan trigonometri lainnya akan dipelajari pada integral tak tentu lebih lanjut

FORMATIF 1

Pilihlah salah satu jawaban yang menurut kalian paling tepat

1. Hasil dari . . .SMA Negeri 1 Plumbon

22

Modul Matematika

A. B. 5cos x C.

D. -5cos x + c E.

2. Hasil dari . . .

A. - 2cos x + c B. 2cos x + c C.

D. E.

3. Hasil dari . . .

A. 7sin x + c B. 7cos x + c C.

D. -7sinx + c E. -7cos x + c4. Hasil dari . . .

A. cos x + c B. 11 x - xsinx + c C. 11x - xcosx + c

D. 11x + cos x + c E. 11cos x + c5. Hasil dari . . .

A. -sin x + c B. 4x - cos x + c C. 4x + x cos x + c

D. 4x - sin x + c D. 4x + x sin x + c6. Jika f ( x ) = 4cos x + 1, maka . . .

A. 4sin x + 1 + c B. 4sin x + x + c C.

D. E. -4sin x + 1 + c

7. Hasil dari . . .A. 4sin x - 3cos x + c B. -4sin x + 3cos x +

cC. 4sin x + 3cos x + c D. -4sin x - 3cos x +

cE. -4sin x + 4cos x + c

8. Hasil dari . . .


23

Modul MatematikaA. 2sin x + c B. 2cos x + c C. -2sin x + cD. -2cos x + c E. 4cos x + c

9. Hasil dari . . .

A. x - cos x + c B. x + sin x + c C. sin x + cos x + c

D. 2sin x cos x + c E. x + cos x + c10. . . .

A. 6cos x + c B. -6cos x + c C. 6sinx cos x + c

D. 6sin x + c E. sin x + cCocokkanlah jawaban kalian dengan kunci jawaban Tes

Formati 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk menghitung jumlah jawaban kalian yang benar dalam materi Kegiatan Belajar 1.

KRITERIA KEBERHASILANRumus :Tingkat penguasaan = x

100%





24

Modul Matematika


Tes Formatif 1

1. D 2. B 3. A 4. D 5. D6. B 7. A 8. D 9. E 10. D

Penjelasan Penyelesaian Soal

Tes Formatif 2SMA Negeri 1 Plumbon

Nomor Soal1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 Ingat rumus sin 2 = 2sin cos

sehingga 4sin cos =2(2sin cos ) =2sin x

9

= 1 - = 1 - sin x

= x + cos x + c

10 artinya turunan dari sinx dikali 6, kemudian hasilnya di integralkan sehinggahasil akhirnya adalah fungsi semula yaitu6sinx + c

34

Modul Matematika

1. B 2. A 3. A 4. A 5. D6. D 7. A 8. D 9. B 10. D

Penjelasan Penyelesaian Soal

Nomor Soal1 seperti contoh2 seperti contoh3 seperti contoh4 seperti contoh5 F’( x ) = → F’ ( x ) =3x2 - 2x + c, gradien

garis singgung 4 di titik (1, -3), ini berarti F’ ( 1 ) = 4, maka akan didapat 3(1)2 - 2(1) + c = 4 → c = 3 dan F’ ( x ) = 3x2 - 2x + 3, F ( x ) = → F ( x ) = x3- x2 + 3x +c,substitusikan (1, -3) ke F ( x ) = x3 - 2x + 3x + c → c = -6

6 f ( x ) = ∫ (ax + 1)dx = , substitusikan (1, 0) dan

(2, -1) ke f ( x ) = sehingga nanti ada 2

persamaan yang terdiri dari variable a dan c, nilai c itulah yang diminta

7 seperti contoh8 seperti contoh9 seperti contoh10 seperti contoh, tapi ada pengembangan soal pada

lintasan bola mencapai tinggi maksimum. Suatu benda akan mencapai tinggi maksimum atau minimum pada saat kecepatannya v = 0, silahkan lanjutkan sendiri...

Mudah -mudahan jawaban kalian sesuai dengan kunci dan penjelasan di atas.SMA Negeri 1 Plumbon 35

Modul Matematika

Penerapan Integral Tak Tentu

Integral tak tentu dapat digunakan untuk menyelesaikan beberapa macam persoalan, misalnya : Persoalan menentukan persamaan kurva, persoalan gerak kecepatan - percepatan, persoalan arus listrik. Persoalan menentukan persamaan kurva diselesaikan, antara lain berdasarkan sifat bahwa pada grafik dari y = f ( x ) adanya gradien garis singgung ( xo, yo ) adalah f’ ( xo ). Persoalan gerak kecepatan - percepatan diselesaikan antara lain berdasarkan hubungan antara jarak yang telah ditempuh setelah t satuan waktu, kecepatan sesaat, dan percepatan sesaat pada gerak lurus, yaitu s ( t ) = ∫ v ( t ) dt dan v ( t ) = ∫ a ( t ) dt.

Macam - macam Penggunaan Integral Tak Tentu

a. Persoalan Menentukan Persamaan kurva

Turunan suatu fungsi menunjukan gradien garis singgung pada grafik fungsi itu di titik yang bersangkutan. Sebaliknya jika diketahui turunan fungsi f ditambah dengan diberikannya beberapa syarat tambahan fungsi itu, maka dapat menghasailkan kurva yang menjadi grafik fungsi f itu.

Contoh :Carilah persamaan kurva yang melalui titik T ( 2,3 ) dan yang

di sebarang titik P ( x, y ) sama dengan dua kali absis titik P itu.


KEGIATAN BELAJAR2

Modul Matematika

Penyelesaian :Misalkan persamaan kurva itu y = f ( x ),

Diketahui . maka y =

y = x2 + c, karena kurva melalui titik T (2,3)maka 3 = (2)2 + c

c = - 1jadi kurva yang ditanyakan adalah y = x2 - 1

b. Persoalan Gerak Lurus

Ingat kembali bahwa jika s ( t ), v ( t ), dan a ( t ) masing-masing menyatakan posisi, kecepatan, dan percepatan, pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang garis koordinat, maka

Pada waktu kalian di kelas XI, unsur yang di ketahuinya s ( t ) dan dari situ kita menghitung v ( t ) dan a ( t ). Sekarang kita bermaksud proses kebalikannya.

Contoh :Sebuah peluru ditembakan gerak lurus ke atas dengan

kecepatan letup 300 m / dt. Berapakan kecepatan peluru itu pada jarak 2500 meter di atas titik awalnya ?Penyelesaian :

Dianggap bahwa gesekan atau tekanan udara diabaikan, dan percepatan gravitasi 10 m / dt2 maka :

( karena arah ke bawah )SMA Negeri 1 Plumbon

25

v ( t ) = s’ ( t ) = a ( t ) = v’ ( t ) =

Modul Matematikav ( t ) = v ( t ) = - 10t + cv ( 0 ) = 300, maka c = 300v ( t ) = - 10t + 300

s ( t ) = s ( t ) = -5t2 + 300t + cpada saat t = 0, s ( 0 ) maka c = 0 Jadi s ( t ) = - 5t2 + 300t, pada jarak s ( t ) = 2500 2500 = -5t2 + 300t

5t2 - 300t + 2500 = 0t2 - 60t + 500 = 0( t - 10 )(t - 50) = 0t1 = 10 detik dan t2 = 50 detik

untuk t = 10 → v ( 10 ) = -10. 10 + 300 = 200 m / dtuntuk t = 50 → v ( 50 ) = -10. 50 + 300 = - 200 m / dtJadi setelah 10 detik diletupkan, peluru ada pada jarak 2500 meter diatas titik awal.Pada saat 50 detik setelah diletupkan peluru juga ada pada jarak 2500 meter di atas titik awal, dengan kecepatan 200 m / dt ( tanda negeatif menunjukan arah yang berlawanan / arah ke bawah ).

Latihan 2

Dengan mempelajari uraian dimuka, Kalian diharapkan memperoleh pengertian yang baik tentang konsep integral tak tentu dan penerapannya. Selanjutnya kalian dipersilahkan mengerjakan latihan berikut ini.

Uraian


26

Modul Matematika1. Gradien garis singgung di tiap titik (x, y) sebuah kurva

ditentukan oleh rumus , jika kurva tersebut melalui

titik (-1, 10), tentukan persamaan kurvanya2. Tentukan fungsi F, jika diketahui F’ = 1 - 2x dan F ( 3 ) = 4

3. Sebuah benda bergerak dari keadaan diam. Kecepatan v m/dt benda tersebut ditentukan oleh rumus v = , dimana t lamanya waktu dalam detik yang ditempuh setelah benda mulai bergerak. Tentukan sebuah rumus untuk v yang dinyatakan dengan t. Gunakan rumus itu untuk menentukan kecepatan benda tersebut setelah 3 detik.


Penyelesaian

1. Diketahui; dan titik yang dilalui kurva (-1, 10)

Ditanyakan; persamaan kurva

→ y =

y = y = 3x2 - x3 + c, kurva melalui (-1, 10)

substitusikan (-1, 10 ) ke persamaan kurva y = 3x2 - x3 + c 10 = 3(-1)2 - (-1)3 + c

10 = 3.1 - (-1) + c 10 = 3 + 1 + c c = 6

maka persamaan kurvanya adalah y = 6 + 3x2 - x3


27

Modul Matematika2. Diketahui; F’ = 1 - 2x dan F ( 3 ) = 4

ditanyakan; fungsi FF’ ( x ) = 1 - 2xF ( x ) = F ( x ) = x - x2 + c, karena F ( 3 ) = 4 makaF ( 3 ) = 3 - (3)2 + c = 4

3 - 9 + c = 4 - 6 + c = 4 c = 10

maka fungsinya adalah F ( x ) = x - x2 + 10 atauF ( x ) = 10 + x - x2

3. v =

v =

pada saat t = 0 maka v = 0 ( benda diam )

t = 0 dan v = 0 substitusikan ke v = , maka

0 =

c = 0

sehingga rumus kecepatan, v = , untuk menentukan

kecepatan pada saat t = 3, substitusikan t = 3 ke rumus kecepatan

v =

v = 9 + 18 → v = 27 Kecepatan benda pada saat 3 detik adalah 27m/dt

Mudah -mudahan jawaban kalian sesuai kunci dan mengerti dengan penjelasan di atas.


28

Modul Matematika

RANGKUMANPenerapan integral tak tentu diantaranya untuk ;

Menentukan persamaan kurva atau fungsi.Persamaan kurva dapat dicari bila turunan dan titik yang dilalui kurva tersebut diketahui ( pada soal ) Menentukan persamaan gerak suatu bendaLintasan gerak suatu benda s ( t ) dapat dicari bila kecepatan atau percepatan dan waktunya di ketahui ( pada soal )s( t ) = v( t ) =


29

Modul Matematika

FORMATIF 2


1. Fungsi turunan suatu kurva adalah , jika kurva

tersebut melalui titik (3, 2), maka persamaan kurvanya adalah . . .A. y = x2 + 2x - 1 B. y = x2 - 2x - 1 C. y = x2

- 2x + 1D. y = x2 + 2x - 2 E. y = x2 - 2x + 3

2. Gradien garis singgung kurva y = f ( x ) di titik ( x, y ) adalah 3x2

+ 4x + 6.Jika kurva tersebut melalui titik (1, 14), maka ia memotong sumbu y di . . .

A. (0, 5) B. (0, ) C. (0, 4) D. (0, 3) E.

(0, 2)3. Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x, y) adalah 3 . Jika

kurva itu melalui titik (4, 9), maka persamaan kurva adalah .. . .A. y = B. y = C. y =

D. y = E. y =

4. Jika F’ ( x ) = (x + 1)(x + 2) dan F ( -3 ) = , maka F ( x ) = . . .

A. B. C.

D E. x3 + x2 +2x + 3


30

Modul Matematika5. Turunan kedua dari f ( x ) adalah f’’ ( x ) = 6x - 2. Jika grafik y =

f(x) melalui A (1, -3) dan garis singgung y = f (x) di titik A mempunyai gradien 4, fungsi f ( x ) tersebut adalah . . .A. x3 - x2 + 3x + 6 B. x3 - x2 - 3x + 6 C. x3 + x2 + 3x - 6D. x3 - x2 + 3x - 6 E. x3 - x2 - 3x - 6

6. Grafik fungsi f melalui titik (1, 0) dan (2, -1). Jika gradien garis singgung disetiap titik (x, y) dapat ditulis dalam bentuk ax + 1 dengan a konstanta, maka grafik fungsi f memotong sumbu y di titik . . .

A. (0, 1) B. (0, ) C. (0, ) D. (0, ) E.

(0, -1)

7. Sebuah benda bergerak dari keadaan diam. Kecepatan v m/dt benda tersebut ditentukan oleh rumus v = , dimana t lamanya waktu dalam detik yang ditempuh setelah benda mulai bergerak. Kecepatan benda setelah 2 detik adalah . . . m / dt

A. B. C. D. E.

8. Sebuah benda bergerak dari keadaan diam. Kecepatan v m/dt benda tersebut ditentukan oleh rumus v = , dimana t lamanya waktu dalam detik yang ditempuh setelah benda mulai bergerak. Jarak yang di tempuh benda selama 2 detik adalah ...mA. 10 B. 8 C. 6 D. 4 E. 2

9. Sebuah benda bergerak dari keadaan diam. Percepatan a m/dt2

benda tersebut ditentukan oleh rumus a = , dimana t lamanya waktu dalam detik yang ditempuh setelah benda mulai bergerak. Percepatan benda pada saat 3 detik adalah ...m/dt2

A. 7 B. 8 C. 11 D. 13 E. 15SMA Negeri 1 Plumbon

31

Modul Matematika

10.Sebuah bola dilemparkan keatas dari permukaan bumi dengan kecepatan awal 20 m/dt dan percepatan gravitasi 10 m / dt2. Tinggi maksimum yang dicapai bola adalah . . . mA. 162 B. 172 C. 182 D. 192 E. 200

Cocokkanlah jawaban kalian dengan kunci jawaban Tes Formati 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk menghitung jumlah jawaban kalian yang benar dalam materi kegiatan belajar 2.

KRITERIA KEBERHASILAN

Rumus :Tingkat penguasaan = x

100%





32

Modul Matematika

DAFTAR PUSTAKA

BPPTKPU. 2010. Bahan Ajar MandiriBandung : Balai Pelatihan Pendidikan Tenaga Kependidikan Umum

Provinsi Jawa Barat

Kodir, M.A. dkk.. 1981. Matematika 10 untuk SMAJakarta : Departemen Pendidikan dan Kebudayaan


Soemartojo, N. dkk.. 1992 . Kalkulus IIJakarta : Departemen Pendidikan dan Kebudayaan



33

Modul Matematika

Rustamin,S.Pd MODUL 3

INTEGRAL TERTENTU

Pendahuluan

Modul ini berisi bahasan tentang konsep integral tertentu dan sifat - sifatnya. Pokok bahan di dalamnya ada dua macam, yaitu : (1) Pengertian integral tertentu, (2) Sifat - sifat integral tertentu. Dengan menguasai isi modul diharapkan kalian mampu menentukan integral tertentu dari fungsi aljabar, menentukan integral tertentu dengan menggunakan sifat - sifatnya dan dapat menyelesaikan soal - soal yang berkaitan.


Dengan kemampuan minimal yang diharapkan dapat :1. Mengenal arti integral tentu2. Menentukan integral tentu dari fungsi Aljabar3. Menentukan integral tentu dari fungsi Trigonometri3. Menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat integralSMA Negeri 1 Plumbon

36

Modul Matematika

Integral Tertentu

A. Luas Sebagai Limit Suatu Jumlah

Kita siap mendefinisikan integral tertentu, Newton dan Leibniz keduanya memperkenalkan versi yang dini dari konsep ini. Tetapi Riemannlah memberikan kita definisi modern.

Gambar di bawah ini memperlihatkan bagian sebuah kurva dengan persamaan y = f ( x ) antara titik - titik dengan koordinat x = a dan x = b. Kita akan menentukan suatu rumus untuk luas L dari daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut, sumbu X dan gari - garis x = a dan x = b .


37

(i)

a

y = f ( x )

f ( xn)

x1O

Y

Xx2 x3 xn x1

f ( x1)f ( x1)

→→

→→

←←

− ∆x1 −b

(ii)

KEGIATAN BELAJAR1

Modul Matematika

Interval [a, b] dibagi menjadi n interval dengan panjang masing - masing ∆x1, ∆x2, ∆x3, . . . , ∆xn; x1, x2, x3, . . . , xn adalah koordinat x dari n titik pada sumbu X, yang masing - masing terletak dalam tiap interval itu, sehingga umumnya titik xi terletak dalam interval yang panjangnya ∆xi; kemudian dibuatlah n persegi panjang seperti terlihat dalam gambar ( i ). Pada gambar ( ii ) telah digambar persegi panjang yang pertama dengan skala yang sama. Tinggi persegi panjang itu adalah f ( x1 ), yaitu nilai f di x = x1.

Dengan demikian maka :Luas persegi panjang pertama = f ( x1 ). ∆x1 Luas persegi panjang kedua = f ( x2 ). ∆x2 Luas persegi panjang ketiga = f ( x3 ). ∆x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Luas persegi panjang terakhir = f ( xn ). ∆xn.

Dengan menggunakan huruf Yunani ∑ ( sigma ), untuk menyingkat “ jumlah dari “, kita mendapatkan :

L ≈ ( Jumlah Riemann )

Untuk menekankan bahwa pengambilan jumlah tersebut meliputi interval [a, b], relasi di atas kerap kali ditulis sebagai

L ≈

Dengan membuat n cukup besar, ini ekuivalen dengan membuat ∆x cukup kecil. Kita definisikan

Sebagai penyederhanaan, kita tulis untuk limit tersebut

( Rumus Luas daerah )

yang menjadi cikal bakal definisi Integral Tertentu. . . . . .SMA Negeri 1 Plumbon

38

Modul Matematika

Definisi :Andaikan f suatu fungsi yang terdefinisikan pada selang

tertutup [a, b]. Jika

disebut Integral Tertentu atau

Integral RiemannTeorema (1.7)( Teorema Dasar Kalkulus ). Andaikan f kontinu ( karenanya terintegralkan ) pada [a, b] dan andaikan F sebarang anti turunan dari f. Maka.

B. Sifat - Sifat Integral Tertentu

Untuk sifat - sifat integral tertentu,Sifat - Sifat :

1. , k adalah konstanta

2.

3.

4.

5.

Contoh :Tentukan integral tertentu


b

a

aFbFdxxf )()()(

39

Modul Matematika

1. 2. 3. 4.

5. 6.

Penyelesaian :

1. = 2. = . . . .sifat ( 1 )

= 2.3 - 2.1 = 2(2)3 - 2(1)3 = 6 - 2 = 2.8 - 2.1= 4 = 16 - 2

= 14

3. = . . . . . . sifat ( 2 )

= [ (2)3 + 2 (2)3 + 2 ]- [(0)3 + 2(0)2 + 0] = [ 8 + 2.8 + 2] - [ 0 + 0 + 0 ]= 8 + 16 + 2 - 0= 26

4. = , diubah kepangkat negatif

= , diubah kedalam perpangkatan

= , hasil dari sifat distributif

= , . . . . sifat ( 3 )

=

=


40

Modul Matematika

=

=

5. =

=3

=3 ( 0 - (- 1)) = 3

6. =

= (2sin + ) - (2sin + )

= ( 2. 1 + ) - ( 2. + )

= 2 + - -

= 2 - +

Latihan 1

Dengan mempelajari uraian dimuka, Kalian diharapkan memperoleh pengertian yang baik tentang konsep integral tertentu dan sifat - sifatnya. Kerjakan soal - soal ini secara individual, seandainya ada masalah, kerjakan dengan kelompok belajar kalian, dan cara mengerjaannya jangan langsung melihat kunci jawaban.


1. Nilai dari . . .


41

Modul MatematikaA. 2 B. 3 C. 5 D. 7 E. 10

2. Nilai dari . . .

A. 0 B. 6 C. 12 D. 16 E. 24

3. Nilai dari . . .

A. 4 B. 7 C. 11 D. 14 E. 23

4. Nilai dari . . .

A. -3 B. C. D. E. 3

5. Nilai dari = . . .

A. B. C. D. E.

6. Nilai dari . . .

A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 E. 0

7. Nilai dari . . .

A. B. C. 0 D. E.

8. Nilai dari . . .

A. B. C. - 1 D. E.

9. Nilai a yang memenuhi 6

A. -1 B. 0 C. 1 D. 0 atau -1 E. 0 atau 1

10.Jika f (x) = ax + b, dan , maka

a + b = . . .SMA Negeri 1 Plumbon

42

Modul MatematikaA. 5 B. 4 C. 3 D. -3 E. -4


1. E 2. A 3. A 4. C 5.D 6. B 7. D 8. B 9. E 10. C

Petunjuk Singkat Penyelesaian Soal

Nosoal

Soal

1 Seperti contoh no 12 Seperti contoh no 23 Seperti contoh no 34 Seperti contoh no 35 -6 Seperti no 4

7Gunakan sifat perpangkatan dan sifat distributif untuk menyelesaikan , selanjutnya seperti contoh no 3

8Ubah bentuk akarnya kedalam bentuk perpangkatan, kemudian disederhanakan, bisa diselesaikan Ok !

9 6 → → (32 - 3) - (a2 - a) = 6,

selanjutnya ruas kanan di Nol kan, maka akan terjadi persamaan kuadrat dalam a, selanjutnya a bisa di cari.

10

→ → [ , untuk integral

yang keduanyapun caranya sama, kalau kalian lanjutkan nanti akan terbentuklah 2 persamaan linear dengan variable a dan b. Dengan cara eliminasi atau substitusi a dan b dapat dicari. Ok ? !


43

Modul Matematika

RANGKUMANPelopor - Pelopor Kalkulus diantaranya : Newton , Leibniz

dan Riemann, Reimannlah yang mendefinisikan integral tertentu paling modern, dengan konsep Jumlah Luasnya.

Rumus Integral Tertentu

Sifat - Sifat Integral Tertentu :

Agar lebih mahir dalam menyelesaikan soal - soalnya,

Supaya lebih mahir lagi dalam menyelesaikan soal - soal integral,kalian harus buka kembali catatan di kelas X, mengenai materi

Cara mengubah pangkat positif ke pangkat negatif atau sebaliknya Cara mengubah bentuk akar ke bilangan berpangkat Sifat - sifat bilangan berpangkat


b

a

aFbFdxxf )()()(

44

, k adalah konstanta

45

Modul Matematika

FORMATIF 1


1. Nilai dari . . .

A. B.

C. D.

E.

2. Apabila f ( x ) dapat diintegralkan pada selang , maka berlaku . . .

A. B.

C. D.

E.

3. Nilai dari . . .

A. 8 B. 16 C. 18 D. 20 E. 32

4. Nilai dari . . .

A. -15 B. -10 C. -9 D. 10 E. 15

5. Nilai dari . . .

A. -39 B. -21 C. 21 D. 27 E. 39


46

Modul Matematika

6. Nilai dari . . .

A. -2 B. 2 C. 10 D. 14 E. 16

7. Nilai dari . . .

A. B. C. D. E.

8. Nilai dari . . .

A. B. 8 C. D. E. 16

9. Nilai 40, maka nilai . . .

A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 E. 4

10.Jika dan , maka . . .

A. 9 B. 15 C. 18 D. 21 E. 24

Cocokkanlah jawaban kalian dengan kunci jawaban Tes Formati 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Kemudian


47

Modul Matematikagunakan rumus di bawah ini untuk menghitung jumlah jawaban kalian yang benar dalam materi kegiatan belajar 1.

KRITERIA KEBERHASILANRumus :Tingkat penguasaan = x 100%

Arti tingkat penguasaan :

90 % - 100 % = baik sekali80 % - 89 % = baik70 % - 79 % = cukup < 70 % = kurang




48

Modul Matematika

DAFTAR PUSTAKA

BPPTKPU. 2010. Bahan Ajar Mandiri Bandung : Balai Pelatihan Pendidikan Tenaga Kependidikan Umum

Provinsi Jawa Barat

Kodir , M.A dkk.. 1981 . Matematika 10 untuk SMAJakarta : Departemen Pendidikan dan Kebudayaan





Modul Matematika


Formatif 1 1. B 2. D 3. B 4. A 5. E6. B 7. B 8. C 9. C 10. C

Petunjuk Singkat Penyelesaian Soal

NoSoal

Penyelesaian

1 Gunakan Teorema ( 7.1 )2 Gunakan Teorema ( 7.1 ) dan sifat - Sifat Integral Tertentu3 Seperti contoh4 Seperti contoh5 Seperti contoh6 -7

, mengubah pangkat positif

menjadi pangkat negatif, silahkan lanjutkan, bisa !!!8

, mengubah bentuk akar ke bentuk

perpangkatan, silahkan lanjutkan . . .9 Seperti latihan 1 nomor 9, silahkan kalian buka kembali

materi suku banyak di kelas XI10

→ , →

....sifat 4

, , -2 - (-


Modul Matematika20)=18


INTEGRAL TERTENTU

Pendahuluan

Modul ini berisi bahasan tentang konsep integral tak tentu dan integral ter tentu. Pokok bahasan di dalamnya ada tiga macam, yaitu : (1) Teknik pengintegralan pada fungsi Aljabar, (2) Teknik pengintegralan pada fungsi Trigonometri dan (3) Penggantian batas - batas integrasi. Dengan menguasai isi modul diharapkan kalian mampu menentukan integral tak tentu ataupun integral tertentu dengan teknik pengintegralan, dan dapat menyelesaikan soal - soal yang berkaitan.

Kompetensi dasar yang kalian harus kuasai adalah menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi Aljabar dan fungsi Trigonometri yang sederhana

Dengan kemampuan minimal yang diharapkan dapat:1. Menentukan integral dengan cara substitusi pada fungsi Aljabar2. Menentukan integral dengan cara parsial pada fungsi Aljabar3. Menentukan integral dengan cara substitusi pada fungsi

Trigonometri4. Menentukan integral dengan cara parsial pada fungsi

TrigonometriSMA Negeri 1 Plumbon

49

Modul Matematika

Teknik - Teknik Pengintegralan

A. Fungsi Aljabar1) Teknik Substitusi

Contoh ;Selesaikanlah integral di bawah ini

1. 2. 3.

4. 5.

Penyelesaian1. , misalkan u = 8 - x

→ dx = - du

=

= → , substitusikan u = 8 - x ke

maka didapat , sehingga integral dari

=

2. , misalkan u = 4x - 5

→ dx =


KEGIATAN BELAJAR1

51

Modul Matematika

=

=

=

= , substitusikan u = 4x - 5 ke

maka didapat = , sehingga integral dari

=

3. , misal u = 5 - x2

→ du = - 2x dx → xdx =

=

=

=

= , substitusikan u = 5 - x2 ke

maka didapat = , sehingga integral dari

=

4. , misalkan u = 3x2 + 1

→ du = 6x dx →

= , kita cari pula batas atas dan batas

bawah jika di integralkan terhadap ubatas atas x = 1, disubstitusikan ke u = 3x2 + 1, didapat

u = 3(1)2 + 1


52

Modul Matematika u = 4 ( batas atas integral

yang baru ) batas bawah x = 0, disubstitusikan ke u = 3x2 + 1, didapat

u = 3(0)2 + 1u = 1 ( batas bawah

integral yang baru )

=

=

=

=

= , dengan demikian hasil pengintegralan dari

=

Latihan 1

Dengan mempelajari uraian dimuka, Kalian diharapkan memperoleh pengertian yang baik tentang teknik pengintegralan dengan cara substitusi. Kerjakan soal - soal ini secara individual, seandainya ada masalah, kerjakan dengan kelompok belajar kalian, dan cara mengerjaannya jangan langsung melihat kunci jawaban.

UraianSelesaikan integralan di bawah ini dengan teknik substitusi

1. 2. 3.

4. 5.


53

Modul Matematika


1. 2. 3.

4. 5.

Petunjuk Singkat Penyelesaian Kunci Jawaban


NomorSoal Penyelesaian

1Boleh menggunakan rumus integral khusus

, bisa diselesaikan2 Bisa diselesaikan dengan rumus integral khusus

3

Kalau kita mau menggunakan rumus juga bisa,

perhatikan langkah - langkah berikut, kalau f ( x ) = x2 + 1 maka f’ ( x ) = 2x ,

n = 6. maka sangat pas dengan rumus, atau =

4 = (so

al tidak berubah) →

5=

f’(x)

f ( x )

54

Modul Matematika

RANGKUMANDari teknik pengintegralan dengan cara substitusi,

diantaranya dapat diturunkan rumus :

Integral Khusus

Integral Substitusi


1,)(1

1)()(' 1

ncxfn

dxxfxf nn

1. 2. dengan k adalah konstanta

55

Modul Matematika

FORMATIF 1

Pilihlah salah satu jawaban yang menurut kalian paling tepat1. Hasil dari . . .

A. B. C.

D. E.

2. Hasil dari . . .

A. B. C.

D. E.

3. Hasil dari . . .

A. B. C.

D. E.

4. Hasil dari . . .

A. B.

C. D.

E.

5. Hasil dari . . .

A. B.

C. D.

E.


56

Modul Matematika

6. Hasil dari . . .

A. B.

C. D.

E.

7. Hasil dari . . .

A. B.

C. D.

E.

8. Hasil dari . . .

A. B.

C. D.

E.

9. Hasil dari . . .

A. B.

C. D.

E.


57

58

Modul Matematika

10.Nilai dari . . .

A. B. C.

D. E.








59

Modul Matematika


A. Fungsi Aljabar1) Teknik Parsial

Rumus

Contoh ;Selesaikanlah integral di bawah ini dengan cara parsial

1. 2.

3. 4.

Penyelesaian;1. , misalkan u = 12x → du = 12 dx

dv = (2x - 3)3 dx →

= 12x. -

=

=


KEGIATAN BELAJAR2

u dan v fungsi dari x

u dv

uv - vdu

60

Modul Matematika2. , misalkan u = x - 1 → du = dx

dv = (2x + 3)3 dx → v =

= (x - 1). -

=

=

3. = , misalkan u = x2 → du = 2x dx

dv = → v =

= x2.(-2 ) -

= , misalkan lagi

u = 4x → du = 4 dx

dv = → v =

=

=

=

=

4. , misalkan u = x2 → du = 2x dx dv = sinx dx → v = - cos x

= - x2cos x + , misalkan lagiu = 2x → du = 2 dx

dv = cos x dx → v = sin x= - x2cos x + 2x sin x -


u dv

uv - vdu

uv - vdu

61

Modul Matematika= - x2cos x + 2x sin x + 2cos x + c

= - x2cos x + 2x sin x + 2cos x + c

Latihan 2Dengan mempelajari uraian dimuka, Kalian diharapkan

memperoleh pengertian yang baik tentang teknik pengintegralan dengan cara parsial. Kerjakan soal - soal ini secara individual, seandainya ada masalah, kerjakan dengan kelompok belajar kalian, dan cara mengerjaannya jangan langsung melihat kunci jawaban.

UraianSelesaikan integral di bawah ini dengan cara parsial

1. 2. 3.


1. 2. 3.

Petunjuk Singkat Penyelesaian Kunci Jawaban


62

Nomorsoal Penyelesaian

1 Seperti contoh nomor 12 Seperti contoh nomor 43

, misal u = x → du = dx

dv = → v =

=

=

Modul Matematika

RANGKUMANTeknik pengintegralan dengan cara parsial,

rumus :d(u.v) = udv + vduudv = d(uv) - vdu∫ udv = ∫ d(uv) - ∫ vdu∫ udv = uv - ∫ v du

Pada teknik parsial, apabila penentuan pada pemisalannya tidak tepat, maka pada langkah ke dua di ∫ v du akan semakin rumut saja.

Jangan takut dengan kerumitan, kita harus mencoba dan berani berhadapan dengan kerumitan.

FORMATIF 2SMA Negeri 1 Plumbon

∫u dv = uv - ∫ vduu dan v fungsi dari x

63

Modul Matematika

Pilihlah salah satu jawaban yang menurut kalian paling tepat1. . . .

A. B.

B. D.

E.

2. . . .

A. B.

C. D.

E.

3. . . .

A. x sinx + c B.

C. x sinx + cosx + c D. x cosx + sinx + cE. x sin x - cos x + c

4. . . .A. B. C. D. E.

5. . . .A. B. C. D. E.

6. . . .

A. B.


64

Modul Matematika

C. D.

E.

7. . . .

A. B.

C. D.

E.

8. . . .

A. B.

C. D.

E.

9. Nilai dari . . .

A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 E. 26

10.Nilai dari . . .

A. B. C. D. E. 0



65

Modul Matematika


100%





KEGIATAN BELAJAR3

66

Modul Matematika


B. Fungsi Trigonometri1. Teknik substitusi

Contoh ;Selesaikan integral dibawah ini

1. 2. , k adalah konstanta

Penyelesaian

1. , misalkan u = ax + b → du = a dx, dx =

=

=

= , substitusikan u = ax + b ke

didapat =

= . . . . . . . . . . . . . . Rumus ( 1 )

2. , dengan cara yang sama seperti nomor 1, maka didapat

= . . . . . . . . . . . . . Rumus ( 2 )

Contoh ;Selesaikan integral di bawah ini

3. 4. 5.

Penyelesaian3. , k = 1 , a = 2, dan b = 0, . . . . kita gunakan rumus ( 1 )SMA Negeri 1 Plumbon

67

Modul Matematika

=

4. , k = 3, a = 5, dan b = kita gunakan rumus ( 1

)

=

5. , k = -1, a = - 6, dan b = , gunakan rumus ( 2 )

=

=

Rumus - Rumus Kesamaan Trigonometri

3. sin ax sin bx = [ cos( a + b)x - cos( a - b )x ]

4. sin ax cos bx = [ sin( a + b)x + sin( a - b )x ]

5. cos ax sin bx = [ sin( a + b)x - sin( a - b )x ]

6. cos ax cos bx = [ cos( a + b )x + cos( a - b )x ]

Contoh ;Selesaikan integral di bawah ini

6. 7. Penyelesaian

6. = , Rumus ( 5 )

= , perhatikan contoh ( 5 )

=

7. , Rumus ( 6 )

= = , ingat cos (-A) = cos A


68

Modul Matematika

= 2 ( , perhatikan contoh ( 3 )

Contoh ;Selesaikan integral berikut

8. 9.

Penyelesaian8. , misalkan u = sin x → du = cos x dx

=

=

=

9. , misalkan u = cos x → du = - sin x dx=

=

=

Rumus - Rumus :7.

8.

9.

Contoh ;Selesaikan integral berikut;

1. 2. 3.

Penyelesaian


69

Modul Matematika1. = , selanjutnya gunakan rumus ( 7 )

= = = , perhatikan contoh 9

= -cos x +

2. = gunakan rumus ( 8 )

=

=

3. = gunakan rumus ( 9 )

=

=

=

=

=

=


memperoleh pengertian yang baik tentang teknik pengintegralan pada fungsi trigonometri. Kerjakan soal - soal ini secara individual, seandainya ada masalah, kerjakan dengan kelompok belajar kalian, dan cara mengerjaannya jangan langsung melihat kunci jawaban.


70

Modul MatematikaUraian

Selesaikan integral berikut1. 2. 3. 4. 5.


1. 2. 3.

4. 5.

Petunjuk singkat penjelasan kunci jawaban

RANGKUMANDari teknik pengintegralan dengan cara substitusi,

diantaranya dapat diturunkan rumus :SMA Negeri 1 Plumbon

71

Nomorsoal Penjelasan

1 Gunakan rumus 4 atau rumus sudut tengahan2 Gunakan rumus 43 Lihat contoh 94 Gunakan rumus 85 Lihat contoh 1

Modul Matematika

Integral Khusus

Integral Trigonometri

∫ sinnx dx, untuk n bilangan genap, gunakan rumus

∫ cosnx dx , untuk n bilangan genap, gunakan rumus


= =

∫sin ax sin bx dx =∫[ cos( a + b)x - cos( a - b )x ]dx∫sin ax cos bx dx =∫[ sin( a + b)x + sin( a - b )x ]dx∫cos ax sin bx dx =∫[ sin( a + b)x - sin( a - b )x ]dx∫cos ax cos bx dx =∫[ cos( a + b )x + cos( a - b )x ]dx

72

Modul Matematika∫ sinnx dx diubah ke dalam bentuk ∫ sin x.sinn-1x dx selanjutnya sinn-1x diubah ke dalam rumus sin2x + cos2x=1 , n bilangan ganjil.∫ cosnx dx diubah ke dalam bentuk ∫ cos x.cosn-1x dx selanjutnya cosn-1x diubah ke dalam rumus sin2x +

cos2x=1 , n bilangan ganjil.

FORMATIF 3



73

Modul Matematika

1. Hasil dari . . .

A. B. C.

D. E.

2. Hasil dari . . .

A. sin 4x + c B. C. 4sin 4x + c

D. E.

3. Hasil dari . . .

A. B. C.

D. cos x - cos 2x + c E. cos x + cos 2x + c 4. Hasil dari . . .

A. B. C.

D. E. 6cos 2x - 18sin 3x + c

5. Hasil dari . . .

A. B. C.

D. E.

6. Hasil dari . . .A. 2sin(4x+5)+c B. -4sin(4x+5)+c C. 4sin(4x+5)+cD. -2sin(4x+5)+c D. 2cos(4x+5)+c

7. Hasil dari . . .

A, 9 tan (9x - 13) + c B. tan (9x - 13) +c C.

-9 tan (9x - 13)

D. - tan (9x - 13) E. tan (9x - 13)

8. Hasil dari . . .


74

Modul Matematika

A. B. C.

D. E.

9. Nilai dari . . .

A. B. C. D. 1 E.

10.Nilai dari . . .

A. B. C.

D. E. 0


KRITERIA KEBERHASILANRumus :

SMA Negeri 1 Plumbon Jumlah jawaban kalian yang benar10

75

Modul MatematikaTingkat penguasaan = x 100%




DAFTAR PUSTAKA


76

Modul Matematika

BPPTKPU. 2010. Bahan Ajar MandiriBandung : Balai Pelatihan Pendidikan Tenaga Kependidikan Umum

Provinsi Jawa Barat



Soemartojo, N. dkk. 1992. Kalkulus IIJakarta : Departemen Pendidikan dan Kebudayaan


Setiawan, T. dkk.. 2007. Pemantapan Ujian Nasional SMA / MABandung : Yrama Widya



80

Modul MatematikaFormatif 1 1. B 2. E 3. A 4. D 5. B6. E 7. D 8. A 9. B 10. C

Petunjuk singkat penjelasan kunci jawaban Formatif 1

Formatif 21. B 2. B 3. C 4. B 5. D6. C 7. C 8. C 9. D 10. C

Petunjuk singkat penjelasan kunci jawaban Formatif 2SMA Negeri 1 Plumbon

Nomor Soal

Penjelasan

1 Gunakan rumus integral khusus fungsi Aljabar2 Gunakan rumus integral khusus fungsi Aljabar3 Gunakan rumus integral khusus fungsi Aljabar4 Gunakan rumus integral khusus fungsi Aljabar5 Gunakan rumus integral khusus fungsi Aljabar6 Gunakan rumus integral substitusi7 Gunakan rumus integral substitusi8 Gunakan rumus integral substitusi9 Gunakan rumus integral substitusi

10, misalkan u = 1 - x → du = - dx → dx = - du

batas - batas integrasi integral baru u = 0 dan u = 1 x = 1 - u

=

= -5 [(0-0) - ( )]= 77

Modul Matematika

Formatif 31. D 2. B 3. B 4. B 5. B6. A 7. B 8. D 9. C 10. B

Petunjuk singkat penjelasan kunci jawaban formatif 3


NomorSoal

Penjelasan

1 Misalkan u = 6x → du = 6dx, dv = → v =

,

silahkan lanjutkan, kalian akan bisa !2 Ubah bentuk akar ke dalam perpangkatan, penyelesaian

seperti nomor 13 Misalkan u = x → du = dx, dv = cos x dx → v = sin x,

lanjutkan, kalian mampu menyelesaikannya 4 Misalkan u = x2 + 1 → du = 2x dx, dv = cos x dx → v = sin x,

untuk nomor 4 ini sampai dua kali pemisalan u dan dv, silahkan kalian coba ...

5 Misalkan u = x3 → du = 3x2 dx, dv = cos x dx → v = sin x, silahkan lanjutkan . . .

6 -7 -8 Ubah bentuk akar kedalam perpangkatan, selanjutnya ubah

juga ke pangkat negatif ...9 Penyelesaian seperti nomor 2, tinggal substitusikan saja batas

dan batas integrasi10 Penyelesaian seperti nomor 3, tinggal substitusikan saja batas

- batas integrasinya

78

Modul Matematika


PENERAPAN INTEGRALSMA Negeri 1 Plumbon

79

NomorSoal Penjelasan

1 Gunakan rumus integral khusus fungsi trigonometri2 ─ “ ─3 Lihat contoh soal kegiatan belajar 34 ─ “ ─5 ─ “ ─6 Gunakan rumus integral khusus fungsi trigonometri7 Gunakan rumus integral khusus fungsi trigonometri8

∫sin ax cos bx dx =∫ [ sin( a + b)x + sin( a - b )x ]dx

9 Pengerjaan soal seperti nomor 3, tinggal substitusikan batas - batas integrasinya

10 Gunakan rumus

=

=

Modul Matematika

Pendahuluan

Modul ini berisi bahasan tentang konsep luas daerah dan volume benda putar. Pokok bahasan di dalamnya ada dua macam, yaitu : (1) Luas daerah yang di batasi sumbu koordinat, kurva dan garis , (2) Volume benda putar dari suatu daerah, bila diputar terhadap sumbu X atau sumbu Y. Dengan menguasai isi modul diharapkan kalian mampu menentukan luas daerah bidang rata ataupun volume benda putar, dan dapat menyelesaikan soal - soal yang berkaitan.

Kompetensi dasar yang kalian harus kuasai adalah menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dibawah kurva dan volume benda putar

Dengan kemampuan minimal yang diharapkan dapat:1. Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu – sumbu

koordinat2. Menghitung volume benda putar, jika suatu daerah diputar

terhadap sumbu x atau sumbu y


KEGIATAN BELAJAR1

81

Modul Matematika

Luas Daerah

A. Luas Daerah

Perhatikan gambar di samping ini,daerah yangdiarsirmerupakan suatu daerah yang di batasi olehkurva y = f(x), y = g(x),garis x = a dan x = b.

Apabila L menunjukanLuas daerah yang diarsir, maka dengan menggunakan limit jumlah luas dari Riemann

Contoh ;

Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini1. 2.

3. Hitunglah luas daerah yang di batasi kurva y =1 - x2 dan sumbu X4. Hitunglah luas daerah yang di batasi kurv y = x2 dan garis y = x SMA Negeri 1 Plumbon

b

a

dxxgxfL )]()([

y= g(x)x= b

x= a

0

Y

X

y= f(x)

X

Y = x + 2

0 0

Y Y

X31

Y = x2 - 3x

82

Modul Matematika

Penyelesaian1. Daerah yang diarsir merupakan daerah yang di batasi garis y =

x + 2, sumbu X ( Persamaan garisnya y = 0 ), garis x = 1 dan x = 3 ( menjadi batas-batas integrasi, batas atas x = 3, batas bawah x =1)

L =

=

= [

= (

=

= 8L = 8 satuan luas

2. Daerah yang diarsir merupakan daerah yang di batasi kurva y = x2 - 3x, sumbu X. dan titik potong kurva y = x2 - 3x dengan sumbu X ( titik potong tersebut akan menjadi batas atas dan batas bawah integrasi ).Titik potong kurva y = x2 - 3x dengan sumbu X maka y = 0x2 - 3x = 0 → x ( x - 3 ) = 0

x = 0 atau x - 3 = 0 x = 0 atau x = 3 ( batas - batas integrasi )

L =

=

=

=


83

Modul Matematika

=

=

=

L = satuan luas

3. Kita cari titik potong kurva y = 1 - x2 dengan sumbu X, yang akan menjadi batas - batas integrasi. Kurva y = 1 - x2 memotong sumbu X maka y = 0.1 - x2 = 0 → (1 - x)(1 + x) = 0

1 - x = 0 atau 1 + x = 0 x = 1 atau x = - 1

L =

=

=

=

= 1 - - (-1 + )

= 2 -

=

=

L = satuan luas

4. Kita cari titik potong antara kurva y = x2 dan garis y = x ( absis - absis titik potongnya akan menjadi batas - batas integrasi )y = x2 x2 = x


Agar bisa membuat sketsa grafik,silahkan kalian buka lagi catatan waktu kelas XI, pokok bahasan penerapan Turunan, bagian membuat sketsa grafik

84

1

0 1-1

Y

X

Modul Matematikay = x x2 - x = 0

x ( x - 1 ) = 0 x = 0 atau x - 1 = 0 → x = 1

L =

=

=

=

L = satuan luas

Bagaimana kalau batas - batas integrasinya itu ordinat titik potong kurva dan garis ? bisa tidak luas daerahnya di cari ? Jabawabnya “ Bisa “

Untuk mencari batas - batas integrasi, substitusikan x = 0 dan x = 1 pada garis y = x atau y = x 2 ( pilih salah satu saja ) untuk x = 0 maka y = 0untuk x = 1 maka y = 1

L =

=

=

=

L = satuan luas, samakan hasilnya ? !


memperoleh pengertian yang baik tentang konsep luas daerah dengan cara menggunakan integral. Kerjakan soal - soal ini secara


1

y = x2

0

Y

X

y = x

1

85

Modul Matematikaindividual, seandainya ada masalah, kerjakan dengan kelompok belajar kalian, dan cara mengerjaannya jangan langsung melihat kunci jawaban.

1. Hitunglah luas daerah dalam kuadran pertama yang di batasi oleh kurva y = x (6 - x) dan sumbu X

2. Hitunglah luas daerah yang di batasi kurva y = x2 - 4x + 3, sumbu X dan sumbu Y

3. Hitunglah luas daerah yang di batasi kurva y = x3 dan garis y = x.

4. Perhatikan gambar di samping.Hitunglah luas daerah yangdiarsir.


1. 36 satuan luas 2. satuan luas

3. satuan luas 4. satuan luas


x = y2 - 2y

0

Y

X

x = 2y - 3

86

Modul Matematika

Untuk menentukan luas daerah yang di batasi kurva - kurva, diantaranya bisa dilakukan dengan dua cara ;

a. Dengan absis sebagai batas integrasi

b. Dengan ordinat sebagai batas integrasi

FORMATIF 1



b

a

dxxgxfL )]()([

d

c

dyygyfL )]()([

y = g(x)

a0

Y

X

y = f(x)

b

x = f(y)

x = g(y)

0

c

dY

X

87

Modul Matematika

1. Luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x, x = -3, x = 4, dan sumbu X dapat dinyatakan dengan . . .

A. B. C.

D. E.

2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 - 7x + 10 dan sumbu X dapat dinyatakan dengan . . .

A. B. D.

D. E.

3. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah . . . satuan luas.A. 9

B.

C. 6

D.

E. 34. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah . . .

satuan luas.A. 22

B.

C. 20

D. E. 16

5. Luas daerah yang dibatasi oleh y = 1 - x2 , y = 0, adalah . . . . satuan luas.

A. B. C. 2 D. E. 4


y = x2 - 6x + 9

9

3O

Y

X

y = x3

3

Y

X-1

88

Modul Matematika6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 - 1 dan garis y = x

+ 1dapat dinyatakan sebagai . . .

A. B. C.

D. E.

7. Luas daerah yang diarsir pada gambar di samping adalah . . .satuan luas.

A.

B.

C. D. E.

8. Luas daerah yang dibatasi parabol y = 8 - x2 dan garis y = 2x adalah . . . satuan luas.

A. 36 B. C. D. 46 E.

9. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah . . . satuan luas.

A.

B.

C.

D. E.

10.Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = sin x, y = cos x, dan

sumbu X untuk adalah . . .


Y

X

y = x + 3

y = 9 - x2

O

y = x2

2

Y

X

4

O

89

Modul Matematika

A. B. C.

D. E.





Apabila tingkat penguasaan kalian mencapai KKM, kalian berhasil dan akan lebih mudah untuk mengikuti pembelajaran berikutnya, Ok ! Tetapi apabila tingkat penguasaan di bawah KKM, kalian masih harus mengulang kembali kegiatan belajar 1 , selamat !



KEGIATAN BELAJAR2

90

Modul Matematika

Volume Benda Putar

B. Volume Benda Putar

Perhatikan gambar di bawah ini

Perhatikan daerah segitiga pada gambar (ii) yang dibatasi oleh garis y = x, sumbu X dan garis x = 1. Isi benda yang terjadi jika lempeng dengan lebar ∆x di putar, akan sama dengan isi silinder lingkaran tegak yang jari - jarinya y dan dengan tinggi ∆x; isi ini adalah .∆x atau .∆x oleh karena y = x. Sehingga isi

kerucut yang kita cari sama dengan .Dengan mencari limit

pada jumlah itu maka isi silinder

Pada umumnya , jika daerah di bawah kurva y = f(x), antara garis x = a dan garis x = b diputar mengelilingi sumbu X sejauh

3600, isi benda putar yang terjadi adalah


r

h

O

y

y = x

1

1

Y

XX O∆xx

(iii)

(ii)

(i)

y = f ( x )

X∆x baO

Y

91

Modul Matematika

Sehingga isi benda putar mengelilingi sumbu X adalah :

Contoh ;Hitunglah volume benda putar, dari daerah yang diarsir di

bawah ini, jika diputar terhadap sumbu X sejauh 3600 1. 2.

Hitunglah volume benda putar, dari daerah yang diarsir di bawah ini, jika diputar terhadap sumbu Y sejauh 3600

3. 4.

Penyelesaian

1. Daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X ( Persamaan garisnya y = 0 ) dan x = 5.

V = → V =

V =

V =


b

a

b

a

dxydxxfV 22)]([

y = x2

O

Y

X5 Ox + y = 4

y = x

Y

X

X

1x = y2

O

Y Y

XO

y = x2

y2 = x

92

Modul Matematika

V =

V = 625 satuan volum

2. Kita cari titik potong ke dua garis tersebuty = x

x = 4 - xy = 4 - x 2x = 4 x = 2Batas - batas integrasi x = 0 dan x = 2

V =

V = → V =

V = V = V = ( 32 - 16 )

V = 16 satuan volum

3. Daerah yang diarsir dibatasi oleh x = y2, sumbu Y ( Persamaan garisnya x = 0 ), dan y = 1

V = → V =

V =

V =

V = satuan volum

4. Kita cari ordinat titik potong ke dua kurva, karena diputar terhadap sumbu Yx = y2

y4 = y SMA Negeri 1 Plumbon

93

Modul Matematikax2= y y4 - y = 0

y ( y3 - 1 ) = 0 y = 0 atau y3 = 1 → y = 1

V = → V =

V =

V =

V = satuan volum

`Latihan 2Dengan mempelajari uraian dimuka, Kalian diharapkan

memperoleh pengertian yang baik tentang menentukan volume benda putar dengan cara menggunakan integral. Kerjakan soal - soal ini secara individual, seandainya ada masalah, kerjakan dengan kelompok belajar kalian, dan cara mengerjaannya jangan langsung melihat kunci jawaban.


94

Modul MatematikaUraian

1. Tentukan volume benda putar dari daerah yang dibatasi garis y = 3x - 1, x =1, dan x = 3 jika diputar terhadap sumbu X sejauh 3600

2. Tentukan volume benda putar dari daerah yang dibatasi garis y = x + 1, y = 1, dan y = 4, jika diputar terhadap sumbu Y sejaug 3600

3. Tentukan volume benda putar dari daerah yang dibatasi kurva y = 1 + x2, dan y = 9 - x2, Jika diputar terhadap sumbu X sejauh 3600


1. 2. 3.

Penjelasan singkatNomor Penjelasan

1V = , supaya lebih singkat, silahkan kalian gunakan rumus integral khusus, biar lebih paham lagi, coba buat sketsa grafiknya juga

2 V = , pengerjaan mirip nomor 1, silahkan coba lagi

3

V = atau V =

( Karena simetris Terhadap sumbu Y )


95

Modul MatematikaRumus volume benda putar

Bila daerah yang diarsir diputar terhadap sumbu X sejauh 3600

Bila daerah yang diarsir diputar terhadap sumbu Y sejauh 3600

FORMATIF 2



O

Y

Xba

y = f(x)

y = g(x)

V =

V =

x = g(y)

Y

XO

c

d

x = f(y)

96

Modul Matematika1. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang diarsir diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 3600 dapat dinyatakan sebagai . . .

A. B.

C. D.

E.

2. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x - 1 dan sumbu X dari x = 1 sampai dengan x = 3, jika diputar terhadap sumbu X sejauh 3600 dapat dinyatakan sebagai . . .

A. B. C.

D. E.

3. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = 8 - 2x2 dan sumbu X, diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600 dapat dinyatakan sebagai . . .

A. B. C.

D. E.

4. Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama yang dibatasi oleh kurva , sumbu X, Sumbu Y,diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600 adalah . . . satuan volum

A. B. 1216 C.

D. E.


O

4

2

Y

X

y = x2

97

Modul Matematika5. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh

kurva pada interval diputar mengelilingi sumbu Y

sejauh 3600 adalah . . . satuan volum

A. B. C.

D. E.

6. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh parabol dan parabol diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600 adalah . . . satuan volum.

A. B. C.

D. E.

7. Daerah D terletak di kuadran pertama yang dibatasi oleh parabol , parabol dan garis y = 4. Volume benda putar yang terjadi bila D diputar terhadap sumbu Y sejauh 3600

adalah . . . satuan volum.A. B. 4 C. 6D. 8 E. 20

8. Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara dan

diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600 adalah . . . satuan volum.

A. B. C.

D. E.

9. Daerah D dibatasi oleh kurva y = sin x, , dan sumbu X. Jika daerah D diputar terhadap sumbu X sejauh 3600, maka volume benda putar yang terjadi adalah . . . satuan volum.

A. B. C.

D. E.


98

Modul Matematika10.Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh

garis y = x + 2, x = 0 dan x = 3, diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600 adalah . . . satuan volum.A. 10 B. 15 C. 21D. 33 E. 39



100%


Apabila tingkat penguasaan kalian mencapai KKM, kalian berhasil dan akan lebih mudah untuk mengikuti pembelajaran berikutnya, Ok ! Tetapi apabila tingkat penguasaan di bawah KKM, kalian masih harus mengulang kembali kegiatan belajar 2 , selamat !

DAFTAR PUSTAKASMA Negeri 1 Plumbon


99

Modul Matematika

TEAM BPPTKPU. 2010. Bahan Ajar MandiriBandung : Balai Pelatihan Pendidikan Tenaga Kependidikan Umum

Provinsi Jawa Barat


P3LPG. 2009. Bahan Ajar PLPGBandung : Universitas Pendidikan Indonesia




Setiawan, T. dkk.. 2007. Pemantapan Ujian Nasional SMA / MABandung : Yrama Widya

http://www.math.trugraz.at/~predota/old/mathematiker/reimann.html


104

Modul Matematika


Formatif 1 1. C 2. D 3. A 4. B 5. C6. B 7. A 8. A 9. D 10. E



1 L = , biar lebih faham, coba

kalian buat sketsa grafiknya

2

Titik potong kurva dengan sumbu X, maka y = 0 ↔ , x = 5 atau x = 2, maka

luasnya adalah, L = , kenapa tuh di depan

tanda integral ada tanda negatifnya ? coba pikirkan

3 Luas daerah yang diarsir, L = , silahkan

kalian lanjutkan

4

Luas daerah yang diarsir, L =

lanjutkan lagi . . .

5 L = , coba kalian lanjutkan lagi

6Kalian cari titik potong antara kurva dan garisnya, sehingga

akan didapat, L =

7

Titik potong antara kurva dan garis →

maka x = 2 dan x = -3 ( absis sebagai batas integrasi )

L = , silahkan lanjutkan . . .


8

Kita cari absis titik potong kurva dan garis untuk dijadikan batas - batas integrasi, → (x + 4)(x - 2) = 0, maka x = 2 dan x = - 4

Luas daerah, L =

L = , silahkan lanjutkan

9

Kalau kita perhatikan gambarnya, yang termudah untuk menentukan luas daerah yang diarsir, maka harus diintegralkan terhadap y

L = =

L =

L = =

10

Coba kalian perhatikan grafiknya di bawah ini, Kurva berpotongan di x = , untuk menghitung luas daerahnya, kita pilah daerah tersebut menjadi dua bagian, anggap saja daerah I dan daerah II, daerah I itu dibatasi oleh kurva y = sin x, x =

dan sumbu X, sedangkan daerah II dibatasi oleh kurva y =

cos x, x = , x = dan sumbu X, maka luas daerahnya adalahL = Luas I + Luas II

L =

100

Modul Matematika

Formatif 21. D 2. A 3. C 4. E 5. C6. C 7. C 8. C 9. B 10. E


x = x = I II

y = cos x

y = sin xY

X0

101

Modul MatematikaPetunjuk singkat penjelasan kunci jawaban formatif 2

Silahkan kalian perhatikan beberapa sketsa grafik pada halaman berikut untuk soal formatif 2



1 -2 -3 -

4

Titik potong kurva x = - y2 + 1 dengan sumbu Y adalah y = 1 atau y = -1, karena daerah yang diputar itu ada di kuadran I, maka batas - batas integrasinya y = 0 dan y = 1, sehingga

volume benda putar, V = , silahkan lanjutkan

5 V = , silahkan lanjutkan penyelesaiannya

6

Kita eliminir x, sehingga ordinat titik potong kedua kurva menjadi batas - batas integrasi,

→ , dari →

ruas kiri dan ruas kanan di kuadratkan sehingga

menjadi → → , maka ordinat yang memenuhi adalah y = 0 dan y = 4

V = , silahkan kalian lanjutkan

7 V = , coba kalian pahami tu

8 V = , silahkan lanjutkan juga

9 V = , lanjutkan

10 V = , yang ini lebih sederhana dan lanjutkan

1

-1

1

0

Y

X

X

x =

O

2

4

Y 102

Modul Matematika


Sketsa soal nomor 4 Sketsa soal nomor 5

x = - y2 +

4y2 = 8x

y = x2

O

Y

X

Sketsa soal nomor 7

Sketsa soal nomor 8

Sketsa soal nomor 6

y = 4x2

O

Y

X

y = x2

4

y =

y2 = x

0

Y

X

3

103

2

Sketsa soal nomor 9

y = sinx

Y

X0

Modul Matematika

GLOSARIUM


Modul Matematika


integral 2.doc

Documents

Transcript of integral 2.doc