Rangkuman Untai Listrik

Nama : Julio AlifiansyahNIM : 19/445568/PA/19392

BAB I

Konsep Dasar

1.1 Pengenalan

Untuk melakukan transfer energy dari satu titik ke titik lainnya diperlukan interkoneksi

perangkat listrik yang disebut rangkaian listrik. Setiap komponen dalam rangkaian listrik dikenal

sebagai elemen. Jadi, rangkaian listrik dapat didefinisikan sebagai hubungan antar elemen listrik.

1.2 Systems of units

Dalam pengukuran, untuk menangani besaran yang dapat diukur, harus dikomunikasikan

dalam bahasa standar yang dapat dipahami oleh semua pihak, terlepas dari negara tempat

pengukuran dilakukan. Bahasa pengukuran internasional semacam itu adalah Sistem Satuan

Internasional (SI), seperti pada gambar berikut :

1.3 Muatan dan Arus

Kuantitas paling dasar dalam rangkaian listrik adalah muatan listrik. Muatan adalah

properti listrik dari partikel atom yang terdiri dari materi, diukur dalam coulomb (C). Kita tahu

bahwa muatan pada suatu elektron adalah negatif dan sama dengan 1,602 × 10−19 C, sementara

muatan ini menggabungkan muatan positif dengan besaran yang sama dengan elektron.

Kehadiran jumlah proton dan elektron yang sama membuat atom bermuatan netral.

Poin-poin berikut harus diperhatikan tentang muatan listrik:

1. Coulomb adalah satuan besar untuk muatan. Dalam muatan 1 C, ada 1 / (1,602 × 10−19) = 6,24

× 1018 elektron.

2. Menurut pengamatan eksperimental, satu-satunya muatan yang terjadi di alam adalah

kelipatan integral dari muatan elektronik e = - 1,602 × 10 ×19 C.

3. Hukum kekekalan menyatakan bahwa muatan tidak dapat dibuat atau dimusnahkan, hanya

dapat ditransfer. Dengan demikian, jumlah aljabar dari muatan listrik dalam suatu sistem tidak

berubah. Fitur unik dari muatan listrik atau listrik adalah kenyataan bahwa ia bergerak; yaitu, ia

dapat ditransfer dari satu tempat ke tempat lain, di mana ia dapat dikonversi ke bentuk energi

lain. Ketika kawat penghantar (terdiri dari beberapa atom) dihubungkan ke baterai (sumber gaya

gerak listrik), muatan dipaksa untuk bergerak; muatan positif bergerak dalam satu arah

sedangkan muatan negatif bergerak ke arah yang berlawanan. Gerakan muatan ini menciptakan

arus listrik, seperti pada gambar :

Arus listrik adalah tingkat waktu perubahan muatan, diukur dalam ampere (A). Secara

matematis, hubungan antara kuat arus i, muatan q, dan waktu t adalah sebagai berikut :

di mana kuat arus diukur dalam ampere (A), dan 1 ampere = 1 coulomb/detik. Muatan yang

ditransfer antara waktu t0 dan t diperoleh dengan mengintegrasikan kedua sisi persamaan. Kita

dapat :

Jika arus tidak berubah dengan waktu, tetapi tetap konstan, kami menyebutnya arus

searah (dc). Arus searah (dc) adalah arus yang tetap konstan terhadap waktu. Grafik arus searah

(dc) sebagai berikut :

Dengan konvensi, simbol I digunakan untuk mewakili arus konstan.

Arus yang bervariasi waktu diwakili oleh simbol i. Bentuk umum dari arus yang

bervariasi terhadap waktu adalah arus sinusoidal atau arus bolak-balik (ac), dengan grafik :

Arus bolak-balik (ac) adalah arus yang bervariasi secara sinusoidal terhadap waktu. Arah

arus mengalir secara konvensional diambil sebagai arah pergerakan muatan positif.

1.4 Tegangan (Beda Potensial)

Untuk memindahkan elektron dalam konduktor ke arah tertentu tentu memerlukan kerja

atau transfer energi. Pekerjaan ini dilakukan oleh gaya gerak listrik eksternal (ggl), biasanya

diwakili oleh baterai pada. Ggl ini juga dikenal sebagai perbedaan tegangan atau potensial. Vab

atau tegangan antara dua titik a dan b dalam sirkuit listrik adalah energi (atau pekerjaan) yang

diperlukan untuk memindahkan muatan unit dari a ke b, secara matematis :

di mana w adalah energi dalam joule (J) dan q adalah muatan dalam coulombs (C). Vab tegangan

yang diukur dalam volt (V), dinamai untuk menghormati fisikawan Italia Alessandro Antonio

Volta (1745-1827), yang menemukan baterai volta pertama. Dari persamaan di atas, terbukti

bahwa 1 volt = 1 joule/coulomb = 1 newton meter/coulomb. Jadi, Tegangan (atau beda potensial)

adalah energi yang diperlukan untuk memindahkan muatan unit melalui suatu elemen, diukur

dalam volt (V). VAB dapat diartikan dengan dua cara: (1) titik a adalah pada potensial vab volt

lebih tinggi dari titik b, atau (2) potensi pada titik a sehubungan dengan titik b adalah vab. Arus

dan tegangan adalah dua variabel dasar dalam rangkaian listrik. Sinyal istilah umum digunakan

untuk kuantitas listrik seperti arus atau tegangan (atau bahkan gelombang elektromagnetik)

ketika digunakan untuk menyampaikan informasi. Seperti arus listrik, tegangan konstan disebut

tegangan dc, sedangkan tegangan yang bervariasi waktu secara sinusoidal disebut tegangan ac.

Tegangan dc umumnya diproduksi oleh baterai; tegangan ac diproduksi oleh generator listrik.

1.5 Daya dan Energi

Meskipun arus dan tegangan adalah dua variabel dasar dalam rangkaian listrik, kita perlu

tahu seberapa besar daya yang dapat ditangani oleh perangkat listrik. Kita juga tahu bahwa

ketika kita membayar tagihan kepada perusahaan utilitas listrik, kita membayar energi listrik

yang dikonsumsi selama periode waktu tertentu. Jadi perhitungan daya dan energi penting dalam

analisis rangkaian. Untuk menghubungkan daya dan energi ke tegangan dan arus, berlaku bahwa:

di mana p adalah daya dalam watt (W), w adalah energi dalam joule (J), dan t adalah waktu

dalam detik (s).

Dengan demikian, daya yang diserap atau disuplai oleh suatu elemen adalah produk dari

tegangan yang melintasi elemen dan arus yang melaluinya. Jika daya memiliki tanda +, daya

dikirim ke atau diserap oleh elemen. Jika, di sisi lain, daya memiliki tanda -, daya disuplai oleh

elemen. Untuk menentukan positif atau negatifnya suatu daya, arah arus dan polaritas tegangan

memainkan peran utama dalam menentukan tanda daya.

Polaritas tegangan dan arah arus harus sesuai dengan yang ditunjukkan pada Gambar 1.8

(a) agar daya memiliki tanda positif. Ini dikenal sebagai konvensi tanda pasif. Dengan konvensi

tanda pasif, arus masuk melalui polaritas positif dari tegangan. Dalam hal ini, p = + vi atau vi> 0

menyiratkan bahwa elemen tersebut menyerap daya. Namun, jika p = −vi atau vi <0, seperti pada

Gambar. 1.8 (b), elemen melepaskan atau memasok daya. Konvensi tanda pasif terpenuhi ketika

arus masuk melalui terminal positif suatu elemen dan p = + vi. Jika arus masuk melalui terminal

negatif, p = −vi.

Sebagai contoh, elemen di kedua sirkuit Gambar. 1.9 memiliki daya serap +12 W karena

arus positif memasuki terminal positif dalam kedua kasus. Namun, pada Gambar 1.10, elemen

tersebut memasok daya − 12 W karena arus positif memasuki terminal negatif. Tentu saja, daya

serap +12 W setara dengan daya suplai − 12 W. Secara umum, Daya terserap = - Daya dipasok.

Faktanya, hukum kekekalan energi harus dipatuhi dalam sirkuit listrik apa pun. Untuk

alasan ini, jumlah daya aljabar dalam suatu sirkuit, setiap saat, harus nol:

Energi diserap atau didukung oleh penambahan dari waktu t ke waktu t adalah

Energi adalah kapasitas untuk melakukan pekerjaan, diukur dalam joule (J).

1.6 Rangkaian Elemen

Ada dua jenis elemen yang ditemukan di sirkuit listrik: elemen pasif dan elemen aktif.

Elemen aktif mampu menghasilkan energi sedangkan elemen pasif tidak. Contoh elemen pasif

adalah resistor, kapasitor, dan induktor. Elemen aktif termasuk generator, baterai, dan amplifier

operasional. Ada dua jenis sumber: sumber independen dan dependen. Sumber independen ideal

adalah elemen aktif yang memberikan tegangan atau arus khusus yang benar-benar independen

dari variabel rangkaian lainnya. Gambar untuk sumber tegangan independen:

Gambar untuk sumber arus independen:

Sumber dependen (atau dikontrol) yang ideal adalah elemen aktif di mana kuantitas sumber

dikontrol oleh tegangan atau arus lain. Sumber dependen biasanya ditunjuk oleh simbol

berbentuk berlian, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

Kontrol dari sumber dependen dicapai oleh tegangan atau arus dari beberapa elemen lain dalam

rangkaian, dan sumbernya dapat berupa tegangan atau arus.

1.7 Penerapan

Salah satu penerapan dalam bab ini adalah untuk menghitung biaya tagihan listrik. Biaya

listrik tergantung pada jumlah energi yang dikonsumsi dalam kilowatt-jam (kWh).

Biaya tagihan listrik = (Total pemakaian daya[kWh])x(Biaya listrik tiap kWh)

1.8 Memecahkan Masalah

Contoh rangkaian:

Pada gambar tersebut, polaritas atau kutub tegangan 3-V tidak diketahui. Asumsikan saja

bahwa tegangan tersebut mempunyai polaritas positif di bawah.

Arus melalui resistor 8-ohm adalah 0,25 amp mengalir turun melalui resistor 8-ohm.

BAB II

Hukum Dasar2.1 Pengenalan

Untuk menentukan kuat arus, tegangan, dan daya pada rangkaian listrik, diperlukan

peahaman mengenai hukum dasar yang mengatur rangkaian listrik. Hukum-hukum ini dikenal

dengan Hukum Ohm dan Hukum Kirchhoff, yang membentuk dasar dimana analisis rangkaian

listrik dibangun. Untuk menyederhanakan dan menganalisis rangkaian listrik, dapat digunakan

teknik seperti menggabungkan resistor pada rangkaian seri dan paralel, pembagian tegangan,

pembagian arus, dan transformasi wye-delta.

2.2 Hukum Ohm

Material secara umum mempunyai kemampuan untuk menghambat arus listrik. Sifat fisik

atau kemampuan ini dikenal dengan resistansi dan disimbolkan dengan huruf R. Resistansi suatu

material dipengaruhi oleh panjang maupun luas penampangnya.

Secara matematis, dapat ditulis:

di mana:

ρ : hambatan jenis (ohm.meter)

l : panjang material (m)

A : luas penampang material (m2)

R : hambatan/resistansi (ohm)

Konduktor yang baik, seperti tembaga dan aluminium, memiliki resistivitas rendah,

sedangkan isolator, seperti mika dan kertas, memiliki resistivitas tinggi. Tabel di bawah ini

menyajikan nilai ρ untuk beberapa bahan umum dan menunjukkan bahan mana yang digunakan

untuk konduktor, isolator, dan semikonduktor.

Georg Simon Ohm (1787-1854), seorang ahli fisika Jerman telah menemukan hubungan

antara arus dan tegangan untuk sebuah resistor. Hubungan ini dikenal sebagai hukum Ohm.

Hukum Ohm menyatakan bahwa tegangan v pada sebuah resistor berbanding lurus dengan arus i

yang mengalir melalui resistor.

Resistansi suatu elemen menunjukkan kemampuannya untuk menahan aliran arus listrik;

diukur dalam ohm. Arus mengalir dari potensial yang lebih tinggi ke potensial yang lebih rendah

agar v = iR. Jika arus mengalir dari potensial yang lebih rendah ke potensial yang lebih tinggi,

maka v = − iR.

Suatu elemen dengan R = 0 disebut hubung singkat, seperti yang ditunjukkan pada

gambar di bawah.

Untuk hubung singkat atau korsleting (short circuit), berlaku :

Menunjukkan bahwa tegangan bernilai 0 tetapi kuat arus dapat bernilai apa saja.

Untuk korsleting, v = iR = 0 (2.5) menunjukkan bahwa tegangannya nol tetapi arusnya bisa apa

saja. Jadi, hubung singkat adalah elemen rangkaian dengan resistan mendekati nol.

Demikian pula, elemen dengan R = ∞ dikenal sebagai rangkaian terbuka, seperti yang

ditunjukkan pada gambar di bawah ini:

Untuk rangkaian terbuka, berlaku:

Menunjukkan bahwa arusnya nol meskipun tegangan bisa berapa saja. Jadi, rangkaian terbuka

adalah elemen sirkuit dengan resistansi mendekati tak hingga.

Suatu resistor dapat bernilai tetap atau berubah. Sebagian besar resistor adalah bertipe

tetap, yang berarti resistansinya tetap konstan. Simbol untuk resistor tetap adalah:

Sedangkan resistor variabel memiliki resistansi yang dapat disesuaikan. Simbol untuk

resistor variabel ditunjukkan pada gambar berikut:

Sebuah resistor variabel umum dikenal sebagai potensiometer atau pot singkatannya,

dengan simbol yang ditunjukkan pada gambar berikut:

Pot adalah elemen tiga terminal dengan kontak geser atau penghapus. Dengan menggeser

penghapus, hambatan antara terminal penghapus dan terminal tetap bervariasi.

Harus ditunjukkan bahwa tidak semua resistor mematuhi hukum Ohm. Sebuah resistor

yang mematuhi hukum Ohm dikenal sebagai resistor linier. Ini memiliki hambatan konstan dan

dengan demikian karakteristik tegangan arusnya seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut:

Sedangkan sebuah resistor nonlinear tidak mematuhi hukum Ohm. Ketahanannya

bervariasi dengan arus dan karakteristik i-v nya biasanya ditunjukkan pada gambar berikut:

Contoh perangkat dengan resistansi nonlinier adalah bola lampu dan dioda. Meskipun

semua resistor praktis dapat menunjukkan perilaku nonlinear dalam kondisi tertentu.

Kuantitas yang berguna dalam analisis rangkaian adalah kebalikan dari resistansi R,

dikenal dengan konduktansi dan dilambangkan dengan G:

Konduktansi adalah ukuran seberapa baik suatu elemen akan menghantarkan arus listrik.

Unit konduktansi adalah mho (ohm dieja terbalik) atau ohm timbal balik, dengan simbol, omega

terbalik. Meskipun insinyur sering menggunakan mhos, dalam buku ini kami lebih suka

menggunakan siemens (S), satuan konduktansi dalam SI:

Jadi, konduktansi adalah kemampuan suatu elemen untuk menghantarkan arus listrik. Diukur

dalam mho atau siemen.

Sehingga, didapat suatu persamaan:

Dari persamaan-persamaan di atas, dapat disimpulkan:

1. Daya yang dihamburkan/terdisipasi dalam sebuah resistor adalah fungsi nonlinear baik dari

arus atau tegangan.

2. Karena R dan G adalah bernilai positif, daya yang dihamburkan/terdisipasi dalam sebuah

resistor selalu positif. Dengan demikian, resistor selalu menyerap daya dari rangkaian. Ini

menegaskan gagasan bahwa resistor adalah elemen pasif, tidak mampu menghasilkan energi.

2.3 Nodes(Simpul/Titik), Cabang, dan Loop

Cabang mewakili elemen tunggal seperti sumber tegangan atau resistor. Rangkaian pada

gambar di bawah ini memiliki lima cabang, yaitu, sumber tegangan 10-V, sumber arus 2-A, dan

tiga resistor.

Node adalah titik koneksi antara dua atau lebih cabang. Suatu simpul biasanya ditunjukkan oleh

sebuah titik dalam suatu rangkaian. Jika korsleting (kabel penghubung) menghubungkan dua

simpul, kedua simpul tersebut membentuk satu simpul tunggal. Rangkaian pada gambar di

bawah ini memiliki tiga simpul a, b, dan c. Perhatikan bahwa tiga titik yang membentuk simpul b

terhubung dengan kabel penghantar yang sempurna dan karenanya merupakan satu titik. Hal

yang sama berlaku untuk empat titik pembentuk simpul c. Rangkaian pada gambar di atas hanya

memiliki tiga node dengan menggambar ulang sirkuit menjadi gambar di bawah ini.

Loop adalah setiap jalur tertutup dalam suatu rangkaian. Loop adalah jalur tertutup yang

dibentuk dengan memulai dari suatu simpul, melewati satu set simpul, dan kembali ke simpul

awal tanpa melewati simpul apa pun lebih dari sekali. Loop dikatakan independen jika berisi

cabang yang tidak ada di loop lain. Loop atau jalur independen menghasilkan set persamaan

independen. Misalnya, jalur tertutup abca yang berisi 2-Ohm resistor pada gambar di atas adalah

sebuah loop. Loop lain adalah jalur tertutup bcb yang berisi resistor 3-Ohm dan sumber arus.

Meskipun seseorang dapat mengidentifikasi enam loop pada gambar di atas, hanya tiga dari

mereka yang independen. Jaringan dengan cabang b, node n, dan loop l independen akan

memenuhi teorema dasar topologi jaringan:

Dua atau lebih elemen dalam seri jika mereka mengalir atau terhubung secara berurutan dan

akibatnya membawa arus yang sama. Dua atau lebih elemen secara paralel jika mereka

terhubung ke dua node yang sama dan akibatnya memiliki tegangan yang sama.

Elemen-elemen dalam seri ketika mereka terhubung rantai atau terhubung secara

berurutan, ujung ke ujung. Sebagai contoh, dua elemen dalam seri jika mereka berbagi satu

simpul yang sama dan tidak ada elemen lain yang terhubung ke simpul yang sama itu. Elemen-

elemen secara paralel terhubung ke pasangan terminal yang sama. Elemen-elemen dapat

dihubungkan dengan cara yang tidak berseri maupun paralel. Dalam rangkaian yang ditunjukkan

pada gambar 2.10, sumber tegangan dan resistor 5-Ohm adalah seri karena arus yang sama akan

mengalir melalui mereka. Resistor 2-Ohm, resistor 3-Ohm, dan sumber arus adalah paralel

karena keduanya terhubung ke dua node yang sama (b dan c) dan akibatnya memiliki tegangan

yang sama di atasnya. Resistor 5-Ohm dan 2-Ohm tidak seri atau paralel satu sama lain.

2.4 Hukum-hukum Kirchhoff

Hukum Ohm dengan sendirinya tidak cukup untuk menganalisis rangkaian. Namun,

ketika digabungkan dengan dua hukum Kirchhoff, kita memiliki seperangkat alat yang memadai

dan kuat untuk menganalisis berbagai macam rangkaian listrik. Hukum Kirchhoff pertama kali

diperkenalkan pada tahun 1847 oleh ahli fisika Jerman, Robert Kirchhoff (1824–1887). Hukum-

hukum ini secara resmi dikenal sebagai hukum arus Kirchhoff (KCL) dan hukum tegangan

Kirchhoff (KVL).

Hukum pertama Kirchhoff didasarkan pada hukum kekekalan biaya, yang mensyaratkan

bahwa jumlah biaya aljabar dalam suatu sistem tidak dapat berubah. Hukum arus Kirchhoff

(KCL) menyatakan bahwa jumlah aljabar arus yang memasuki anoda (atau batas tertutup) adalah

nol.

Secara matematis:

di mana N adalah jumlah cabang yang terhubung ke node dan in adalah arus ke-n yang

memasuki (atau meninggalkan) node. Dengan hukum ini, arus yang masuk ke suatu simpul dapat

dianggap sebagai positif, sedangkan arus yang meninggalkan simpul dapat dianggap negatif atau

sebaliknya. Jumlah arus yang masuk ke sebuah simpul sama dengan jumlah arus yang keluar dari

simpul.

Aplikasi sederhana KCL menggabungkan sumber arus secara paralel. Arus gabungan

adalah jumlah aljabar dari arus yang dipasok oleh masing-masing sumber. Misalnya, sumber saat

ini ditunjukkan pada gambar 2.18 (a) dapat dikombinasikan seperti pada gambar 2.18 (b).

Sumber arus gabungan atau setara dapat ditemukan dengan menerapkan KCL ke simpul a.

Hukum kedua Kirchhoff didasarkan pada prinsip konservasi energi:

Hukum tegangan Kirchhoff (KVL) menyatakan bahwa jumlah aljabar semua tegangan di sekitar

jalur tertutup (atau loop) adalah nol.

Secara matematis, KVL menyatakan bahwa:

di mana M adalah jumlah tegangan dalam loop (atau jumlah cabang dalam loop) dan vm adalah

tegangan ke-m. KVL dapat diterapkan dalam dua cara: dengan melakukan perjalanan searah

jarum jam atau berlawanan arah putaran. Kedua cara tersebut, jumlah aljabar dari tegangan di

sekitar loop adalah nol. Untuk menggambarkan KVL, perhatikan sirkuit pada Gambar 2.19.

Tanda pada masing-masing voltase adalah polaritas terminal yang pertama kali dihadapi

di sekitar loop. Kita bisa mulai dengan cabang apa saja dan memutari loop baik searah jarum jam

atau berlawanan arah jarum jam. Misalkan kita mulai dengan sumber tegangan dan berputar

searah jarum jam seperti yang ditunjukkan; maka tegangan akan menjadi −v1, +v2, +v3, −v4, dan

+v5, dalam urutan itu. Misalnya, ketika kita mencapai cabang 3, terminal positif terpenuhi

pertama; maka kita memiliki + v3. Untuk cabang 4, kita mencapai terminal negatif pertama;

karenanya, -v4. Jadi, KVL menghasilkan:

yang dapat diartikan sebagai

(Jumlah tegangan turun = Jumlah tegangan naik)

Perhatikan bahwa jika kita melakukan perjalanan berlawanan arah jarum jam, hasilnya adalah

+v1, −v5, +v4, −v3, dan −v2, yang sama dengan sebelumnya kecuali tanda-tandanya terbalik, tetapi

dengan hasil yang sama.

Ketika sumber tegangan dihubungkan secara seri, KVL dapat diterapkan untuk

mendapatkan tegangan total. Misalnya, untuk sumber tegangan yang ditunjukkan pada gambar.

2.20 (a), sumber tegangan gabungan atau setara pada gambar. 2.20 (b) diperoleh dengan

menerapkan KVL.

2.5 Resistor Seri dan Pembagian Tegangan

Penurunan rumus Req untuk rangkaian seri:

Dengan menerapkan hukum Ohm pada masing-masing resistor, maka didapat:

Jika kita menerapkan KVL dengan arah arus searah jarum jam, maka:

Perhatikan bahwa persamaan (2.26) dapat ditulis menjadi:

Dua resistor dapat diganti dengan resistor setara Req:

Dengan demikian, rangkaian tadi dapat diganti menjadi:

Dua rangkaian di atas adalah setara karena keduanya menunjukkan hubungan tegangan-arus

yang sama di terminal a-b. Rangkaian equivalen tersebut berguna untuk menyederhanakan

analisis rangkaian. Resistansi yang setara dari sejumlah resistor yang terhubung secara seri

adalah jumlah dari resistansi masing-masing resistor.

Untuk sebanyak N resistor dalam rangkaian seri, maka berlaku persamaan:

Untuk menentukan tegangan yang melewati masing-masing resistor pada rangkaian pada gambar

2.29, maka didapat:

Perhatikan bahwa tegangan sumber v dibagi di antara resistor, dimana tegangannya berbanding

lurus dengan hambatannya. Semakin besar resistansi, semakin besar tegangan. Ini disebut prinsip

pembagian tegangan, dan rangkaian pada gambar. 2.29 disebut pembagi tegangan. Secara umum,

jika pembagi tegangan dalam rangkaian seri mempunyai N resistor dengan sumber tegangan v,

maka resistor ke-N mempunyai tegangan:

2.6 Resistor Paralel dan Pembagi Arus

Pada gambar 2.31, dua resistor dihubungkan secara paralel dan oleh karena itu memiliki

tegangan yang sama pada mereka. Dari hukum Ohm,

Dengan menerapkan KCL pada simpul a, memberikan total arus i dengan

Substitusi persamaan-persamaan di atas, sehingga:

Dimana Req merupakan hambatan ekivalen resistor dalam rangkaian paralel:

Hambatan ekivalen dari dua resistor paralel adalah sama dengan hasil kali dari hambatan mereka

dibagi dengan jumlah mereka. Secara umum, hambatan ekivalen dari sejumlah N hambatan

dalam rangkaian paralel:

Dalam rangkaian paralel, lebih mudah ketika berurusan dengan konduktansi daripada dengan

hambatannya. Dari persamaan (2.38) diatas, bisa kita tentukan konduktansi ekivalen untuk

sebanyak N hambatan dalam rangkaian paralel:

Konduktansi ekivalen dari hambatan yang terhubung secara paralel adalah jumlah dari

konduktansi masing-masing.

Ini berarti bahwa kita dapat mengganti rangkaian pada gambar 2.31 dengan yang pada

gambar. 2.32. Perhatikan kesamaan antara persamaan. (2.30) dan (2.40). Konduktansi ekivalen

dari resistor paralel diperoleh dengan cara yang sama dengan resistansi ekivalen pada resistor

seri. Dengan cara yang sama, konduktansi ekivalen resistor dalam seri diperoleh dengan cara

yang sama seperti resistansi resistor secara paralel. Dengan demikian konduktansi ekivalen Geq

dari sejumlah N resistor dalam seri (seperti ditunjukkan pada Gambar. 2.29) adalah

Pada gambar 2.31, kita bisa mendapatkan tegangan, arus total, maupun arus pada masing-masing

cabang:

yang menunjukkan bahwa arus total i dibagi oleh resistor dalam proporsi terbalik dengan

resistensi mereka. Ini dikenal sebagai prinsip pembagian saat ini, dan sirkuit pada Gambar. 2.31

dikenal sebagai pembagi arus. Perhatikan bahwa arus yang lebih besar mengalir melalui

resistansi yang lebih kecil.

Anggap salah satu resistor pada Gambar. 2.31 adalah nol, katakanlah R2 = 0; yaitu, R2

adalah hubung singkat, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 2.33 (a). Dari persamaan (2.43),

R2 = 0 menyiratkan bahwa i1 = 0, i2 = i. Ini berarti bahwa seluruh arus i melewati R1 dan

mengalir melalui hubung singkat R2 = 0, jalur dengan resistansi terendah. Jadi ketika sebuah

rangkaian hubung singkat, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 2.33 (a), dua hal harus

diingat:

1. Req = 0 (R2 = 0 dimasukkan ke persamaan [2.37])

2. Seluruh arus mengalir melalui R=0 (hubung singkat).

Jika kita misalkan R2 = ∞, berarti R2 adalah rangkaian terbuka seperti pada gambar

2.33(b). Maka, arus mengalir melalui resistansi terendah, yaitu resistor R1. Dengan menggunakan

limit ke persamaan (2.37) dengan R2 →∞, maka akan kita dapat Req = R1. Jika persamaan (2.43)

kita bagi pembilang dan penyebut dengan R1R2, akan menjadi:

Secara umum, jika pembagi arus memiliki N konduktor (G1, G2, ..., GN) secara paralel

dengan arus sumber i, maka konduktor ke-N (Gn) akan memiliki arus:

Ketika mengubah suatu rangkaian menjadi rangkaian ekivalen, maka rangkaian ekivalen tersebut

harus mempunyai karakteristik (R, i, v) yang sama dengan rangkaian asli.

2.7 Transformasi WYE-DELTA

Terkadang dalam analisis rangkaian tidak paralel atau seri, seperti rangkaian jembatan di

atas. Bentuk tersebut dapat dianalisis dengan menerapkan prinsip transformasi wye-delta.

Konfersi Delta ke Wye

Untuk mendapatkan resistensi yang setara di jaringan wye, bandingkan dua jaringan dan

pastikan bahwa resistansi antara setiap pasangan node di jaringan delta sama dengan resistansi

antara pasangan node yang sama di jaringan wye.

Selain itu, berlaku juga:

Kemudian eliminasi:

Menghasilkan:

Eliminasi persamaan-persamaan lain yang menghasilkan:

Untuk mentransformasikan delta ke wye, buat tambahan simpul n seperti gambar berikut:

Setiap resistor dalam jaringan Y adalah perkalian resistor di dua cabang delta yang mengapit

(berdekatan), dibagi dengan jumlah dari tiga resistor delta.

Konfersi Wye ke Delta

Masih menggunakan persamaan-persamaan tadi, dengan mengubah menjadi:

Persamaan tersebut dibagi dengan setiap persamaan:

Menghasilkan:

Setiap resistor dalam jaringaan delta adalah jumlah dari tiap perkalian antara dua resistor Y yang

berbeda, dibagi dengan resistor Y yang berlawanan.

Rangkaian/jaringan wye delta disebut seimbang jika:

Sehingga menjadi:

R wye kurang daripada R delta. Koneksi wye seperti koneksi seri sedangkan koneksi delta

seperti koneksi paralel.

2.8 Aplikasi

Resistor sering digunakan untuk memodelkan perangkat yang mengubah energi listrik menjadi

panas atau bentuk energi lainnya. Penerapan terhadap permasalahan nyata dengan menggunakan

konsep dalam bab ini diantaranya:

1. Sistem Penerangan

2. Desain DC Meter

BAB III

METODE ANALISIS3.1 Pengenalan

Setelah memahami hukum dasar teori rangkaian (hukum Ohm dan hukum Kirchhoff), kita

sekarang siap untuk menerapkan hukum ini untuk mengembangkan dua teknik yang kuat untuk

analisis rangkaian: analisis nodal, yang didasarkan pada aplikasi sistematis hukum Kirchhoff saat

ini (KCL) , dan analisis mesh, yang didasarkan pada aplikasi sistematis hukum tegangan

Kirchhoff (KVL).

3.2 Analisis Nodal (Metode Tegangan-Simpul)

Analisis nodal menyediakan prosedur umum untuk menganalisis sirkuit menggunakan

tegangan simpul sebagai variabel rangkaian. Langkah-langkah untuk Menentukan Tegangan

Simpul:

1. Pilih satu simpul sebagai simpul acuan. Tetapkan tegangan v1, v2, ..., vn − 1 ke simpul n-1 yang

tersisa.

2. Terapkan KCL ke masing-masing simpul n – 1 non-referensi. Gunakan hukum Ohm untuk

mengekspresikan arus cabang dalam hal tegangan simpul.

3. Memecahkan persamaan simultan yang dihasilkan untuk mendapatkan tegangan simpul yang

tidak diketahui.

Simpul acuan biasanya disebut ground karena diasumsikan memiliki potensial nol.

Simpul acuan ditunjukkan oleh salah satu dari tiga simbol pada Gambar 3.1.

Jenis ground pada Gambar 3.1 (b) disebut ground chassis dan digunakan pada perangkat di mana

case, enclosure, atau chasis bertindak sebagai titik referensi untuk semua sirkuit. Ketika potensi

bumi digunakan sebagai referensi, kita menggunakan tanah bumi pada Gambar 3.1 (a) atau (c).

Kita akan selalu menggunakan simbol pada Gambar 3.1 (b).

Jumlah node non referensi sama dengan jumlah persamaan independen yang akan kita peroleh.

Setelah kami memilih simpul referensi, kami menetapkan sebutan tegangan untuk simpul non-

referensi. Pertimbangkan, misalnya, rangkaian pada Gambar 3.2 (a). Node 0 adalah node

referensi (v = 0), sedangkan node 1 dan 2 masing-masing diberi voltase v1 dan v2. Perlu diingat

bahwa tegangan simpul ditentukan sehubungan dengan simpul referensi. Seperti yang

diilustrasikan pada Gambar 3.2 (a), setiap tegangan simpul adalah kenaikan tegangan dari simpul

referensi ke simpul non-referensi yang sesuai atau hanya tegangan simpul itu sehubungan dengan

simpul referensi.

Sebagai langkah kedua, kami menerapkan KCL untuk setiap simpul non-referensi di sirkuit.

Untuk menghindari menaruh terlalu banyak informasi pada sirkuit yang sama, sirkuit pada

gambar (a) digambar ulang pada gambar (b), di mana kita sekarang menambahkan i1, i2, dan i3

sebagai arus melalui resistor R1, R2, dan R3, masing-masing.

Pada simpul 1, dengan menerapkan KCL maka:

Pada simpul 2,

Kami sekarang menerapkan hukum Ohm untuk mengekspresikan arus yang tidak diketahui i1, i2,

dan i3 dalam hal tegangan simpul. Gagasan utama yang perlu diingat adalah bahwa, karena

resistensi adalah elemen pasif, oleh konvensi tanda pasif, arus harus selalu mengalir dari potensi

yang lebih tinggi ke potensial yang lebih rendah.

Arus mengalir dari potensial yang lebih tinggi ke potensial yang lebih rendah dalam sebuah

resistor.

Kita dapat menyatkan prinsip ini sebagai

Dengan mengingat hal ini, kita dapatkan dari gambar (b) di atas,

Dengan mensubstitusi persamaan tersebut ke persamaan (3.1) dan (3.2), maka:

Persamaan (3.5) dan (3.6) digabung dan menjadi

Untuk menggunakan salah satu dari dua metode terakhir, kita harus memberikan persamaan

simultan dalam bentuk matriks. Misalnya, Persamaan. (3.7) dan (3.8) dapat dicetak dalam bentuk

matriks sebagai

yang dapat dipecahkan untuk mendapatkan v1 dan v2.

3.3 Analisis Nodal dengan Sumber Tegangan

Jika sumber tegangan dihubungkan antara simpul acuan dan simpul bukan acuan, kita

cukup mengatur tegangan pada simpul bukan acuan yang sama dengan tegangan dari sumber

tegangan. Pada gambar 3.7, misalnya

Jika sumber tegangan (dependen atau independen) terhubung antara dua node bukan

acuan, dua node bukan acuan membentuk node atau supernode umum. Supernode dibentuk

dengan menyertakan sumber tegangan (dependen atau independen) yang terhubung antara dua

node bukan acuan dan setiap elemen yang terhubung secara paralel dengannya.

Pada Gambar 3.7, node 2 dan 3 membentuk supernode. Kita dapat memiliki lebih dari

dua node yang membentuk satu supernode. Pada supernode pada Gambar 3.7:

Untuk mengaplikasikan Hukum Tegangan Kirchhoff ke supernode pada gambar 3.7, dapat

digambar ulang seperti gambar 3.8.

Menggunakan loop dengan arah searah jarum jam memberikan:

Dari persamaan (3.10), (3.11b), and (3.12), maka tegangan simpul akan didapat.

Perhatikan sifat-sifat supernode berikut:

1. Sumber tegangan di dalam supernode menyediakan persamaan kendala yang diperlukan untuk

menyelesaikan tegangan simpul.

2. Supernode tidak memiliki tegangan sendiri.

3. Supernode membutuhkan aplikasi KCL dan KVL.

3.4 Analisis Mesh

Analisis Mesh dikenal juga sebagai analisis loop atau metode arus mesh. Analisis mesh

menyediakan prosedur umum lain untuk menganalisis rangkaian, menggunakan arus mesh

sebagai variabel rangkaian. Menggunakan arus mesh yang menggantikan arus elemen sebagai

variabel rangkaian yang mudah dan mengurangi jumlah persamaan yang harus diselesaikan

secara bersamaan.

Ingatlah bahwa loop adalah jalur tertutup tanpa simpul yang dilewati lebih dari sekali.

Mesh adalah loop yang tidak mengandung loop lain di dalamnya. Analisis nodal berlaku KCL

untuk menemukan tegangan yang tidak diketahui dalam rangkaian yang diberikan, sedangkan

analisis mesh menerapkan KVL untuk menemukan arus yang tidak diketahui. Analisis mesh

tidak cukup umum seperti analisis nodal karena hanya berlaku untuk rangkaian yang planar.

Rangkaian planar adalah rangkaian yang dapat ditarik di dalam bidang tanpa cabang yang saling

bersilangan, kalau tidak, itu nonplanar. Suatu rangkaian mungkin memiliki cabang persimpangan

dan masih planar jika dapat digambar ulang sehingga tidak memiliki cabang persimpangan.

Sebagai contoh, rangkaian pada Gambar 3.15 (a) memiliki dua cabang yang bersilangan, tetapi

dapat digambar ulang seperti pada Gambar 3.15 (b). Oleh karena itu, rangkaian pada Gambar

3.15 (a) adalah planar. Namun, rangkaian pada Gambar 3.16 adalah nonplanar, karena tidak ada

cara untuk menggambar ulang dan menghindari persimpangan cabang. Sirkuit nonplanar dapat

ditangani dengan menggunakan analisis nodal.

Mesh adalah loop yang tidak mengandung loop lain di dalamnya.

Pada Gambar 3.17, jalur abefa dan bcdeb adalah mesh, tetapi jalur abcdefa bukanlah mesh. Arus

melalui mesh dikenal sebagai arus mesh.

Pada bagian ini, kita akan menerapkan analisis mesh ke rangkaian planar yang tidak

mengandung sumber arus. Ada tiga langkah untuk menentukan arus mesh:

1. Tetapkan arah arus mesh i1, i2, …., in ke sebanyak n mash.

2. Terapkan KVL ke masing-masing n mesh. Gunakan hukum Ohm untuk mengekspresikan

tegangan dalam ketentuan arus mesh.

3. Selesaikan n persamaan yang dihasilkan secara simultan untuk mendapatkan arus mesh.

Kita analisis gambar 3.17. Arus mesh ditentukan secara bebas. Lalu setiap arus mesh

diasumsikan mengalir searah jarum jam. Arah arus mesh adalah bebas, bisa diasumsikan searah

jarum jam maupun berlawanan jarum jam, keduanya memberikan solusi yang benar. Aplikasikan

KVL pada mesh 1, menghasilkan:

Untuk mesh 2, menggunakan KVL akan menghasilkan:

Perhatikan bahwa arus cabang berbeda dari arus mesh. Untuk membedakan antara dua jenis arus,

kami menggunakan i untuk arus mesh dan I untuk arus cabang. Sehingga, pada gambar 3.17

berlaku:

3.5 Analisis Mesh dengan Sumber Arus

Keberadaan sumber arus (dependen atau independen) dalam menerapkan analisis mesh

ke rangkaian sebenarnya mengurangi jumlah persaman.

Pada gambar 3.22 sumber arus hanya ada dalam satu mesh. Tetapkan i2 = −5 A. Tuliskan

persamaan mesh untuk mesh lain dengan cara biasa:

Ketika sumber arus ada di antara dua mesh seperti gambar 3.23, buat supermesh dengan

mengecualikan sumber arus dan elemen apa pun yang terhubung secara seri dengannya, seperti

yang ditunjukkan pada Gambar 3.23 (b). Jadi:

Supermesh dihasilkan ketika dua mesh memiliki sumber arus (dependen atau independen) yang

sama.

Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.23 (b), kami membuat supermesh sebagai

keliling dari dua mesh dan memperlakukannya secara berbeda. (Jika sebuah rangkaian memiliki

dua atau lebih supermeshes yang berpotongan, mereka harus digabungkan untuk membentuk

supermesh yang lebih besar.) Oleh karena itu, menerapkan KVL ke supermesh pada Gambar

3.23 (b) memberikan

Gunakan KCL pada gambar 3.23(a) pada simpul dalam cabang dimana kedua mesh berpotongan

(simpul 0), memberikan:

Maka:

Ciri-ciri supermesh adalah sebagai berikut:

1. Sumber arus di supermesh tidak sepenuhnya diabaikan.

2. Supermesh tidak memiliki arus sendiri.

3. Seorang supermesh membutuhkan aplikasi KVL dan KCL.

3.6 Analisis Nodal dan Mesh dengan Inspeksi

Kita dapat memperoleh persamaan hanya dengan inspeksi sirkuit. Sebagai contoh, mari

kita periksa kembali sirkuit pada Gambar 3.2, ditampilkan lagi pada Gambar 3.26 (a). Rangkaian

memiliki dua simpul non-referensi dan persamaan simpul diturunkan pada Bagian 3.2 sebagai

Setiap bentuk di sisi kanan persamaan di atas adalah jumlah aljabar dari arus yang

memasuki simpul. Secara umum, jika rangkaian dengan sumber arus independen memiliki N

simpul bukan acuan, persamaan tegangan simpul dapat ditulis dalam bentuk konduktansi sebagai

Secara sederhana dapat ditulis:

G disebut matriks konduktansi, v adalah vektor keluaran; dan i adalah vektor input. Persamaan

umum di atas dapat diselesaikan untuk mendapatkan tegangan simpul yang tidak diketahui.

Perhatikan sirkuit pada gambar 3.17, yang ditunjukkan lagi pada gambar 3.26 (b).

Rangkaian memiliki dua simpul bukan acuan dan persamaan simpul diturunkan pada bagian 3.4

sebagai

Setiap bentuk di sisi kanan persamaan (3.24) adalah jumlah aljabar yang diambil searah

jarum jam dari semua sumber tegangan independen di mesh terkait. Secara umum, jika rangkaian

memiliki N mesh, persamaan arus mesh dapat dinyatakan dalam bentuk hambatan seperti

Secara sederhana:

R disebut matriks resistansi, i adalah vektor keluaran, dan v adalah vektor input. Kita bisa

menyelesaikan persamaan (3.25) untuk mendapatkan arus mesh yang tidak diketahui.

3.7 Analisis Nodal Versus Mesh

Analisis nodal dan mesh menyediakan cara sistematis untuk menganalisis jaringan yang

kompleks. Metode yang lebih baik diantara keduanya ditentukan oleh dua faktor. Faktor pertama

adalah sifat jaringan tertentu. Jaringan yang mengandung banyak elemen yang terhubung seri,

sumber tegangan, atau supermesh lebih cocok untuk analisis mesh, sedangkan jaringan dengan

elemen yang terhubung paralel, sumber arus, atau supernode lebih cocok untuk analisis nodal.

Juga, rangkaian dengan node lebih sedikit dari mesh lebih baik dianalisis menggunakan analisis

nodal, sedangkan rangkaian dengan mesh lebih sedikit dari node lebih baik dianalisis

menggunakan analisis mesh. Kuncinya adalah memilih metode yang menghasilkan jumlah

persamaan yang lebih kecil. Faktor kedua adalah informasi yang diperlukan. Jika tegangan

simpul diperlukan, mungkin perlu untuk menerapkan analisis nodal. Jika diperlukan arus cabang

atau mesh mungkin lebih baik menggunakan analisis mesh. Untuk jaringan nonplanar, analisis

nodal adalah satu-satunya pilihan, karena analisis mesh hanya berlaku untuk jaringan planar.

3.8 Analisis Rangkaian dengan PSPICE

PSpice adalah program analisis rangkaian perangkat lunak komputer. Perlu dicatat bahwa

PSpice hanya membantu dalam menentukan voltase dan arus cabang ketika nilai numerik dari

semua komponen rangkaian diketahui.

3.9 Aplikasi: Rangkaian DC Transistor

Komponen dasar untuk sirkuit terpadu yang ditemukan dalam elektronik dan komputer

adalah perangkat tiga terminal aktif yang dikenal sebagai transistor.

BAB IV

Teorema Sirkuit4.1 Pengenalan

Untuk menangani rangkaian-rangkaian kompleks, selama bertahun-tahun telah

dikembangkan beberapa teorema untuk menyederhanakan analisis rangkaian. Teorema tersebut

termasuk teorema Thevenin dan Norton. Karena teorema ini dapat diterapkan pada rangkaian

linier.

4.2 Properti Linearitas

Linearitas adalah properti dari elemen yang menggambarkan hubungan linear antara sebab dan

akibat. Properti ini merupakan kombinasi dari properti homogenitas (penskalaan) dan properti

aditivitas. Properti homogenitas mensyaratkan bahwa jika input (juga disebut eksitasi) dikalikan

dengan konstanta, maka output (juga disebut respon) dikalikan dengan konstanta yang sama.

Untuk resistor, misalnya, hukum Ohm menghubungkan input i ke output v,

Jika arus dinaikkan oleh konstanta k, maka voltase meningkat sesuai dengan k, yaitu:

Properti aditivitas mensyaratkan bahwa respon terhadap sejumlah input adalah jumlah respon

untuk setiap input yang diterapkan secara terpisah. Dengan menggunakan hubungan tegangan-

arus resistor, jika

Dan

Kemudian menerapkan (i1 + i2) memberikan

Resistor adalah elemen linier karena hubungan tegangan-arus memenuhi baik sifat homogenitas

maupun sifat aditivitas.

Secara umum, sebuah rangkaian linier jika keduanya aditif dan homogen. Rangkaian

linear hanya terdiri dari elemen linier, sumber dependen linier, dan sumber independen. Sirkuit

linier adalah sirkuit yang outputnya terkait secara linear (atau berbanding lurus) dengan

inputnya.

Perhatikan bahwa karena p = i2R = v2/R (menjadikannya fungsi kuadrat daripada yang

linier), hubungan antara daya dan tegangan (atau arus) adalah nonlinear. Oleh karena itu,

teorema yang dicakup dalam bab ini tidak berlaku untuk daya. Untuk memahami prinsip

linearitas, pertimbangkan sirkuit linier yang ditunjukkan pada Gambar 4.1. Sirkuit linear tidak

memiliki sumber independen di dalamnya. Dalam rangkaian di atas, vs berfungsi sebagai input.

Rangkaian diakhiri oleh beban R. Kita dapat mengambil arus i melalui R sebagai output.

Misalkan vs = 10 V memberikan i = 2 A. Menurut prinsip linearitas, jika vs = 1 V akan

memberikan i = 0,2 A. Dengan tanda yang sama, i = 1 mA harus disebabkan oleh vs = 5 mV.

4.3 Superposisi

Jika rangkaian memiliki dua atau lebih sumber independen, salah satu cara untuk

menentukan nilai variabel tertentu (voltase atau arus) adalah dengan menggunakan analisis nodal

atau mesh seperti pada Bab 3. Cara lain adalah menentukan kontribusi masing-masing sumber

independen terhadap variabel dan kemudian menambahkannya. Pendekatan yang terakhir

dikenal sebagai superposisi.

Prinsip superposisi menyatakan bahwa tegangan melintasi (atau arus melalui) suatu

elemen dalam rangkaian linier adalah jumlah aljabar dari tegangan yang melintasi (atau mengalir

melalui) elemen tersebut karena masing-masing sumber independen bekerja sendiri.

Prinsip superposisi membantu kita untuk menganalisis rangkaian linier dengan lebih dari

satu sumber independen dengan menghitung kontribusi masing-masing sumber independen

secara terpisah. Namun, untuk menerapkan prinsip superposisi, kita harus mengingat dua hal:

1. Kita pertimbangkan satu sumber independen pada satu waktu sementara semua sumber

independen lainnya dimatikan. Ini menyiratkan bahwa kita mengganti setiap sumber tegangan

dengan 0 V (atau korsleting), dan setiap sumber arus dengan 0 A (atau sirkuit terbuka). Dengan

cara ini kita memperoleh sirkuit yang lebih sederhana dan lebih mudah dikelola.

2. Sumber dependen dibiarkan utuh karena dikendalikan oleh variabel rangkaian.

Langkah-langkah untuk menerapkan prinsip superposisi:

1. Matikan semua sumber independen kecuali satu sumber. Temukan output (tegangan atau arus)

setelah sumber aktif tersebut menggunakan analisis nodal atau mesh.

2. Ulangi langkah 1 untuk masing-masing sumber independen lainnya.

3. Temukan kontribusi total dengan menambahkan secara aljabar semua kontribusinya yang

disebabkan karena sumber independen.

Menganalisis sirkuit menggunakan superposisi memiliki satu kelemahan utama: sangat

mungkin melibatkan lebih banyak pekerjaan. Jika sirkuit memiliki tiga sumber independen, kita

mungkin harus menganalisis tiga sirkuit sederhana yang masing-masing memberikan kontribusi

karena masing-masing sumber. Namun, superposisi memang membantu mengurangi sirkuit yang

kompleks menjadi sirkuit yang lebih sederhana melalui penggantian sumber tegangan dengan

korsleting dan sumber arus dengan rangkaian terbuka. Perlu diingat bahwa superposisi

didasarkan pada linearitas. Untuk alasan ini, itu tidak berlaku untuk efek dari suatu daya.

Sebagai contoh, ketika arus i1 mengalir melalui resistor R, daya adalah p1 = R(i1)2, dan

saat arus i2 mengalir melalui R, daya adalah p2 = R(i2)2 . Jika arus i1 + i2 mengalir melalui R, daya

yang diserap adalah p3 = R( i1 + i2)2 = R(i1)2 + R(i2)2 + 2Ri1i2 ≠ p1 + p2. Dengan demikian,

hubungan daya bersifat nonlinier.

4.4 Transformasi Sumber

Transformasi sumber adalah alat untuk menyederhanakan sirkuit. Dasar untuk alat-alat

ini adalah konsep kesetaraan. Oleh karena itu perlu dalam analisis rangkaian untuk dapat

menggantikan sumber tegangan secara seri dengan resistor untuk sumber arus secara paralel

dengan resistor, atau sebaliknya, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.15. Kedua pergantian

tersebut dikenal sebagai transformasi sumber.

Transformasi sumber adalah proses penggantian sumber tegangan vs dalam rangkaian seri

dengan resistor R oleh sumber arus is dalam rangkaian paralel dengan resistor R, atau sebaliknya.

Dua sirkuit pada Gambar 4.15 adalah setara, asalkan mereka memiliki hubungan tegangan-arus

yang sama pada terminal a-b. Jika sumber dimatikan, resistansi yang setara pada terminal ab di

kedua sirkuit adalah R. Juga, ketika terminal ab dihubungsingkatkan, arus hubung singkat yang

mengalir dari a ke b adalah isc = vs / R dalam rangkaian di sebelah kiri dan isc = is untuk rangkaian

di sebelah kanan. Dengan demikian, vs / R = is agar dua sirkuit menjadi setara. Karenanya,

transformasi sumber mensyaratkan:

Transformasi sumber juga berlaku untuk sumber dependen. Seperti ditunjukkan pada

gambar 4.16, sumber tegangan dependen dalam rangkaian dengan resistor dapat

ditransformasikan ke sumber arus dependen secara paralel dengan resistor atau sebaliknya.

Namun, kita harus tetap mengingat hal-hal berikut ketika berhadapan dengan transformasi

sumber.

1. Catat dari Gambar 4.15 (atau Gambar 4.16) bahwa panah sumber arus diarahkan ke terminal

positif dari sumber tegangan.

2. Catatan dari Persamaan. (4.5) bahwa transformasi sumber tidak dimungkinkan ketika R = 0,

yang merupakan kasus dengan sumber tegangan ideal.

4.5 Teorema Thevenin

Dalam praktiknya sering terjadi bahwa elemen tertentu dalam suatu rangkaian adalah

variabel (biasanya disebut beban) sementara elemen lainnya tetap. Setiap kali elemen variabel

diubah, seluruh rangkaian harus dianalisis kembali. Untuk menghindari masalah ini, teorema

Thevenin menyediakan teknik dengan mana bagian tetap dari sirkuit diganti oleh sirkuit yang

setara.

Menurut teorema Thevenin, sirkuit linier pada Gambar 4.23 (a) dapat diganti dengan

yang pada Gambar 4.23 (b). (Beban pada Gambar 4.23 dapat berupa resistor tunggal atau

rangkaian lain). Sirkuit di sebelah kiri terminal a-b pada Gambar 4.23 (b) dikenal sebagai

rangkaian setara/ekivalen Thevenin. Teorema Thevenin menyatakan bahwa rangkaian dua

terminal linier dapat digantikan oleh rangkaian setara yang terdiri dari sumber tegangan VTh

secara seri dengan sistor RTh, di mana VTh adalah tegangan rangkaian terbuka di terminal dan RTh

adalah input atau resistansi setara pada terminal ketika sumber independen dimatikan.

Anggap dua sirkuit pada Gambar 4.23 adalah sama. Dua sirkuit dikatakan setara jika

mereka memiliki hubungan tegangan-arus yang sama di terminal mereka. Jika terminal ab dibuat

rangkaian terbuka (dengan melepas beban), tidak ada aliran arus, sehingga tegangan rangkaian

terbuka melintasi terminal ab pada Gambar 4.23 (a) harus sama dengan sumber tegangan VTh

pada Gambar 4.23 (b), karena dua sirkuit adalah setara. Dengan demikian VTh adalah tegangan

rangkaian terbuka di terminal seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.24 (a):

Sekali lagi, dengan beban yang terputus dan terminal a-b terbuka, kita mematikan semua

sumber independen. Resistansi input (atau resistansi ekivalen) dari rangkaian mati di terminal a-

b pada gambar 4.23 (a) harus sama dengan RTh pada gambar 4.23 (b) karena kedua rangkaian

tersebut setara. Dengan demikian, RTh adalah resistansi input di terminal ketika sumber

independen dimatikan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.24 (b), jadi:

Untuk menerapkan gagasan ini dalam menemukan Thevenin resistance RTh, kita perlu

mempertimbangkan dua kasus:

1. Jika jaringan tidak memiliki sumber dependen, kami mematikan semua sumber independen.

RTh adalah resistansi input jaringan seperti yang ditunjukkan pada gambar 4.24 (b).

2. Jika jaringan memiliki sumber dependen, kami mematikan semua sumber independen. Seperti

halnya superposisi, sumber dependen tidak dapat dimatikan karena dikendalikan oleh variabel

rangkaian. Kemudian RTh = vo / io, seperti yang ditunjukkan pada gambar 4.25 (a). Sebagai

alternatif, kita dapat memasukkan sumber arus io pada terminal a-b seperti yang ditunjukkan

pada Gambar 4.25 (b) dan menemukan tegangan terminal vo. RTh = vo / io lagi. Salah satu dari

kedua pendekatan tersebut akan memberikan hasil yang sama. Dalam pendekatan mana pun kita

dapat mengasumsikan nilai vo dan io.

Cara alternatif untuk menemukan RTh adalah RTh = voc / isc.

Sering terjadi bahwa RTh mengambil nilai negatif. Dalam hal ini, resistansi negatif (v =

−iR) menyiratkan bahwa rangkaian menyuplai/memberikan daya.

Sirkuit besar dapat diganti oleh sumber tegangan independen tunggal dan resistor tunggal.

Seperti disebutkan sebelumnya, sirkuit linier dengan beban variabel dapat diganti dengan

Thevenin, kecuali beban. Pertimbangkan rangkaian linier yang diakhiri oleh beban RL, seperti

yang ditunjukkan pada Gambar 4.26 (a). Arus IL melalui beban dan tegangan VL melintasi beban

dengan mudah ditentukan setelah Thevenin ekivalen dari rangkaian di terminal beban diperoleh,

seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.26 (b).

Dari Gambar 4.26 (b), kita dapatkan

4.6 Teori Norton

Teorema Norton mirip dengan teorema Thevenin. Teorema Norton menyatakan bahwa

rangkaian dua terminal linier dapat diganti dengan rangkaian ekivalen yang terdiri dari sumber

arus IN secara paralel dengan resistor RN, di mana IN adalah arus hubung singkat melalui terminal

dan RN adalah input atau resistansi setara pada terminal ketika sumber independen dimatikan.

Dengan demikian, rangkaian pada Gambar 4.37 (a) dapat diganti dengan sirkuit pada Gambar

4.37 (b). Kami menemukan RN dengan cara yang sama seperti kami menemukan RTh. Bahkan,

dari apa yang kita ketahui tentang transformasi sumber, resistensi Thevenin dan Norton sama,

yaitu:

Untuk menemukan arus Norton, kami menentukan arus hubung singkat yang mengalir dari

terminal a ke b di kedua sirkuit pada Gambar 4.37. Jelaslah bahwa arus hubung singkat pada

Gambar 4.37 (b) adalah IN. Ini harus menjadi arus hubung singkat yang sama dari terminal a ke b

pada Gambar 4.37 (a), karena kedua sirkuit tersebut setara. Jadi,

ditunjukkan pada Gambar. 4.38. Sumber-sumber yang dependen dan independen diperlakukan

dengan cara yang sama seperti dalam teorema Thevenin. Amati hubungan dekat antara teorema

Norton dan Thevenin: RN = RTh seperti pada Persamaan. (4.9), dan

Ini pada dasarnya adalah transformasi sumber. Untuk alasan ini, transformasi sumber sering

disebut transformasi Thevenin-Norton.

Rangkaian ekivalen Thevenin dan Norton dihubungkan oleh transformasi sumber.

Karena VTh, IN, dan RTh terkait menurut Persamaan. (4.11), untuk menentukan rangkaian ekivalen

Thevenin atau Norton mengharuskan untuk menemukan:

• Tegangan rangkaian terbukan voc melintasi terminal a dan b.

• Arus hubung singkat isc pada terminal a dan b.

• Resistansi input atau setara dengan Rin di terminal a dan b ketika semua sumber independen

dimatikan.

Juga berlaku:

3.7 Penurunan Teoream Thevenin dan Norton

Dalam bagian ini akan membuktikan Teorema Thevenin dan Norton menggunakan

prinsip superposisi.

Pertimbangkan rangkaian linier pada Gambar 4.46 (a). Diasumsikan bahwa rangkaian berisi

resistor, dan sumber yang depend dan independen. Arus dari sumber eksternal diterapkan.

Tujuan kami adalah untuk memastikan bahwa hubungan tegangan dan arus pada terminal a dan b

identik dengan persamaan Thevenin pada Gambar 4.46 (b). Demi kesederhanaan, anggaplah

rangkaian linier pada Gambar 4.46 (a) berisi dua sumber tegangan independen vs1 dan vs2 dan dua

sumber arus independen is1 dan is2. Dengan superposisi, tegangan terminal v adalah

di mana A0, A1, A2, A3, dan A4 adalah konstanta. Ruas kanan Persamaan. (4.13) adalah kontribusi

dari sumber independen terkait; yaitu, A0i adalah kontribusi ke v karena sumber arus eksternal i,

A1vs1 adalah kontribusi karena sumber tegangan vs1, dan seterusnya. Kami dapat mengumpulkan

persyaratan untuk sumber independen internal bersama-sama sebagai B0, sehingga Persamaan.

(4.13) menjadi

di mana B0 = A1vs1 + A2vs2 + A3is1 + A4is2. Kami sekarang ingin mengevaluasi nilai konstanta A0

dan B0. Ketika terminal a dan b terbuka, i = 0 dan v = B0. Dengan demikian B0 adalah tegangan

rangkaian terbuka voc, yang sama dengan VTh, jadi

Ketika semua sumber internal dimatikan, B0 = 0. Rangkaian kemudian dapat diganti dengan

resistansi setara Req, yang sama dengan RTh, dan Persamaan. (4.14) menjadi

Mengganti nilai A0 dan B0 dalam Persamaan. (4.14) memberikan:

yang menyatakan hubungan tegangan-arus pada terminal a dan b dari rangkaian pada Gambar

4.46 (b). Dengan demikian, dua rangkaian pada Gambar 4.46 (a) dan 4.46 (b) adalah setara.

Ketika sirkuit linier yang sama digerakkan oleh sumber tegangan v seperti yang ditunjukkan

pada Gambar 4.47 (a), arus yang mengalir ke sirkuit dapat diperoleh dengan superposisi sebagai

di mana C0v adalah kontribusi ke i karena sumber tegangan eksternal v dan D0 berisi kontribusi

ke i karena semua sumber independen internal. Ketika terminal a-b dihubungpendekkan, v = 0

sehingga i = D0 = - isc, di mana isc adalah arus hubung singkat yang mengalir keluar dari terminal

a, yang sama dengan arus Norton IN, yaitu:

Ketika semua sumber independen internal dimatikan, D0 = 0 dan sirkuit dapat diganti dengan

resistansi setara Req (atau konduktansi setara Geq = 1 / Req), yang sama dengan RTh atau RN.

Demikian Persamaan. (4.19) menjadi

Ini menyatakan hubungan tegangan-arus pada terminal a-b dari rangkaian pada Gambar.4.47 (b),

yang mengkonfirmasi bahwa dua rangkaian pada Gambar.4.47 (a) dan 4.47 (b) adalah setara.

4.8 Transfer Daya Maksimal

Dalam banyak situasi praktis, sirkuit dirancang untuk memberikan daya pada beban. Thevenin

ekivalen berguna dalam menemukan daya maksimum yang dapat dihasilkan oleh rangkaian

linier ke beban. Di sini asumsinya adalah dapat menyesuaikan hambatan beban RL. Jika seluruh

rangkaian diganti dengan Thevenin ekivalennya kecuali untuk beban, seperti yang ditunjukkan

pada Gambar 4.48

daya yang dikirim ke beban adalah

Untuk rangkaian yang diberikan, VTh dan RTh adalah tetap. Dengan memvariasikan

tahanan resistansi RL, daya yang dikirim ke beban bervariasi seperti yang digambarkan pada

Gambar 4.49. Kami perhatikan dari Gambar 4.49 bahwa daya kecil untuk nilai RL kecil atau

besar tetapi maksimum untuk beberapa nilai RL antara 0 dan ∞. Kami sekarang ingin

menunjukkan bahwa kekuatan maksimum ini terjadi ketika RL sama dengan RTh. Ini dikenal

sebagai teorema daya maksimum. Daya maksimum ditransfer ke beban ketika hambatan beban

sama dengan resistensi Thevenin (RL = RTh).

Untuk membuktikan teorema transfer daya maksimum, turunkan p dalam Persamaan.

(4.21) terhadap RL dan atur hasilnya sama dengan nol. Kami memperoleh:

Sumber dan beban dikatakan cocok ketika RL = RTh. Daya maksimum yang ditransfer

diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (4.23) ke persamaan (4.21), sehingga:

4.9 Penerapan

Penerapan dari konsep-konsep yang dicakup dalam bab ini diantaranya pemodelan

sumber dan pengukuran hambatan.

BAB V

Cara Kerja/Operasional Amplifier

5.1 Pengenalan

Operasional amplifier, atau singkatnya op amp adalah blok pembangun sirkuit serbaguna.

Op amp adalah unit elektronik yang berperilaku seperti sumber tegangan yang dikendalikan

tegangan. Op amp juga dapat digunakan dalam membuat sumber arus yang dikontrol tegangan

atau arus. Sebuah op amp dapat menjumlahkan sinyal, memperkuat sinyal, mengintegrasikannya,

atau membedakannya. Kita mulai dengan membahas op amp yang ideal dan kemudian

mempertimbangkan op amp nonideal.

5.2 Operasional Amplifier

Op amp adalah elemen rangkaian aktif yang dirancang untuk melakukan operasi

matematika penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, diferensiasi, dan integrasi.

Pin atau terminal 8 tidak digunakan, lima terminal op amp yang penting adalah:

1. The inverting input, pin 2.

2. The noninverting input, pin 3.

3. The output, pin 6.

4. The positive power supply V+, pin 7.

5. The negative power supply V−, pin 4.

Simbol sirkuit untuk op amp adalah segitiga pada Gambar 5.2 (b); seperti yang

ditunjukkan, op amp memiliki dua input dan satu output. Input ditandai dengan minus (-) dan

plus (+) untuk masing-masing menentukan input inverting dan noninverting. Input yang

diterapkan pada terminal noninverting akan muncul dengan polaritas yang sama pada output,

sedangkan input yang diterapkan pada terminal inverting akan muncul terbalik pada output.

Sebagai elemen aktif, op amp harus ditenagai oleh suplai tegangan seperti yang

ditunjukkan pada Gambar 5.3. Oleh KCL,

Model rangkaian ekivalen dari sebuah op amp ditunjukkan pada Gambar 5.4. Bagian

output terdiri dari sumber tegangan yang dikontrol yang ada di dalam rangkaian secara seri

dengan resistansi keluaran Ro. Terlihat jelas dari Gambar 5.4 bahwa resistansi input Ri adalah

resistansi setara Thevenin yang terlihat di terminal input, sedangkan resistansi output Ro adalah

resistansi ekivalen Thevenin yang terlihat pada output. Tegangan input diferensial vd adalah

di mana v1 adalah tegangan antara terminal inverting dan ground dan v2 adalah tegangan

antara terminal noninverting dan ground. Op amp merasakan perbedaan antara dua input,

mengalikannya dengan kenaikan/penguatan A, dan menyebabkan tegangan yang dihasilkan

muncul pada output. Dengan demikian, output vo:

A disebut kenaikan/penguatan tegangan loop terbuka karena ini merupakan

kenaikkan/penguatan dari op amp tanpa umpan balik eksternal dari output ke input. Tabel 5.1

menunjukkan nilai-nilai khas dari kenaikan/penguatan tegangan A, resistansi input Ri, resistansi

output Ro, dan tegangan suplai VCC.

Terkadang, penguatan/kenaikan tegangan dinyatakan dalam desibel (dB). A dB = 20log10 A.

Umpan balik negatif dicapai ketika output diumpankan kembali ke terminal inverting op

amp. Ketika ada jalur umpan balik dari output ke input, rasio tegangan output ke tegangan input

disebut kenaikan/penguatan loop tertutup. Op amp digunakan di rangkaian dengan jalur umpan

balik.

Besarnya tegangan keluaran op amp tidak boleh melebihi | VCC |. Dengan kata lain,

tegangan output tergantung pada dan dibatasi oleh tegangan suplai daya. Gambar 5.5

mengilustrasikan bahwa op amp dapat beroperasi dalam tiga mode, tergantung pada tegangan

input diferensial vd:

1. Saturasi positif, vo = VCC.

2. Wilayah linear, −VCC ≤ vo = Avd ≤ VCC.

3. Saturasi negatif, vo = −VCC.

Jika kami berusaha meningkatkan vd di luar rentang linier, op amp menjadi saturasi/jenuh

dan menghasilkan vo = VCC atau vo = - VCC. Ketika op amp beroperasi dalam mode linear, ini

berarti bahwa tegangan keluaran dibatasi oleh

Kemungkinan saturasi harus diingat ketika seseorang mendesain op amp, untuk menghindari

perancangan sirkuit op amp yang tidak akan berfungsi di laboratorium.

5.3 Op Amp Ideal

Sebuah op amp sangat ideal jika memiliki karakteristik sebagai berikut:

1. Kenaikan/penguatan loop terbuka bernilai tak terhingga, A ≈ ∞.

2. Resistansi input tidak terbatas, Ri ≈ ∞.

3. Nol resistansi keluaran, Ro ≈ 0.

Op amp yang ideal adalah amplifier dengan kenaikan/penguatan loop terbuka tidak terbatas,

resistansi input tidak terbatas, dan resistansi keluaran nol.

Untuk analisis rangkaian, op amp yang ideal diilustrasikan pada Gambar.5.8, yang diturunkan

dari model nonideal pada Gambar 5.4. Dua karakteristik penting dari op amp ideal adalah

1. Arus ke kedua terminal input adalah nol:

Ini disebabkan oleh resistansi input yang tidak terbatas. Resistensi tak terbatas antara terminal

input menyiratkan bahwa ada sirkuit terbuka di sana dan arus tidak dapat masuk ke op amp.

Tetapi arus keluaran belum tentu nol menurut Persamaan. (5.1).

2. Tegangan di antara kedua terminal input sangat kecil, yaitu:

atau

5.4 Inverting Amplifier (Penguat Pembalik)

Penguat pembalik ditunjukkan pada Gambar 5.10. Dalam sirkuit ini, input noninverting di-

ground-kan, vi terhubung ke input inverting melalui R1, dan resistor umpan balik Rf terhubung

antara input dan output inverting/pembalik. Untuk mendapatkan hubungan antara tegangan input

vi dan tegangan output vo, terapkan KCL pada simpul 1:

Tetapi v1 = v2 = 0 untuk op amp ideal, karena terminal noninverting di-ground-kan. Sehingga:

Atau

Penguatan tegangan adalah Av = vo / vi = - Rf / R1. Sebutan rangkaian pada Gambar 5.10 sebagai

inverter muncul dari tanda negatif. Jadi, penguat pembalik (inverting amplifier) membalik

polaritas sinyal input sambil menguatkannya.

Perhatikan bahwa penguatan adalah resistansi umpan balik dibagi dengan resistansi input

yang berarti bahwa penguatan hanya bergantung pada elemen eksternal yang terhubung ke op

amp. Mengingat Persamaan. (5.9), rangkaian ekivalen untuk amplifier pembalik ditunjukkan

pada Gambar 5.11.

5.5 Noninverting Amplifier (Penguat Bukan Pembalik)

Dalam hal ini, tegangan input vi diterapkan langsung pada terminal input noninverting,

dan resistor R1 terhubung antara ground dan terminal inverting. Penerapan KCL di terminal

inverting memberi

Penguatan tegangan adalah Av = vo / vi = 1 + (Rf / R1), yang tidak memiliki tanda negatif. Dengan

demikian, output memiliki polaritas yang sama dengan input. Amplifier noninverting adalah

rangkaian op amp yang dirancang untuk memberikan penguatan tegangan positif.

Penguatan hanya bergantung pada resistor eksternal. Perhatikan bahwa jika resistor

umpan balik Rf = 0 (korsleting) atau R1 = ∞ (rangkaian terbuka) atau keduanya, gain/penguatan

menjadi 1. Di bawah kondisi ini (Rf = 0 dan R1 = ∞), sirkuit pada Gambar 5.16 menjadi yang

ditunjukkan pada Gambar 5.17, yang disebut pengikut tegangan/voltage follower karena output

mengikuti input. Jadi, untuk pengikut tegangan

Sirkuit seperti itu memiliki impedansi input yang sangat tinggi dan karena itu berguna

sebagai penguat tahap-menengah (atau buffer) untuk mengisolasi satu sirkuit dari yang lain,

seperti yang digambarkan pada Gambar 5.18.

5.6 Menjumlahkan Amplifier

Selain penguatan, op amp dapat melakukan penambahan dan pengurangan. Penambahan

dilakukan oleh penguat penjumlahan, sedangkan pengurangan dilakukan oleh penguat

diferensiasi. Penguat penjumlahan adalah rangkaian op amp yang menggabungkan beberapa

input dan menghasilkan output yang merupakan jumlah bobot dari input.

Penguat penjumlah, ditunjukkan pada Gambar 5.21, adalah variasi dari penguat pembalik. Ingat

bahwa saat ini memasukkan setiap input op amp adalah nol. Menerapkan KCL pada node a

memberi

menunjukkan bahwa tegangan output adalah jumlah tertimbang dari input. Untuk alasan ini,

rangkaian pada Gambar 5.21 disebut penjumlah. Penjumlah dapat memiliki lebih dari tiga input.

5.7 Amplifier Diferensial/Perbedaan

Penguat perbedaan (atau diferensial) digunakan dalam berbagai aplikasi di mana ada

kebutuhan untuk memperkuat perbedaan antara dua sinyal input. Penguat perbedaan juga dikenal

sebagai subtractor/pengurang. Penguat perbedaan adalah perangkat yang memperkuat perbedaan

antara dua input tetapi menolak sinyal yang sama untuk kedua input tersebut.

Pertimbangkan rangkaian op amp yang ditunjukkan pada Gambar 5.24. Perlu diingat bahwa arus

nol memasuki terminal op amp. Menerapkan KCL ke simpul a:

Karena penguat perbedaan harus menolak sinyal yang sama untuk kedua input, penguat harus

memiliki properti yang vo = 0 ketika v1 = v2. Properti ini ada saat

Jadi, ketika rangkaian op amp adalah penguat perbedaan, Persamaan (5.18) menjadi:

Jika R2 = R1 dan R3 = R4, penguat perbedaan menjadi pengurang, dengan output:

5.8 Cascaded Op Amp Circuits (Rangkaian Op Amp Mengalir)

Ketika sirkuit op amp mengalir, setiap rangkaian dalam deretan disebut stage, sinyal

input asli ditingkatkan dengan penguatan dari stage individu. Sirkuit op amp memiliki

keuntungan bahwa mereka dapat mengalir tanpa mengubah hubungan input-output. Hal ini

disebabkan oleh fakta bahwa setiap rangkaian op amp (ideal) memiliki resistansi input tidak

terbatas dan resistansi keluaran nol.

Gambar 5.28 menampilkan diagram diagram representasi tiga rangkaian op amp dalam aliran.

Karena output dari satu tahap adalah input ke tahap berikutnya, keuntungan keseluruhan dari

koneksi aliran adalah hasil kali dari keuntungan dari masing-masing sirkuit op amp, atau

5.9 Penerapan

Op amp adalah blok bangunan mendasar dalam instrumentasi elektronik modern. Ini

digunakan secara luas di banyak perangkat, bersama dengan resistor dan elemen pasif lainnya.

Penerapanya diantaranya: konverter digital-ke-analog dan amplifier instrumentasi.

BAB VI

Kapasitor dan Induktor6.1 Pengenalan

Tidak seperti resistor, yang menghilangkan energi, kapasitor dan induktor tidak

menghilang tetapi menyimpan energi, yang dapat diambil di lain waktu. Untuk alasan ini,

kapasitor dan induktor disebut elemen penyimpanan.

6.2 Kapasitor

Kapasitor adalah elemen pasif yang dirancang untuk menyimpan energi di bidang

listriknya. Kapasitor biasanya dibangun seperti yang digambarkan pada Gambar 6.1 :

Kapasitor terdiri dari dua pelat konduktor yang dipisahkan oleh isolator (atau dielektrik).

Dalam banyak penerapan, pelat mungkin terbuat dari aluminium foil sementara dielektriknya

mungkin udara, keramik, kertas, atau mika.

Ketika sumber tegangan v terhubung ke kapasitor, seperti pada Gambar 6.2, sumber

menyimpan muatan positif q pada satu pelat dan muatan negatif − q pada yang lain. Kapasitor

dikatakan menyimpan muatan listrik. Jumlah muatan yang disimpan, diwakili oleh q, berbanding

lurus dengan tegangan yang diberikan v sehingga:

dimana C adalah kapasitas kapasitor, satuannya adalah farad (F). Kapasitansi/kapasitas adalah

rasio muatan pada satu pelat kapasitor dengan perbedaan tegangan antara dua pelat, diukur dalam

farad (F).

Meskipun kapasitansi C kapasitor adalah rasio muatan q per plat dengan voltase v yang

diterapkan, ia tidak tergantung pada q atau v, tetapi tergantung pada dimensi fisik kapasitor.

Misalnya, untuk kapasitor pelat paralel yang ditunjukkan pada Gambar 6.1, kapasitansinya:

di mana A adalah luas permukaan setiap lempeng, d adalah jarak antara lempeng-lempeng, dan ϵ

merupakan permitivitas bahan dielektrik di antara lempeng-lempeng. Meskipun Persamaan. (6.2)

hanya berlaku untuk kapasitor paralel.

Gambar 6.3 menunjukkan simbol rangkaian untuk kapasitor tetap dan variabel.

Perhatikan bahwa menurut konvensi tanda pasif, arus dianggap mengalir ke terminal positif

kapasitor ketika kapasitor diisi, dan keluar dari terminal positif ketika kapasitor dilepaskan.

Kapasitor elektrolit menghasilkan kapasitansi yang sangat tinggi.

Untuk mendapatkan hubungan tegangan-arus kapasitor, kami mengambil turunan dari

kedua sisi Persamaan. (6.1), sehingga:

Dengan mendiferensiasikan kedua sisi pada persamaan (6.1), memberikan:

Ini adalah hubungan tegangan-arus untuk kapasitor, dengan asumsi konvensi tanda

positif. Menurut Persamaan. (6.4), untuk kapasitor untuk mengalirkan arus, tegangannya harus

bervariasi sesuai waktu. Oleh karena itu, untuk tegangan konstan, i = 0. Hubungan diilustrasikan

pada Gambar 6.6 untuk kapasitor yang kapasitansinya tidak tergantung pada tegangan.

Kapasitor yang memenuhi Persamaan (6.4) dikatakan linier. Untuk kapasitor nonlinear,

plot hubungan tegangan-arus bukan garis lurus. Hubungan tegangan-arus kapasitor dapat

diperoleh dengan mengintegrasikan kedua sisi Persamaan. (6.4). Kita mendapatkan

di mana v (t0) = q (t0) / C adalah tegangan yang melintasi kapasitor pada waktu t0.

Persamaan (6.6) menunjukkan bahwa tegangan kapasitor tergantung pada riwayat arus kapasitor.

Daya sesaat yang dikirim ke kapasitor adalah

energi yang disimpan dalam kapasitor adalah

Kami mencatat bahwa v (−∞) = 0, karena kapasitor tidak bermuatan pada t = −∞. Jadi,

Menggunakan Persamaan (6.1), kami dapat menulis ulang Persamaan (6.9) sebagai

Persamaan (6.9) atau (6.10) mewakili energi yang disimpan dalam bidang listrik yang ada

di antara pelat kapasitor. Energi ini dapat diambil, karena kapasitor ideal tidak dapat membuang

energi. Bahkan, kata kapasitor berasal dari kapasitas elemen ini untuk menyimpan energi dalam

bidang listrik. Kapasitor adalah rangkaian terbuka ke dc. Jika baterai (voltase dc) terhubung

melintasi kapasitor, kapasitor mengisi daya. Tegangan pada kapasitor harus kontinyu. Tegangan

pada kapasitor tidak dapat berubah secara tiba-tiba.

Kapasitor menolak perubahan tegangan yang tiba-tiba. Menurut Persamaan. (6.4),

perubahan tegangan yang tidak kontinu membutuhkan arus yang tidak terbatas, yang secara fisik

tidak mungkin.

Sebagai contoh, tegangan melintasi kapasitor dapat berbentuk seperti pada Gambar 6.7

(a), sedangkan tegangan kapasitor secara fisik tidak memungkinkan untuk mengambil bentuk

seperti pada Gambar 6.7 (b) karena perubahan mendadak. Sebaliknya, arus melalui kapasitor

dapat berubah secara instan. Kapasitor ideal tidak menghilangkan energi. Dibutuhkan daya dari

sirkuit saat menyimpan energi di bidangnya dan mengembalikan energi yang tersimpan

sebelumnya saat menyalurkan daya ke sirkuit.

6.3 Kapasitor Seri dan Paralel

Untuk mendapatkan kapasitor ekuivalen, Ceq dari kapasitor N secara paralel, perhatikan sirkuit

pada Gambar 6.14 (a). Rangkaian ekivalennya ada pada Gambar 6.14 (b). Perhatikan bahwa

kapasitor memiliki tegangan v yang sama di atasnya. Menerapkan KCL pada Gambar 6.14 (a):

Tetapi, ik = Ck dv/dt, sehingga:

Dimana

Kapasitansi setara dari kapasitor yang terhubung paralel adalah jumlah dari masing-masing

kapasitansi.

Kami mengamati bahwa kapasitor secara paralel bergabung dengan cara yang sama

seperti resistor secara seri. Kita sekarang mendapatkan kapasitor Ceq dari N yang dihubungkan

secara seri dengan membandingkan rangkaian pada Gambar 6.15 (a) dengan rangkaian ekivalen

pada Gambar 6.15 (b). Perhatikan bahwa arus yang sama mengalir (dan akibatnya muatan yang

sama) melalui kapasitor. Menerapkan KVL ke loop pada Gambar 6.15 (a):

Dimana

Tegangan awal v (t0) melintasi Ceq diperlukan oleh KVL sebagai jumlah dari tegangan

kapasitor pada t0. Atau menurut Persamaan (6.15), v (t0) = v1 (t0) + v2 (t0) + ··· + vN (t0). Jadi,

menurut Persamaan. (6.16):

Kapasitansi setara dari kapasitor yang terhubung seri adalah kebalikan dari jumlah kebalikan dari

kapasitansi individu.

6.4 Induktor

Induktor adalah elemen pasif yang dirancang untuk menyimpan energi di medan magnetnya.

Induktor terdiri dari kumparan konduktor. Jika arus dibiarkan melewati induktor, ditemukan

bahwa tegangan melintasi induktor berbanding lurus dengan laju waktu perubahan arus.

Menggunakan konvensi tanda pasif,

di mana L adalah konstanta proporsionalitas yang disebut induktansi induktor. Satuan induktansi

adalah henry (H). Induktansi adalah properti di mana induktor menunjukkan perlawanan

terhadap perubahan arus yang mengalir melaluinya, diukur dalam henrys (H). Misalnya, untuk

induktor (solenoid) yang ditunjukkan pada Gambar 6.21, rumus untuk menghitung induktansi

induktor adalah:

di mana N adalah jumlah lilitan, l adalah panjangnya, A adalah luas penampang, dan μ adalah

permeabilitas inti. Induktor dapat tetap atau variabel.

Simbol sirkuit untuk induktor ditunjukkan pada Gambar 6.23, mengikuti konvensi tanda pasif.

Persamaan (6.18) adalah hubungan tegangan-arus untuk induktor.

Gambar 6.24 menunjukkan hubungan secara grafis untuk induktor yang induktansinya

tidak bergantung pada arus. Induktor semacam itu dikenal sebagai induktor linier. Untuk

induktor nonlinear, Persamaan. (6.18) tidak akan menjadi garis lurus karena induktansinya

bervariasi dengan arus. Hubungan arus-tegangan diperoleh dari Persamaan. (6.18) sebagai:

dengan mengintegralkan, menghasilkan:

di mana i (t0) adalah total arus untuk −∞ <t <t 0 dan i (−∞) = 0. Gagasan untuk membuat i (−∞)

= 0 adalah praktis dan masuk akal, karena harus ada waktu dalam melewati ketika tidak ada arus

di induktor. Induktor dirancang untuk menyimpan energi dalam medan magnetnya. Energi yang

disimpan dapat diperoleh dari Persamaan. (6.18) dan (6.20). Kekuatan dikirim ke induktor

adalah:

Induktor bertindak seperti korsleting ke dc. Sifat penting dari induktor adalah penentangannya

terhadap perubahan arus yang mengalir melewatinya. Arus melalui induktor tidak dapat berubah

secara instan.

Sebuah induktor menentang perubahan mendadak pada arus yang melaluinya.

Sebagai contoh, arus melalui induktor dapat mengambil bentuk yang ditunjukkan pada Gambar

6.25 (a), sedangkan arus induktor tidak dapat mengambil bentuk yang ditunjukkan pada Gambar

6.25 (b) dalam situasi kehidupan nyata karena diskontinuitas/tidak kontinyu. Namun, tegangan

melintasi induktor dapat berubah secara tiba-tiba.

Seperti kapasitor ideal, induktor ideal tidak menghilangkan energi. Energi yang tersimpan

di dalamnya dapat diambil di lain waktu. Induktor mengambil daya dari sirkuit ketika

menyimpan energi dan memberikan daya ke sirkuit ketika mengembalikan energi yang

tersimpan sebelumnya. Induktor nonideal memiliki komponen resistif yang signifikan, seperti

yang ditunjukkan pada Gambar 6.26.

Resistansi ini disebut resistan berliku Rw, dan muncul secara seri dengan induktansi

induktor. Kehadiran Rw menjadikannya sebagai perangkat penyimpanan energi dan perangkat

pembuangan energi. Karena Rw biasanya sangat kecil, ia diabaikan dalam banyak kasus. Induktor

non-arus juga memiliki kapasitansi berliku Cw. Cw sangat kecil dan dapat diabaikan dalam

banyak kasus, kecuali pada frekuensi tinggi.

6.5 Induktor Seri dan Paralel

Kita perlu tahu bagaimana menemukan induktansi setara dari serangkaian induktor yang

terhubung seri atau paralel yang ditemukan dalam rangkaian. Pertimbangkan koneksi seri N

induktor, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.29 (a), dengan rangkaian yang ekivalen

ditunjukkan pada Gambar 6.29 (b).

Induktor memiliki arus yang sama melalui mereka. Menerapkan KVL ke loop,

Jadi, Induktansi setara induktor yang terhubung seri adalah jumlah induktansi individual.

Kami sekarang mempertimbangkan koneksi paralel induktor N, seperti yang ditunjukkan pada

Gambar. 6.30 (a), dengan rangkaian yang ekivalen pada Gambar. 6.30 (b). Induktor memiliki

tegangan yang sama dalam rangkaian paralel.

Menggunakan KCL,

dimana

Arus awal i (t0) melalui Leq pada t = t0 diharapkan oleh KCL sebagai jumlah arus induktor

pada t0. Jadi, menurut Persamaan (6.29), i (t0) = i1 (t0) + i2 (t0) + ··· + iN (t0). Menurut Persamaan

(6.30):

Induktansi setara induktor paralel adalah kebalikan dari jumlah kebalikan dari induktansi

individual. Rangkuman karakteristik paling penting dari tiga elemen rangkaian dasar yang telah

kita pelajari adalah sebagai berikut:

6.6 Penerapan

Elemen sirkuit seperti resistor dan kapasitor tersedia secara komersial dalam bentuk

diskrit atau integrated-circuit (IC). Induktor biasaya digunakan dalam relay, keterlambatan, alat

penginderaan, kepala pick-up, sirkuit telepon, penerima radio dan TV, catu daya, motor listrik,

mikrofon, dan pengeras suara. Penerapan yang melibatkan kapasitor dan op amp diantaranya

integrator, differentiator, dan komputer analog.

BAB VII

First-Order Circuits (Rangkaian Urutan Pertama)7.1 Pengenalan

Persamaan diferensial yang dihasilkan dari analisis RC dan RL adalah urutan pertama.

Oleh karena itu, sirkuit secara kolektif dikenal sebagai sirkuit urutan pertama. Sirkuit orde

pertama ditandai oleh persamaan diferensial orde pertama. Selain ada dua jenis sirkuit urutan

pertama (RC dan RL), ada dua cara untuk membangkitkan sirkuit. Cara pertama adalah dengan

kondisi awal elemen penyimpanan di sirkuit. Dalam sirkuit bebas sumber yang disebut ini, kita

mengasumsikan bahwa energi pada awalnya disimpan dalam elemen kapasitif atau induktif.

Energi menyebabkan arus mengalir di sirkuit dan secara bertahap menghilang dalam resistor.

Cara kedua sirkuit tatanan menarik pertama adalah dengan sumber independen.

7.2 Sumber Bebas Rangkaian RC

Sirkuit RC bebas sumber terjadi ketika sumber asalnya tiba-tiba terputus. Energi yang

sudah tersimpan dalam kapasitor dilepaskan ke resistor. Respon tegangan dari rangkaian RC

adalah peluruhan eksponensial dari tegangan awal. Karena responsnya disebabkan oleh energi

awal yang disimpan dan karakteristik fisik sirkuit dan bukan karena beberapa tegangan eksternal

atau sumber arus, itu disebut respons alami rangkaian. Respon alami dari suatu sirkuit mengacu

pada perilaku (dalam hal tegangan dan arus) dari sirkuit itu sendiri, tanpa sumber eksitasi

eksternal.

Konstanta waktu dari suatu rangkaian adalah waktu yang diperlukan untuk respons

meluruh dengan faktor 1 / e atau 36,8 persen dari nilai awalnya.

7.3 Sumber Bebas Rangkaian RL

Hubungan seri dari resistor dan induktor, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 7.11.

Tujuan kami adalah untuk menentukan respons rangkaian, yang akan kami asumsikan sebagai

arus i (t) melalui induktor. Pada t = 0, kita mengasumsikan bahwa induktor memiliki arus I0

awal, atau

Energi yang tersimpan dalam induktor adalah

Menerapkan KVL di sekitar loop pada gambar 7.11:

Ini menunjukkan bahwa respons alami dari rangkaian RL adalah peluruhan eksponensial dari

arus awal. Respons saat ini ditunjukkan pada Gambar 7.12.

Ini terbukti dari Persamaan. (7.18) bahwa konstanta waktu untuk rangkaian RL adalah

7.4 Fungsi Singularitas

Fungsi singularitas (juga disebut fungsi switching) sangat berguna dalam analisis rangkaian.

Mereka berfungsi sebagai perkiraan yang baik untuk sinyal switching yang muncul di sirkuit

dengan operasi switching. Dengan definisi,

Fungsi singularitas adalah fungsi yang bersifat terputus-putus atau memiliki turunan terputus.

Fungsi unit step u (t) adalah 0 untuk nilai negatif t dan 1 untuk nilai positif t.

Turunan dari fungsi langkah satuan u (t) adalah fungsi impuls satuan δ (t), yang kita tulis sebagai

Fungsi unit impulse — juga dikenal sebagai fungsi delta — ditunjukkan pada Gambar 7.27.

Fungsi impuls satuan δ (t) adalah nol di mana-mana kecuali pada t = 0, di mana ia tidak

ditentukan.

7.5 Langkah Respon dari rangkaian RC

Ketika sumber dc dari rangkaian RC tiba-tiba diterapkan, sumber tegangan atau arus

dapat dimodelkan sebagai fungsi langkah, dan responsnya dikenal sebagai respons langkah.

Respon langkah dari suatu rangkaian adalah perilakunya ketika eksitasi adalah fungsi langkah,

yang mungkin merupakan tegangan atau sumber arus. Respons ini merespons respons dari

rangkaian ini terhadap aplikasi tegangan DC atau sumber arus.

Pertimbangkan sirkuit RC pada Gambar.7.40 (a) yang dapat ditempatkan dengan sirkuit

pada Gambar 7.40 (b), di mana Vs adalah sumber tegangan dc konstan. Sekali lagi, kami

memilih tegangan kapasitor sebagai respons rangkaian yang akan ditentukan. Kami

mengasumsikan tegangan awal V0 pada kapasitor, meskipun ini tidak diperlukan untuk langkah

respon. Karena tegangan kapasitor tidak dapat berubah secara instan, maka:

Ini dikenal sebagai respons lengkap dari rangkaian RC terhadap aplikasi tiba-tiba dari

sumber tegangan dc, dengan asumsi kapasitor pada awalnya diisi. Dengan asumsi bahwa Vs> V0,

sebidang v (t) ditunjukkan pada Gambar 7.41.

Jika kami berasumsi bahwa kapasitor tidak bermuatan pada awalnya, kami menetapkan

V0 = 0 dalam Persamaan (7.46) jadi

Respons alami atau respons sementara adalah respons sementara rangkaian yang akan

padam seiring waktu. Respons paksa atau respons kondisi tunak adalah perilaku rangkaian yang

lama setelah eksitasi eksternal diterapkan. Respons lengkap dari rangkaian adalah jumlah dari

respons alami dan respons paksa. Oleh karena itu, kami dapat menulis Persamaan. (7.45) sebagai

7.6 Langkah Respon dari Rangkaian RL

Pertimbangkan sirkuit RL pada Gambar 7.48 (a), yang dapat diganti dengan sirkuit pada

Gambar 7.48 (b). Sekali lagi, tujuan kami adalah menemukan arus induktor i sebagai respons

rangkaian. Biarkan respons menjadi jumlah dari arus alami dan arus paksa:

Respons paksa adalah nilai arus yang lama setelah sakelar pada Gambar 7.48 (a) ditutup.

Kita tahu bahwa respons alami pada dasarnya menghilang setelah lima konstanta waktu. Pada

saat itu, induktor menjadi sirkuit pendek, dan voltase lintas silika nol. Tegangan sumber daya Vs

muncul di R. Jadi, respons yang dipaksakan adalah

Ini adalah respons lengkap dari rangkaian RL. Ini diilustrasikan pada Gambar 7.49.

Respons dalam Persamaan. (7,60) dapat ditulis sebagai

7.7 Sirkuit Op Amp Orde Pertama

Sirkuit op amp yang mengandung elemen penyimpanan akan menunjukkan perilaku

urutan pertama. Sekali lagi, untuk alasan praktik, induktor jarang digunakan dalam rangkaian op

amp; oleh karena itu, rangkaian op amp yang kami pertimbangkan di sini adalah dari tipe RC.

Seperti biasa, analisis rangkaian op amp menggunakan analisis nodal. Terkadang,

rangkaian ekivalen Thevenin digunakan untuk mengurangi sirkuit op amp ke sirkuit yang bisa

kita tangani dengan mudah. Tiga contoh berikut menggambarkan konsep. Yang pertama

berkaitan dengan rangkaian op amp bebas-sumber, sedangkan dua lainnya melibatkan respons

langkah. Tiga contoh telah dipilih dengan hati-hati untuk mencakup semua kemungkinan tipe RC

dari rangkaian op amp, tergantung pada lokasi kapasitor sehubungan dengan op amp; yaitu,

kapasitor dapat ditempatkan di input, output, atau loop umpan balik.

7.8 Penerapan

Berbagai perangkat di mana rangkaian RC dan RL diterapkan seperti penyaringan

pasokan daya dc, sirkuit perataan dalam komunikasi digital, pembeda, integrator, sirkuit tunda,

dan siaran sirkuit. Beberapa aplikasi ini memanfaatkan konstanta waktu pendek atau panjang

dari sirkuit RC atau RL.