Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · yang menyatakan bahwa luas segi empat adalah panjang...

i

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik

Diferensial dan Integral

oleh

Sudaryatno Sudirham

2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Hak cipta pada penulis, 2010

SUDIRHAM, SUDARYATNO

Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Oleh: Sudaryatmo Sudirham

Darpublic, Bandung

fdg-1110

edisi Juli 2011

http://www.ee-cafe.org

Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135.

Fax: (62) (22) 2534117

3

BAB 12

Integral (1)

(Macam Integral, Pendekatan "umerik)

Dalam bab sebelumnya, kita mempelajari salah satu bagian utama

kalkulus, yaitu kalkulus diferensial. Berikut ini kita akan membahas

bagian utama kedua, yaitu kalkulus integral.

Dalam pengertian sehari-hari, kata “integral” mengandung arti

“keseluruhan”. Istilah “mengintegrasi” bisa berarti “menunjukkan

keseluruhan” atau “memberikan total”; dalam matematika berarti

“menemukan fungsi yang turunannya diketahui”.

Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui kita diminta untuk

mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x

tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan

)(xfdx

dy= (12.1)

Persamaan seperti (12.1) ini, yang menyatakan turunan fungsi sebagai

fungsi x (dalam beberapa hal ia mungkin juga merupakan fungsi x dan y)

disebut persamaan diferensial. Sebagai contoh:

036

652

22

2

2

2

=++

++=

yxdx

dyxy

dx

yd

xxdx

dy

Pembahasan yang akan kita lakukan hanya mengenai bentuk persamaan

diferensial seperti contoh yang pertama.

12.1. Integral Tak Tentu

Suatu fungsi )(xFy = dikatakan sebagai solusi dari persamaan

diferensial (12.1) jika dalam rentang a< x < b ia dapat diturunkan dan

dapat memenuhi

)()(

xfdx

xdF= (12.2)

Perhatikan bahwa jika F(x) memenuhi (12.2) maka KxF +)( dengan K

adalah suatu nilai tetapan sembarang, juga akan memenuhi (12.2) sebab

4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

[ ]0

)()()(+=+=

+

dx

xdF

dx

dK

dx

xdF

dx

KxFd (12.3)

Jadi secara umum dapat kita tuliskan

KxFdxxf +=∫ )()( (12.4)

yang kita baca: integral f(x) dx adalah F(x) ditambah K.

Persamaan (12.2) dapat pula kita tulisan dalam bentuk diferensial, yaitu

dxxfxdF )()( =

yang jika integrasi dilakukan pada ruas kiri dan kanan akan memberikan

∫∫ = dxxfxdF )()( (12.5)

Jika kita bandingkan (12.5) dan (12.4), kita dapat menyimpulkan bahwa

KxFxdF +=∫ )()( (12. 6)

Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri

ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak

tentu; masih ada nilai tetapan K yang harus dicari.

Kita ambil dua contoh untuk inegrasi integrasi tak tentu ini

1) Cari solusi persamaan diferensial 45xdx

dy=

Kita tuliskan persamaan tersebut dalam bentuk diferensial

dxxdy 45=

Menurut relasi (9.4) dan (9.5) di Bab-9,

dxxxd 45 5)( =

Oleh karena itu

Kxxddxxy +=== ∫∫ 554)(5

2). Carilah solusi persamaan yxdx

dy 2=

Kita tuliskan dalam bentuk diferensial dxyxdy 2= dan kita

kelompokkan peubah dalam persamaan ini sehingga ruas kiri

5

mengandung hanya peubah tak bebas y dan ruas kanan hanya

mengandung peubah bebas x. Proses ini kita lakukan dengan membagi

kedua ruas dengan √y.

dxxdyy 22/1 =−

Ruas kiri memberikan diferensial ( ) dyyyd 2/12/12 −= dan ruas kanan

memberikan diferensial dxxxd23

3

1=

, sehingga

( )

= 32/1

3

12 xdyd

Jika kedua ruas diintegrasi, diperoleh

23

12/1

3

12 KxKy +=+ atau

KxKKxy +=−+= 312

32/1

3

1

3

12

Dua contoh telah kita lihat. Dalam proses integrasi seperti di atas terasa

adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban.

Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan

tersebut.

1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta

sembarang K.

Kydy +=∫

2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat

dikeluarkan

∫∫ = dyaady

3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari yndy diperoleh dengan

menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya

dengan (n + 1).

1 jika ,1

1

−≠++

=+

∫ nKn

ydyy

nn

Penggunaan Integral Tak Tentu. Dalam integral tak tentu, terdapat

suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang. Ini berarti


bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan

banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K.

Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan

menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.

Kita akan mencoba memahami melalui pengamatan kurva. Jika kita

gambarkan kurva 210xy = kita akan mendapatkan kurva bernilai

tunggal seperti Gb.12.1.a. Akan tetapi jika kita melakukan integrasi

∫ dxx

3

103

tidak hanya satu kurva yang dapat memenuhi syarat akan

tetapi banyak kurva seperti pada Gb.12.1.b; kita akan mendapatkan satu

kurva jika K dapat ditentukan.

a) b)

Gb.12.1. Integral tak tentu memberikan banyak solusi.

Sebagai contoh kita akan menentukan posisi benda yang bergerak dengan

kecepatan sebagai fungsi waktu yang diketahui. Kecepatan sebuah benda

bergerak dinyatakan sebagai tatv 3== , dengan v adalah kecepatan, a

adalah percepatan yang dalam soal ini bernilai 3, t waktu. Kalau posisi

awal benda adalah 30 =s pada waktu t = 0, tentukanlah posisi benda

pada t = 4.

Kita ingat pengertian-pengertian dalam mekanika bahwa kecepatan

adalah laju perubahan jarak, dt

dsv = ; sedangkan percepatan adalah laju

perubahan kecepatan, dt

dva = . Karena kecepatan sebagai fungsi t

diketahui, dan kita akan mencari posisi (jarak), maka kita gunakan relasi

dt

dsv = yang memberikan vdtds =

50

100

-5 -3 -1 1 3 5x

y = 10x2

50

100

-5 -3 -1 1 3 5

K1

K2

K3

y

yi = 10x2 +Ki

y

x

7

sehingga integrasinya memberikan

∫ +=+== KtKt

atdts2

2

5,12

3

Kita terapkan sekarang kondisi awal, yaitu 30 =s pada t = 0.

K+= 03 yang memberikan 3=K

Dengan demikian maka s sebagai fungsi t menjadi 35,12 += ts

sehingga pada t = 4 posisi benda adalah 274 =s

Luas Sebagai Suatu Integral. Kita akan mencari luas bidang yang

dibatasi oleh suatu kurva )(xfy = , sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x

= q. Sebagai contoh pertama kita ambil fungsi tetapan 2=y seperti

terlihat pada Gb.12.2.

Gb.12.2. Mencari luas bidang di bawah y = 2.

Jika luas dari p sampai x adalah Apx, dan kita bisa mencari fungsi

pertambahan luas ∆Apx yaitu pertambahan luas jika x bertambah menjadi

x+∆x, maka kita dapat menggunakan fungsi pertambahan tersebut mulai

dari x = p sampai x = q untuk memperoleh Apq yaitu luas dari p sampai q.

Pertambahan luas yang dimaksud tentulah

xApx ∆=∆ 2 atau )(2 xfx

Apx ==∆

∆ (12.7)

Jika ∆x diperkecil menuju nol maka kita dapatkan limit

2)(lim0

===∆

∆

→∆xf

dx

dA

x

A pxpx

x (12.8)

Dari (12.8) kita peroleh

KxdxdAA pxpx +=== ∫∫ 22 (12.9)

p x x+∆x q

y

x

y = f(x) =2

0

2

∆Apx Apx


Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p. Jika kondisi ini

kita terapkan pada (12.9) kita akan memperoleh nilai K yaitu

Kp += 20 atau pK 2−= (12.10)

sehingga

pxApx 22 −= (12.11)

Kita mendapatkan luas Apx (yang dihitung mulai dari x = p) merupakan

fungsi x. Jika perhitungan diteruskan sampai x = q kita peroleh

)(222 pqpqApq −=−= (12.12)

Inilah hasil yang kita peroleh, yang sudah kita kenal dalam planimetri

yang menyatakan bahwa luas segi empat adalah panjang kali lebar yang

dalam kasus kita ini panjang adalah (q − p) dan lebar adalah 2.

Bagaimanakah jika kurva yang kita hadapi bukan kurva dari fungsi

tetapan? Kita lihat kasus fungsi sembarang dengan syarat bahwa ia

kontinyu dalam rentang qxp ≤≤ seperti digambarkan pada Gb.12.3.

Gb.12.3. Fungsi sembarang kontinyu dalam bxa ≤≤

Dalam kasus ini, ∆Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari apakah

dalam menghitungnya kita memilih ∆Apx = f(x)∆x atau ∆Apx = f(x+∆x)∆x. Namun kita akan mempunyai nilai

xxxfxxfxxfApx ∆∆+≤∆≤∆=∆ )()()( 0 (12.13)

dengan x0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+∆x. Jika ∆x kita buat mendekati nol kita akan mempunyai

xxxfxxfxxfApx ∆∆+=∆=∆=∆ )()()( 0 (12.14)

Dengan demikian kita akan mendapatkan limit

p x x+∆x q

y

x

y = f(x)

0

∆Apx

f(x) f(x+∆x )

Apx

9

)(lim0

xfdx

dA

x

A pxpx

x==

∆

∆

→∆ (12.15)

Dari sini kita peroleh

KxFdxxfdAA pxpx +=== ∫∫ )()( (12.16)

Dengan memasukkan kondisi awal Apx = 0 untuk x = p dan kemudian

memasukkan nilai x = q kita akan memperoleh

] qppq xFpFqFA )()()( =−= (12.17)

12.2. Integral Tentu

Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas.

Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai

suatu limit. Kita akan menghitung luas bidang yang dibatasi oleh suatu

kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = p, dan x = q, yaitu luas bagian yang

diarsir pada Gb.12.4.a.

Sebutlah luas bidang ini Apq. Bidang ini kita bagi dalam n segmen dan

kita akan menghitung luas setiap segmen dan kemudian

menjumlahkannya untuk memperoleh Apq. Jika penjumlahan luas segmen

kita lakukan dengan menghitung luas segmen seperti tergambar pada

Gb.12.4.b, kita akan memperoleh luas yang lebih kecil dari dari luas

yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas segmen ini Apqb (jumlah luas

segmen bawah).

Jika penjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas

segmen seperti tergambar pada Gb.12.4.c, kita akan memperoleh luas

yang lebih besar dari dari luas yang kita harapkan; sebutlah jumlah luas

segmen ini Apqa (jumlah luas segmen atas).

Kedua macam perhitungan tersebut di atas akan mengakibatkan

terjadinya error. Antara Apqb dan Apqa ada selisih seperti terlihat pada

Gb.12.4.d. Jika x0k adalah suatu nilai x di antara kedua batas segmen ke-

k, yaitu antara xk dan (xk+∆x), maka berlaku

)()()( 0 xxfxfxf kkk ∆+≤≤ (12.18)


(a)

(b)

(c)

(d)

Gb.12.4. Menghitung luas bidang di bawah kurva.

Jika pertidaksamaan (12.18) dikalikan dengan ∆xk yang yang cukup kecil

dan bernilai positif, maka

kkkkkk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ )()()( 0 (12.19)

Jika luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (12.19) kita

jumlahkan dari 1 sampai n (yaitu sebanyak jumlah segmen yang kita

buat), kita akan memperoleh

p x2 xk xk+1 xn

y

x

y = f(x)

0

p x2 xk xk+1 xn

y

x

y = f(x)

0

p x2 xk xk+1 xn

y

x

y = f(x)

0

p x2 xk xk+1 xn

y

x

y = f(x)

0

11

k

n

k

k

n

k

kk

n

k

kk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ ∑∑∑=== 11

0

1

)()()( (12.20)

Ruas paling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, Apqb; ruas paling

kanan adalah jumlah luas segmen atas, Apqa; ruas yang di tengah adalah

jumlah luas segmen pertengahan, kita namakan An. Jelaslah bahwa

pqanpqb AAA ≤≤ (12.21)

Nilai An dapat dipakai sebagai pendekatan pada luas bidang yang kita

cari. Error yang terjadi sangat tergantung dari jumlah segmen, n. Jika n

kita perbesar menuju tak hingga dan semua ∆xk menuju nol, maka luas

bidang yang kita cari adalah

pqax

nx

pqbx

pq AAAAkkk 000

limlimlim→∆→∆→∆

=== (12.22)

Jadi apabila kita menghitung limitnya, kita akan memperoleh nilai limit

yang sama, apakah kita menggunakan penjumlahan segmen bawah, atau

atas, atau pertengahannya. Limit yang sama ini disebut integral tertentu,

dituliskan

∫=q

ppq dxxfA )( (12.23)

Integral tertentu (12.23) ini terkait dengan integral tak tentu (9.12)

] )()()()( pFqFxFdxxfAqp

q

ppq −=== ∫ (12.24)

Jadi untuk memperoleh limit bersama dari penjumlahan segmen bawah,

penjumlahan segmen atas, maupun penjumlahan segmen pertengahan

dari fungsi f(x) dalam rentang p ≤ x ≤ q, kita cukup melakukan:

a. integrasi untuk memperoleh ∫= dxxfxF )()( ;

b. masukkan batas atas x = q untuk mendapat F(q);

c. masukkan batas bawah x = p untuk mendapat F(p);

d. kurangkan perolehan batas bawah dari batas atas, F(q) − F(p).

Walaupun dalam pembahasan di atas kita mengambil contoh fungsi yang

bernilai positif dalam rentang qxp ≤≤ , namun pembahasan itu

berlaku pula untuk fungsi yang dalam rentang qxp ≤≤ sempat

bernilai negatif. Kita hanya perlu mendefinisikan kembali apa yang

disebut dengan Apx dalam pembahasan sebelumnya. Pendefinisian yang

baru ini akan berlaku umum, yaitu


Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh )(xfy = dan

sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian

yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian

yang di bawah sumbu-x.

Agar lebih jelas kita mengambil contoh pada Gb 13.2. Kita akan

menghitung luas antara xxy 123 −= dan sumbu-x dari x = −3 sampai x

= +3. Bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.12.5.

Di sini terlihat bahwa dari x = −3 sampai 0 kurva berada di atas sumbu-x

dan antara x = 0 sampai +3 kurva ada di bawah sumbu-x. Untuk bagian

yang di atas sumbu-x kita mempunyai luas

75,33)5425,20(064

)12(

0

3

240

3

3 =−−−=

−=−=

−−∫ x

xdxxxAa

Untuk kurva yang di bawah sumbu-x kita dapatkan

75,33)0(5425,2064

)12(

3

0

243

0

3 −=−−=

−=−= ∫ x

xdxxxAb

Luas yang kita cari adalah luas bagian yang berada di atas sumbu-x

dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x

5,67)755,33(75,33 =−−=−= bapq AAA

Contoh ini menunjukkan bahwa dengan pengertian yang baru mengenai

Apx, formulasi

( )))()( pFqFdxxfAq

p−== ∫

tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di

bawah sumbu-x.

Gb.12.5. Kurva xxy 123 −= - 20

- 10

0

10

20

- 4 - 3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

xxy 123 −=

13

Dengan demikian maka untuk bentuk kurva seperti pada Gb.12.6. kita

dapatkan

4321 AAAAApq +−+−=

yang kita peroleh dari ( )))()( pFqFdxxfAq

ppq −== ∫

Gb.12.6. Kurva memotong sumbu-x di beberapa titik.

Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Kita akan menghitung luas bidang

di antara kurva )(11 xfy = dan )(22 xfy = pada batas antara x = p dan x

= q . Kurva yang kita hadapi sudah barang tentu harus kontinyu dalam

rentang qxp ≤≤ . Kita tetapkan bahwa kurva )(11 xfy = berada di atas

)(22 xfy = meskipun mungkin mereka memiliki bagian-bagian yang

berada di bawah sumbu-x. Perhatikan Gb.12.7.

Gb.12.7. Menghitung luas bidang antara dua kurva.

Rentang qxp ≤≤ kita bagi dalam n segmen, yang salah satunya

diperlihatkan pada Gb.12.7. dengan batas kiri x dan batas kanan (x+∆x), dimana npqx /)( −=∆ .

p

q

y

x 0

y1

y2

x x+∆x

p

q

y

x

A4

A1

A2

A3

y = f(x)


Luas segmen dapat didekati dengan

{ } xxfxfAsegmen ∆−= )()( 21 (12.25)

yang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita peroleh

{ }∑∑∆−=

=

∆−=xqx

px

n

segmen xxfxfA )()( 21

1

(12.25)

Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita

sampai pada suatu limit

{ }∫∑ −==∞→ q

p

n

segmenpq dxxfxfAA )()(lim 21

1

(12.26)

Kita lihat beberapa contoh.

1). Jika 41 =y dan 22 −=y berapakah luas bidang antara y1 dan y2

dari x1 = p = −2 sampai x2 = q = +3.

{ } ] 30)12(186)2(4(32

3

2=−−==−−= +

−+

−∫ xdxApq

Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan planimetri. Luas

yang dicari adalah luas persegi panjang dengan lebar 621 =− yy

dan panjang 512 =− xx .

2). Jika 21 xy = dan 42 =y berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1

dan y2.

Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada

perpotongan antara y1 dan y2.

2 ,2 4 212

21 ==−==⇒=→= qxpxxyy

Perhatikan bahwa y1 adalah fungsi pangkat dua dengan titik puncak

minimum yang berada pada posisi [0,0]. Oleh karena itu bagian

kurva y1 yang membatasi bidang yang akan kita cari luasnya, berada

di di bawah y2 = 4.

3

32

3

16

3

16

3

88

3

88

34)4(

2

2-

32

2

2 =−

−=

−−−−

−=

−=−= ∫−

xxdxxApq

Jika kita terbalik dalam memandang posisi y1 terhadap y2 kita akan

melakukan kesalahan:

15

03

16

3

168

3

88

3

84

3)4(*

2

2-

32

2

2 =+

−−

=

+

−−

−=

−=−= ∫−x

xdxxApq

3). Jika 221 +−= xy dan xy −=2 berapakah luas bidang yang

dibatasi oleh y1 dan y2.

Terlebih dulu kita perhatikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsi

y1 adalah fungsi kuadrat dengan titik puncak maksimum yang

memotong sumbu-y di y = 2. Fungsi y2 adalah garis lurus

melalui titik asal [0,0] dengan kemiringan negatif −1, yang

berarti ia menurun pada arah x positif. Dengan demikian maka

bagian kurva y1 yang membatasi bidang yang akan kita cari

luasnya berada di atas y2.

Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva.

22

811 ; 1

2

811

02atau 2

2

2

2

1

2221

=−

+−−==−=

−

++−==

=++−−=+−⇒=

qxpx

xxxxyy

5,4 22

1

3

142

3

8

223

)2(

2

1

232

1

2

=

−+

−−−

++−=

++−=++−=

−−∫ x

xxdxxxApq

Penerapan Integral Tentu. Pembahasan di atas terfokus pada

penghitungan luas bidang di bawah suatu kurva. Dalam praktik kita tidak

selalu menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis,

yang berubah terhadap waktu misalnya. Perubahan besaran fisis ini dapat

pula divisualisasi dengan membuat absis dengan satuan waktu dan

ordinat dengan satuan besaran fisis yang dimaksud. Dengan demikian

seolah-olah kita menghitung luas bidang di bawah kurva. Berikut ini dua

contoh dalam kelistrikan.

1). Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan

200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8

jam ?


Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p

dan energi diberi simbol w, maka

dt

dwp = yang memberikan ∫= pdtw

Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau

batas bawah dari wktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8,

dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap

selama 8 jam adalah

[kWh]hour Watt kilo 8,0

[Wh]r Watt.hou800100 1008

0

8

0

8

0

=

==== ∫∫ tdtpdtw

2). Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai

i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang

dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?

Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.

dt

dqi = sehingga ∫= idtq

Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah

coulomb 625,02

25,1

2

05,005,0

5

0

5

0

25

0===== ∫∫ ttdtidtq

Pendekatan �umerik. Dalam pembahasan mengenai integral tentu, kita

fahami bahwa langkah-langkah dalam menghitung suatu integral adalah:

1. Membagi rentang f(x) ke dalam n segmen; agar proses

perhitungan menjadi sederhana buat segmen yang sama lebar,

∆x.

2. Integral dalam rentang p ≤ x ≤ q dari f(x) dihitung sebagai

∑∫=

→∆∆=

n

k

kkx

q

pxxfdxxf

10

)(lim)(

dengan f(xk) adalah nilai f(x) dalam interval ∆xk yang

besarnya akan sama dengan nilai terendah dan tertinggi

dalam segmen ∆xk jika ∆x menuju nol.

17

Dalam aplikasi praktis, kita tentu bisa menetapkan suatu nilai ∆x sedemikian rupa sehingga jika kita mengambil f(xk) sama dengan nilai

terendah ataupun tertinggi dalam ∆xk, hasil perhitungan akan lebih rendah

ataupun lebih tinggi dari nilai yang diharapkan. Namun error yang terjadi

masih berada dalam batas-batas toleransi yang dapat kita terima. Dengan

cara ini kita mendekati secara numerik perhitungan suatu integral, dan

kita dapat menghitung dengan bantuan komputer.

Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang yang dibatasi

oleh kurva xxy 123 −= dengan sumbu-x antara x = −3 dan x = +3. Luas

ini telah dihitung dan menghasilkan 5,67=pqA . Kali ini perhitungan

∫−−=

3

3

3)12( dxxxApq akan kita lakukan dengan pendekatan numerik

dengan bantuan komputer. Karena yang akan kita hitung adalah luas

antara kurva dan sumbu-x, maka bagian kurva yang berada di bawah

sumbu-x harus dihitung sebagai positif. Jika kita mengambil nilai ∆x =

0,15 maka rentang 33 ≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− x akan terbagi dalam 40 segmen.

Perhitungan menghasilkan

4,6739875,67)12(

40

1

3 ≈=−= ∑=k

kkpq xxA

Error yang terjadi adalah sekitar 0,15%.

Jika kita mengambil ∆x = 0,05 maka rentang 33 ≤≤− x akan terbagi

dalam 120 segmen. Perhitungan menghasilkan

5,6748875,67)12(

120

1

3 ≈=−= ∑=k

kkpq xxA

Error yang terjadi adalah sekitar 0,02%.

Jika kita masih mau menerima hasil perhitungan dengan error 0,2%,

maka hasil pendekatan numerik sebesar 67,4 cukup memadai.

Perhitungan numerik di atas dilakukan dengan menghitung luas setiap

segmen sebagai hasilkali nilai minimum ataupun nilai maksimum

masing-masing segmen dengan ∆x. Satu alternatif lain untuk menghitung

luas segmen adalah dengan melihatnya sebagai sebuah trapesium. Luas

setiap segmen menjadi


( ) 2/)()( min xxfxfA kmaksksegmen ∆×+= (12.27)

Perhitungan pendekatan numerik ini kita lakukan dengan bantuan

komputer. Kita bisa memanfaatkan program aplikasi yang ada, ataupun

menggunakan spread sheet jika fungsi yang kita hadapi cukup sederhana.

Soal-Soal:

1. Carilah titik-titik perpotongan fungsi-fungsi berikut dengan

sumbu-x kemudian cari luas bidang yang dibatasi oleh kurva

fungsi dengan sumbu-x.

xyyxxy =−−= 322 ; 2

2. Carilah luas bidang yang dibatasi oleh kurva dan garis berikut.

3 garisdan 2 kurva antara Luas

4 garisdan kurva antara Luas

2

2

−=−=

==

xxxy

xxy

3. Carilah luas bidang yang dibatasi oleh dua kurva berikut.

24 2xxy −= dan 22xy =

52 2 −= xy dan 52 2 +−= xy

12.3. Volume Sebagai Suatu Integral

Di sub-bab sebelumnya kita menghitung luas bidang sebagai suatu

integral. Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk

menghitung volume.

Balok. Kita ambil contoh sebuah balok

seperti tergambar pada Gb.12.8. Balok ini

dibatasi oleh dua bidang datar paralel di p

dan q. Balok ini diiris tipis-tipis dengan tebal

irisan ∆x sehingga volume balok, V,

merupakan jumlah dari volume semua irisan.

Gb.12.8. Balok

Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+∆x) adalah luas irisan

di sebelah kanan maka volume irisan ∆V adalah

xxxAVxxA ∆∆+≤∆≤∆ )()(

Volume balok V adalah

∆x

19

∑ ∆=q

p

xxAV )(

dengan )(xA adalah luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+∆x).

Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti )(xA

maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu

∑ ∆≈q

p

xxAV )(

Jika ∆x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka

∫∑ =∆=→∆

q

p

q

pox

dxxAxxAV )()(lim (12.28)

Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x.

Satu kerucut dapat dibayangkan sebagai

segitiga yang berputar sekitar salah satu

sisinya. Sigitiga ini akan menyapu satu

volume kerucut seperti terlihat pada

Gb.12.9. Segitiga OPQ, dengan OQ

berimpit dengan sumbu-x, berputar

mengelilingi sumbu-x.

Gb.12.9. Rotasi Segitiga OPQ

mengelilingi sumbu-x

Formula (12.28) dapat kita terapkan disini. Dalam hal ini A(x) adalah

luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan

garis OP.

[ ] ∫∫∫ π=π==hhh

dxxmdxxrdxxAV0

22

0

2

0)()( (12.29)

dengan m adalah kemiringan garis OP dan h adalah jarak O-Q. Formula

(12.29) akan memberikan volume kerucut

3

3

PQ/OQ)(

3

23232

kerucuth

rhhm

V π=π

=π

= (12.30)

dengan OQ = h dan r adalah nilai PQ pada x = h.

Bagaimanakah jika OQ tidak berimpit dengan sumbu-x? Kita akan

memiliki kerucut yang terpotong di bagian puncak. Volume kerucut

y

x

∆x

x O Q

P


terporong demikian ini diperoleh dengan menyesuaikan persamaan garis

OP. Jika semula persamaan garis ini berbentuk mxy = berubah menjadi

bmxy += dengan b adalah perpotongan garis OP dengan sumbu-y.

Rotasi Bidang Sembarang. Jika f(x)

kontinyu pada bxa ≤≤ , rotasi bidang

antara kurva fungsi ini dengan sumbu-x

antara bxa ≤≤ sekeliling sumbu-x akan

membangun suatu volume benda yang

dapat dihitung menggunakan relasi (12.10).

Gb.12.10. Rotasi bidang

mengelilingi sumbu-x

Dalam menghitung integral (12.28) penyesuaian harus dilakukan pada

A(x) dan batas-batas integrasi.

( ) ( )22)()()( xfxrxA π=π=

sehingga ( )∫ π=b

adxxfV

2)( (12.31)

Gabungan Fungsi Linier. Jika f(x) pada

(12.31) merupakan gabungan fungsi linier,

kita akan mendapatkan situasi seperti pada

Gb.12.11.

Gb.12.11. Fungsi f(x) merupakan

gabungan fungsi linier.

Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada Gb.12.11. terdapat tiga

rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume

total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.

Fungsi f(x) Memotong Sumbu-x. Formula (12.29) menunjukkan bahwa

dalam menghitung volume, f(x) dikuadratkan. Oleh karena itu jika ada

bagian fungsi yang bernilai negatif, dalam penghitungan volume bagian

ini akan menjadi positif.

12.4. Panjang Kurva Pada Bidang Datar

Jika kurva )(xfy = kita bagi dalam n segmen masing-masing selebar

∆x, maka ∆l dalam segmen tersebut adalah

y

x

∆x

x 0 a b

f(x)

y

x

∆x

x 0 a b

2000

21

22 yxPQl ∆+∆==∆

Salah satu segmen diperlihatkan pada Gb.12.12.

Ada satu titik P′ yang terletak pada kurva di segmen ini yang terletak

antara P dan Q di mana turunan fungsi )(Py ′′ , yang merupakan garis

singgung di P′, sejajar dengan PQ. Menggunakan pengertian )(Py ′′ ini,

∆l dapat dinyatakan sebagai

( )[ ] ( ) xyxyxl ∆′′+=∆′′+∆=∆ 222 )P(1)P(

Gb.12.12. Salah satu segmen pada kurva )(xfy = .

Setiap segmen memiliki )(Py ′′ masing-masing yaitu ky′ , dan ∆l

masing-masing yaitu ∆lk . Jika n dibuat menuju ∞, panjang kurva dari x =

a ke x = b adalah

( ) ( ) xyxyll

n

k

kx

n

k

kn

n

k

kn

ab ∆′+=∆′+=∆= ∑∑∑=

→∆=

∞→=

∞→1

2

01

2

1

1lim 1limlim

atau dxdx

dyl

b

aab ∫

+=

2

1 (12.32)

Perlu kita ingat bahwa panjang suatu kurva tidak tergantung dari posisi

sumbu koordinat. Oleh karena itu (12.32) dapat ditulis juga sebagai

dydy

dxl

b

aab ∫

′

′

+=

2

1 dengan a′ dan b′ adalah batas-batas peubah

bebas.

P ∆y

∆x

x

y

Q

y = f(x)

∆l

a b


12.5. "ilai Rata-Rata Suatu Fungsi

Untuk fungsi )(xfy = yang kontinyu dalam rentang qxp ≤≤ nilai

rata-rata fungsi ini didefinisikan sebagai

∫−=

q

pxrr dxxf

pqy )(

1)( (12.33)

(Penulisan (yrr)x untuk menyatakan nilai rata-rata fungsi x)

Definisi (12.33) dapat kita tuliskan

∫=−⋅q

pxrr dxxfpqy )()()( (12.34)

Ruas kanan (12.34) adalah luas bidang antara kurva fungsi )(xfy =

dengan sumbu-x mulai dari x = p sampai x = q. Ruas kiri (12.34) dapat

ditafsirkan sebagai luas segi empat dengan panjang (q − p) dan lebar

(yrr)x. Namun kita perlu hati-hati sebab dalam menghitung ruas kanan

(12.34) sebagai luas bidang antara kurva fungsi )(xfy = dengan sumbu-

x bagian kurva yang berada di bawah sumbu-x memberi kontribusi positif

pada luas bidang yang dihitung; sedangkan dalam menghitung nilai rata-

rata (12.33) kontibusi tersebut adalah negatif.

Sebagai contoh, kita ambil fungsi xxy 123 −= . Luas bidang antara

xxy 123 −= dengan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3 adalah positif,

5,67=pqA (telah pernah kita hitung). Sementara itu jika kita

menghitung nilai rata-rata fungsi ini dari x = −3 sampai x = +3 hasilnya

adalah (yrr)x = 0 karena bagian kurva yang berada di atas dan di bawah

sumbu-x akan saling meniadakan.

23

Referensi

1. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut

Teknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisan

dalam buku ini.

2. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison

Wesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika

di ITB, tahun 1963 - 1964.

3. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB,

ISBN 979-9299-54-3, 2002.

4. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010.

5. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · yang menyatakan bahwa luas segi empat adalah panjang...

Documents

Transcript of Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · yang menyatakan bahwa luas segi empat adalah panjang...